Tích phân đường, tích phân mặt pot

Chơng Tích phân đờng, tích phân mặt 3.1 tích phân đờng loại Định nghĩa Giả sử L cung phẳng AB có độ dài hàm số f(M) = f(x,y) xác định AB Chia cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lên ®iÓm chia: A = A , A1 , A2 , , An = B Gọi độ dài cung Ai-1Ai (i= 1, n )là S i , cung Ai-1Ai chän ®iĨm Mi( ξ i ,η i ) t ý LËp tæng : In= n ∑ f (ξ ,η )∆S i =1 i i i H×nh NÕu cho n → ∞ cho λ = max ∆S i mà In dần tới giới hạn I xác định không phụ thuộc vào cách chia cung AB cách chọn điểm Mi giới hạn gọi tích phân đờng loại hàm f(x,y) = f(M) lÊy theo cung AB, ký hiÖu: ∫ f ( x, y)ds = ∫ f ( x, y)ds L AB Nh vËy ∫ AB f ( x, y ) ds = lim λ →0 n ∑ f (ξ ,η )∆S i i =1 Nếu L đờng cong kín ký hiÖu : 92 i i ∫ f ( x, y)ds L Khi tích phân tồn ta nói hàm f(x,y) khả tích L Ngời ta chứng minh đợc cung AB trơn (tức đờng cong L liên tục có tiếp tuyến biến thiên liên tục ) hàm f(x,y) liên tục AB tích phân f ( x, y )ds tồn AB Trong tích phân đờng loại ta không để ý đến chiều lấy tích phân cung AB Tích phân đờng loại có tính chất nh tích phân xác định ý nghĩa häc Ta thÊy mét cung vËt chÊt AB cã khèi lợng riêng điểm M(x,y) f(M) = ( x, y ) khối lợng cung AB ( x, y)ds AB Khi trọng tâm G(x,y) cung Ab đợc cho công thøc: xG = m ∫ xρ ( x, y)ds , yG = AB yρ ( x, y )ds m AB ∫ Trong ®ã: m= ∫ ρ ( x, y )ds khối lợng cung AB AB Tính tích phân đờng loại Việc tính tích phân đờng loại đợc đa tính tích phân xác định (i) Nếu cung AB đợc cho phơng trình y=y(x), víi a≤x≤b th×: ds= + y ' ( x) dx nªn ta cã: ∫ AB b f ( x, y )ds = f ( x, y ( x)) + y ' ( x) dx ∫ (1) a (ii) Nếu cung AB cho phơng trình x=x(y), víi c≤y≤d th×: ds= + x ' ( y ) dy nªn ta cã: 93 d ∫ f ( x, y)ds = ∫ f ( x( y), y) AB + x' ( y ) dy (2) c Chú ý: Nếu f(x,y) độ dµi cung AB lµ: S= ∫ ds AB VÝ dơ 3.1: 2 I= ∫ (a − x )ds , AB cung: a Tính AB y=a ln Ta cã: b a2 (0 ≤ x ≤ b < a ) a2 − x2 I= ∫ (a − x ) + 4a x dx (a − x ) b = ∫ (a + x )dx = a b + b3 b Tính độ dài cung AB cho phơng trình x=y2 với A(2,4), B(2,-4) (Hình 2) Hình Đặt u=2y tích phân hàm chẵn miền đối xứng ta đợc: s= + x' dy = −2 ∫ −2 + y dy = ∫ + u du 1 u  =  + u + ln u + + u  = 17 + ln(4 + 17 ) 2 2 0 94 (iii) NÕu cung AB cho phơng trình tham số x = x (t ) t ∈ [α , β ] y = y (t ) Khi công thức vi phân cung là: ds= x' (t ) + y ' (t ) dt Nªn: ∫ AB β f ( x, y )ds = f ( x(t ), y (t )) x' + y ' dt ∫ (3) α VÝ dô 3.2: TÝnh I= ∫ ( x + y)ds , víi AB lµ cung Axtroit AB 3 x + y = a nằm góc phần t thứ (Hình 3) Hình Tham số hoá ta đợc x = a cos t π víi t ∈ [0, ]   y = a sin t Ta cã x' (t ) = −3a cos t sin t , y ' (t ) = sin t cos t Suy xt ' + y t ' = 9a cos t sin t + 9a sin t cos t =| 3a sin t cos t |= VËy: 3a sin t cos t 95 π (v× t ∈ [0, ] ) I= π 3a ( a cos t + a sin t ) sin t cos tdt ∫ π 5 2 = 3a − cos t + sin t  = 3a    5 0 (iii) NÕu cung AB cho bëi ph¬ng trình toạ độ cực: r = r ( ), ϕ ∈ [α , β ] Dïng phÐp chun to¹ ®é:  x = r (ϕ ) cos ϕ   y = r (ϕ ) sin ϕ C«ng thøc vi phân cung là: ds= r + r ' dϕ Nªn: β ∫ f ( x, y)ds = ∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ) AB y ∫ x ds , víi AB cung đờng Cácđiôit AB r = a(1 + cos ϕ ) ( ϕ ∈ 0,  )  Ta cã: (4) α VÝ dô 3.3: TÝnh I= (H×nh 4): r + r ' dϕ H×nh 96 3 I= π r sin ϕ ∫ r cos ϕ r + r ' dϕ ϕ ϕ cos 2 a (1 + cos ϕ ) + a sin ϕ dϕ =∫ ϕ cos −1 π ϕ ϕ cos sin 2 + cos ϕ dϕ = 2a ∫ ϕ cos −1 π sin   −1   = −4a ∫ 1 + du = 2a (2 − ) + ln  2u −  − Tích phân đờng loại kh«ng gian Trong kh«ng gian nÕu cung AB cã phơng trình: x = x(t ) y = y (t )  z = z (t ) t [ , ] tích phân đờng loại hàm f(x,y,z) xác định AB đợc tÝnh theo c«ng thøc: β I= ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t )) x' + y ' + z ' dt α (5) Nếu khối lợng riêng cung AB điểm M(x,y,z) (M ) toạ độ trọng tâm G cung AB cho công thức : 1 xG = ∫ xρ (M )ds, yG = m AB yρ (M )ds , zG = m ABzρ (M )ds ∫ ∫ m AB víi m = (M )ds khối lợng cung AB AB Ví dụ 3.4: Tính độ dàì đờng xoắn èc (H×nh 5): 97  x = a cos ωt   y = a sin ωt  z = kt  ≤ t ≤ 2π H×nh Ta cã: 2π S= ∫ x' + y ' + z ' dt = = 2π ∫ a 2ω sin ωt + a 2ω cos ωt + k dt 2π = ∫ a 2ω + k dt = 2π a 2ω + k 3.2 TÝch ph©n đờng loại hai Định nghĩa a Bài toán tính công lực biến đổi Một chất điểm M di chuyển theo cung phẳng L, trơn khúc, từ A đến B dới tác dụng lùc F = F (M ) biÕn thiªn liªn tơc däc theo cung AB H·y tÝnh c«ng W cđa lùc Giả sử véc tơ F có thành phần P(M)=P(x,y) Q(M)=Q(x,y) Chia cung AB thành n cung nhỏ điểm chia: A=A0,A1,A2, An=B 98 Nếu cung Ai-1Ai đủ nhỏ xem lực F không đổi cung F ( M i ) víi M i (ξ i , η i ) điểm tuỳ ý cung Ai-1Ai Xem cung Ai-1Ai xÊp xØ nh d©y cung Ai-1Ai, gäi ∆xi , y i thành phần véc tơ Ai Ai , công Wi lực F làm di chuyển chất điểm di chuyển từ Ai-1 đến Ai L sinh xấp xỉ là: ∆Wi ≈ F ( M i ) Ai −1 Ai = P (ξ i ,η i ) ∆xi + Q (ξ i , η i )∆y i → NÕu c¸c cung Ai-1Ai (i= 1, n ) nhỏ công W lực F toàn cung AB xấp xØ lµ: n W= ∑ P (ξ i ,η i )∆xi + Q(ξ i ,η i )∆y i i =1 Chun qua giíi h¹n n → ∞ , cho max ∆xi → , max ∆y i → ta đợc giá trị công W b Định nghĩa tích phân đờng loại hai Cho hai hàm P(x,y) Q(x,y) xác định cung AB Chia tuỳ ý cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lên điểm chia: A=A0,A1,A2, An=B Gọi hình chiếu véc tơ Ai Ai trục toạ độ tơng ứng xi , y i ; vµ M i (ξ i , η i ) lµ điểm tuỳ ý cung Ai-1Ai Nếu n → ∞ , cho max ∆xi → , max ∆y i → mµ n In= ∑ P (ξ i ,η i )∆xi + Q(ξ i ,η i )y i i =1 dần tới giới hạn xác định I không phụ thuộc cách chia cung AB cách chọn điêm Mi cung Ai-1Ai giới hạn đợc gọi tích phân đờng loại hai hai hàm P(x,y) Q(x,y) cung AB đợc ký hiệu là: I= P ( x, y )dx + Q( x, y )dy AB Ngêi ta chøng minh đợc cung AB trơn hàm P(x,y) Q(x,y) liên tục AB tích phân đờng loại hai tồn Chú ý: 99 Vì hình chiếu xi , y i có dấu phụ thuộc chiều véc tơ Ai Ai nên tích phân đờng loại hai phụ thuộc chiều lấy tích ph©n cđa cung AB ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy AB BA Nếu đờng lấy tích phân đờng cong kín L, ta quy ớc chiều dơng L chiều cho ngời däc theo L, theo chiỊu ®ã sÏ thÊy miỊn giíi hạn L bên trái Ta thờng ký hiệu tích phân đờng dọc theo đờng cong kín L theo chiều dơng là: P( x, y)dx + Q( x, y)dy L+ Tích phân đờng loại hai có tính chất nh tích phân xác định Tính tích phân đờng loại hai Giả sử AB cung trơn, hàm P(x,y) Q(x,y) liên tục AB tích phân đờng loại hai đợc đa tích phân xác định (i) Nếu cung AB cho phơng trình y=y(x), axb ta có: b I= P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ [ P ( x, y ) + Q( x, y ) y ' ( x)] dx AB (6) a Nếu cung AB cho phơng trình x=x(y), cyd th× ta cã: d I= ∫ P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ [ P( x, y ) x ' ( y ) + Q( x, y )] dy (7) AB c VÝ dô 3.5: TÝnh I= ∫ ( x + y )dx + 2xydy L a L cung từ A(1,1) đến B(1,-1) theo đờng x=y2 (Hình 6a) b L đờng gÊp khóc OPA víi A(2,2), P(2,0) (H×nh 6b) 100 H×nh 6a Hình 6b Giải: a Coi x hàm ta cã: dx=2ydy nªn: −1 −1 I= ∫ [( y + y )2 y + y ]dy = ∫ y dy = b ∫ (x + y I= OP )dx + xydy + ∫ ( x + y )dx + xydy PA Trªn OP: y=0 nªn dy=0, ta cã: 2 ∫ ( x + y )dx + xydy = ∫ xdx = Trªn PA: OP −1 y =0 x2 =2 x = nªn dx = 0, ta cã: 2 ∫ ( x + y )dx + xydy = ∫ ydy = y PA VËy I= ∫ (x + y 2 =8 )dx + xydy = + = 10 OPA (ii) Nếu cung AB cho phơng trình tham sè  x = x (t ) t ∈ [α , β ]   y = y (t ) Khi ®ã: I= ∫ P ( x, y )dx + Q( x, y )dy AB β = ∫ [ P ( x(t ), y (t )) x' (t ) + Q( x(t ), y (t )) y ' (t )] dt (8) α VÝ dô 3.6: TÝnh I= ∫ xdy ydx , với L đờng Elip (Hình 7): L+ x2 y2 + =1 a2 b2 101 → Ta thÊy F lµ trêng thÕ vµ chØ biểu thức Pdx+Qdy+Rdz vi phân toàn phần hàm u(x,y,z) đó, hay: P Q Q R R ∂P = = , , = ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z → hay rot F = TÝch phân mặt loại hai a Định nghĩa → Gi¶ sư F = P ( x, y, z ) i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z ) k trờng véc tơ , S mặt định hớng S với véc tơ pháp tuyến n nằm Nếu véc tơ F không đổi, S miền phẳng có định hớng có diện tích S Khi thông lợng trờng véc tơ qua mặt S : φ = S F cos(n, F ) NÕu trêng vÐc tơ F trờng vận tốc chất lỏng chảy qua mặt S thông lợng biểu thị luợng chất lỏng chảy qua mặt S đơn vị thời gian Giả sử S mặt có định hớng với véc tơ pháp tuyến tơng ứng n Chia mặt S thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên diện tích mảnh tơng ứng là: S1, S2, , Sn Nếu mảnh S i (i = 1, n ) có đờng kính nhá cã thĨ xem → → vÐc t¬ F (M ) không đổi mảnh F ( M ) , với i Mi(i,i,i) điểm mảnh Si coi mảnh Si xấp xỉ nh mặt phẳng ứng với phía đà chọn mặt (Hình 21) 120 Hình 21 Xấp xỉ thông lơng thông qua mảnh Si là: → → → ∆Φ i ≈ ∆S i F ( M i ) cos( n ( M i ), F ( M i )) = ∆S i ch→ n (Mi ) → F (M i ) = [ P ( M i ) cos α i + Q( M i ) cos β i + R ( M i ) cos i ].S i thông lơng qua mỈt S xÊp xØ b»ng: n Φ ≈ ∑ [ P ( M i ) cos α i + Q( M i ) cos β i + R( M i ) cos γ i ].∆S i i =1 NÕu cho n → ∞ cho maxdi→0, ®ã di đờng kính Si mà tổng vế phải dần tới giới hạn xác định I không phụ thuộc cách chia miền S cách chọn điểm M i Si I đợc gọi thông lợng F (M ) thông qua mặt S theo híng → Ta cịng n gäi giíi hạn tích phân mặt loại hai ba hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) S ký hiệu: = ∫∫ [ P ( x, y, z ) cos α + Q( x, y, z ) cos β + R ( x, y, z ) cos γ ] dS (21) S Gọi hình chiếu Si lên mặt Oxy, Oyz , Ozx tơng ứng ( i ) xy , (∆σ i ) yz , ( ∆σ i ) zx ®ã ta cã: (∆σ i ) xy = ∆S i cos γ i , (∆σ i ) yz = ∆S i cos α i , (∆σ i ) zx = ∆S i cos β i Khi tích phân mặt loại hai viết: = ∫∫ P ( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dzdx + R ( x, y, z )dxdy (22) S Chó ý: Ngêi ta chøng minh đợc mặt S có định hớng có véc tơ pháp biến thiên liên tục hàm P,Q, R liên tục mặt S, tích phân mặt loại hai tồn Nếu đổi hớng mặt S, tích phân mặt loại hai đổi dấu C«ng thøc (22) cã thĨ viÕt: 121 → φ = ∫∫ F n ds = ∫∫ ch→ F ds S S n (23) Nh thông lợng phụ thuộc F mà phụ thuộc góc F n Tích phân mặt loại hai có tính chất tơng tự nh tích phân hai lớp b Tính tích phân mặt loại hai Để tính tích phân mặt loại hai ta đa tính tích phân hai lớp Trong đó: Nếu mặt S có phơng trình z=z(x,y) có chiếu mặt phẳng Oxy D véc tơ pháp làm với trục Oz gãc nhän, ta cã n c«ng thøc: (24) ∫∫ R( x, y, z )dxdy = ∫∫ f ( x, y, z( x, y))dxdy S D véc tơ pháp n làm với trục Oz góc tù ta cã: ∫∫ R( x, y, z)dxdy = − ∫∫ f ( x, y, z ( x, y))dxdy S (25) D Tơng tự, S có phơng trình x=x(y,z) có chiếu mặt phẳng Oyz D véc tơ pháp làm với trục Ox góc nhọn thì: n ∫∫ P( x, y, z)dydz = ∫∫ P( x( y, z ), y, z )dydz D (26) D NÕu S có phơng trình y=y(x,z) có chiếu Oxz D véc tơ pháp làm với trục Oy mét gãc nhän th×: n ∫∫ Q( x, y, z)dxdz = ∫∫ Q( y( x, z), x, z )dxdz D D (27) Nh tích phân mặt loại hai phải chuyển tính ba tích phân kép tơng øng VÝ dô 3.16: TÝnh ∫∫ zdxdy S 122 x + y = z S phần mặt Paraboloit lấy theo véc tơ pháp hớng n z = phía mặt Theo ví dơ 3.15 → lËp víi trơc Oz mét gãc tï, hình chiếu D n S Oxy mặt tròn x2+y21 nên: I= ( x 2 x + y ≤1 VÝ dô 3.17: TÝnh 0 + y )dxdy = − ∫ dϕ ∫ r dr = − J= π ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy S S lµ mặt mặt cầu x2+y2+z2=R2 (Hình 23) Hình 23 Vì phơng trình mặt cầu biểu thức dới dấu tích phân không đổi ta hoán vị vòng quanh biến x,y,z nên : xdydz = ydxdz = ∫∫ zdxdy S S S hay J = zdxdy S Chia S thành hai phần : S1 nửa mặt cầu trên: z = R2 x2 y2 S2 nửa mặt cầu díi: z = - R2 − x2 − y2 Do pháp tuyến nửa mặt làm với truc Oz góc nhọn pháp tuyến nửa mặt dới làm với Oz gãc tï nªn: 123 J = 6∫∫ R − x − y dxdy { D D = ( x, y ) x + y ≤ R Chuyển sang toạ độ cực ta đợc : 2π R } J = ∫ dϕ ∫ R − r rdr = 4πR c Công thức liên hệ tích phân mặt loại loại hai Theo công thức (21) ta có: ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = S ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos )dS (28) S Đó công thức chuyển từ tích phân mặt loại kai tích phân mặt loại mét VÝ dô 3.18: TÝnh ∫∫ ( y − z )dydz + ( z − x)dzdx + ( x − y )dxdy S S mặt nón x2+y2=z2; ≤ z ≤ h ( h = const, H×nh 24) H×nh 24 Theo vÝ dơ 15 z>0, vÐc to pháp tuyến mặt nón là: y   x n = , ,−  2  2z 2z lµm víi Oz gãc tï, ta cã : x y   I= ∫∫ ( y − z) z + ( z − x) z − ( x − y) dS S   124 = ∫∫ ( y − x) dS = S miền lấy tích phân mặt S đối xứng với mặt x = , y = hàm dới dấu tích phân lẻ x y d Công thức Stokes Giả sử S mặt định hớng với véc tơ pháp n , trơn mảnh , biên đờng cong kín L trơn khúc , hàm P(x,y,z) Q (x.y,z) R(x,y, z) liên tục đồng thời với đạo hàm riêng cấp chúng mặt S th× :  ∂R ∂Q   ∂Q ∂P   ∂P ∂R  ∫∫  ∂y − ∂z dydz +  ∂z − ∂x dxdz +  ∂x − ∂y dxdy          S  = ∫ Pdx + Qdy + Rdz (29) L+ Chiều lấy tích phân L đợc chọn cho ngời dọc theo L, đầu hớng theo n , theo chiỊu Êy thÊy mỈt S ë bên trái, gọi chiều dơng L Công thức Stokes kết mở rộng công thức Green sang không gian R3 mà ta công nhận không chứng minh Chú ý: Ta phát biểu công thøc Stokes nh sau: hoµn lu cđa → trêng vÐc tơ F dọc theo đờng cong kín L thông lợng rot F qua mặt định hớng S có biên L Ví dụ 3.19: TÝnh J = ∫ ydx + zdy + xdz L+ L giao tuyến hai mặt: x + y + z =  2 2 x + y + z = a Chiều L ngợc chiều kim đồng hồ nhìn theo hớng trục Oz (Hình 25) 125 Hình 25 Giải: Phơng trình x+y+z = phơng trình mặt phẳng qua gốc toạ độ O, nên L vòng tròn lớn mặt cầu áp dụng công thức Stokes cho mặt S phần mặt phẳng x+y+z = giới hạn mặt cầu x2+y2+z2 = a2 Do: ' ' ' P 'y = Q z' = R x = 1; Pz' = Q x = R y = Nªn J = - ∫∫ dydz + dxdz + dxdy S Ph¸p tuyến mặt tròn S pháp tuyến mặt phẳng x+y+z=0 1 nên n ( , , Chuyển sang tích phân mặt lo¹i mét ta cã:    3 3 J=- ∫∫ dS = −π 3a S 2 VÝ dô 3.20: TÝnh I= ∫ y dx + z dy + x dz L+ Trong ®ã L đờng: x + y + z = 2 x + y = z ChiỊu trªn L chiều ngợc chiều kim đồng hồ nhìn theo hớng Oz (Hình 26) 126 Hình 26 Giải: Trên hình ta thấy L đờng elip áp dụng công thức Stokes cho mặt S phần mặt phẳng x+y+z = giới hạn mặt paraboloit x2+y2=z Do: Py=2y, Q’z=2z, R’x=2x P’z=Q’x=R’y=0 Nªn J = − ∫∫ zdydz + xdxdz + ydxdy S Pháp tuyến mặt S pháp tuyến mặt phẳng x+y+z=1 nên n 1   , ,  ChuyÓn sang tích phân mặt loại ta có:  3 3 J= − ∫∫ ( z + y + x)dS S Từ phơng trình L ta có hình chiếu S Oxy là: x2+y2=1-x-y⇔x2+x+y2+y=1 2 1  1  x+  +y +  = 2  2  V× z=1-x-y nªn + z ' + z ' = VËy: x y hay: ∫∫ (1 − x − y + y + x) 3dxdy = − 2∫∫ dxdy = −3π D D Chó ý: Tõ c«ng thøc Stockes, ta cã thĨ suy định lý bốn mệnh đề tơng đơng cho trờng hợp tích phân đờng loại hai không gian P Q ∂Q ∂R ∂R ∂P = , = , = (i) (x.y.z)∈Ω ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z J= − (ii) ∫ Pdx + Qdy + Rdz = , L đờng cong kín nằm L (iii) Pdx + Qdy + Rdz không phụ thuộc đờng cong nèi A,B AB 127 (vi) BiĨu thøc Pdx+Qdy+Rdz lµ vi phân toàn phần hàm ba biến u(x,y,z) Khi hàm u(x,y,z) tính theo công thức : y x u(x,y,z) = ∫ P ( x, y x0 z y0 z0 , z )dx + ∫ Q( x, y , z ) dy + ∫ R ( x, y , z )dz + C e Công thức Ostrogradski Giả sử V phần không gian giới nội đóng R có biên mặt kín, trơn mảnh S Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục đồng thời với đạo hàm riêng cÊp mét cđa chóng miỊn V Khi ®ã  ∂P ∂Q ∂R  ∫∫∫  ∂x + ∂y + ∂z dxdydz = ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy (30)    V  S tÝch ph©n lÊy theo mặt S Công thức (30) đợc gọi công thức Ostrogradski Hình 27 Chứng minh: Giả sử mặt S trơn mảnh đờng song song với trục Oz cắt không hai điểm (hình 13) Ta xÐt tÝch ph©n ba líp z2 ( x , y ) ∂R ∂R dz I3 = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫ dxdy ∫ ∂z ∂z V D z1 ( x , y ) = ∫∫ { R( x, y, z ( x, y )) − R ( x, y, z1 ( x, y ))} dxdy D = ∫∫ R( x, y, z)dxdy + ∫∫ R( x, y, z)dxdy S2 S1 = ∫∫ R ( x, y, z )dxdy S (Theo công thức tính tích phân mặt loại hai) T¬ng tù ta cã: 128 I1 = ∂P ∫∫∫ ∂x dxdydz = ∫∫ Pdydz V S ∂Q dxdydz = ∫∫ Qdxdz I2 = ∫∫∫ ∂y V S LÊy tæng I1+I2+I3, ta có công thức Ostrogradski Hệ quả: Thể tích V vật thể giới hạn mặt cong kín S cho bëi c«ng thøc: V = ∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy (31) S áp dụng công thức Ostrogradski, với: P = x, Q =y, R = z Chó ý: C«ng thøc Ostrogradski phát biểu: Thông lợng trờng véc tơ F (M ) qua mặt kín S hớng tích phân bội ba div F miỊn V giíi h¹n bëi S NÕu div F (M ) =0 với M thông lợng F (M ) qua mặt S không, ta nói trờng véc tơ F (M ) có thông lợng bảo toàn 2 VÝ dô 3.21: TÝnh I= ∫∫ y zdxdy + xzdydz + x ydzdx S S lµ phÝa ngoµi cđa vËt thể giới hạn mặt: z = x + y , x + y = 1, x = 0, y = 0, z = Hình 28 129 Do P=xz, Q=x2y, R=y2z nên Px=z, Qy=x2, Rz=y2 áp dụng Ostrogradski ta đợc: 2 I= ( z + x + y )dxdydz V ChuyÓn sang toạ độ trụ ta đợc: r2 I= d rdr ( z + r )dz = π ∫ ∫ ∫ 0 2 VÝ dô 3.22: TÝnh I= ∫∫ xz dydz + x ydxdz + y zdxdy S Trong S phần mặt nón x2+y2=z2, 0z1 (Hình 29) Hình 29 Bổ sung thêm mặt z=1 ta đợc mặt kín Do: P=xz2, Q=x2y, R=y2z nªn P’x=z2, Q’y=x2, R’z=y2 Nªn: I= 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz − ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy V S1 ChuyÓn sang toạ độ trụ ta có: 2 I1= ( x + y + z )dxdydz V 2π 1 0 r = ∫ dϕ ∫ rdr ∫ (r + z )dz = 3π 10 → Do mặt z=1 có véc tơ pháp n = (0,0,1) nªn: 130 I2= ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = ∫∫ y zdS S1 S1 2π 0 = ∫∫ y dxdy = ∫ sin ϕdϕ ∫ r dr = D π 3π π π − = 10 20 To¸n tư Hamilton Ngời ta gọi toán tử hamilton véc tơ tợng trng: → → ∂ → ∂ → ∂ ∇= i + j +k (32) ∂x ∂y ∂z ¸p dơng mét cách hình thức quy tắc tính toán nh véc tơ ta có cách viết đơn giản NÕu u=u(x,y,z) lµ hµm ba biÕn ta cã: → → ∂ → ∂ → ∂  ∇u =  i  ∂x + j ∂y + k ∂z u    → ∂u → ∂u → ∂u =i + j +k = grad u (33) ∂x ∂y ∂z VËy I=I1-I2= → → → → NÕu F = i P + j Q + k R ta cã: → → → →  → ∂ → ∂ → ∂  →  ∇.F =  i + j + k  i P + j Q + k R   ∂x  ∂y ∂z    → ∂P ∂Q ∂R = + + = div F (34) ∂x ∂y ∂z → i → → ∂ ∇^ F = ∂x P → j ∂ ∂y Q → k → ∂ = rot F ∂z R Ta gäi: 131 (35) ∂2 ∂2 ∂2 (36) + + =∆ ∂x y z toán tử Laplace Khi hàm u(x,y,z) thoả mÃn phơng trình: 2u 2u 2u (37) ∆u = + + = x y z đợc gọi hàm điều hoà → → → ∇ = ∇ ∇ = Bµi tập chơng Tính tích phân đờng a I = ∫ ( x + y )ds ®ã C chu vi tam giác, với đỉnh C O(0,0);A(1,0); B(0,1) 3 b I = ∫ ( x + y )ds , L cung Axtroit L 2 x +y3 = a3, c ∫ x ≥ 0, y ≥ x + y ds , C đờng tròn x2+y2 = ax C Tìm khối lợng d©y cung parabol y2 = 2px ( ≤ x p ) biết khối lợng riêng ( x, y ) = p Xác định trọng tâm đờng đồng chất a x = a(t – sint); y = a(1-cost); ≤ t ≤ π b x = acost; y = asint; z = bt; ≤ t ≤ 2π TÝnh c¸c tích phân đờng 2 a ( x xy )dx + ( y − xy ) dy, L cung y = x tõ L A(-1,1) ®Õn B(1,1) 132 b ∫ (x + y )dx + ( y − xy )dy , L cung y = - L 1− x; ≤ x ≤ 2 c ∫ ( x + y )dx + ( x y )dy, L ElÝp x + y = a b  x = a (t − sin t ) d ∫ (2a − y )dx + xdy , ®ã L Xiclôit L y = a (1 − cos t ) ≤ t ≤ 2t ( x + y ) dx − ( x − y ) dy e , L đờng z + y = a x2 + y2 L+ TÝnh ( , 3) ( 6,8) (1, ) xdx + ydy xdy − ydx xdy + ydx b I = ∫ ; c I = ∫ a ∫ 2 x +y ( −1, 3) (1, ) ( , −1) ( x y ) Tính tích phân đờng loại II xdy ydx O điểm gốc toạ độ A điểm có toạ OA độ (1,2) a OA đoạn thẳng nối điểm O A b OA nhánh parabol mà trục trùng với Oy c OA đờng gấp khúc bao gồm đoạn OB nằm trục Ox đoạn BA song song với trục Oy Tính tích phân đờng : 2 a ( x − xy )dx + ( y − xy ) dy , C phần parabol C y = x (−1 ≤ x ≤ 1) 2 2 b ∫ ( x + y )dx + ( x − y )dy , ®ã C đờng cong C y = 1- x , (0 ≤ x ≤ 2) 2 c ∫ ( x + y )dx + ( x − y )dy , C đờng elíp x + y = C a b lÊy theo chiều dờng ngợc chiều kim đồng hồ 133 d ∫x L+ x y ( y + )dy − y ( x + )dx L đờng tròn x2+y2=2y 4 ( x + y )dx + ( x − y )dy e ∫ C đờng tròn x x2 + y2 C + y = a lÊy theo chiều dơng ngợc chiều kim đồng hồ Cho h( x)[ ydx + ( ye x ] − 1)dy xác định h(x) để tích phân L+ không với h(x) tìm đợc tính : (1,1) h( x)[ ydx − ( ye x − 1)dy ] ( 0, ) TÝnh ∫∫ ( x + y )dS S a S mặt nón x2+y2=z2 ; z b S mặt x2+y2+z2=a2 ; z 10 Tính tích phân mặt loại sau : a ( x + y + z )dS , S mặt x2+y2+z2=a2, z ≥ S b ∫∫ ( x + y )ds , S mặt biªn cđa vËt thĨ S x2 + y2 ≤ z ≤ c ∫∫ xyz ds , ®ã S phần mặt z = x +y 2 bị cắt mặt S phẳng z = 2 11 TÝnh ∫∫ ( x + y + z )dS S S phần mặt trụ x2+y2=R2 ; ≤ z ≤ h 12 TÝnh ∫∫ ( y − z )dydz + ( z − x)dzdx + ( x y )dxdy, S S phía mặt nón x2+y2=z2, z h 134 ... thuộc góc F n Tích phân mặt loại hai có tính chất tơng tự nh tích phân hai lớp b Tính tích phân mặt loại hai Để tính tích phân mặt loại hai ta đa tính tích phân hai lớp Trong đó: Nếu mặt S có phơng... ý: Ngời ta chứng minh đợc mặt S có định hớng có véc tơ pháp biến thiên liên tục hàm P,Q, R liên tục mặt S, tích phân mặt loại hai tồn Nếu đổi hớng mặt S, tích phân mặt loại hai đổi dấu Công thức... 114 Tích phân mặt loại mét cã c¸c tÝnh chÊt gièng tÝnh chÊt cđa tÝch phân hai lớp Tính tích phân mặt loại Giả sử mặt S cho phơng trình z = z(x,y) liên tục có đạo hàm riêng z ''x , z ''y liên tục mặt