Thầy Ngô Hữu Dân PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : ( ) 2 ax 0 0bx c a+ + = ≠ 1/Các dạng PT : - Dạng : 2 ax 0c+ = (a.c <0) PT có hai nghiệm phân biệt : 1 2 , c c x x a a − − = − = (a.c >0) PT vơ nghiệm - Dạng : 2 ax 0bx+ = PT ln có hai nghiệm phân biệt 1 2 (ax+b)=0 0, b x x x a − ⇔ ⇔ = = -Dạng : 2 ax 0bx c+ + = xét : 2 4b ac∆ = − * ∆ >0 : PT có hai nghiệm phân biệt 1 2 , 2 2 b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = * 0 ∆ = : PT có nghiệm kép 1 2 2 b x x a − = = * 0 ∆< : PT vơ nghiệm 2/ Cơng thức nghiệm thu gọn : PT ( ) 2 ax 0 0bx c a+ + = ≠ Khi ' 2b b= ' 2 b b⇒ = xét ' '2 b ac∆ = − * ' ∆ >0 PT có hai nghiệm phân biệt * ' 0∆ = PT có nghiệm kép * ' ∆ < 0 PT vơ nghiệm 3/ Phương trình bậc hai có tham số m : Tìm điều kiện của tham số để PT : 2 ax 0bx c+ + = Có : a) Hai nghiệm phân biệt 0 0 a ≠ ⇔ ∆ > Hoặc ' 0 0 a ≠ ∆ > b) Nghiệm kép 0 0 a ≠ ⇔ ∆ = Hoặc ' 0 0 a ≠ ∆ = c) Vô nghiệm 0 0 a ≠ ⇔ ∆ < Hoặc ' 0∆ < d) Có nghiệm * Xét a = 0 ⇒ PT có nghiệm hay không ? * Xét a 0 ≠ và 0 ∆ ≥ 3.1) Tìm giá trò hoặc chứng minh tham số m thoả mãn điều kiện của đề bài : BT1/ Chứng minh PT : 2 2 3 1 0x mx m− + − = có hai nghiệm phân biệt với mọi m BT 2/ Tìm giá trò của tham số m để PT sau có nghiệm kép 2 ( 7) 2( 9) 7 15 0m x m x m+ − − − + = BT 3/ Tìm giá trò của tham số m để PT sau vô nghiệm 2 ( 3) 2(3 1) 9 2 0m x m x m− − + + − = BT 4/ Cho PT 2 2 (2 3) 0x m x m− + + = a/Xác đònh m để PT có nghiệm kép b/Tính nghiệm kép đó 1 Thầy Ngô Hữu Dân BT 5/ Cho PT : 2 ( 3) 3 4 0x m x m− + + + = a/Xác đònh m để PT có nghiệm kép b/Tính nghiệm kép đó BT 6/ Tìm các giá trò của m để các PT sau có nghiệm : a) 2 ( 1) 2 1 0m x x m+ − + − = b) 2 2 ( ) 2 1 0m m x mx− + + = 3.2)Giải và biện luận ( về số nghiệm của PT bậc hai ) BT :1/ Giải và biện luận PT : 2 2 2( 2) 4 0x m x m− − + − = 2/ Giải và biện luận PT : 2 ( 4) 2 2 0m x mx m− − + − = 3/Giải PT : a) 2 2 2 x m x x x m + + = + b) 3 1 4 2x m m x m + = + + 4/Tìm các giá trò của m để hai PT sau có ít nhất một nghiệm chung : 2 2 8 0 0 x mx x x m + + = + + = 3.3) Chứng minh ít nhất một trong những PT bậc 2 đã cho có nghiệm: 2 2 0(1) 0(2) ax bx c mx nx p + + = + + = Chứng minh 1 2 0∆ + ∆ ≥ BT : 1/ Chứng minh rằng ít nhất một trong các PT sau có nghiệm : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 0 2 0 3 ax bx c bx cx a cx ax b + + = + + = + + = 2/ Cho hai PT : 2 1 1 2 2 2 0 (1) 0(2) x p x q x p x q + + = + + = Chứng minh rằng nếu ( ) 1 2 1 2 2p p q q≥ + thì ít nhất một trong hai PT đã cho có nghiệm 4/ Hệ thức Vi et : PT : ( ) 2 ax 0 0bx c a+ + = ≠ Có nghiệm 1 2 ,x x 0 ⇔ ∆ ≥ hoặc ' 0∆ ≥ 1 2 1 2 ; b c S x x P x x a a − ⇒ = + = = = Không giải PT - T ính : * ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x 2x x x x x+ = + − * ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 4x x x x x x− = + − * ( ) 2 1 2 1 2 1 2 4x x x x x x− = + − * ( ) ( ) 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3x x x x x x x x + = + + − BT :Không giải PT tính giá trò của biểu thức nghiệm PT bậc hai Phương Pháp : * Xét 0 ∆ ≥ hoặc ' 0∆ ≥ ⇒ PT có hai nghiệm x 1 , x 2 2 Thầy Ngô Hữu Dân *Tìm tổng S và tích P rôì thay vaò biểu thức 1/ Cho PT 2 6 8 0x x− + = :Không giải PT , hãy tính : 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ) ) )a x x b c x x x x + + − d) 3 3 1 2 x x+ 2/ Cho PT bậc hai : a) 2 6( 1) 9( 3) 0mx m x m− − + − = . Tìm giá trò của tham số m để hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn : 1 2 1 2 x x x x+ = b) 2 2 (2 1) 2 0x m x m− + + + = Tìm giá trò của tham số m để hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn : 1 2 1 2 3 5( ) 7 0x x x x− + + = c) 2 ( 1) 5 6 0x m x m+ − + − = Tìm giá trò của tham số m để hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn : 1 2 4 3 1x x+ = d) 2 2( 1) 2 4 0x m x m− − + − = 1) Chứng minh PT có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trò của tham số m để hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 2 2 1 2 y x x= + đạt giá trò nhỏ nhất e) 2 2( 1) 3 0mx m x m− + + + = ; 1) Tìm giá trò của m để PT có nghiệm 2) Tìm giá trò của m để tổng các nghiệm củaPT bằng 6 , khi đó hãy tính nghiệm 3) PT có nghiệm 1 2 ,x x . Hãy tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với m 5/ Ứng dụng Hệ thức Vi et : 5.1 - N ếu a+b+c = 0 th ì PT ( ) 2 ax 0 0bx c a+ + = ≠ có hai nghiệm 1 2 x 1 , c x a = = - Nếu a-b+c = 0 th ì PT ( ) 2 ax 0 0bx c a+ + = ≠ có hai nghi ệm 1 2 x 1 , c x a − = − = BT:1/ Tìm m để PT sau có một nghiệm bằng 1 , tìm nghiệm còn lại : 2 2 2 2 6 0x mx m m− + − − = 2/ Tìm m để PT sau có một nghiệm bằng -1 , tìm nghiệm còn lại : 2 2( 1) 2 10 0x m x m− + + + = 3/Xác đònh m và tìm nghiệm còn lại, biết rằng : 2 ( 1) 2 5 0m x mx m+ − + − = có một nghiệm bằng 2 5.2 - Tìm hai số u và v , biết tổng của chúng S = u+v và tích của chúng bằng P= uv Thì u , v là hai nghiệm của PT : 2 0x Sx P− + = BT : 1/Tìm hai số m , n trong mỗi trường hợp sau : a) m+n = 29 và mn = 198 b) m – n = -2 và mn = 80 c) 2 2 13m n+ = và mn = 6 2/ Lập PT bậc hai biết các nghiệm : a) 1 2 3; 2x x= = b) 1 2 1 ; 3 4 x x= = 3/Cho PT bậc 2 : 2 2 2 0x x m− − = có các nghiệm 1 2 ,x x . Lập PT bâc 2 có các nghiệm 1 2 ,y y sao cho: 1 1 2 2 3 , 3y x y x= − = − 5.3 Xét dấu hai nghiệm 1 2 ,x x của PT bậc hai ( ) 2 ax 0 0bx c a+ + = ≠ a) Hai nghiệm trái dấu : 1 2 .x x < 0 ⇔ a c < 0 3 Thầy Ngô Hữu Dân b) Hai nghiệm cùng dấu : 1 2 .x x > 0 0 0 a c ∆ ≥ ⇔ > c) Hai nghiệm cùng dương : ⇔ 0 / 0 / 0 b a c a ∆ ≥ − > > d) Hai nghiệm cùng âm 0 / 0 / 0 b a c a ∆ ≥ ⇔ − < > BT :1/Cho PT : 2 2 (2 3) 2 2 0x m x m m− − + − + = Đònh m để PT có hai nghiệm phân biệt đều âm 2/Cho PT : 2 ( 2) 2 0x m x m− − − = a) Chứng minh rằng PT luôn có nghiệm 1 2 ,x x với mọi m b) Tìm m để PT có hai nghiệm cùng dương c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 1 2 ,x x độc lập đối với m 3/Cho PT : 2 3 10 0x x m− + = .Tìm m sao cho PT : a) Có 2 nghiệm dương b) Có 2 nghiệm trái dấu c) Có một nghiệm bằng 0 . Tính nghiệm còn lại d) Vô nghiệm 6/Phương trình thu về PT bậc hai : 6.1 Dạng : 2 0 n n ax bx c+ + = (1) Cách giải đặt n X x= (chú ý điều kiện nếu có) (1) 2 0aX bX c⇔ + + = (2) Trường hợp n chẵn Pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ pt(1) có 4 nghiệm phân biệt Pt (2) có 1nghiệm =0 và 1nghiệm dương ⇔ pt(1) có 3 nghiệm phân biệt Pt (2) có nghiệm kép nghiệm dương hoặc 2nghiệm trái dấu ⇔ pt(1) có 2nghiệm phân biệt Pt (2) có 2nghiệm âm hoặc vô nghiệm ⇔ pt(1) vô nghiệm BT Giải các PT sau : a) 4 2 8 9 0x x− − = b) 4 2 36 13 1 0t t− + = 6.2 Dạng 0ax b x c+ + = (2) đặt X x= (X ≥ 0) (2) 2 0aX bX c⇔ + + = BT Giải các PT sau : a) 7 2 4 x x− + = b) 4 19 4x x− − = 6.3 Dạng 2 2 ( )( )ax bx c ax bx p m+ + + + = Đặt 2 X ax bx= + đưa về PT bậc hai BT Giải các PT sau : a) 2 2 ( 5 4)( 5 6) 24x x x x+ + + + = b) ( 3)( 2)( 3)( 4) 7x x x x− − + + = 6.4 Dạng PT chứa ẩn ở mẫu BT Giải các PT sau : 1/ 2 1 1 2 1 1 x x x x x x − − − = + + 2/ 2 2 2 2 1 1 1 x x x x x x − = − + − 4 . giải PT - T ính : * ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x 2x x x x x+ = + − * ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 4x x x x x x− = + − * ( ) 2 1 2 1 2 1 2 4x x x x x x− = + − * ( ) ( ) 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3x x. 1 2 2 b x x a − = = * 0 ∆< : PT vơ nghiệm 2/ Cơng thức nghiệm thu gọn : PT ( ) 2 ax 0 0bx c a+ + = ≠ Khi ' 2b b= ' 2 b b⇒ = xét ' &apos ;2 b ac∆ = − * ' ∆ >0. rằng ít nhất một trong các PT sau có nghiệm : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 0 2 0 3 ax bx c bx cx a cx ax b + + = + + = + + = 2/ Cho hai PT : 2 1 1 2 2 2 0 (1) 0 (2) x p x q x p x q + + = + +