Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2010 PHẦN I: GIẢI TÍCH I) Bảng tóm tắc công thức đạo hàm : Hàm số sơ cấp cơ bản Hàm hợp ( Hàm mở rộng) 1) (C)’ = 0 ( C: hằng số ) 2) (x)’ = 1 3) ( ) )(; 1 / Rxx ∈= − αα αα 4) / 1 ( ) 2 x x = 5) / 2 1 1 x x − = ÷ 6) (sinx)’ = cosx 7) ( cosx)’ = - sinx 7) (tanx)’ = 2 2 1 1 tan cos x x = + 8) ( ) 2 2 1 cot ' (1 cot ) sin x x x − = = − + 9) (e x )’ = e x 10) (a x )’ = a x lna ; (a: hằng số; a> 0) 11) ( ) )0(; 1 'ln >= x x x 12) ( ) ( ) 0;01; ln 1 'log >>≠= xa ax x a * Ghi Chú: Các hàm số đều có nghĩa * ( ) ' 1 / uuu − = αα α * ( ) )0(;) 2 ' ('. 2 1 / >== u u u u u u * ( ) 0;) ' ('. 11 22 / ≠ − = − = u u u u u u * ( sinu)’ = u’.cosu * ( cosu)’ = - u’.sinu * ( ) 2 1 tan ' . ' cos u u u = * ( ) / 2 1 cot . ' sin u u u − = * (e u )’= e u .u’ * ( a u )’ = a u lna.u’ * (lnu)’= ( ) 0;'. 1 >uu u * ( log a u)’ = '. ln 1 u au ( )0;01 >>≠ ua II) Qui tắc tính đạo hàm: 1) ( ) ' '' / wvuwvu ±±±=±±± 2) (u.v)’ = u’.v + u.v’ 3) ( ) uvzuzvvzuuvz ''' / ++= 4) 2 / '.'. v vuvu v u − = ( 0v ≠ ) II) Đơn điệu – cực trò . GTLN- GTNN . A) Đơn điệu: Hàm số (C) : y = f(x) xác đònh trên D • Hàm số tăng (đồng biến) trên D <=> y’ 0 ≥ ; Dx ∈∀ • Hàm số giảm ( nghòch biến) trên D <=> Dxy ∈∀≤ ;0 / B) Cực trò: Hàm số (C) : y = f(x) • Hàm số có cực trò <=> y’ có nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua nghiệm đó • Hàm số không có cực trò <=> y’ không đổi dấu • Hàm số có n cực trò <=> y’ đổi dấu n lần Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 1 Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2010 • Hàm số có n cực trò <=> y’ đổi dấu n lần • Hàm số đạt cực trò x= x 0 <=> f’(x 0 ) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x 0 • Hàm số đạt cực đại tại x = x 0 <=> < = 0)(" 0)(' 0 0 xf xf • Hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 <=> > = 0)(" 0)(' 0 0 xf xf * Chú ý: Đối với một hàm số bất kì , hàm số chỉ có thể đạt cực trò tại những mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc dạo hàm không xác đònh. C) GTLN-GTNN: * Lập bảng biến thiên của hàm số trên D. Từ đó xác đònh GTLN-GTNN • Đặc biệt: Khi MXĐ D = [a;b] và hàm số liên tục trên D ta có thể làm như sau: Bước 1: Tìm y’. Giải y’ = 0 và chọn các nghiệm x 1 ; x 2 ; ;x i thuộc (a;b) Bước 2: Tính f(x 1 ) ; f(x 2 ) ; ; f(x i ) ; f(a) ; f(b) Bước 3: Số lớn nhất ( nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN) cần tìm III) Các bước khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: A) Hàm đa thức : (Hàm bậc 3 và hàm trùng phương) Bước 1 : MXĐ : D = R Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’ = ) Bước 3 : Giới hạn – Bảng biến thiên (y’) Bước 4 : Điểm đặc biệt Bước 5 : Vẽ đồ thò và kết luận tính đối xứng B) Hàm phân thức : ( Bâc1/Bậc1 ) Bước 1: MXĐ : D = Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’= ) Bước 3 : Giới hạn và tiệm cận Bước 4 : Bảng biến thiên Bước 5 : Điểm đặc biệt Bước 6 : Vẽ đồ thò và kết luận tính đối xứng IV) Sự tương giao ( Vò trí tương đối) : Cho (C) : y = f(x) và (D) : y = g(x) • Toạ độ giao điểm của (C) và (D) là nghiệm của hệ : = = )( )( xgy xfy • Biện luận sự tương giao của (C) và (D) : Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm của (C) và (D) : f(x) = g(x) Bước 2: Căn cứ vào số nghiệm của phương trình Số giao điểm của (C) và (D). ( Số nghiệm pt = số giao điểm của (C) và (D)). Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 2 Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2010 V) Tiếp tuyến: Dang 1: Biết tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) tại điểm M(x 0 ; y 0 ) )(C∈ là : y – y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 ) Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k + Gọi M(x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm Ta có : f’(x 0 ) = k Giải phương trình tìm x 0 ,suy ra y 0 =f(x 0 ) + PTTT là: y-y 0 =k(x-x 0 ) Dạng 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x A, y A ) + Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k (d) : y = k(x-x A )+y A = g(x) + (d) là tiếp tuyến của (C) ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x = ⇔ = có nghiệm * Chú ý : Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau. Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng (-1) Đường tạo với chiều dương trục Ox một góc α thì có hệ số góc bằng tan α VI) Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thò. Cho hàm số (C) : y = f(x) Biện luận phương trình : F(x;m) = 0 ; ( ẩn x ; tham số m) @ Phương pháp: * Biến đổi phương trình F(x;m) = 0 về dạng : f(x) = g(m) ; ( g(m) là đường thẳng) * Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thò: (C) : y = f(x) ( Đã được vẽ) (D) : y = g(m) ( đường thẳng cung phương Ox và cắt Oy tại g(m)) * Dựa vào đồ thò (C) ta kết luận số nghiệm của phương trình MŨ VÀ LOGARIT I) Các định nghĩa : 1) Luỹ thừa với số mũ 0 và ngun âm : a 0 = 1 và a -n = n a 1 ( với a ≠ 0 và n * N∈ ) 2) luỹ thừa với số mũ hữu tỉ : n m n m aaa == ( Với a > 0 và * ,, + ∈∈= ZnZm n m r ) 3) Luỹ thừa với số mũ thực : Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 3 Lý thuyết –Lớp 12: Ôn Thi TNTHPT- Năm 2010 )lim( n r aa = α ( với a > 0 , α ∈ R , Qr n ∈ và lim r n = α ) 4) Căn bậc n : Khi n lẻ , b= n a ab n =⇔ Khi n chẵn , b = = ≥ ⇔ ab b a n n 0 ( với a )0≥ 5) Lôga rit cơ số a : )0,10(log >≠<=⇔= babab a α α II) Các tính chất và công thức : 1) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 , βα ; tuỳ ý ta có: βαβα + = aaa . ; βαβα − = aaa : ; αββα aa = )( βαα aaba .).( = ; ααα baba :):( = 2) Lôgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa , ta có ; 01log = a và 1log = a a ba b a = log và ba b a = log cbcb aaa loglog).(log += cb c b aaa logloglog −= ; c c aa log) 1 (log −= bb aa log.log α α = ( với α tuỳ ý ) ; b n b a n a log 1 log = ; * Nn ∈ b x x a a b log log log = , tức là 1log.log = ab ba b a b a log 1 log α α = 3) Hàm số mũ : Liên tục trên TXĐ R , nhận mọi giá trị thuộc ( 0 ; + ∞ ) Giới hạn tại vô cực : << >∞+ = +∞→ 10:,0 1:, lim akhi akhi a x ; <<∞+ > = −∞→ 10:, 1:,0 lim akhi akhi a x x Đạo hàm : ( ) aaa xx ln / = ; ( ) xx ee = / Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 4 Lý thuyết –Lớp 12: Ôn Thi TNTHPT- Năm 2010 ( ) auaa uu ln / / = ; ( ) / / .uee uu = với u = u(x) Chiều biến thiên : Đồng biến trên R , nếu a > 1 , nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1 Đồ thị luôn cắt trục tung tại điểm ( o; 1) , nằm ở phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang 4) Hàm số logarit y = log a x : Liên tục trên tập xác định ( 0 ; + ∞ ) , nhận mọi giá trị thuộc R Giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực: <<∞− >∞+ = +∞→ 10:, 1:, loglim akhi akhi x a x ; <<∞+ >∞− = + → 10:, 1:, loglim 0 akhi akhi x a x Đạo hàm : ( ) ax x a ln 1 log / = ; ( ) x x 1 ln / = ; ( ) x x 1 ln / = ( ) au u u a ln log / / = ; ( ) u u u / / ln = ; ( ) u u u / / ln = Với u = u (x) Sự biến thiên: đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ) nếu a > 1 , nghịch biến trên ( 0; + ∞ ) nếu 0 < a < 1 Đồ thị luôn cắt trục hoành tại điểm ( 1; 0) , nằm ở bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng 5) Hàm số luỹ thừa α xy = Liên tục trên TXĐ của nó Đạo hàm : ( ) 1 / . − = αα α xx ; ( ) /1 / uuu − = αα α ( ) n n n xn x 1 / 1 − = ( x > 0) ; ( ) n n n un u u 1 / / − = Với u = u (x) Đồng biến trên ( o ; + ∞ ) khi α > 0 ; Nghịch biến trên ( 0; + ∞ ) khi α < 0 6) Phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit : )0(;log >=⇔= mmxma a x m a axmx =⇔= log mxma a x log <⇔< ( m > 0 và a > 1) ; mxma a x log >⇔< ( m > 0 và 0 < a < 1) ; m a axmx <<⇔< 0log ( a > 1) ; m a axmx >⇔< log ( 0 < a < 1) Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 5 Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2010 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I) Bảng nguyên hàm : Hàm sơ cấp Hàm hợp ( ) ( ) 1 ; 1 1 ln ; 0 dx x C x x dx C dx x C x x α α α α + = + = + ≠ − + = + ≠ ∫ ∫ ∫ ( ) 0 1 ln cos sin sin cos x x x x e dx e C a a dx C a a xdx x C xdx x C = + = + < ≠ = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 tan cos 1 cot sin dx x C x dx x C x = + = − + ∫ ∫ ( ) ( ) 1 ; 1 1 ln ; 0 du u C u u du C du u C x u α α α α + = + = + ≠ − + = + ≠ ∫ ∫ ∫ ( ) 0 1 ln cos sin sin cos u u u u e du e C a a du C a a udu u C udu u C = + = + < ≠ = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 tan cos 1 cot sin du u C u du u C u = + = − + ∫ ∫ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN V ấn đề 1 : Diện tích hình phẳng: (H) : ( ) : ( ) ( ') : ( ) ; ( ) C y f x C y g x x a x b a b = = = = < Khi đó : Diện tích hình (H) là : ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ Vấn đề 2: Cơng thức thể tích khối tròn xoay : Xoay quanh Ox : ( ) <== = = )(; 0 )(:)( : babxax y xfyC H Thể tích là : V = ( ) ∫ b a dxxf 2 )( π SỐ PHỨC • Số i : i 2 = -1 • Số phức dạng : z = a + bi Với : ( ) : , : a Phan thuc a b R b phan ao ∈ • Mơđun của số phức : 2 2 z a b= + • Số phức liên hợp của z = a + bi là z a bi= − Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 6 Lý thuyết –Lớp 12: Ôn Thi TNTHPT- Năm 2010 • a+ bi = c + di a c b d = ⇔ = • (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i • (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i • (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i • ( ) ( ) 2 2 a bi c di a bi c di c d + − + = + + • Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a± • Xét phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; , ,a b c R∈ ) Đặt 2 4b ac∆ = − o Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x = 2 b a − o Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : 1,2 2 b x a − ± ∆ = o Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : 1,2 2 b i x a − ± ∆ = PHẦN II: HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN • Thể tích khối chóp : V = . 3 1 Bh ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao) • Thể tích khối lăng trụ : V = Bh . ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao) • Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước a,b,c là : V = abc • Thể tích khối lập phương cạnh a là : V = a 3 Chú ý : * Trong các bài toán ta thường sử dụng kết quả :Cho khối chóp OABC,trên các đoạn thẳng OA,OB,OC lần lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ khác O.Khi đó : OC OC OB OB OA OA V V ABCO CBAO ' . ' . ' . '''. = . Công thức về hình nón: Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón,h là đường cao,r là bán kính đáy. a/ Diện tích xung quanh: S = rl xq π b/ Diện tích toàn phần : tp xq S = S + S đáy. c/ Thể tích khối nón: 1 2 V = r h 3 π Công thức về hình trụ: Gọi l là độ dài đường sinh của hình trụ,r là bán kính đáy. a/ Diện tích xung quanh: xq S = 2 rl π b/ Diện tích toàn phần : tp xq S = S + 2S đáy. c/ Thể tích khối trụ: 2 V = r h π ; (h = l) Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 7 Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2010 Cơng thức của hình cầu: a/ Diện tích mặt cầu: 2 4S r π = . b/ Thể tích khối cầu: 3 4 V = 3 r π . CHƯƠNG II : TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM Cho hai vectơ : ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; a a a a b b b b = = r r a) 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b = = = ⇔ = r r b) ( ) 1 1 2 2 3 3 ; ;a b a b a b a b± = ± ± ± r r c) Tích vô hướng của hai vectơ: 1 1 2 2 3 3 .a b a b a b a b= + + r r d) ( ) ( ) 1 2 3 ; ; ;ka ka ka ka k R= ∈ r d) 2 2 2 1 2 3 a a a a = + + r e) Góc giữa hai vectơ : Gọi ( ) ba;= ϕ .Khi đó : ba ba . . cos = ϕ f) . 0a b a b⊥ ⇔ = r r r r Cho hai điểm A(x A ;y A ; Z A ) ; B(x B ; y B ; Z B ) o ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y Z Z= − − − uuur o Độ dài : AB = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A AB x x y y Z Z= − + − + − uuur o I là trung điểm AB. Ta có: 2 2 2 2 2 2 A B I I A B A B I A B I I A B A B I x x x x x x y y y y y y z z z z z Z + = = + + = + ⇔ = = + + = o G là trọng tâm tam giác ABC <=> 3 3 3 A B C G A B C G A B c G x x x x y y y y z z z z + + = + + = + + = TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 8 Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2010 Cho hai vectơ : ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; ; ;a a a a va b b b b= = r r Tích có hướng của :a va b la r r 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 ; ; ; a a a a a a a b b b b b b b = ÷ r r MẶT CẦU Ph ương trình mặt cầu : Mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c),bán kính R dạng: * (x-a) 2 + (y – b) 2 + (z-c) 2 = R 2 (1) * x 2 + y 2 + z 2 +2ax + 2by + 2cz + d = 0 (2) Chú ý : • (2) là phương trình mặt cầu a 2 + b 2 + c 2 – d > 0 • (2) có tâm I(-a,-b,-c) ,bK: R = dcba −++ 222 > 0 KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ M 0 (x 0 ;y 0 ;Z 0 ) đến mp ( ) α : Ax + By + CZ + D = 0 là: d(M 0 ; ( ) α ) = 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D A B C + + + + + MẶT PHẲNG 1) Phương trình tổng quát của mp ( ) α có dạng : Ax + By + CZ + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 > 0) có : VTPT : ( ) ; ;n A B C= r 2) Qua M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có VTPT ( ) ; ;n A B C= r thì mp ( ) α có dạng :A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0 3) Qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c) thì mp (ABC) là : 1 x y z a b c + + = (Gọi là phương trình theo đoạn chắn) ( ; ; 0a b c ≠ ) 4) Qua M(x 0 ; y 0 ; Z 0 ) và có cặp VTCP ;a b r r thì VTPT là: ( ) ; ; ;n a b A B C = = r r r là : A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0 ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng ( ) 0 0 0 1 2 3 ( ; ; ) : ; ; Qua M x y z VTCP a a a a ∆ = r thì : PTTS của ∆ : ( ) 0 1 0 2 0 3 ; x x a t y y a t t R z z a t = + = + ∈ = + PTCT của ∆ : 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = .(a 1 ,a 2 ,a 3 0≠ ) Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 9 Lý thuyết –Lớp 12: Ôn Thi TNTHPT- Năm 2010 Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 10 . Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2010 PHẦN I: GIẢI TÍCH I) Bảng tóm tắc công thức đạo hàm : Hàm số sơ. Hàm số có n cực trò <=> y’ đổi dấu n lần Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 1 Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2010 • Hàm số có n cực trò <=> y’ đổi dấu n lần • Hàm số đạt cực. ( Số nghiệm pt = số giao điểm của (C) và (D)). Giáo viên: Nguyễn Văn Thân Trang 2 Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2010 V) Tiếp tuyến: Dang 1: Biết tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến với