Thông tin tài liệu
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 1 CHƯƠNG I: VECTƠ I. Đònh nghóa: 1. Vectơ AB là một đoạn thẳng có đònh hướng từ A đến B, kí hiệu AB . a) A: điểm gốc. B b) B: điểm ngọn. c) Đường thẳng AB: giá của AB . A 2. Phương của AB : tập hợp các đường thẳng song song với đường thẳng AB, hoặc trùng với đường thẳng AB. 3. Hướng của AB : hướng (chiều) từ A đến B theo phương của AB . 4. Môđun của AB , kí hiệu AB là độ dài của đoạn thẳng AB. 5. Vectơ không, kí hiệu 0 , là vectơ có môđun bằng 0 (điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau). 0 có phương và hướng tùy ý. II. Vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng: B 123 d//d//d (d 1 , d 2 , d 3 cùng phương) E D a) AB và CD cùng phương, cùng hướng. A F b) AB và EF cùng phương ngược hướng. C III. Vectơ bằng nhau, đối nhau, tự do: 1. Vectơ bằng nhau: AB và CD cùng phương AB CD AB và CD cùng hướng AB CD ⎧ ⎪ ⎪ =⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 2. Vectơ đối nhau: AB và EF cùng phương AB và EF đối nhau AB và EF ngược hướng AB EF ⎧ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ Kí hiệu: AB EF; AB BA=− =− 3. Vectơ tự do: là các vectơ bằng nhau a b c = = với gốc tùy ý. IV. Phép cộng và trừ vectơ: 1. Tổng của hai vectơ: c a) Đònh nghóa: OA a,AB b,OB c=== b b Nếu OB OA AB=+ thì cab=+ . a b) Quy tắc ba điểm của phép cộng vectơ: O, A, B bất kỳ: OB OA AB OB OA AC CD DB=+⇒=+++ a Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 2 c) Tính chất của phép cộng vectơ: () () abba ab ca bc +=+ ++=++ () a00aa aa0 + =+= +− = d) Quy tắc hình bình hành: A C OA OB OC OACB là hình bình hành += 2. Hiệu của hai vectơ: O B a) Đònh nghóa: () aba b−=+− A b) Quy tắc ba điểm của phép trừ vectơ: O, A, B bất kỳ: OB OA AB−= O B V. Phép nhân vectơ: 1. Đònh nghóa: Cho a0,mR,m0≠∈ ≠ b cùng hướng với a nếu m>0 ma b: b ngược hướng với a nếu m<0 bma ⎧ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ Quy ước: m0 0.a 0, a ma 0 a0 m.0 0, m ⎫ = ⎧ =∀ ⎪⎪ ⇒=⇔ ⎬⎨ = ⎪ =∀ ⎪ ⎩ ⎭ 2. Tính chất: () () () m. n.a m.n .a mn.amana = +=+ ( ) () () ma b ma mb 1.a 1. a a += + − =−=− 3. Vectơ cùng phương: a và b cùng phương, b 0 có m R duy nhất sao cho a mb ≠⇔ ∈ = . Chú ý: 1. ( ) O, A, B thẳng hàng OA và OB cùng phương OA kOB k R⇔⇔=∈ . 2. M là trung điểm MA MB 0⇔+= . 3. AM là trung tuyến của ABC AB AC 2AMΔ⇔+= 4. G là trọng tâm của ABC GA GB GC 0Δ⇔++= . 5. 1212 OA OA A A , O=⇒≡∀ BÀI TẬP 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng vectơ AD , chứng minh rằng CDGH là hình bình hành. F G Hướng dẫn: Vì ABCD và ABEF là hình bình hành E H Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 3 nên: AB DC FE GH DC gt : FG EH FE GH ⎫ == ⎪ ⇒= ⎬ =⇒= ⎪ ⎭ A D Do G, H, D, C không thẳng hàng. Vậy CDGH là hình bình hành. B C 2. Cho bốn điểm A, B, C, D. Tính các vectơ sau: a) vABDCBDCA=+++ . b) uABCDBCDA=+++ . Hướng dẫn: a) () ( ) vABDCBDCAABBD DCCAADDA0=+++= + + + =+= . b) () ( ) vABCDBCDA ABBC CDDA ACCA0=+++= + + + =+= . 3. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng AB CD AC DB−=+ . Hướng dẫn: AB CD AC DB AB CD AC BD AB BD AC CD AD AD−=+⇔−=−⇔+=+⇔= (đẳng thức đúng). Cách khác: ()() AB CD AC CB CB BD AC BD AC DB−= + − + =−=+ . 4. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh OA OB OC OD 0+++= . Hướng dẫn: O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD: ()() OA OB OC OD OA OC OB OD 0+++= + + + = 5. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: AD BE CF AE BF CD++=++ . Hướng dẫn: ()() ( ) ()() AD BE CF AE ED BF FE CD DF AE BF CD ED DF FE AE BF CD ++= + + + + + =+++++ =++ 6. Cho hai vectơ () a và b a,b 0≠ . Hãy tìm mối quan hệ giữa a và b nếu có một trong hai điều kiện sau: ab a b+=+ ; ab ab+=− . A Hướng dẫn: a b Nếu ab a b+=+ O cab=+ B Ta có: OB OA AB A nằm giữa O và B a, b cùng hươ ù ng=+⇒ ⇒ Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 4 Nếu ab ab+=− A b B Ta có: OB CA= a Hình bình hành OABC có hai đường chéo bằng nhau OABC là hình chữ nhật OA OC ⇒⇒⊥ ab⇒⊥ O C 7. Cho tứ giác ABCD, I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh AB CD 2IJ += . Hướng dẫn: A ()() AB CD AI IJ JB CI IJ JD+=+++++ ()( ) 2IJ AI CI JB JD=++++ B D 2IJ = C 8. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: AM BN CP 0++= . Hướng dẫn: ()()() 11 AM BN CP AB BM BC CN CB BP AB BC MC CN AB MN 0 22 ++= + + + + + =+ + += + = . Vì 11 BC CB 0,BP BA,BM MC,MN BA 22 += = = = Cách khác: Dùng quy tắc trung điểm () () () 1 AM AB AC 2 1 BN BA BC đpcm 2 1 CP CA CB 2 ⎧ =+ ⎪ ⎪ ⎪ =+⇒ ⎨ ⎪ ⎪ =+ ⎪ ⎩ 9. Cho tứ giác ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng () 1 MN AB DC 2 =+ . Hướng dẫn: ()() ()()() 11 MN MB MC MA AB MD DC 22 111 MA MD AB DC AB DC 222 =+=+++ =+++=+ Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 5 10. Cho hai vectơ a và b . Chứng minh rằng: a) ab a b+=+ b) ab ab+=− Khi nào xảy ra dấu đẳng thức? Hướng dẫn: a) Dựng OA a,AB b,OB a b===+ . Với ba điểm O, A, B luôn có OB OA+AB hay a b a b ≤ +≤+ . Dấu " " xảy ra khi O, A, B thẳng hàng và A nằm trong OB = . b) Dựng OA a,OB b. Ta có: a b OB OA BA== −=−= . Suy ra: a b AB AB OA OB a b−= = ≥ − = − . Dấu " " xảy ra khi a // b = . 11. Cho đoạn thẳng AB và hai số ,αβ không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: a) Nếu 0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho MA MB 0α+β≠ α +β = . b) Nếu 0 thì không tồn tại điểm M sao cho MA MB 0α+β= α +β = . c) Nếu 0 thì v MA MB không đổi, không phu ï thuộc vò trí điểm Mα+β= =α +β . d) ( ) Nếu 0 thì với mọi điểm M, ta có: MA MB MI,α+β≠ α +β = α+β trong đó I là điểm xác đònh bởi IA IB 0 α+β= . e) Nếu 0, M và N xác đònh bởi MN MA MBα+β≠ ∀ =α +β . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua một điểm cố đònh. Hướng dẫn: a) () () MA MB 0 MA AB AM 0 AM AB AM AB β α+β=⇔−α+β − =⇔α+β =β⇔ = α+β tồn tại duy nhất M⇒ . b) Giả sử M∃ sao cho ( ) MA MB 0 MA MB 0 MA MB 0α+β=⇒α−α=⇔α − = BA 0⇒α = 00⇒α= ⇒β= : trái giả thiết. Vậy không tồn tại M thỏa yêu cầu bài toán. c) v MA MB BA là vectơ không đổi.=α +β =α d) () ( ) () ( ) MA MB MI IA MI IB MI IA IBα+β=α ++β +=α+β +α+β Vậy () MA MB MI hay MI MA MB αβ α+β=α+β = + α+β α+β . e) Đặt ( ) MN MA MB MN MI MN// MI M,N,I thẳng hàng=α +β ⇒ = α+β ⇒ ⇒ Vậy đường thẳng MN luôn qua điểm I cố đònh. 12. Cho tam giác ABC. Gọi A 1 , B 1 , C 1 là các điểm xác đònh bởi 11 2A B 3A C 0 + = , 11 2B C 3B A 0 + = . Chứng minh rằng tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 có cùng trọng tâm. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 6 Hướng dẫn: Giả thiết ta có: ()( ) 1 111111 1 2GB 3GC 5GA 2GC 3GA 5GB 5 GA GB GC 5 GC GA GB GG 0 hay G G 2GA 3GB 5GC ⎫ += ⎪ ⎪ += ⇒ ++= ++ ⇒= ≡ ⎬ ⎪ += ⎪ ⎭ . Trong đó G là trọng tâm tam giác ABC, G 1 là trọng tâm tam giác A 1 B 1 C 1 . 13. Cho hai vectơ a,b khác 0 và không cùng phương. Gọi u,v là hai vectơ đònh bởi 11 uab = α+ β , 22 vab=α +β . Chứng minh rằng 12 12 uv và =⇔α=α β=β , còn u,v cùng phương 12 21 0⇔αβ −αβ = . Hướng dẫn: • ( ) ( ) 11 22 12 21 uv a b a b a b= ⇔α +β =α +β ⇔α−α =β−β (1) Điều này vô lý nếu 12 21 0 hoặc 0α−α≠ β−β≠ . Vậy () 12 21 1 2 12 10 và ⇔α −α = =β −β ⇒α =α β =β . • Ta có 22 12 1 1 u và v cùn g p hươn g k,k R;k k 0⇔∃ ∈ + > Sao cho ()() 11 22 12 1122 1122 11 22 kk 0 ku kv 0 k k a k k b 0 kk 0 α+ α= ⎧ +=⇔α+α+β+β=⇔ ⎨ β+ β= ⎩ . Hệ có nghiệm khi 12 kk0== • Điều kiện 12 22 12 1221 12 kk0D 0 0 αα +>⇒= =⇔αβ−αβ= ββ 14. A, B, C là ba điểm phân biệt. Chứng minh rằng: A, B, C thẳng hàng AB và AC cùng phương ⇔ . Hướng dẫn: Thuận: A,B,C thẳng hàng AB và AC cùng giá AB, AC cùng phương ⇔⇒ . Đảo: Nếu AB,AC cùng phương thì hai đường thẳng AB, AC cùng phương. Nhưng hai đường thẳng này có chung điểm A nên trùng nhau. Suy ra A, B, C thẳng hàng 15. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD với AB 2CD = . Từ C vẽ CI DA= . Chứng tỏ: a) I là trung điểm AB. b) DI CB= . Hướng dẫn: a) Do CI DA= nên CIAD là hình bình hành AI //CD⇒ . Do đó I ở trên AB. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 7 Mặt khác: AI DC AB AI AB 2DC 2 = ⎧ ⇒= ⇒ ⎨ = ⎩ I là trung điểm AB. b) CIAD là hình bình hành DC AI DC IB DCIB là hình bình hành DI CB I là trung điểm AB nên AI IB ⎫ ⇒= ⎪ ⇒=⇒ ⇒= ⎬ = ⎪ ⎭ 16. Cho hai hình bình hành ABCD và ACEF. a) Dựng các điểm M, N sao cho EM BD,FN BD== . b) Chứng minh rằng CD MN= . Hướng dẫn: ABCD là hình bình hành CD BA CD EF ABEF là hình bình hành EF BA ⎫ ⇒= ⎪ ⇒= ⎬ ⇒= ⎪ ⎭ EM BD EM FN EMNF là hình bình hành MN EF FN BD ⎫ = ⎪ ⇒=⇒ ⇒= ⎬ = ⎪ ⎭ 17. Cho hình bình hành ABCD. Dựng các điểm M, N thỏa mãn: a) MA MB MC AD−−= . b) NC ND NA AB AD AC+−=+− . c) Chứng minh MN BA= . Hướng dẫn: a) MA MB MC AD BA MC AD CM AD BA AD AB AC−−=⇔−=⇔ =−=+= C là trung điểm AM⇒ b) AC ND AC AC DN AC N là đỉnh thứ tư của hình bình hành DACN+=−⇔=⇒ . c) Từ câu a và b CM DN DCMN là hình bình hành CD MN⇒=⇒ ⇒= Tương tự BA CD MN BA=⇒ = . 18. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Xác đònh vectơ AB AC+ và tính môđun vectơ này. Hướng dẫn: Vẽ trung tuyến AM, kéo dài AM lấy điểm E sao cho ME AM = . Ta có: AB AC 2AM AE+= = . Do đó: a3 AB AC 2 AM 2. a 3 2 += = = . 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Xác đònh vectơ () 1 AB AC AD 2 ++ và tính môđun vectơ này. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 8 Hướng dẫn: ()() () 11 1 AB AC AD AB AD AC AC AC AC 22 2 ⎡⎤ ++ = + + = + = ⎣⎦ Do đó: () 1 AB AC AD AC a 2 2 ++ = = . 20. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trực tâm H. Tính môđun HA,HB,HC . Hướng dẫn: 2 2a3 a3 HA HB HC AA . 3323 ′ === = = (AA’ là đường cao). 21. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Xác đònh môđun các AB AD, AB AC, AB AD++− Hướng dẫn: ¾ Theo quy tắc hình bình hành: AB AD AC AB AD AC AC a 2+=⇒+ = == . ¾ Vẽ CA AB. Ta có: AB AC AC CA AA ′′′ =+=+= 2222 AB AC AA AA AD DA a 4a a 5 (pitago) ′′ ′ ⇒+= = = + =+= . ¾ AB AD DA AB DB AB AD DB DB a 2−=+=⇒− = == . VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ 9 Dùng quy tắc ba điểm AB BC AC; AC AB BC+= −= . 9 Mở rộng quy tắc ba điểm 12 23 n1n 1n AA AA A A AA − +++ = . 9 Quy tắc rút gọn: Nếu 11 22 nn IA IA IA 0α+α++α = thì () 1122 nn 12 n MA MA MA MIα +α + +α = α +α + +α . 9 Nếu G là trọng tâm của () 12 n A ,A , ,A và G’ là trọng tâm của () 12 n B ,B , ,B thì ta có 11 22 nn A B A B A B nGG ′ +++= . 9 Quy tắc hình bình hành: Cho hai vectơ AB,CD khác 0 và không cùng phương. Dựng hình bình hành ABCD. Ta có: AC AB AD 2AM=+= . BÀI TẬP 1. Cho tứ giác ABCD. M, N lần lượt là trung điểm AD, BC, O là trung điểm MN. Chứng minh: a) AD CD AC DB−=+ . b) ()() 11 MN AB DC AD BC BD 22 =+=++ . c) OA OB OC OD 0+++= . Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 9 d) MA MB MC MD 4MO; M+++= ∀ e) Gọi F là trung điểm CD. Chứng minh rằng: ( ) 2AB AN FA DA 3DB+++ = . Hướng dẫn: a) Quy tắc ba điểm: AB CD AC CB CD AC DC CB AC DB−=+−=++=+ . b) Quy tắc ba điểm, trung điểm: ()() ( ) ( ) AB DC AM MN NB DM MN NC AM DM NB NC 2MN+= +++ ++= + ++= (2 vectơ đối nhau). c) Quy tắc trung tuyến, trung điểm: () ( )() OA OB OC OD OA OD OB OC 2OM 2ON 2 OM ON 0+++= + + + = + = + = d) () ( ) ( ) ( ) MA MB MC MD MO OA MB OB MC OC MD OD+++= ++ ++ ++ + 4MO OA OB OC OD 4MO 0 4MO=++++=+= e) () ( ) 2AB AN FA DA 3DB 2DA AB FA AN 3DB+++ = ⇔ +++ = () 2DB FN 3DB⇔+= 2FN DB⇔= : hiển nhiên đúng. 2. Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm là G và G’. a) Chứng minh GA GB GC 0++= . b) Chứng minh AA BB CC 3GG ′′′ ′ ++= . c) Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có chung trọng tâm là AA BB CC 0 ′′′ ++= . d) Gọi G 1 , G 2 , G 3 là trọng tâm BAC , CAB , ABC ′ ′′ ΔΔΔ. Chứng minh G là trọng tâm 123 GGG Δ . Biết ABC và A B C ′′′ ΔΔ có cùng trọng tâm G. A Hướng dẫn: a) GB GC 2GM+= (tính chất trung điểm) N Mà AG 2GM= G Nên GA GB GC AG 2GM 0++=−+ = b) Quy tắc ba điểm: B M C AA AG GG G A BB BG GG G B CC CG GG G C ′′′′ =+ + ′′′′ =+ + ′′′′ =+ + () ( ) AA BB CC 3GG AG BG CG G A G B G C ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ⇒++= + +++ + + Mà AGBGCG0 (câu 1)++= GA GB GC 0 (tính chất trọng tâm) ′′ ′′ ′′ ++= Nên AA BB CC 3GG ′′′ ′ ++= c) GG GG 0 AABBCC 0 ′′ ′′′ ≡⇒ =⇔ + + = Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 10 d) Theo trên ta có: 123 AG BG CG 0++= Ta có: 1 AB AC AA 3AG ′ ++ = (G 1 là trọng tâm tam giác BCA’) 2 BA BC BB 3BG ′ ++ = (G 2 là trọng tâm tam giác CAB’) 3 CA CB CC 3CG ′ ++ = (G 3 là trọng tâm tam giác ABC’) ( ) 123 AA BB CC AC BC CB AB BA CA 3 AG BG CG ′′′ ⇒++++++++= + + (1) Mà AA BB CC 0 ′′′ ++= và ABC, A B C ′ ′′ ΔΔ có chung trọng tâm G. Suy ra (1): () 123 3AG BG CG 0++ = . Vậy G là trọng tâm tam giác G 1 G 2 G 3 . 3. Cho hình bình hành ABCD. a) Cho AB a,AD b== , I là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng 1 BI b a 2 =− , tính AG theo a, b . b) Nếu G’ là trọng tâm tam giác BCI. Chứng minh 52 AG a b 63 ′ =+ . c) Trên ABCΔ , gọi A 1 , B 1 , C 1 là các điểm xác đònh bởi 11 2A B 3A C 0 + = , 11 2B C 3B A 0 + = , 11 2C A 3C B 0+= . Chứng minh rằng 111 ABC và A B CΔΔ có cùng trọng tâm. d) Nếu B 1 , C 1 ở câu c là trung điểm của CA, AB. Đặt 11 BB u,CC v = = . Tính BC,CA,AB theo u,v . Hướng dẫn: a) () ()()() 11 1 1 1 BI BC BD AD AD AB 2AD AB 2b a b a 22 2 2 2 ⎡⎤ =+=+−= −=−=− ⎣⎦ 221 AG AB BG AB BI a b a 332 ⎛⎞ =+=+ =+ − ⎜⎟ ⎝⎠ D I C Vậy 21 AG a b a 32 ⎛⎞ =+ − ⎜⎟ ⎝⎠ G b) () 3AG ABACAI AB ABAD AI ′ =++=+ + + () 2AB AD AD DI=+++ A B 15 2AB 2AD AB AB 2AD 22 =++ = + Vậy 52 AG a b 63 ′ =+ (đpcm) c) Gọi G và G 1 lần lượt là trọng tâm 111 ABC và A B C Δ Δ . Ta có: () ( ) 11 1 1 1 2AB3AC 0 2AGGB 3AGGC 0 2GB3GC 5GA+=⇔ ++ +=⇔+= . Tương tự ta có: 11 1 2B C 3B A 0 2GC 3GA 5GB+=⇔+= [...]... là tr ọn g tâm tam giác A' B' C' Vậy tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm G Bài 5: 1) Cho tam giác ABC đều cạnh a Xác đònh vectơ AB + AC và tính môđun của vectơ này 1 2) Cho hình vuông ABCD cạnh a Xác đònh vectơ AB + AC + AD và tính môđun của vectơ này 2 3) Giả sử M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD và BC của tứ giác ABCD Chứng minh rằng 1 MN ≤ ( AB + CD ) Khi nào xảy ra... giác ABC, k là hằng số, M là điểm di dộng sao cho v = MN = 2MA − 3MB + kMC 1) Với k = 1 Chứng minh MN có phương không đổi 2) Với k ≠ 1 Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố đònh Hướng dẫn: ( ) ( ) 1) k = 1 : v = 2MA − 3MB + MC = 2MA − 3 MA + AB + MA + AC = −3AB + AC vectơ không đổi Vậy MN có phương không đổi 17 Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net ( ) ( ) 2) Gọi I: 2IA − 3IB + kIC = 0... giác ABC, k là hằng số, M là điểm di dộng sao cho v = MN = 2MA − 3MB + kMC 7) Với k = 1 Chứng minh MN có phương không đổi 8) Với k ≠ 1 Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố đònh Hướng dẫn: ( ) ( ) 1) k = 1 : v = 2MA − 3MB + MC = 2MA − 3 MA + AB + MA + AC = −3AB + AC vectơ không đổi Vậy MN có phương không đổi ( ) ( ) 2) Gọi I: 2IA − 3IB + kIC = 0 ⇔ 2 CA − CI − 3 CB − CI − kCI = 0 ⇔ ( 1 − k ) CI =... = β ⎪β = 6 ⎪ BI = 6 ⎪ ⎪ IC 5 ⎪ 3α 5 1+β ⎩ ⎩ ⎩ ( ) Ta có: 3MA + 4MB = 0 ⇔ −3AM + 4 AB − AM = 0 ⇒ AB = ( ) ( ) Bài 6: Cho tam giác ABC 1.Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC Hãy tính vectơ AI theo hai vectơ AB và AC 2.Gọi N, P lần lượt là trung điểm của CA, AB Đặt BN = a, CP = b Tính AB, BC, CA theo a và b Hướng dẫn: 1.Ta có: 2 ⎧ ⎪ AI = AB + BI = AB + 3 BC 1 ⎪ AB + 2AC ⇒ AI = ⎨ 3 ⎪ AI = AC... ( ) ( ) ( Mặt khác: v = α MI + IA + β MI + IB + γ MI + IC ) = ( α + β + γ ) MI + α IA + β IB + γ IC = ( α + β + γ ) MI Bài toán trên I gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A, B, C 2) Đặt f ( M ) = α MA + β MB + γ MC = ( α + β + γ ) MI ≥ 0 ⇒ f ( M ) min khi M ≡ I Do đó f(M) là một vectơ không đổi 3) Gọi I là điểm thỏa 2MA + 3MB − MC I tồn tại vì α + β + γ = 2 + 3 − 1 = 4 ≠ 0 Theo câu 2 f ( M ) = ( α + β... MC = 2MA − MB − MC Bài 6: Cho tứ giác ABCD, hãy tìm số k và điểm I cố đònh sao cho tổng các vectơ sau có thể viết dạng kMI, ∀M 2) 3) 4) 5) MA + MB − MC = kMI MA + MB + 2MC = kMI MA + MB + MC + MD = kMI 2MA − 3MC + 2MD = kMI Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm bất kỳ Chứng minh rằng các vectơ sau day không đổi và môđun của chúng là: 3) 2MA + MB − MC − 2MD = 3a 4) 3MA − MB − 2MC = a 13... AB + AC + AD + AE = 2AI + 2AI = 4AI Vì AS = 4AI nên AS và AI cùng phương hay A, S, I thẳng hàng 2) a) Ta có: BM = BC − 2AB ⇔ 2AB = BC − BM ( ) ( ) (1) Hay 2AB = BA + AC − BA + AM = AC − AM ⇔ AM = AC − 2AB ( ) ( CN = xAC − BC ⇔ xAC = CN − CB = CA + AN − CA + AB Hay xAC = AN − AB ⇒ AN = xAC + AB (2) Để A, M, N thẳng hàng ⇔ AM, AN cùng phương ⇔ AM = k AN ( ) ( ) ) Chọn k = −2 thì AM = −2AN ⇒ AM + 2AN... AB + AC + AD + AE = 2AI + 2AI = 4AI Vì AS = 4AI nên AS và AI cùng phương hay A, S, I thẳng hàng 2) a) Ta có: BM = BC − 2AB ⇔ 2AB = BC − BM ( ) ( ) (1) Hay 2AB = BA + AC − BA + AM = AC − AM ⇔ AM = AC − 2AB ( ) ( CN = xAC − BC ⇔ xAC = CN − CB = CA + AN − CA + AB Hay xAC = AN − AB ⇒ AN = xAC + AB (2) Để A, M, N thẳng hàng ⇔ AM, AN cùng phương ⇔ AM = k AN 35 ) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net... + IC − BI + IM = 0 ⇒ 2IB = 2IA + IC − IM ⇒ IM = 2IA + 3IC ( ) CN = xAC − BC ⇔ x CI + IA + CI + IN − CI − IB = 0 ⇒ xCI = xIA + IN − IB ⇒ IN = − xIA + ( x − 1 ) IC Để M, N, I thẳng hàng ⇔ IM và IN cùn g phương ⇔ IM = kIN Chọn k = −5 thì IM = −5IN ⇒ IM + 5IN = 0 ⇔ 2IA + 3IC − 5 ⎡ − xIA + ( x − 1 ) IC ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ 2 ( x − 1 ) + 3x = 0 ⇔ x = 2 5 2 thì M, N, I thẳng hàng 5 ⎧ IM = 2IA + 3IC 2 IM ⎪ Khi x =... Cho tam giác ABC 1) Gọi M là trung điểm BC, I và J là hai điểm xác đònh bởi AI = α AB và AJ = β AC Tìm hệ thức liên hệ giữa α và β để AM cắt IJ tại trung điểm của AM 2) Gọi P là điểm lưu động Dựng vectơ PQ = 2PA + 3PB − PC Chứng minh PQ đi qua một điểm cố đònh khi P thay đổi Gọi H là trung điểm của CQ Chứng minh rằng PH đi qua một điểm cố đònh khi P thay đổi Hướng dẫn: a Nếu α = 0 ∨ β = 0 : không . nhau). 0 có phương và hướng tùy ý. II. Vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng: B 123 d//d//d (d 1 , d 2 , d 3 cùng phương) E D a) AB và CD cùng phương, cùng hướng + − =−=− 3. Vectơ cùng phương: a và b cùng phương, b 0 có m R duy nhất sao cho a mb ≠⇔ ∈ = . Chú ý: 1. ( ) O, A, B thẳng hàng OA và OB cùng phương OA kOB k R⇔⇔=∈ hàng AB và AC cùng phương ⇔ . Hướng dẫn: Thuận: A,B,C thẳng hàng AB và AC cùng giá AB, AC cùng phương ⇔⇒ . Đảo: Nếu AB,AC cùng phương thì hai đường
Ngày đăng: 02/07/2014, 17:42
Xem thêm: Phương pháp giải toán véc tơ, Phương pháp giải toán véc tơ