Tên đề tài phát triển cách tính tổng bồi dỡng học sinh lớp 7 A. phần mở đầu I. lí do chọn đề tài 1. cơ sở lí luận - trong thời đại công nghiệp hoá hiện đại hoá đất nớc tất cả mọi nghành nh kinh tế , xây dựng , giáo dục .vv đang đuanhau phát triển , mỗi ngày ý thức của mọi con ngời càng đợc nâng cao hơn . Đúng nh lời dạy năm nào của Bác Hồ vì lợi ích mời năm trồng cây Vì lợi ích trăm năm trồng ngời Do vậy vai trò của ngời giáo viên trong thời đại hiện nay là hết sức quan trọng , ngời giáo viên không chỉ đơn thuần là hiểu biết chắc chuyên môn mà cần phảI hiểu biết tất cả mọi mặt . Hơn thế nửa chúng ta vừa trảI qua cuộc cách mạng đổi mới s g k và p p d h do vậy vai trò của ngời gv lại càng quan trọng hơn . Để các em có một kiến thức tốt về môn toán và đặc biệt là vấn đề bồi dỡn học sinh giỏi từ k6 đến k9 tôI mạnh dạn đa ra đề tài phát triển cách tính tổng bồi dỡng học sinh lớp 7 hy vọng các em học sinh và các bạn đòng nghiệp có một kiến thức để định hớng bồi dỡng học sinh khối 6 7 2. Cơ sở thực tiễn Mặc dù hai năm lại đây huyện nhà không tổ chức thi học sinh giỏi cho các lớptừ 6 đến 8 nhng đê các em có một kiến thức tốt về môn toán và tạo nguồn cho lâu dài tôI mạnh dạn đa ra đề tài này hy vọng các em học sinh và các bạn đồng nghiệp có một cuốn cẩm nang về môn toán để bồi dỡng học sinh khá giỏi một cách hiệu quả hơn II . Mục đích ngiên cứu 1. về phơng diện khách quan trong toàn bộ đề tài mà tôI sẽ trình bày này nó nhằm mục đích để phát triển t duy sáng tạo , cách suy luận phát triển bài toán để từ đó tạo ra một số dạng tính tổng hình thành cho học sinh một thói quen suy luận và nhận dạng các bài tập từ đó giúp họcc sinh nhìn nhận bài toán dới nhiều góc độ khác nhau và làm quen với một vài dạng toán mới Đối với đề tài này nó chỉ áp dụng cho bồi dỡng học sinh giỏi 2. Về phơng diện chủ quan - Do kinh nghiệm còn non trẻ nên tôI viết đề tài này trớc hết nhằm phục vụ cho việc giảng dạy của riêng mình , công tác bồi dỡng học sinh giỏi của riêng mình và cho các em học sinh khá giỏi cùng ngiên cứu III . PHơng pháp ngiên cứu - trong toàn bộ đề tài mà tôI sẻ trìng bày sau đây chủ yếu ngiên cứu theo ph- ơngpháp suy luận bài toán và bắt đầu từ bài toán s g k , để học sinh có một thói quen nhận dạng bài toán một cách nhanh chóng, hợp lí và từ đó phát triển bài toán rộng hơn . Ngoài ra còn ding phơng pháp nửa đó là phơng pháp gợi mở vấn đề 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 1 IV Nhiệm vụ ngiên cứu - Để phát triển khả năng suy luận của học sinh tôI cần đI sâu vào đề tài này và phát huy hết tính tích cực của học sinh - Với thực trạng thấy rõ hiện nay là ở các trờng T.H.C.S việc phát triển và đI sâu vào nội dung của một bài toán còn cha đợc chú trọng do đó kết quả học tập của học sinh cha đợc cao ngoài ra về sự đầu t tạo nguồn của g.v còn cha thật sự lớn nên kết quả thi học sinh giỏi cha đạt đợc theo ý muốnn . Do đó tôI muốn trìnhbày đề tài này với mong muốn thứ nhất là áp dụng cho trờng tôI nói riêng và có thể là áp dụng cho các trờng T.H.C.S trong huyện nói chung V Phạm vi ngiên cứu Trong toàn bộ đề tài mà tôI đa ra ở đây nó có phạm vi không rộng nó chủ yếu là áp dụng cho học sinhkhối 6,7 về phần đại số và các bài tập mà tôI đa ra ở đây chủ yếu là lấy từ s.g.k và một số lấy từ sách bồi dỡng , nâng cao của khối 7 B . phần nội dung Chúng ta bắt đầu từ bài toán sau đây Bài 1 tính tổng đối với bài toán này thì việc tính tổng củng không phảI là khó đối với học sinh nhng làm thế nào để học sinh nhận dạng và phát triển ra bài toán khó hơn đó là một vấn đề cần quan tâm vậy tôI xin mạnh dạn trình bày lời giảI nh sau Chúng ta bắt đầu đi phân tích S . 2 100.99 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 ++++=A 3 1 2 1 2.1 1 = 3 1 2 1 3.2 1 = 4 1 3 1 4.3 1 = 100 1 99 1 100.99 1 = 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 2 cộng vế với vế ta đợc từ đó gv có thể tổng quát lên đối với n số để học sinh suy nghĩ tính tổng với n thộc N* chúng ta lại bắt đầu bài toán khó hơn . ở trên mẩu số của mổi số hạng là tích của 2 số tự nhiênliên tiếp vậy nếu nó là tích của 3 số thì sao ? chúng ta bắt đầu bài toán sau Bài toán 2 tính tổng đốivới bài toán này nó có cùng dạng nh hai bài toán trên do đó việc giảI là nhiệm vụ của học sinh nếu học sinh gặp khó khăn thì gv có thể hớng dân nh sau Từ đó cộng vế với vế ta đợc Trên đây là một vài bài tính tổng từ đó gv có thể phát triển cho học sinh một vài dạng khác nửa Bài toán 3 . Tính tổng sau A3= 7+7 2 +7 3 +7 4 + +7 2008 Khi gặp bài toán này thì học sinh sẽ tính nh thế nào 3 100 99 100 1 1 100 1 99 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 ==++++=A )1( 1 5.4 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 + +++++= nn B )2).(1.( 1 6.5.4 1 5.4.3 1 4.3.2 1 2 ++ ++++= nnn A ) 4.3 1 3.2 1 ( 2 1 4.3.2 1 = ) 5.4 1 4.3 1 ( 2 1 5.4.3 1 = ) )2).(1( 1 )1.( 1 ( 2 1 )2)(1.( 1 ++ + = ++ nnnnnnn ) )2).(1( 1 )1.( 1 ( 2 1 2 ++ + = nnnn A 86 88 89 90 91 92 93 94 95 98 99 100 101 103 104 105 106 107 108 109 111 112 113 114 115 116 3 Đối với bài toán này việc tính ra số cụ thể thì chúng ta gặp rất nhiều khó khăn nhng nếu biết khai thác một tí thì việc tính tổng lại đơn giản hơn Ta nhân hai vế với 7 ta đợc A3 =7+7 2 +7 3 +7 4 +.+7 2008 7A3 =7 2 +7 3 +7 4 +7 5 ++7 2009 Trừ vế với vế ta có 6A3 = 7 2009 7 A3= 6 77 2009 Từ đó giáo viên có thể phát triển thêm một số bài toán nh sau tính tổng A4 = 8+8 2 +8 3 + +8 2007 Tơng tự vậy cũng có thể đa ra một dạng toán nh thế nhng số mũ lại ở mẫu số. Bài toán 4: Tính tổng A = 200732 2 1 2 1 2 1 2 1 ++++ đối với bài toán này chúng ta làm hoàn toàn tơng tự nh các bài toán trên . Bây giờ từ dạng tính tổng trên ta có thể phát triển đa vào dạng so sánh hoặc chứng minh Bài toán 5 : chứng minh răng: 1 )1( 1 4.3 1 3.2 1 2 1 + ++++ nn (a) Với n N * Để so sánh hay chứng minh ta cũng phảI tính tông ở vế trái . Qua bài toán 1 ta có vế trái của a là 1+n n bây giờ chúng ta đánh giá hai vế Do n < n+1 nên 1 1 < +n n Bài toán 6: so sánh 7+7 2 +7 3 +.+7 2008 và 7 2009 Tơng tự dựa vào bài toán 3 ta có 7+7 2 +7 3 +7 4 + +7 2008 = 6 77 2009 Bây giờ ta chỉ so sánh 6 77 2009 và 7 2009 Và ta thấy 6 77 2009 < 7 2009 4 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 4 Bài toán 7 : cũng từ bài toán 5 ta có thể đa ra bài toán khác dới dạng chứng minh nh sau Cho A = 100.99 1 4.3 1 2.1 1 +++ Chứng minh rằng 6 5 12 7 << A Hoàn toàn tợng tự ta có thể thực hiện nh sau Ta tính đợc: A > 12 7 4 1 3 1 25 100 1 25 75 1 =+=+ xx Và A , 6 5 3 1 2 1 25 76 1 25 50 1 =+=+ xx Vậy 6 5 12 7 << A Bài toán 8 : Từ bài toán 4 ta có thể mở rộng ra bài toán sau đây Cho B = 200732 2 1 2 1 2 1 2 1 ++++ Chứng minh rằng B < 1 Ta có 2B = 1 + 20062 2 1 2 1 2 1 +++ 2B B = 1 - 2007 2 1 Do đó B < 1 Tơng tự bài toán 8 ta có thể khai thác một số bài toán khó hơn Bài toán 9: cho C = 992 3 1 3 1 3 1 +++ Chứng minh rằng C < 2 1 Bài toán 10 Chứng minh rằng: 1 10.9 19 4.3 7 3.2 5 2.1 3 22222222 <++++ 5 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 5 Từ bài toán trên ta có một số dạng tổng quát sau Chứng minh rằng : 1 1 4 1 3 1 2 1 2222 <++++ n Với mọi n 2 2 1 )2( 1 6 1 4 1 2 1 2222 <++++ n Với mọi n 2 Trên đây là một số dạng tính tổng và từ đó triển khai sang bất đẳng thức cũng từ đó ta có thể triển khai sang các dạng bài toán khác nh sau Bài toán 11 Biết rằng 1 2 +2 2 +3 2 + +10 2 = 385 (1) Tính S = 2 2 +4 2 +6 2 +.20 2 (Bài tập 43 sgk toán 7 tập 1 trang 23 ) Đối vơí bài toán này vấn đề giảI không phảI là khó khăn nhng vấn đề ở đây là triển khai bài toán từ giả thiết Từ 1 2 +2 2 +3 2 ++10 2 = 385 Nếu ta nhân hai vế của (1) với 2 2 thì ta có 1 2 .2 2 +2 2 .2 2 + 3 2 .2 2 .+10 2 .2 2 = 2 2 +4 2 +6 2 + 20 2 = 385.2 2 =1540 Vậy S = 385.4 = 1540 Trên đây là toàn bộ nội dung đề tài mà tôi đả trình bày trong phạm vi toán lớp 6,7 với vấn đề tính tổng trong một thời gian hạn chế C . phần kết luận Từ cơ sở lí luận , cơ sở thực tiễn , phân tích thực trạng chung mà tôi nghiên cứu đề tài này hết sức thú vị bởi nó đi sâu vào một nội dung dạng toán tôi thấy nó rất cần thiết cho giáo viên củng nh học sinh vì nó đi sâu vào quá trình nhìn nhận và phát triển một dạng toán , nó vừa tô thêm vẽ đẹp của toán học và biết liên hệ giửa toán học với các môn học khác Đề tài này còn có tác dụng tăng cờng thế mạnh của nhà trờng trong chuyên môn , không những cố tác dụng đối với giáo viên mà còn có tác dụng đối với cả học sinh . Đề tài này có thể nói là một tài liệu hết sức quan trọng , quý giá và đặc biệt là trong việc bồi dỡng học sinh giỏi khối 7 với mảng tính tổng . Trong quá trình nghiên cứu đề tài , viết đề tài không thể tránh sai sót . Do đó khi đọc đề tài mong các bạn góp ý cho tôi để tôi hoàn thiện đề tài một cách tốt hơn D. ý kiến đề xuất + Đề nghị ban giám hiệu trờng T.H.C.S. THạCH NGàN quan tâm hơn nữa việc bồi d- ỡng học sinh giõi và vấn đề tạo nguồn + Động viên kịp thời những giáo viên trẻ có chuyên môn tốt , nhiệt huyết với nghề nghiệp E . tài liệu nghiên cứu - sách giáo khoa toán 7 - báo tạp chí thế giới trong ta - Sách bồi dỡng toán 7 tập 1, 2 6 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 6 7 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 7 . vế với 7 ta đợc A3 =7+ 7 2 +7 3 +7 4 +. +7 2008 7A3 =7 2 +7 3 +7 4 +7 5 + +7 2009 Trừ vế với vế ta có 6A3 = 7 2009 7 A3= 6 77 2009 Từ đó giáo viên có thể phát triển thêm một số bài toán. 3 ta có 7+ 7 2 +7 3 +7 4 + +7 2008 = 6 77 2009 Bây giờ ta chỉ so sánh 6 77 2009 và 7 2009 Và ta thấy 6 77 2009 < 7 2009 4 1 17 118 119 120 121 122 123 124 125 126 1 27 128 129 130 131 132 133 134 135 136 1 37 138 139 140 141 142 143 144 145 146 1 47 148 149 150 151 152 153 154 155 156 1 57 158 159 160 4 . 5 161 162 163 164 165 166 1 67 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 1 87 188 189 190 191 192 193 194 195 196 1 97 198 199 200 201 202 5 Từ bài toán trên ta có một