Đáp án HSG Gia Lai (2007-2008)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 GIA LAI Năm học 2007 - 2008 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 ( ĐỀ CHÍNH THỨC ) Bài 1: ( 2,5 điểm ) Ta có: 30 4 2008x y + = ⇔ 15 502 2 x y = − ………………………………………1,0đ Do đó: x , y nguyên dương ⇔ x nguyên, 2xM , 1004 0 15 x< < …………… …0,5đ ⇔ x nguyên, 2xM , 1 66x ≤ ≤ ……………………0,5đ Vậy có 33 giá trị x thỏa mãn điều kiện trên. Tương ứng với phương trình đã cho có 33 nghiệm nguyên dương……………0,5đ Bài 2: ( 2 điểm ) Ta có: ( ) 4 3 5 2 2 3a b c ab bc ca+ + ≥ + + ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 0a ab b b bc c c ca a− + + − + + − + ≥ ………………… 1,0đ ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0a b b c c a− + − + − ≥ (đpcm)………………….0,5đ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c= = …………………………………….0,5đ Bài 3: ( 2,5 điểm ) Để phương trình có hai nghiệm số trái dấu nhau, điều kiện là: ( ) ( ) 2007 .2 2009 0m m − − < ⇔ ( ) ( ) 2007 2009 0m m − − < ………………………………………… 1,0đ ⇔ ( 2007 0m − > và 2009 0m − < ) hoặc ( 2007 0m − < và 2009 0m − > )………0,5đ ⇔ ( 2007m > và 2009m < ) hoặc ( 2007m < và 2009m > ) ⇔ 2007 2009m < < ………………………………………………………… 0,5đ Vậy: 2008m = ……………………………………………………………… 0,5đ 1 Bài 4: ( 3 điểm ) Ta có: ( ) ( ) 2 3 5 3 5 3 5 4 6 2 5 4 2 3 5 4 5 1 A + + + = = = + + + + + + ( ) ( ) 3 5 5 5 3 5 5 5 20 10 5 5 + − + + = = = + ………………………1,0đ Tương tự: ( ) 3 5 5 5 10 4 2 3 5 B − − = = − − ……………………………………1,0đ Suy ra: 5 5 A B− = , 1A B+ = , 1 5 AB = Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 A B A B A AB B A B A B AB− = − + + = − + − 5 1 5 4 4 5 1 . 5 5 5 5 25   = − = =  ÷   ………………………………… 1,0đ Bài 5: ( 4 điểm ) a) - Trường hợp 1: 0, 0 3 x y x y ≥ ≥   + =  hay 0, 0 3 x y y x ≥ ≥   = − +  Phần đồ thị là đoạn thẳng AB , với ( ) 3;0A và ( ) 0;3B …… …………………0,5đ - Trường hợp 2: 0, 0 3 x y x y ≤ ≥   − + =  hay 0, 0 3 x y y x ≤ ≥   = +  Phần đồ thị là đoạn thẳng BC , với ( ) 3;0C − ……………………………….…0,5đ - Trường hợp 3: 0, 0 3 x y x y ≤ ≤   − − =  hay 0, 0 3 x y y x ≤ ≤   = − −  Phần đồ thị là đoạn thẳng CD , với ( ) 0; 3D − ……………………………… 0,5đ - Trường hợp 4: 0, 0 3 x y x y ≥ ≤   − =  hay 0, 0 3 x y y x ≥ ≤   = −  Phần đồ thị là đoạn thẳng DA …………………………………………… 0,5đ Kết luận: Tập hợp các điểm M là đường biên của hình vuông ABCD , nhận O là tâm đối xứng…………………… 0,5đ 2 -3 -3 3 3 M2 M3 M4 M1 O y x B C D A b) Điểm có khoảng cách đến O nhỏ nhất là chân các đường vuông góc 1 2 3 4 , , ,M M M M hạ từ O lần lượt đến các cạnh , , ,AB BC CD DA . Suy ra: 1 2 3 4 , , ,M M M M lần lượt là trung điểm của , , ,AB BC CD DA … ……… 0,5đ Vậy: 1 3 3 ; 2 2 M   =  ÷   , 2 3 3 ; 2 2 M   = −  ÷   , 3 3 3 ; 2 2 M   = − −  ÷   , 4 3 3 ; 2 2 M   = −  ÷   ………………0,5đ c) Hình vẽ:…………………………………….…………………………………0,5đ Bài 6: ( 2 điểm ) Số điểm của mỗi bạn có thể xếp theo 5 loại sau đây: - Làm đúng 5 bài, được 10 điểm. - Làm đúng 4 bài, được 7 điểm. - Làm đúng 3 bài, được 4 điểm. - Làm đúng 2 bài, được 1 điểm. - Loại còn lại, đều bị 0 điểm………………………………………………… 1,0đ Vì 31 chia 5 có thương là 6 và dư 1, nên theo Nguyên lý Đi-rích-lê, có ít nhất 7 bạn có số điểm bằng nhau……………………………………………………….1,0đ Bài 7: ( 4 điểm ) 3 I C O M A B D E a) MAC MDA∆ ∆: ⇒ MA AC MD AD = .……………………………………………… 0,5đ MBC MDB∆ ∆: ⇒ MB CB MD DB = ……………………………………………… 0,5đ Mà: MA MB= ,……………………………………………………… ……….0,5đ Nên: AC CB AD DB = , hay: . .AC DB AD CB= ………………………………… … 0,5đ b) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với (O)…………………… 0,5đ Ta có: · » » » ( ) » » ( ) · 1 1 1 2 2 2 MAI sd AE sd AC sdCE sd AC sd ED MIA= = + = + = …………… 0,5đ Suy ra tam giác AMI cân. Do đó: MA = MI . Mà MA = MB, nên: MB = MI . Vậy tam giác BMI cân. Suy ra: · · MBI MIB= …………………………………………………………….0,5đ Do đó: · · · · · · CBI MBI MBC MIB MDB DBI= − = − = . Vậy: BI là phân giác của góc CBD………………………………………… 0,5đ (Lưu ý: Cách giải khác, nếu đúng, vẫn đạt điểm tối đa) 4 . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 GIA LAI Năm học 2007 - 2008 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 ( ĐỀ CHÍNH THỨC ) Bài 1: ( 2,5 điểm ) Ta có: 30 4 2008x y +. MB= ,……………………………………………………… ……….0,5đ Nên: AC CB AD DB = , hay: . .AC DB AD CB= ………………………………… … 0,5đ b) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với (O)…………………… 0,5đ Ta có: · » » » ( ) » » ( ) · 1 1 1 2