Ôn tập mặt phẳng − đường thẳng − mặt cầu (1) 1. Cho A(2;−4;3) , B(5;1;1) ; C(2;0;−4) a) Lập pt mặt phẳng (ABC) b) Lập pt mặt cầu đường kính BC c) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với BC . Giải : a) AB uuur =(3;5;−2) ; AC uuur =(0;4;−7) ABC n r =[ AB uuur , AC uuur ]=(−27;21;12) + Phương trình mp(ABC) : −27(x−2) +21(y+4)+12(z−3) =0 <=> −27x +21y+12z+102 =0 <=> −9x +7y +4z +34 =0 b) Gọi I là trung điểm BC => I(7/2;1/2 ; −3/2) + Bán kính : R =IB = 2 2 2 7 1 3 (5 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 − + − + + = 35 2 + Phương trình mặt cầu : (x− 7 2 ) 2 +(y− 1 2 ) 2 +(z+ 3 2 ) 2 = 35 4 c) + BC uuur =(−3;−1;−5) + Phương trình mpα qua A nhận BC uuur làm VTPT có pt : −3(x−5)−1(y−1)−5(z−1) =0 <=> −3x−y−5z +21 =0 2. Cho mp(α): 3x −y −z +7=0 và M(5;−4;3) a) Lập phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mp(α) b) Lập pt mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(α) c) Lập pt mp β qua O; M và vuông góc với mp(α) Giải : a) Vì (d) ⊥ mp(α) => d u r = n α uur =(3;−1;−1) Đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(α) có pt: x 5 3t y 4 t z 3 t = + = − − = − t ∈R b) Vì mặt cầu tâm M tiếp xúc vơi mp(α) => R= d(M;α) = 2 2 2 3.5 ( 4) 3 7 3 1 ( 1) − − − + + + − = 23 11 Phương trình mặt cầu : (x−5) 2 +(y+4) 2 +(z−3) 2 = 529 11 c) OM uuuur =(5;−4;3) ; n α uur =(3;−1;−1) +Mặt phẳng β qua O, M và vuông góc với α => n β uur =[ OM uuuur , n α uur ] =(7;14;7) + Phương trình mp(β) : 7(x−0)+14(y−0)+7(z−0) =0 <=> x+2y+z=0 3. Cho đường thẳng (d) : x 3 y 1 z 5 2 4 3 − + + = = − − vàA(3;1;−2),B(5;4;1) a) Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trung điểm của AB và song song với (d) b) Lập pt mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng (d) c) Lập pt mặt phẳng (α) qua B và vuông góc với đường thẳng (d) Giải : a) Gọi I là trung điểm AB => I(4;5/2;−1/2) Vì ∆ // d => u ∆ r = d u uur =(2;−4;−3) + Phương trình ∆ : x 4 y 5/ 2 z 1/ 2 2 4 3 − − + = = − − b)Vì mặt cầu tâm A , tiếp xúc với đường thẳng (d) => R= d(A;(d)) = 0 d d [AM , u ] u uuuuur uur uur Mà d qua M 0 (3;−1;−5) có VTCP d u uur =(2;−4;−3) 0 AM uuuur =(0;−2;−3) ; [ 0 AM uuuur , d u uur ]= (−6;−6;4) Suy ra : R= d(A;(d))= 2 2 2 2 2 2 ( 6) ( 6) 4 2 ( 4) ( 3) − + − + + − + − = 88 29 Phương trình mặt cầu : (x−3) 2 +(y−1) 2 +(z+2) 2 = 88 29 c) Vì mp(α) ⊥ đường thẳng (d) => n α uur = d u uur =(2;−4;−3) + Phương trình mp(α) qua B(5;4;1) nhận n α uur làm VTPT 2(x−5) −4(y−4)−3(z−1) =0 <=> 2x −4y −3z +9 =0 4. Cho (S) : x 2 +y 2 +z 2 −4x+8y−6z −5=0 , A(4;2;−3) a) Xác đònh tâm I và bán kính R b) Lập phương trình đường thẳng AI c) Cho (α): 4x −3y +z −1=0 . Lập pt mặt phẳng β song song với α và β tiếp xúc mặt cầu (S) Giải:a) Tâm I(2;−4;3) bán kính R= 2 2 2 2 ( 4) 3 5+ − + + = 34 b) Đường thẳng AI có VTCP AI uur =(−2;−6;6) Đường thẳng AI : x 4 2t y 2 6t z 3 6t = − = − = − + c) β // (α) => phương trình β: 4x−3y+z +D=0 ( D ≠ −1) + β tiếp xúc với mặt cầu (S) <=> d(I;β)= R <=> 2 2 2 4.2 3( 4) 3 D 4 ( 3) 1 − − + + + − + = 34 <=> D 23+ = 884 <=> D 23 884 D 23 884 + = + = − <=> D 23 884 D 23 884 = − + = − − Vậy có hai pt mặt phẳng thỏa điều kiện đề bài : • 4x−3y+z −23+ 884 =0 ; • 4x−3y+z −23− 884 =0 5. Cho (S) x 2 +y 2 +z 2 +6x−8y−2z +1=0 và (d) x 1 y 2 z 1 3 4 5 + − − = = a) Xác đònh tâm I và bán kính của mặt cầu (S) b) Lập pt mp(α) vuông góc với (d) và tiếp xúc mặt cầu (S) c) Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) . Từ đó suy ra vò trí tương đối của (d) và (S). Giải :a) Tâm I(−3;4;1) , bán kính R= 2 2 2 ( 3) 4 1 1− + + − =5 b) Vì mp(α) ⊥ (d) => n α uur = d u r =(3;4;5) + Phương trình mp(α) : 3x+4y +5z +D=0 + α tiếp xúc với mặt cầu (S) <=> d(I;α)= R <=> 2 2 2 3.( 3) 4.4 5 D 3 4 5 − + + + + + =5<=> D 12+ =5<=> D 12 25 2 D 12 25 2 + = + = − <=> D 12 25 2 D 12 25 2 = − + = − − Vậy có hai pt mặt phẳng thỏa điều kiện đề bài : • 3x+4y+5z −12+25 2 =0 ; •3x+4y+5z −12−25 2 =0 c) Đường thẳng (d) qua M 0 (−1;2;1) , d u r =(3;4;5) + 0 IM uuuur =(2;−2;0) ; [ 0 IM uuuur , d u r ] = (−10;−10;14) Khoảng cách d(I;(d)) = 0 d d [IM , u ] u uuuur uur uur = 2 2 2 2 2 2 ( 10) ( 10) 14 3 4 5 − + − + + + = 396 50 <5 => đường thẳng (d) cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt 6. Cho (d 1 ) x 2 y 1 z 4 2 3 2 + + − = = − ; (d 2 ) x 1 y 3 z 5 1 2 3 + − + = = − a) Chứng tỏ (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau b) Viết phương trình mp(α) chứa (d 1 ) và song song với (d 2 ) c) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ) . Viết pt mặt cầu đường kính MN. Giải :a) (d 1 ) qua M 1 (−2;−1;4) và 1 u uur =(−2;3;2). (d 2 ) qua M 2 (−1;3;−5) và 2 u uur =(1;−2;3) 1 2 M M uuuuuur =(1;4;−9); [ 1 u uur , 2 u uur ]=(13;8;1) [ 1 u uur , 2 u uur ]. 1 2 M M uuuuuur =1.13+4.8−9.1 =36 ≠ 0 => (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau b) Mặt phẳng α chứa (d 1 ) qua M 1 có VTCP 1 u uur Mặt phẳng α song song với (d 2 ) có VTCP 2 u uur => n α uur =[ 1 u uur , 2 u uur ]=(13;8;1) Phương trình mp(α) : 13(x+2)+8(y+1)+1(z−4) =0 <=> 13x+8y +z +30=0 c) Gọi MN là đoạn vuông góc chung M ∈ (d 1 ) => M(−2−2t 1 ;−1+3t 1 ;4+2t 1 ) N ∈ (d 2 ) => N(−1+ t 2 ;3−2t 2 ;−5+3t 2 ) MN uuuur =(1+2t 1 +t 2 ; 4−3t 1 −2t 2 ; −9−2t 1 +3t 2 ) • 1 2 MN.u 0 MN.u 0 = = uuuur uur uuuur uur <=> 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2(1 2t t ) 3(4 3t 2t ) 2( 9 2t 3t ) 0 1(1 2t t ) 2(4 3t 2t ) 3( 9 2t 3t ) 0 − + + + − − + − − + = + + − − − + − − + = <=> 1 2 1 2 17t 2t 8 2t 14t 34 − − = + = <=> 1 2 t 10 /13 t 33/13 = − = Suy ra : M(−6/13; −43/13 ; 32/13) ; N(20/13; −27/13; 34/13) + Gọi I là trung điểm của MN => I(7/13; −35/13; 33/13) Bán kính R=IM = 2 2 2 6 7 43 35 32 33 13 13 13 13 13 13 − − + − + + − ÷ ÷ ÷ = 18 13 Phương trình đường tròn đường kính MN là : (x−7/13) 2 +(y+35/13) 2 +(z−33/13) 2 = 18 13 . − = Suy ra : M(−6 /13 ; −43 /13 ; 32 /13 ) ; N(20 /13 ; −27 /13 ; 34 /13 ) + Gọi I là trung điểm của MN => I(7 /13 ; −35 /13 ; 33 /13 ) Bán kính R=IM = 2 2 2 6 7 43 35 32 33 13 13 13 13 13 13 −. => N( 1+ t 2 ;3−2t 2 ;−5+3t 2 ) MN uuuur = (1+ 2t 1 +t 2 ; 4−3t 1 −2t 2 ; −9−2t 1 +3t 2 ) • 1 2 MN.u 0 MN.u 0 = = uuuur uur uuuur uur <=> 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (1 2t t ). [ 1 u uur , 2 u uur ]= (13 ;8 ;1) [ 1 u uur , 2 u uur ]. 1 2 M M uuuuuur =1. 13+4.8−9 .1 =36 ≠ 0 => (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau b) Mặt phẳng α chứa (d 1 ) qua M 1 có VTCP 1 u uur Mặt phẳng α song song với