Ngày 02-11-2008 Buổi: hoán vị - chỉnh hợp tổ hợp a. Mục tiêu: - Nắm đợc hai quy tắc đếm cơ bản; định nghĩa và công thức tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. - Vận dụng vào giải một số bài toán cơ bản. B. nội dung: I. hoán vị 1. Lí thuyết: nh ngha Cho tp hp X gm n phn t phõn bit ( ) n 0 . Mi cỏch sp xp n phn t ca X theo mt th t no ú c gi l mt hoỏn v ca n phn t. S cỏc hoỏn v ca n phn t c ký hiu l P n . n P n ! 1.2 n= = . Quy c: 0! = 1. 2.Ví dụ: Vớ d 1. Sp xp 5 ngi vo mt bng gh cú 5 ch. Hi cú bao nhiờu cỏch. Gii Mi cỏch i ch 1 trong 5 ngi trờn bng gh l 1 hoỏn v. Vy cú P 5 = 5! = 120 cỏch sp. Vớ d 2. Tỡm * n Ơ , nu cú: ( ) 3 n n n 1 2P A 1 P = . Gii iu kin: n 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n 0 2.n! 1 n. n 1 n 2 2 n 1 n 2 n 3n 0 n 1 ! n 3 = = = = = loại thỏa mãn Vy n = 3. II. chỉnh hợp 1. Lí thuyết: nh ngha Cho tp hp X gm n phn t phõn bit ( ) n 0 . Mi cỏch chn ra k ( ) 0 k nÊ Ê phn t ca X v sp xp theo mt th t no ú c gi l mt chnh hp chp k ca n phn t. S cỏc chnh hp chp k ca n phn t c ký hiu l k n A . k n n ! A (n k)! = - . Nhn xột: n n n A n ! P= = . 2.Ví dụ: Vớ d 1. Sp xp 5 ngi vo mt bng gh cú 7 ch. Hi cú bao nhiờu cỏch. Gii Mi cỏch chn ra 5 ch ngi t bng gh sp 5 ngi vo v cú hoỏn v l mt chnh hp chp 5 ca 7. Vy cú 5 7 7 ! A 2520 (7 5)! = = - cỏch sp. Vớ d 2. T tp hp { } X 0; 1; 2; 3; 4; 5= cú th lp c my s t nhiờn cú 4 ch s khỏc nhau. Gii Gi 1 2 3 4 A a a a a= vi 1 a 0ạ v 1 2 3 4 a , a , a , a phõn bit l s cn lp. + Bc 1: ch s 1 a 0ạ nờn cú 5 cỏch chn a 1 . + Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để sắp vào 3 vị trí 3 5 A cách. Vậy có 3 5 5A 300= số. III. tæ hîp 1. LÝ thuyÕt: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( ) n 0³ . Mỗi cách chọn ra k ( ) 0 k n£ £ phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n C . k n n ! C k !(n k)! = - . 2.VÝ dô: Ví dụ 1. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải + Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam. - Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ có 3 cách. - Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam có 2 5 C . Suy ra có 2 5 3C cách chọn. + Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam. - Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ có 2 3 C cách. - Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam có 5. Suy ra có 2 3 5C cách chọn. + Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 1 cách. Vậy có 2 2 5 3 3C 5C 1 46+ + = cách chọn. Ví dụ 2. Tìm * n ∈¥ , nếu có: ( ) 3 3 n n 1 6n 6 C C . 2 + − + ≥ Giải Điều kiện: n 3≥ . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 n n n n n! 2 6n 6 C C C 6n 6 C 6 n 1 n 13n 12 0 1 n 12 3 2! n 2 ! ⇔ − + ≥ + ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ − Từ (2) và (3) ta có: 3 n 12≤ ≤ . Vậy { } n 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12∈ . Nhận xét: i/ Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt. ii/ Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không. IV. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n. 4.1. Phương pháp 1. 1. LÝ thuyÕt: Bước 1. Đọc kỹ các yêu cầu và số liệu của đề bài. Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phân thành các giai đoạn. Bước 2. Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. Bước 3. Đáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên. 2.VÝ dô: Ví dụ 1. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Giải + Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam. - Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có 2 15 A cách. - Bc 3: chn 2 trong 13 nam cũn li cú 2 13 C cỏch. Suy ra cú 2 2 15 13 5A .C cỏch chn cho trng hp 1. + Trng hp 2: chn 2 n v 3 nam. - Bc 1: chn 2 trong 5 n cú 2 5 C cỏch. - Bc 2: chn 2 trong 15 nam lm t trng v t phú cú 2 15 A cỏch. - Bc 3: chn 1 trong 13 nam cũn li cú 13 cỏch. Suy ra cú 2 2 15 5 13A .C cỏch chn cho trng hp 2. + Trng hp 3: chn 3 n v 2 nam. - Bc 1: chn 3 trong 5 n cú 3 5 C cỏch. - Bc 2: chn 2 trong 15 nam lm t trng v t phú cú 2 15 A cỏch. Suy ra cú 2 3 15 5 A .C cỏch chn cho trng hp 3. Vy cú 2 2 2 2 2 3 15 13 15 5 15 5 5A .C 13A .C A .C 111300+ + = cỏch. Cỏch khỏc: + Bc 1: chn 2 trong 15 nam lm t trng v t phú cú 2 15 A cỏch. + Bc 2: chn 3 t viờn, trong ú cú n. - Trng hp 1: chn 1 n v 2 nam cú 2 13 5.C cỏch. - Trng hp 2: chn 2 n v 1 nam cú 2 5 13.C cỏch. - Trng hp 3: chn 3 n cú 3 5 C cỏch. Vy cú ( ) 2 2 2 3 15 13 5 5 A 5.C 13.C C 111300+ + = cỏch. Vớ d 2. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó a. Số tạo thành là số chẳn? b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1? c. nhất thiết phải có mặt chữ số 5? d. Phải có mặt hai số 0 và 1? 4.2. Phng phỏp 2. 1. Lí thuyết: i vi nhiu bi toỏn, phng phỏp 1 rt di. Do ú ta s dng phng phỏp loi tr (phn bự) theo phộp toỏn A A X A X \ A= =ịU . Bc 1: chia yờu cu ca thnh 2 phn l yờu cu chung X (tng quỏt) gi l loi 1 v yờu cu riờng A. Xột A l ph nh ca A, ngha l khụng tha yờu cu riờng gi l loi 2. Bc 2: tớnh s cỏch chn loi 1 v loi 2. Bc 3: ỏp ỏn l s cỏch chn loi 1 tr s cỏch chn loi 2. Chỳ ý: Cỏch phõn loi 1 v loi 2 cú tớnh tng i, ph thuc vo ch quan ca ngi gii. 2.Ví dụ: Vớ d 1. T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4 cú th lp c my s t nhiờn cú 5 ch s khỏc nhau. Gii + Loi 1: ch s a 1 tựy ý, ta cú 5! = 120 s. + Loi 2: ch s a 1 = 0, ta cú 4! = 24 s. Vy cú 120 24 = 96 s. Vớ d 2. Mt nhúm cú 7 nam v 6 n. Chn ra 3 ngi sao cho trong ú cú ớt nht 1 n. Hi cú bao nhiờu cỏch. Gii + Loi 1: chn 3 ngi tựy ý trong 13 ngi cú 3 13 C cỏch. + Loi 2: chn 3 nam (khụng cú n) trong 7 nam cú 3 7 C cỏch. Vy cú 3 3 13 7 C C 251- = cỏch chn. Ví dụ 3. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra. Giải + Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có 10 20 C cách. + Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó. - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có 10 16 C cách. - Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có 10 13 C cách. - Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có 10 11 C cách. Vậy có ( ) 10 10 10 10 20 16 13 11 C C C C 176451- + + = đề kiểm tra. Chú ý: Giải bằng phương pháp phần bù có ưu điểm là ngắn tuy nhiên nhược điểm là thường sai sót khi tính số lượng từng loại. Ví dụ 4. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra. Giải + Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7 20 C cách. + Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. - Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có 7 16 C cách. - Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có 7 7 13 9 C C- cách. - Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có 7 11 C 1- cách. Vậy có ( ) 7 7 7 7 7 20 16 13 9 11 C C C C C 1 64071- + - + - = đề kiểm tra. Ví dụ 5. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ. Giải + Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ). - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có 2 12 A cách. - Bước 2: bầu 2 ủy viên có 2 10 C cách. Suy ra có 2 2 12 10 A .C cách bầu loại 1. + Loại 2: bầu 4 người toàn nam. - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có 2 7 A cách. - Bước 2: bầu 2 ủy viên có 2 5 C cách. Suy ra có 2 2 7 5 A .C cách bầu loại 2. Vậy có 2 2 2 2 12 10 7 5 A .C A .C 5520- = cách. C. nh÷ng lu ý : . cỏch chn loi 1 tr s cỏch chn loi 2. Chỳ ý: Cỏch phõn loi 1 v loi 2 cú tớnh tng i, ph thuc vo ch quan ca ngi gii. 2.Ví dụ: Vớ d 1. T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4 cú th lp c my s t nhiờn cú 5 ch s khỏc