CHUỖI ppt

Chơng 7 Chuỗi 7.1 Chuỗi số 1. Định nghĩa Định nghĩa 1: Cho dãy vô hạn các số thực: u 1 , u 2 , , u n ,Khi đó tổng vô hạn: u 1 +u 2 ++u n + đợc gọi là một chuỗi số và ký hiệu: =1n n u . Nh vậy ta có thể viết: =1n n u = u 1 +u 2 ++u n + Các số u 1 , u 2 ,gọi là các số hạng của chuỗi. Biểu thức của u n gọi là số hạng tổng quát của chuỗi. Từ chuỗi đã cho ta lập dãy S n sau: S 1 =u 1 , S 2 =u 1 +u 2 ,, S n =u 1 +u 2 ++u n = = n i i u 1 Tổng S n = = n i i u 1 gồm n số hạng đầu tiên của chuỗi, gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi, và dãy {S n } gọi là dãy tổng riêng của chuỗi, còn: R n = += 1ni i u gọi là phần d thứ n. Xét sự hội tụ của dãy tổng riêng S n ta đa đến định nghĩa sau: Định nghĩa 2: Nếu dãy tổng riêng S n dần đến giới hạn hữu hạn S khi n dần ra vô cùng thì ta nói dãy đã cho hội tụ và có tổng S. Khi đó ta viết: S= =1n n u Nếu S n không có giới hạn, hay có giới hạn vô cùng khi n dần ra vô cùng thì ta nói chuỗi phân kỳ. Ví dụ 7.1: a. Chuỗi = 0 )1,0( n n qaaq là tổng các số hạng của cấp số nhân vô hạn công bội q. Ta có: S n = = + = n k n n q q aqa 0 1 1 1 > < = = + 1 1 1 1 1 limlim 1 q q q a q q aS n n n n Vậy khi q<1 chuỗi hội tụ và có tổng: = = 0 1 n n q a aq và phân kỳ khi q>1. b. Chuỗi = + 1 )1( 1 n nn có u n = 1 11 )1( 1 + = + nnnn , do đó: S n = 1 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 1 + = + ++ + nnn 1 1 1 1limlim = + = n S n n n Vậy chuỗi hội tụ và có tổng: = + 1 )1( 1 n nn =1. 2. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Định lý 1: Nếu chuỗi =1n n u hội tụ thì số hạng tổng quát u n dần đến 0, khi n . Trang 1 Chứng minh: Ta có: u n =S n - S n-1 . Nếu chuỗi hội tụ và có tổng S, khi n thì S n và S n-1 cùng dần đến S, do đó: ( ) 0limlim 1 === SSSSu nn n n n Hệ quả: Nếu u n không dần đến 0 khi n thì chuỗi phân kỳ. Chú ý: Định lý chỉ là điều kiện cần, nh vậy dãy có u n dần đến 0, khi n cha chắc đã hội tụ. Tuy nhiên hệ quả của định lý cho phép ta dễ dàng nhận biết đợc một dãy phân kỳ. Ví dụ 7.2: a. Chuỗi =1 1 cos n n có 1 1 coslim = n n nên chuỗi phân kỳ. b. Chuỗi =1 1 n n có 0 1 lim = n n nhng: ==+++>+++= n n n nnnn S n 1 111 2 1 1 1 Nên chuỗi phân kỳ. 3. Tiêu chuẩn Côsi Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để chuỗi số =1n n u hội tụ là >0, nguyên n 0 >0 ,n>n 0 và mọi số nguyên p>1 ta luôn có: < + += pn ni i u 1 Chứng minh: Vì chuỗi =1n n u hội tụ dãy {S n } hội tụ. Theo tiêu chuẩn Côsi cho dãy hội tụ ta có dãy {S n } hội tụ khi và chỉ khi: >0, n 0 >0 ,n>n 0 và mọi số nguyên p>1 ta luôn có: <= + += + pn ni inpn uSS 1 Ví dụ 7.3: a. Xét chuỗi = + 2 )1( 1 n nn có: 1 11 )1( 1 + = + nnnn nên: ))(1( 1 )1( 1 pnpnnn SS npn ++ ++ + = + pnpnnnnn + + ++ + + + + = 1 1 1 2 1 1 1 1 11 << n 1 Khi n> 1 . Chọn n 0 = 1 1 + ta thấy chuỗi thoả mãn tiêu chuẩn Côsi nên hội tụ. b. Chuỗi =1 1 n n có: ., 2 1 2 11 1 1 n n n nnn SS nnn => + ++ + = + Nếu chọn 3 1 = tiêu chuẩn Côsi không thoả mãn nên chuỗi không hội tụ. 4. Một số tính chất của chuỗi hội tụ Tính chất 1: Nếu chuỗi =1n n u hội tụ và có tổng S thì chuỗi =1n n au , trong đó a là một hằng số, cũng hội tụ và có tổng aS. Chứng minh: Khi n dần đến vô cùng, ta có: aSSauuaauau nnn =++=++ .) ( 11 Hay nếu =1n n u hội tụ và có tổng S thì =1n n au hội tụ và có tổng aS. Trang 2 Hệ quả: Nếu =1n n u phân kỳ và a0 thì =1n n au cũng phân kỳ. Tính chất 2: Nếu chuỗi =1n n u hội tụ và có tổng U, chuỗi =1n n v hội tụ và có tổng V, thì chuỗi tổng hoặc hiệu = 1 )( n nn vu hội tụ và có tổng UV. Chú ý: 1. Tổng hoặc hiệu của một chuỗi hội tụ với một chuỗi phân kỳ là một chuỗi phân kỳ. Thật vậy, vì nếu chuỗi tổng hội tụ, ta lấy chuỗi tổng trừ đi chuỗi hội tụ đã cho sẽ đợc chuỗi phân kỳ đã cho, nhng theo tính chất 2, chuỗi hội tụ, vô lý. 2. Tổng hoặc hiệu của hai chuỗi phân kỳ có thể là chuỗi hội tụ. Ví dụ 7.4: =1 1 n n và = + 1 1 1 n n là các chuỗi phân kỳ. Tuy nhiên chuỗi: = = + = + 1 1 )1( 1 1 11 n n nnnn lại là chuỗi hội tụ. Tính chất 3: Nếu ta thêm vào hay bớt đi một số hữu hạn các số hạng đầu của chuỗi thì tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không thay đổi. 7.2 Chuỗi số dơng 1. Định nghĩa Chuỗi =1n n u đuợc gọi là chuỗi số dơng nếu u n >0, với mọi n. Nếu =1n n u có u n <0 với mọi n ta gọi =1n n u là chuỗi số âm. Khi =1n n u là chuỗi số âm thì ta có: -u n =u n = v n , do đó chuỗi =1n n v là chuỗi số dơng. Vì =1n n v = = 1 )( n n u nên theo tính chất 1, hai chuỗi = 1 )( n n u và =1n n v cùng hội tụ hoặc phân kỳ, vì vậy ta chỉ cần xét sự hội tụ của chuỗi số dơng. Xét dãy tổng riêng của một chuỗi số dơng ta có: S n+1 =S n +u n+1 Do u n+1 >0 nên: S 1 <S 2 <<S n <S n+1 < Vậy dãy tổng riêng của một chuỗi số dơng là dãy đơn điệu tăng, do đó nếu hoặc {S n } không bị chặn trên thì: += n n Slim , hay chuỗi phân kỳ; hoặc {S n } bị chặn trên thì SSS n n = lim: và do đó: S= =1n n u 2. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dơng a. Tiêu chuẩn so sánh Định lý 3: Cho hai chuỗi số dơng: =1n n u và =1n n v , giả sử: u n v n , n n 0 . Khi đó: (i) Nếu chuỗi =1n n v hội tụ thì chuỗi =1n n u cũng hội tụ. (ii) Nếu chuỗi =1n n u phân kỳ thì chuỗi =1n n v cũng phân kỳ. Chứng minh: Gọi = = n nk kn uS 0 và = = n nk kn vS 0 ' là các tổng riêng tơng ứng. Do u n v n , n n 0 nên: S n S n , n n 0 . Trang 3 Nếu =1n n v hội tụ và có tổng S thì {S n } là dãy đơn diệu tăng và bị chặn trên bởi S nên nó hội tụ, do đó chuỗi =1n n u hội tụ và có tổng không vợt quá S. Nếu chuỗi =1n n u phân kỳ thì dãy {S n } là dãy đơn điệu tăng không bị chặn trên do đó {S n } cũng là dãy đơn điệu tăng không bị chặn trên nên chuỗi =1n n v phân kỳ, Ví dụ 7.5: a. Chuỗi = 2 )1( 1 n nn hội tụ và có u n = )1( 1 nn . Chuỗi =2 2 1 n n có: v n = 2 1 n . Vì : )1( )1( 11 2 > < n nn n nên chuỗi =2 2 1 n n hội tụ. Định lý 4: Cho hai chuỗi số dơng: =1n n u và =1n n v . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: )0(lim +<<= kk v u n n n thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Chứng minh: Theo tính chất của dãy hội tụ thì bắt đầu từ một số hạng nào đó trở đi ta có: 2 3 2 k v u k n n << Hay: nnn v k uv k 2 3 2 . Theo định lý 3 nếu =1n n u hội tụ thì chuỗi =1 2 n n v k hội tụ do đó chuỗi =1n n v hội tụ; nếu chuỗi =1n n v hội tụ thì chuỗi =1 2 3 n n v k hội tụ và theo định lý 3 chuỗi =1n n u hội tụ. Lập luận tơng tự cho hai chuỗi cùng phân kỳ. Ví dụ 7.6: a. Xét chuỗi = 2 1 cos1 n n có u n = n 1 cos1 . Do 2 1 1 cos1 lim 2 = n n n Và chuỗi =2 2 1 n n hội tụ nên chuỗi = 2 1 cos1 n n cũng hội tụ. b. Xét chuỗi = + 2 1 1ln n n có u n = + n 1 1ln . Do 1 1 1 1ln lim = + n n n Và chuỗi =2 1 n n phân kỳ nên chuỗi = + 2 1 1ln n n cũng phân kỳ. Trang 4 b. Tiêu chuẩn Dalambe Định lý 5: Cho chuỗi số dơng =1n n u . Nếu tồn tại giới hạn: D u u n n n = + 1 lim thì chuỗi hội tụ khi D<1, phân kỳ khi D>1. Khi D=1 ta cha có kết luận gì về tính hội tụ của chuỗi. Chứng minh: Giả sử D<1, khi đó tồn tại q: D<q<1. Vì D u u n n n = + 1 lim <q Nên n 0 : nn 0 : q u u n n +1 hay u n+1 q.u n 0000 2 2 1 n k knknkn uquququ +++ Do q<1 nên chuỗi =1 0 k n k uq hội tụ, theo định lý 3 chuỗi = + 1 0 k kn u hội tụ và theo tính chất 3 của chuỗi hội tụ, chuỗi =1n n u hội tụ. Nếu D u u n n n = + 1 lim >1, sẽ n 0 : nn 0 : 1 1 > + n n u u hay u n+1 >u n do đó số hạng tổng quát của chuỗi không dần đến 0 nên chuỗi phân kỳ. Ví dụ 7.7: a. Chuỗi =2 ! n n n n hội tụ vì: ! . )1( )!1( limlim 1 1 n n n n u u n n n n n n + + + + = = e n n n n n n n 1 1 1 1 lim 1 lim = + = + <1 b. Chuỗi = + 2 !)!13( n n n n phân kỳ vì: !)!13( . )1( !)!33( limlim 1 1 + + + = + + n n n n u u n n n n n n = 1 3 )1( )33( 1 lim >= + + + en n n n n n c. Tiêu chuẩn Côsi Định lý 6: Cho chuỗi số dơng =1n n u . Nếu tồn tại giới hạn: Cu n n n = lim thì chuỗi hội tụ khi C<1, phân kỳ khi C>1. Khi C=1 ta cha có kết luận gì về tính hội tụ của chuỗi. Chứng minh: Giả sử C<1, khi đó tồn tại q: C<q<1. Vì qCu n n n <= lim Nên n 0 : nn 0 : qu n n hay u n q n Trang 5 Do q<1 nên chuỗi =1k k q hội tụ, theo định lý 3 chuỗi = + 1 0 k kn u hội tụ và theo tính chất 3 của chuỗi hội tụ, chuỗi =1n n u hội tụ. Nếu Cu n n n = lim >1, sẽ n 0 : nn 0 : 1> n n u hay u n >1 do đó số hạng tổng quát của chuỗi không dần đến 0 nên chuỗi phân kỳ. Ví dụ 7.8: a. Chuỗi = + 2 2 1 sin1 3 1 n n n n hội tụ vì: 1 3 1 sin1 3 1 limlim 1 1 sin 1 sin 1 <= += e n u n n n n n n n c. = + 2 2 1 1 2 1 n n n n phân kỳ vì: 1 2 1 1 2 1 limlim >= += e n u n n n n n d. Tiêu chuẩn tích phân Định lý 7: Cho chuỗi số dơng =1n n u . Nếu tồn tại hàm f(x) không âm, liên tục và đơn điệu giảm trên ),[ 0 +n khi +x và có: f(n)=u n , nn 0 . Khi đó chuỗi =1n n u và tích phân suy rộng + 0 )( n dxxf cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Chứng minh: Ta có thể xét n 0 =1. Do f(x) đơn điệu giảm nên với mọi k 1 ta có: u k+1 =f(k+1) )()( 1 kfdxxf k k + =u k Gọi S n là tổng riêng thứ n của chuỗi, với mọi n ta có: n n k k n n k kn SudxxfuuS == = + = ++ 1 1 1 1 111 )( Cho n dần ra vô cùng ta đợc điều phải chứng minh. Ví dụ 7.9: a. Xét sự hội tụ của chuỗi: =1 1 n n (i). Nếu n 1 ,0 không dần đến 0 nên chuỗi phân kỳ. (ii). Nếu > 0, xét các tiêu chuẩn Dalambe và Côsi 1 1 limlim 1 = + = + n n u u n n n n 1 1 limlim = = n n n n n n u Vậy các tiêu chuẩn Dalambe và Côsi không khảo sát đợc sự hội tụ của chuỗi. Trang 6 Với > 0, xét hàm f(x)= )),1[(, 1 +x x , hàm f(x) đơn điệu giảm dần tới 0 khi x dần ra vô cùng, khi đó tích phân suy rộng: + 1 x dx hội tụ khi > 1 và phân kỳ khi 0< 1 nên chuỗi đã cho hội tụ khi > 1 và phân kỳ khi 0< 1. Chuỗi trên còn đợc gọi là chuỗi Riemam. b. Cho chuỗi =2 2 ln 1 n nn . Xét hàm f(x)= xx 2 ln 1 ( ),2[ +x ) có: + + + +<=== 2 2 2 2 2 2ln 1 ln 1 ln ln ln x x xd xx dx Vậy chuỗi hội tụ. 7.3 Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ Cho chuỗi =1n n u trong đó các số hạng u n có dấu bất kỳ. 1. Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Định nghĩa 3: Cho chuỗi =1n n u nếu chuỗi =1n n u hội tụ thì ta nói chuỗi =1n n u hội tụ tuyệt đối, nếu chuỗi =1n n u hội tụ nhng chuỗi =1n n u phân kỳ thì ta nói chuỗi =1n n u hội tụ tơng đối hay bán hội tụ. Định lý 8: Nếu chuỗi =1n n u hội tụ thì chuỗi =1n n u cũng hội tụ. Chứng minh: Giả sử chuỗi =1n n u hội tụ, theo tiêu chuẩn Côsi ta có: >0, n 0 :n>n 0 và p1 ta có: < + += + = pn nk k pn nk k uu 1 Tuy nhiên từ biểu thức trên thì chuỗi =1n n u cũng thoả mãn tiêu chuẩn Côsi cho chuỗi hội tụ. Nh vậy khi xét sự hội tụ của chuỗi bất kỳ, ta xét sự hội tụ của chuỗi =1n n u , nếu nó không hội tụ ta mới xét sự hội tụ của chuỗi =1n n u . Chuỗi =1n n u là chuỗi số dơng nên ta có thể dùng các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dơng để xét. Ví dụ 7.10: Xét chuỗi =1 2 cos n n n . Do 22 1 cos nn n < mà chuỗi =1 2 1 n n hội tụ nên chuỗi =1 2 cos n n n hội tụ tuyệt đối. Chú ý: Nếu chuỗi =1n n u phân kỳ thì cha chắc =1n n u phân kỳ, nhng nếu =1n n u phân kỳ theo tiêu chuẩn Dalambe hoặc Côsi thì chuỗi =1n n u phân kỳ vì lúc đó u n không dần đến 0. 2. Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn hội tụ Lepnit Định nghĩa 4: Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng: )( 4321 ++ uuuu Trong đó u n >0, với mọi n. Do tính chất của chuỗi hội tụ ta chỉ cần xét chuỗi đan dấu dạng: )1( 21 1 += = uuu n n n Định lý 9: (Tiêu chuẩn Lepnit) Trang 7 Nếu {u n } là dãy số dơng giảm dần tới 0 khi n dần ra vô cùng thì chuỗi đan dấu: = 1 )1( n n n u hội tụ và có tổng nhỏ hơn u 1 . Chứng minh: Xét tổng riêng chẵn S n =S 2m ta có: S 2m =(u 1 -u 2 )+(u 3 -u 4 )++(u 2m-1 -u 2m ) Vì {u n } đơn diệu giảm nên các số hạng của S 2m đều dơng nên nó là dãy đơn điệu tăng. Mặt khác ta lại có: S 2m =u 1 -(u 2 -u 3 )-(u 4 -u 5 )--(u 2m-2 -u 2m-1 )-u 2m Do đó S 2m bị chặn trên bởi u 1 . Nh vậy {S 2m } là dãy đơn điệu tăng và bị chặn bởi u 1 nên nó hội tụ và có giới hạn SS m n = 2 lim u 1 . Xét tổng riêng lẻ S n =S 2m+1 ta có: S 2m+1 =S 2m +u 2m+1 , do u n 0 khi n nên: SuSS m m m m m m =+= + + 12212 limlimlim Do đó chuỗi đan dấu hội tụ và có tổng không vợt quá u 1 . Ví dụ 7.11: Chuỗi = +++= 1 11 1 )1( 3 1 2 1 1 1 )1( n nn nn là chuỗi đan dấu thoả mãn tiêu chuẩn Lepnit nên nó hội tụ và có tổng không vợt quá 1. Tuy nhiên chuỗi = = = 1 1 1 11 )1( n n n nn là chuỗi phân kỳ, vậy chuỗi đan dấu đã cho bán hội tụ. Chú ý: Phần d thứ n của chuỗi đan dấu: R n = += 1 )1( nk k k u cũng là một chuỗi đan dấu, nếu chuỗi đan dấu thoả mãn tiêu chuẩn hội tụ Lepnit thì ta có: 1 1 )1( + += <= n nk k k n uuR Do đó nếu: u n+1 < thì ta có thể tính gần đúng tổng của chuỗi đan dấu: = n k k k uS 1 )1( với sai số . Ví dụ 7.12: Chuỗi = 1 1 1 )1( n n n có: Vậy ta có sấp xỉ tổng: S= = 1 1 1 )1( n n n 99 1 2 1 1 ++ Với sai số 0,001. 3. Vài tính chất của chuỗi đan dấu Xét các chuỗi bán hội tụ: a. Giả sử chuỗi = 1 1 1 )1( n n n có tổng S: 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 +++=S (1) Khi đó chuỗi = 1 1 2 1 )1( n n n có tổng 2 S : 12 1 10 1 8 1 6 1 4 1 2 1 2 +++= S (2) Công hai vế ta đợc: 4 1 7 1 5 1 2 1 3 1 1 2 3 ++++= S (3) Tuy nhiên tổng (3) lại suy đợc bằng cách đổi thứ tự các số hạng của (1). Trang 8 b. Xét chuỗi = 1 1 )1( n n n , nó là chuỗi đan dấu hội tụ. Viết nó dới dạng: 4 1 7 1 5 1 2 1 3 1 1 + ++ + 2 1 14 1 34 1 + + + ppp Đặt = p u ppp 2 1 14 1 34 1 + Khi p ta có u p ~v p và chuỗi =1p p v phân kỳ, nên chuỗi =1p p u phân kỳ. Nh vậy một chuỗi bán hội tụ ta có thể thay đổi thứ tự các số hạng của chuỗi để đợc chuỗi có tổng tuỳ ý. Tuy nhiên với chuỗi hội tụ tuyệt đối ngời ta chứng minh đợc khi thay đổi thứ tự các số hạng của chuỗi thì tổng của chuỗi không đổi. 7.4 Chuỗi hàm 1. Định nghĩa Định nghĩa 5: Cho dãy vô hạn các hàm số: u 1 (x), u 2 (x),, u n (x), cùng xác định trên tập X, khi đó tổng vô hạn: =1 )( n n xu =u 1 (x)+u 2 (x)++u n (x)+ đợc gọi là một chuỗi hàm. Biểu thức của u n (x) đợc gọi là số hạng tổng quát của chuỗi hàm, tổng: S n (x)=u 1 (x)+u 2 (x)++u n (x) gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm. Với mỗi điểm x 0 X ta có =1 0 )( n n xu là một chuỗi số. Định nghĩa 6: Điểm x 0 X đợc gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu chuỗi số =1 0 )( n n xu hội tụ và gọi là điểm phân kỳ của chuỗi hàm nếu chuỗi số =1 0 )( n n xu phân kỳ. Tập D (DX) các điểm hội tụ của chuỗi hàm gọi là miền hội tụ của chuỗi. Khi đó ứng với mỗi xD ta có chuỗi số hội tụ =1 )( n n xu . Ký hiệu S(x)= =1 )( n n xu (xD) thì S(x) là hàm số xác định trên D. Định nghĩa 7: Nếu )()(lim xSxS n n = (xD) thì S(x) gọi là tổng của chuỗi hàm trên D, hay ta nói chuỗi hàm hội tụ về S(x) trên D. Ta cũng gọi R n (x)=S(x)-S n (x) là phần d thứ n của chuỗi hàm. Ví dụ 7.13: a. Chuỗi hàm: 1+x+x 2 ++x n + là tổng các số hạng của cấp số nhân vô hạn với công bội q=x, do đó nó hội tụ khi 1<x và phân kỳ khi 1x . Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là D=(-1,1), và có tổng: S(x)=1+x++x n += x1 1 (-1<x<1) b. Chuỗi hàm (Chuỗi Rieman) =1 1 n x n có miền hội tụ D=(1,+). Trang 9 c. Xét chuỗi hàm =1 ! n n n x . Với x=0 chuỗi hội tụ. Với x0 áp dụng tiêu chuẩn Dalambe cho chuỗi =1 ! n n n x ta có: 0 1 1 lim )!.1( !. lim )( )( lim 1 1 = + = + = + + n x xn nx xu xu n n n n n n n Vậy chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối với mọi x, hay miền hội tụ của chuỗi hàm là ),( + d. Xét chuỗi hàm = + 1 1 1 n n x . Với 0,1 < n xx khi n nên 1 1 1 )( + = n n x xu , chuỗi phân kỳ. Với x=1, 2 1 )( =xu n , với x=-1, 2 1 )( 2 =xu n , chuỗi phân kỳ, u 2n+1 (x) không xác định. Với 1>x , ta có chuỗi hội tụ vì: 1 1 1 1 1 1 1 lim )( )( lim 1 1 <= + + = + + x x x xxu xu n n n n n n Vậy miền hội tụ 1>x . 2. Chuỗi hàm hội tụ đều a. Định nghĩa Giả sử chuỗi hàm =1 )( n n xu có miền hội tụ D và có tổng S(x), khi đó với xD ta có: )()(lim xSxS n n = hay: >0, n 0 : khi n>n 0 ta có: <== += 1 )()()()( nk knn xuxSxSxR Trong đó với mỗi cho trớc số n 0 sẽ phụ thuộc x. Nếu với mỗi ta tìm đợc số n 0 chung cho mọi x thuộc D để có bất đẳng thức trên thì ta có khái niệm chuỗi hàm hội tụ đều. Định nghĩa 8: Chuỗi hàm =1 )( n n xu đợc gọi là hội tụ đều đến S(x) trên D nếu >0, n 0 , n>n 0 ta có: <== += 1 )()()()( nk knn xuxSxSxR (xD) Ký hiệu: = 1 )()( n n xSxu . Ví dụ 7.14: a. Cho chuỗi hàm = + 1 2 1 )1( n n nx . Với mọi xR chuỗi là chuỗi đan dấu, thoả mãn mọi điều kiện của định lý Lepnit nên nó có miền hội tụ R. Xét phần d thứ n: << ++ =< + n nx xuxR nn 1 1 1 )()( 2 1 Chọn 1 1 0 + = n , ta có: n > n 0 : RxxR n < ,)( . Vậy chuỗi hàm hội tụ đều trên R. Trang 10 [...]... khai Chơng 7 Chuỗi số 7.1 Chuỗi số 1 Định nghĩa 2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 3 Tiêu chuẩn Côsi 4 Một số tính chất của chuỗi hội tụ 7.2 Chuỗi số dơng 1 Định nghĩa 2 Các tiêu chuẩn hội tụ 7.3 Chuỗi số có số hạng có dấu bất kỳ 1 Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 2 Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn hội tụ Lepnit 3 Vài tính chất của chuỗi đan dấu 7.4 Chuỗi hàm 1 Định nghĩa 2 Chuỗi hàm hội tụ đều 7.5 Chuỗi luỹ thừa... vô hạn của dãy hàm (1) là chuỗi hàm: a0 (2) + ( a n cos nx + bn sin nx ) 2 n =1 Nếu chuỗi (2) hội tụ về hàm f(x) thì ta thấy f(x) cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ T=2 Vấn đề đặt ra là, nếu cho trớc một hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ T=2, có tồn tại một chuỗi hàm dạng (2) hội tụ về hàm f(x) không? 2 Chuỗi Fourier a Chuỗi lợng giác Định nghĩa 11: Ta gọi chuỗi lợng giác là chuỗi hàm có dạng: Trang 20... n = 0 (1 + x ) n = 0 (1 + x ) 7.5 Chuỗi luỹ thừa 1 Định nghĩa Ta gọi chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm dạng: a n =0 n ( x x 0 ) n =a 0 + a1 ( x x 0 ) + + a n ( x x 0 ) n + Nếu đặt X=x-x0 thì chuỗi luỹ thừa đa đợc về dạng: a n =0 dạng a n =0 n n X n , do đó chúng ta chỉ xét chuỗi luỹ thừa xn 2 Miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa Định lý 15 ( định lý Abel): Nếu chuỗi luỹ thừa a n =0 n x n hội tụ tại... đợc gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa, (-R,R) gọi là khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa a Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa Định lý 16: Cho chuỗi luỹ thừa a n =0 lim a n +1 = n x n , nếu: (hoặc lim n a n = ) n an Thì bán kính hội tụ R của chuỗi luỹ thừa đợc xác định bởi: n Trang 14 1 R = 0 + khi 0 < < + khi khi = + =0 a Chứng minh: Xét chuỗi số dơng n =0 lim a n +1... 1 Nếu x < 1 hay x < chuỗi a n x n hay chuỗi a n x n hội tụ tuyệt đối n =0 n =0 1 Nếu x > 1 , hay x > chuỗi a n x n phân kỳ, khi đó a n x n không dần đến 0 khi n n =0 nên chuỗi a n =0 n x n phân kỳ Vậy bán kính hội tụ R= 1 Trờng hợp = + : x 0, lim n Trờng hợp =0, lim n a n +1 x n +1 an x n a n +1 x n +1 an x n = + Chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại mọi x0, do đó R=0 = 0 Chuỗi luỹ thừa hội tụ... 2 3 n 3 n +1 1 3 Trang 15 Do đó bán kính hội tụ R=3 1 un = 1 3n n Tại x=3 chuỗi: n có , (n ) nên chuỗi phân kỳ Tại x=-3 chuỗi 2 n 1 n =1 3 2 3 1 un = 1 3n n n , (n ) nên chuôi phân kỳ 2 (1) 3n 2 n có 1 n =1 3 Vậy miền hội tụ của chuỗi là (-3,3) 3 Tính chất của chuỗi luỹ thừa a Tính chất 1: Chuỗi luỹ thừa n =0 R,R) n x n hội tụ đều trên mọi khoảng [a,b] nằm trong khoảng hội... hội tụ thì chuỗi hàm hội tụ đều trên D Chứng minh: Do a n =1 n hội tụ nên theo tiêu chuẩn Côsi cho chuỗi hội tụ ta có >0, n0 sao cho:nn0, m1: n+ m n+ m n+ m k = n +1 k = n +1 k = n +1 u k ( x) u k ( x) a k < (xD) Biểu thức chứng tỏ chuỗi hàm hội tụ đều trên D Ví dụ 7.16: cos nx cos nx 1 1 a Chuỗi có và chuỗi số dơng hội tụ nên < , (x R ) 2 n =1 n n + x n =1 n n n n + x2 n n cos nx chuỗi hội... nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x với x < x0 a Chứng minh: Do chuỗi n =0 bị chặn, hay: n n n x 0 hội tụ, nên số hạng tổng quát a n x 0 0 khi n và do đó nó n M>0: a n x0 < M , n x an x = an x x 0 n Ta có: Với n 0 x mà x < x0 thì chuỗi số dơng, chuỗi: n n x < M , n x0 x < 1 nên chuỗi x0 a n x n hội tụ, hay chuỗi n =0 a Hệ quả: Nếu chuỗi luỹ thừa n =0 n x M x n =0 0 a n =0 n n hội tụ do đó... đều 7.5 Chuỗi luỹ thừa 1 Định nghĩa 2 Miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 Vài tính chất của chuỗi luỹ thừa 7.6 Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa Trang 31 1 Khai triển Taylo và khai triển Macloranh 2 Điều kiện để hàm có khai triển Taylo 3 Khai triển Macloranh của một số hàm sơ cấp 4 ứng dụng chuỗi luỹ thừa để tính gần đúng 7.7 Chuỗi Fourier 1 Mở đầu 2 Chuỗi Fourier 3 Điều kiện đủ để hàm có khai triển Fourier... x (u 1) 4( x 1) 2 n =1 b Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi (1) n+1 n =1 x n +1 n(n + 1) u n +1 n(n + 1) = lim x = x < 1 , vậy chuỗi hội tụ khi x < 1 Tại x= 1, hiển n u n ( n + 1)( n + 2) n nhiên chuỗi cũng hội tụ, vậy chuỗi có miền hội tụ là: 1 x 1 x n +1 Đặt S(x)= (1) n +1 , ( 1 < x 1 ) áp dụng tính khả vi của chuỗi luỹ thừa, x (-1,1] ta n(n + 1) n =1 có: 1 S(x)= (1) n x . tụ với một chuỗi phân kỳ là một chuỗi phân kỳ. Thật vậy, vì nếu chuỗi tổng hội tụ, ta lấy chuỗi tổng trừ đi chuỗi hội tụ đã cho sẽ đợc chuỗi phân kỳ đã cho, nhng theo tính chất 2, chuỗi hội tụ,. u p ~v p và chuỗi =1p p v phân kỳ, nên chuỗi =1p p u phân kỳ. Nh vậy một chuỗi bán hội tụ ta có thể thay đổi thứ tự các số hạng của chuỗi để đợc chuỗi có tổng tuỳ ý. Tuy nhiên với chuỗi hội. một số hữu hạn các số hạng đầu của chuỗi thì tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không thay đổi. 7.2 Chuỗi số dơng 1. Định nghĩa Chuỗi =1n n u đuợc gọi là chuỗi số dơng nếu u n >0, với mọi