ôn TN -số phức

Luyện thi SỐ PHỨC BÀI 1: SỐ PHỨC I. Khái niệm số phức 1. Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i 2 = -1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi. i: đơn vị ảo. a: phần thực. b: phần ảo.  Chú ý: • z = a + 0i (b = 0) = a được gọi là số thực (a )∈ ⊂¡ £ . • z = 0 + bi = bi (a = 0) được gọi là số ảo(số thuần ảo) và i = 0 + 1i được gọi là đơn vị ảo. • 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo. Ví dụ: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau 1) z = 2 + 3i , z = -i 2/z = -3 + 2 2i , z = -i 3 . 2. Hai số phức z = a + bi ( ) ,a b∈¡ , z’ = a’ + b’i ( ( ) ', 'a b ∈¡ ) gọi là bằng nhau nếu ' ' a a b b =   =  . ta viết z = z’. Ví dụ: Tìm các số thực x và y, biết: (2x +1) + (3y - 2)i = (x + 2) + (y + 4)i II. Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi ( ) ,a b∈¡ được biểu diễn bởi điểm M(a;b) (còn viết M(a + bi) hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức) (hình vẽ) y • Gốc tọa độ O biểu diễn số 0 • Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn các số thực • Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn các số ảo b M Ví dụ: Biểu diễn hình học các số phức A(3 + 2i), B(2 – 3i), C(-3 – 3i), D(3i) z ( ; )u a b r E(-2i), F(4). 0 a x III. Phép cộng và phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi ( ) ,a b∈¡ , z’ = a’ + b’i ( ( ) ', 'a b ∈¡ ). Ta có: 1) Cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’) + (b +b’)i 2) Trừ hai số phức: z – z’ = z + (-z’) = (a – a’) + (b – b’)i  Chú ý: Phép cộng, trừ số phức có các tính chất tương tự như phép cộng, trừ số thực (kết hợp, giao hoán). Số đối của z = a + bi là – z = - a – bi 3) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức: ( ; )OM u a b= uuuur r biểu diễn số phức z = a + bi, ' '( ; )OM u a b= uuuuur r biểu diễn số phức z’ = a’ + b’i thì • 'u u+ r ur biểu diễn số phức z + z’. 'u u− r ur biểu diễn số phức z - z’. Ví dụ: Tính tổng và hiệu hai số phức: (3 + i) và (2 – 3i), (1 – 2i) và (2 + 2i), (2 – 2i) và (-2 + 3i). IV. Phép nhân số phức Tích của hai số phức z = a + bi ( ) ,a b∈¡ , z’ = a’ + b’i ( ( ) ', 'a b ∈¡ ) là số phức zz’ = (a + bi)( a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i  Chú ý: Phép nhân số phức có các tính chất tương tự như phép nhân số thực (kết hợp, giao hoán và phân phối). Ví dụ: Tính (2 - i)(1 + 2i), (2 + i)(2 - i), (2 + i)(1 + 2i), V. Số phức liên hợp và môđun của số phức: 1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi ( ) ,a b∈¡ là z a bi= − . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của các số phức sau 2 + 3i, - 4 - 2i , i, -i  Chú ý: Hai số phức liên hợp ⇔ các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục thực Ox. z z= . ' '.z z z z+ = + . ' . 'z z z z= . GV: Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong-Đăk lăk 1 Luyện thi SỐ PHỨC 2) Môđun của số phức: Môđun của số phức z = a + bi ( ) ,a b∈¡ là số thực không âm 2 2 a b+ và được kí hiệu là |z| (không phải trị tuyệt đối). Như vậy: 2 2 z a b= +  Chú ý: • 2 2 .z z z a b OM= = + = uuuur • 0z z≥ ∀ ∈£ và |z| = 0 0z⇔ = . • . ' ' , ' ' , 'z z z z z z z z z z= + ≤ + ∀ ∈£ . Ví dụ: Tính môđun của các số phức sau 2 + 3i, -4 - 2i , i, -i VI. Phép chia cho số phức khác 0. • Để tính 'z z ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với z (nhân tử và mẩu với số phức liên hợp của mẩu). • Với 0z ≠ , 'z z = ' .z z ω ω ⇔ = và ' ' ' ' , z z z z z z z z   = =  ÷   . Ví dụ: Tính 3 2 2 1 1 ; ; ; 1 2 3 2 2 1 3 2 2 i i i i i i − + + − − − Bài tập: 1) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau: a) (4 - i) + (2 + 3i) – (5 + i). b) (1 + i) 2 – (1 - i) 2 . c) (2 + i) 3 – (3 - i) 3 . d) (i + 1) 2 (2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. (CĐ2009) e) 3 2 1 i i i i − + − + . f) 7 7 1 1 2 i i i   −  ÷   . g) 3 2 2 1 1 ; ; ; 1 2 3 2 2 1 3 2 2 i i i i i i − + + − − − 2) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau: a/ 33 10 1 1 (1 ) (2 3 )(2 3 ) 1 i i i i i i +   + − + + − +  ÷ −   b/ ( ) 2 2 3 2010 1 1 (1 ) (1 ) (1 )i i i i+ + + + + + + + + 3) Cho các số phức z 1 = 1 + 2i, z 2 = -2 + 3i, z 3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức đối và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: a) 1 2 3 z z z+ + . b) 1 2 2 3 3 1 z z z z z z+ + . c) 1 2 3 z z z . d) 2 2 2 1 2 3 z z z+ + e) 3 1 2 2 3 1 z z z z z z + + . f/ 2 2 1 2 2 2 2 3 z z z z + + 4) Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: a) 2 1 3 1 2 i i z i i + − + = − + . b) ( ) 1 2 3 0 2 i z i iz i     + + + + =  ÷     . c) 2 2 4z z i+ = − . d) 2 0z z+ = . e) 2 2 0z z+ = 5) Tìm số phức z thỏa mãn: 4 1 z i z i +   =  ÷ −   . 6) Tìm số phức z thỏa mãn: (2 ) 10z i− + = và . 25z z = (ĐHKB – 2009) 7) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) 3 4z z+ + = . b) 1 2z z i− + − = . c) (3 4 ) 2z i− − = . (ĐHKD – 2009) d) 2 2z i z z i− = − + . GV: Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong-Đăk lăk 2 Luyện thi SỐ PHỨC BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC I. Căn bậc hai của số phức.  Định nghĩa: Cho số phức z’. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 = z’ được gọi là một căn bậc hai của z’. 1) Trường hợp z’ là số thực: a) Z’ = a = 0. Có đúng một căn bậc hai là 0. b) Z’ = a khác 0. • a > 0: z’ có hai căn bậc hai là a± . • a < 0: z’ có hai căn bậc hai là ±i a 2) Trường hợp z’ = a + bi ( ) ,a b∈¡ , b khác 0. z = x + yi ( ) ,x y ∈¡ là căn bậc hai của z’ khi và chỉ khi 2 2 2 x y a xy b  − =  =  . Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z của số phức z’. Ví dụ: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau: 1) -1, -i 2 , - 5 + 12i, i. 2) 1 4 3i− + , 4 6 5i+ , 1 2 6i− − II. Phương trình bậc hai. Mọi phương trình bậc hai az 2 + bz + c = 0 (1) (a,b,c là số phức cho trước, a khác 0) đều có hai nghiệm phức ( có thể trùng nhau). Việc giải phương trình được tiến hành tương tự như trong trường hợp a,b,c là những số thực. cụ thể: Xét biệt thức 2 4∆ = −b ac . • Nếu 0∆ ≠ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 , 2 2 δ δ − + − − = = b b z z a a , trong đó δ là một căn bậc hai của ∆ .(nếu ∆ <0 i δ = ± ∆ ) • Nếu 0∆ = thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2 2 = = − b z z a . S=z 1 +z 2= b a − ; P=z 1 .z 2 = c a Khi đó z 1 ,z 2 cũng là nghiệm của pt : Z 2 -S.Z+P=0 VD/Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức : a. 2 9 0x + = ; b. 2 4 5 0x x+ + = ; c. 2 2 5 4 0x x− + = ; d. 2 2 3 5 0x z− + − = ; e. 4 2 5 4 0x x+ + = ; f. 3 2 2 10 0x x x− + = ; g. 3 1 0x + = ; h. ( ) ( ) 2 2 4 2 5 0x x x − + + = . BT: Giải các phương trình sau: 1) z 2 – z + 1 = 0. 2) z 2 + (-2 + i)z – 2i = 0. 3) z 2 = z + 1. 4) z 2 + 2z + 5 = 0. 5) z 2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0. 6) (z 2 + i)(z 2 – 2iz - 1) = 0. 7) 8z 2 – 4z + 1 = 0,( TNPT – 2009 ) 8) 2z 2 – iz + 1 = 0. 16/ 4 3 7 2 z i z i z i − − = − − . (CĐ – 2009 phần ban NC) 17/z 2 + 2z + 10 = 0 (z 1 và z 2 là nghiệm). Tính giá trị biểu thức 2 2 1 2 A z z= + (ĐHKA – 2009) 18/ 2 8(1 ) 63 16 0z i z i− − + − = . 9/ 2 1 0z z+ + = GV: Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong-Đăk lăk 3 Luyện thi SỐ PHỨC 10/(2 + 3i)z = z – 1. 11/ 2 (1 ) 1 7i z i+ = − + . 12/ 2 3 ( )( 1)( ) 0z i z z i− + + = . 13/ ( ) ( ) 2 2 2 4 12 0z z z z+ + + − = . 14/ ( ) ( ) 2 3 6 3 13 0z i z i+ − − + − + = . 15/ 2 3 3 3. 4 0 2 2 iz iz z i z i + +   − − =  ÷ − −   . 19/ ( ) ( ) 2 2 2 1 3 0z z+ + + = . 20/ 3 2 11 , ( , )z i z x yi x y= + = + ∈¢ 21/ 2 (1 2 ) 1 0iz i z+ + + = . 22/ 4 2 6(1 ) 5 6 0z i z i+ + + + = . 23/ 2 (1 ) 2 11 0i z i+ + + = . 24. Tìm số phức B để phương trình bậc hai z 2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. 25. Tìm các số thực b, c để phương trình z 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm. 26. Tìm các số thực a, b, c để phương trình z 3 + az 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i và z = 2 làm nghiệm. ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG 4 (Tham khảo) Đề 1: Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính: a/ (3 2 )[(4 3 ) (1 2 )] 5 4 i i i i − + − + − b/ (2-5i)+ 1 2 2 3 i i + + Câu 2: (3điểm) Tìm số phức z,biết 2 5z = và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: z 4 +z 2 -3=0 Đề 2: Câu 1:Thực hiện các phép tính : a/ (2-3i)(1+2i)+ 4 3 2 i i − + b/ 3 4 (1 4 )(2 3 ) i i i − − + Câu 2: Giải phương trình: (1+i)z+(2-i)(1+3i)=2+3i Câu 3: Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3. Đề 3: Câu 1: Thực hiện các phép tính a/ 1 7 2 (1 )(4 3 ) 8 6 i i i i − + + − − b/ 33 1 ( ) 1 i i + − Câu 2: Giải các pt sau: a/ 2z 2 +3z+4=0 b/(z+3-i) 2 -6(z+3-i)+13=0 Câu 3: Không giải pt z 2 +(2-i)z+3+5i=0 hãy tính z 1 2 +z 2 2 Đề 4: Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính: a/ 2 2 1 2 1 2 2 2 i i i i + + + − − b/ (1+2i) 3 Câu 2: (3điểm) Tìm số phức z,biết 3 4z z i+ = + Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: z 4 +3=0 Đề 5: Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính: a/ (3 2 )(1 ) 5 2 i i i − + − b/ (1+i)+ 1 2 2 3 i i − + Câu 2: (3điểm) Lập pt bậc hai có hai nghiệm phức là z 1 =6-i ; z 2 =4+3i Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: 2z 4 +3z 2 -5=0 GV: Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong-Đăk lăk 4 . i)(1 + 2i), V. Số phức liên hợp và môđun của số phức: 1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi ( ) ,a b∈¡ là z a bi= − . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của các số phức sau 2 + 3i,. Luyện thi SỐ PHỨC BÀI 1: SỐ PHỨC I. Khái niệm số phức 1. Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i 2 = -1. Kí hiệu số phức đó là z và viết. Hồng Phong-Đăk lăk 1 Luyện thi SỐ PHỨC 2) Môđun của số phức: Môđun của số phức z = a + bi ( ) ,a b∈¡ là số thực không âm 2 2 a b+ và được kí hiệu là |z| (không phải trị tuyệt đối). Như vậy: 2