Phương pháp giải toán véc tơ

Chứng minh rằng đường thẳng đi qua một điểm cố định.. Chứng minh rằng tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm... Vậy L là điểm thứ tư của hình bình hành dựng trên hai vectơ BA và BM...

c) Đường thẳng AB: giá của AB A

2 Phương của AB : tập hợp các đường thẳng song song với đường thẳng AB, hoặc trùng với đường thẳng AB

3 Hướng của AB : hướng (chiều) từ A đến B theo phương của AB

4 Môđun của AB , kí hiệu AB là độ dài của đoạn thẳng AB

5 Vectơ không, kí hiệu 0, là vectơ có môđun bằng 0 (điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau) 0 có phương và hướng tùy ý

II Vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng: B

d // d // d (d1, d2, d3 cùng phương) E D

a) AB và CD cùng phương, cùng hướng A F

b) AB và EF cùng phương ngược hướng C

III Vectơ bằng nhau, đối nhau, tự do:

1 Vectơ bằng nhau:

AB và CD cùng phương

AB CD AB và CD cùng hướng

2 Vectơ đối nhau:

AB và EF cùng phương

AB và EF đối nhau AB và EF ngược hướng

3 Vectơ tự do: là các vectơ bằng nhau a b c = = với gốc tùy ý

IV Phép cộng và trừ vectơ:

1 Tổng của hai vectơ: c

a) Định nghĩa: OA a, AB b,OB c= = = b b

Nếu OB OA AB= + thì c a b= + a

b) Quy tắc ba điểm của phép cộng vectơ:

O, A, B bất kỳ: OB OA AB= + ⇒OB OA AC CD DB= + + + a

c) Tính chất của phép cộng vectơ:

d) Quy tắc hình bình hành: A C

b cùng hướng với a nếu m>0

ma b : b ngược hướng với a nếu m<0

1 O, A, B thẳng hàng⇔OA và OB cùng phương⇔OA kOB k R= ( ∈ )

2 M là tr ung điểm⇔MA MB 0+ =

3 AM là tr ung tuyến của ABCΔ ⇔AB AC 2AM+ =

4 G là tr ọng tâm của ABCΔ ⇔GA GB GC 0+ + =

Do G, H, D, C không thẳng hàng Vậy CDGH là hình bình hành B C

2 Cho bốn điểm A, B, C, D Tính các vectơ sau:

Nếu a b+ = − A a b b B

Hình bình hành OABC có hai đường chéo bằng nhau

OABC là hình chữ nhật OA OC

10 Cho hai vectơ a và b Chứng minh rằng:

Với ba điểm O, A, B luôn có OB OA+AB hay a b≤ + ≤ a + b

Dấu " " xảy r a khi O, A, B thẳng hàng và A nằm tr ong OB=

b) Dựng OA a,OB b Ta có: a b OB OA BA= = − = − =

Suy r a: a b− = AB AB OA OB= ≥ − = a b−

Dấu " " xảy r a khi a // b=

11 Cho đoạn thẳng AB và hai số ,α β không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:

a) Nếu α + β ≠0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho MAα + βMB 0=

b) Nếu α + β =0 thì không tồn tại điểm M sao cho MAα + βMB 0=

c) Nếu α + β =0 thì v= αMA+ βMB không đổi, không phụ thuộc vị tr í điểm M

d) Nếu α + β ≠0 thì với mọi điểm M, ta có: MAα + βMB= α + β( )MI,trong đó I là điểm xác định bởi IAα + βIB 0=

e) Nếu α + β ≠ ∀0, M và N xác định bởi MN= αMA+ βMB

Chứng minh rằng đường thẳng đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn:

a) αMA+ βMB 0= ⇔ −αMA+ β(AB AM− )= ⇔ α + β0 ( )AM= βAB⇔AM = β AB

α + β ⇒tồn tại duy nhất M

b) Giả sử ∃ sao cho M αMA+ βMB 0= ⇒ αMA− αMB 0= ⇔ α(MA MB− )=0 ⇒ αBA 0=

⇒ α = ⇒ β = : trái giả thiết Vậy không tồn tại M thỏa yêu cầu bài toán

c) v= αMA+ βMB= αBA là vectơ không đổi

d) αMA+ βMB= α(MI IA+ ) (+ β MI IB+ )= α + β( )MI+ α( IA+ βIB)

Vậy αMA+ βMB= α + β( )MI hay MI= α MA+ β MB

α + β α + β

e) Đặt MN= αMA+ βMB⇒MN= α + β( )MI⇒MN // MI⇒M, N, I thẳng hàng

Vậy đường thẳng MN luôn qua điểm I cố định

12 Cho tam giác ABC Gọi A1, B1, C1 là các điểm xác định bởi 2A B 3A C 01 + 1 = , 2B C 3B A 01 + 1 = Chứng minh rằng tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm

14 A, B, C là ba điểm phân biệt

Chứng minh rằng: A, B, C thẳng hàng⇔AB và AC cùng phương

Hướng dẫn:

Thuận: A, B,C thẳng hàng⇔AB và AC cùng giá⇒AB, AC cùng phương

Đảo: Nếu AB, AC cùng phương thì hai đường thẳng AB, AC cùng phương Nhưng hai đường thẳng này có chung điểm A nên trùng nhau Suy ra A, B, C thẳng hàng

15 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD với AB 2CD= Từ C vẽ CI DA= Chứng tỏ:

a) I là trung điểm AB

b) DI CB=

Hướng dẫn:

a) Do CI DA= nên CIAD là hình bình hành⇒AI // CD

Do đó I ở trên AB

b) CIAD là hình bình hành DC AI

DC IB DCIB là hình bình hành DI CB

I là tr ung điểm AB nên AI IB

⎫

16 Cho hai hình bình hành ABCD và ACEF

a) Dựng các điểm M, N sao cho EM BD, FN BD= =

b) Chứng minh rằng CD MN=

Hướng dẫn:

ABCD là hình bình hành CD BA

CD EFABEF là hình bình hành EF BA

⇒C là tr ung điểm AM

b) AC ND AC AC+ = − ⇔DN AC= ⇒N là đỉnh thứ tư của hình bình hành DACN

c) Từ câu a và b ⇒CM DN= ⇒DCMN là hình bình hành⇒CD MN=

19 Cho hình vuông ABCD cạnh a Xác định vectơ 1(AB AC AD)

2 + + và tính môđun vectơ này

= = = = = (AA’ là đường cao)

21 Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Xác định môđun các AB AD, AB AC, AB AD+ + −

Hướng dẫn:

¾ Theo quy tắc hình bình hành: AB AD AC+ = ⇒ AB AD+ = AC =AC a 2=

¾ Vẽ CA′=AB Ta có: AB AC AC CA+ = + ′=AA′

AB AC AA′ AA′ AD DA′ a 4a a 5 (pitago)

¾ AB AD DA AB DB− = + = ⇒ AB AD− = DB DB a 2= =

VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ

9 Dùng quy tắc ba điểm AB BC AC; AC AB BC+ = − =

9 Mở rộng quy tắc ba điểm A A1 2 +A A2 3+ + A An 1− n =A A1 n

9 Quy tắc rút gọn:

d) MA MB MC MD 4MO; M+ + + = ∀

e) Gọi F là trung điểm CD Chứng minh rằng: 2 AB AN FA DA( + + + )=3DB

Hướng dẫn:

a) Quy tắc ba điểm: AB CD AC CB CD AC DC CB AC DB− = + − = + + = +

b) Quy tắc ba điểm, trung điểm:

AB DC+ = AM MN NB+ + + DM MN NC+ + = AM DM+ + NB NC+ =2MN (2 vectơ đối nhau)

c) Quy tắc trung tuyến, trung điểm:

⇔2FN DB= : hiển nhiên đúng

2 Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm là G và G’

a) Chứng minh GA GB GC 0+ + =

b) Chứng minh AA BB CC′+ ′+ ′=3GG′

c) Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có chung trọng tâm là AA BB CC′+ ′+ ′=0

d) Gọi G1, G2, G3 là trọng tâm BAC , CAB , ABCΔ ′ Δ ′ Δ ′ Chứng minh G là trọng tâm ΔG G G1 2 3 Biết

Mà AG BG CG 0 (câu 1)+ + =

G A G B G C′ ′+ ′ ′+ ′ ′=0 (tính chất tr ọng tâm) Nên AA BB CC′+ ′+ ′=3GG′

c) G G≡ ′⇒GG′= ⇔0 AA BB CC′+ ′+ ′=0

d) Theo trên ta có: AG1+BG2 +CG3 =0

Ta có: AB AC AA+ + ′=3AG1(G1 là trọng tâm tam giác BCA’)

BA BC BB+ + ′=3BG2(G2 là trọng tâm tam giác CAB’)

CA CB CC+ + ′=3CG3 (G3 là trọng tâm tam giác ABC’)

⇒AA BB CC AC BC CB AB BA CA 3 AG′+ ′+ ′+ + + + + + = ( 1+BG2+CG3) (1) Mà AA BB CC′+ ′+ ′=0 và ABC, A B CΔ Δ ′ ′ ′ có chung trọng tâm G

Suy ra (1): 3 AG( 1+BG2+CG3)=0

Vậy G là trọng tâm tam giác G1G2G3

3 Cho hình bình hành ABCD

a) Cho AB a, AD b= = , I là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BCD

2C A 3C B 0+ = Chứng minh rằng ΔABC và A B CΔ 1 1 1 có cùng trọng tâm

d) Nếu B1, C1 ở câu c là trung điểm của CA, AB Đặt BB1 =u,CC1 =v

4 Cho tam giác ABC, trọng tâm G

a) Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB Đặt BB1 =u,CC1 =v Chứng minh rằng

AA +BB +CC =0và tính BC,CA, AB theo u và v

b) Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI 3BI= , F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho

5FB 2FC= Tính AI, AF theo AB và AC, tính AG theo AI và AF

c) H là điểm đối xứng của B qua G Chứng minh AH 2AC 1AB; CH 1(AB AC)

VẤN ĐỀ 2: XÁC ĐỊNH MỘT ĐIỂM THỎA MÃN MỘT HỆ THỨC VECTƠ

Bài 1: Cho tam giác ABC, hãy dựng các điểm I, J, K, L biết rằng: A L

Vậy K thuộc AB

4) Ta có: 2LA LB 3LC AB AC− + = + ⇔ −2AL−(AB AI− ) (+3 AC AL− )=AB AC+

1) 2AI 3 IB BC= ( + )=3IC⇔3AC IA 0+ =

Vậy I là điểm trên AC sao cho AI 3AC=

2) Gọi M là điểm giữa đoạn AB, ta có: FA FB 2FC 0+ + = ⇔2FM 2FC 0+ = ⇔FM FC 0+ =

Vậy F là điểm giữa của đoạn MC

3) Gọi N là điểm trên BA sao cho 2NB NA 0+ = và P là điểm trên BA sao cho 2PA PB 0+ =

Ta có: 2KA KB 2CB CA 3KP 3CN hay KP CN CK NP BA

6) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: 3KA GB GC 5GK+ + = ⇒2GA 5GK=

Vậy K nằm trong đoạn GA sao cho GK 2GA

5

=

7) Gọi M là trung điểm AC, ta có: 3LA 2LB LC 0− + =

⇒3MA 2MB MC 2ML− + = ⇔2MA 2MB MA MB 2ML− + + = ⇔MA MB ML − = hay BA ML= Vậy L là điểm thứ tư của hình bình hành dựng trên hai vectơ BA và BM

Bài 3: Cho tam giác ABC và điểm D, E

1) Chứng minh nếu OA OB OC 0+ + = thì O là trọng tâm tam giác ABC

1) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

b) MA MB 2MC 0+ + = ⇔2MI 2MC 0 I là tr ung điểm AB+ = ( )⇔MI MC 0+ =

Vậy M là trung điểm IC

c) MA MB MC MD ME+ + = − ⇔3MG EM MD ED= + =

MG 1ED hay GM 1DE

⇔ = = G là tr ọng tâm ABC( Δ )

d) 2MA 3MB MC 0+ − = ⇔2MA 3 MA AB+ ( + ) (− MA AC+ )= ⇔0 4MA 3AB AC 0+ − =

MA 1(AC 3AB hay AM) 1(3AB AC)

3) a) 2MA 3MB 0− = ⇔2MA 3 MA AB− ( + )= ⇔0 AM 3AB=

b) MA MB MC AB AC+ + = + ⇔3MG 2AI G là tr ọng tâm ABC, I là tr ung điểm BC= ( Δ )

⇒ 5MA 3MB− min ⇔M là hình chiếu của K lên d( )

Bài 4: Cho tam giác ABC, trọng tâm G

1) Xác định ví trí điểm M sao cho:

a) MA MB 2MC 0+ + =

b) MA MB MC 0− + =

c) MA 2MB 0+ =

d) MA 2MB CB+ =

2) Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C và C’ là điểm đối xứng của C

qua A Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm G

3BM BA BC 2BJ J là tr ung điểm AC( ) BM 2BJ M là tr ọng tâm tam giác ABC

1) Cho tam giác ABC đều cạnh a Xác định vectơ AB AC+ và tính môđun của vectơ này

2) Cho hình vuông ABCD cạnh a Xác định vectơ 1(AB AC AD)

2 + + và tính môđun của vectơ này

3) Giả sử M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD và BC của tứ giác ABCD Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi AB // DC hay ABCD là hình thang đáy AB, CD

Bài 6: Cho tứ giác ABCD

1) Tìm điểm cố định I và hằng số k để hệ thức sau thỏa với mọi M:

a) MA MB 2MC kMI+ + =

b) 2MA 3MB MD kMI+ − =

c) MA MB 2MC kMI− − =

d) MA 2MB 3MC 4MD kMI+ + − =

2) OA OB OC OD 0+ + + = Chứng minh O xác định duy nhất

3) Nếu ABCD là hình bình hành Với mọi M, hãy tìm K và điểm I cố định thỏa:

a) MA MB MC 3MD kMI+ + + =

b) MA 2MB kMI+ =

c) 2MA MB MC kMI+ − =

4) Xác định vị trí điểm S để SA SB SC SD 0+ + + =

5) Gọi G là trọng tâm tứ giác ABCD, A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD,

ABC Chứng minh rằng G là điểm chung của các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ và cũng là trọng tâm tứ giác A’B’C’D’

Hướng dẫn:

1) a) I là trung điểm AB

MA MB 2MC kMI+ + = ⇔2MI 2MC kMI+ = ⇔2 MI MC( + )=kMI

⇔4MO kMI= (O là trung điểm IC)

Hệ thức cho câu a đúng M∀ ⇔ ≡I O, k 4=

b) Gọi IS là điểm thỏa 2SA 3SB SD 0+ − = ⇔2SA 3 SA AB+ ( + ) (− SA AD+ )=0

AS 1(3AB AD)

4

⇔ = − khi S là điểm cố định

Khi đó 2MA 3MB MD kMI+ − = ⇔2 MS SA( + ) (+3 MS SB+ ) (− MS SD+ )=kMI

⇔4MS 2SA 3SB SD kMI+ + − = ⇔4MS kMI=

Hệ thức cho câu b đúng M khi I S,k 4∀ ≡ =

c) Gọi J là điểm thỏa JA JB 2JC 0 JC 1BA

2

− − = ⇔ = (J xác định)

MA MB 2MC kMI− − = ⇔(MJ JA+ ) (− MJ JB+ ) (−2 MJ JC+ )=kMI

⇔ −2MJ JA JB 2JC kMI+ − − = ⇔ −2MJ kMI=

Hệ thức cho câu c đúng M khi I J ,k∀ ≡ = − 2

2) Gọi N, L là trung điểm AB, CD

OA OB OC OD 0+ + + = ⇔2ON 2OL 0+ = ⇔ON OL 0+ = ⇔O là trung điểm NL

⇒O xác định duy nhất

3) a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: MA MB MC 3MG+ + =

⇒MA MB MC 3MD 3 MG MD+ + + = ( + ) ( )=3 2MI =6MI (I là trung điểm GD)

+ = ⎪⎭ (xem các bài tập trước)⇔SM SN 0+ =

⇒S là tr ung điểm MN

5) Vì G là trọng tâm tứ giác ABCD nên GA GB GC GD 0+ + + = (1)

Mặt khác A’ là trọng tâm tam giác BCD nên

GB GC GD+ + =(GA A B′+ ′ ) (+ GA A C′+ ′ ) (+ GA A D′+ ′ )⇒GB GC GD 3GA+ + = ′ (2)

Từ (1) và (2) suy ra GA 3GA+ ′= ⇒0 GA= −3GA′

Vậy 3 điểm G, A, A’ thẳng hàng

Chứng minh tương tự ta có: G, B, B’ thẳng hàng; G, C, C’ thẳng hàng

Hay AA’, BB’, CC’ đồng quy tại G

Từ (1) và (2) suy ra GA GB GC GD+ + + = −3 GA GB GC GD( ′+ ′+ ′+ ′)= 0

Hay GA GB GC GD′+ ′+ ′+ ′= ⇒0 G là tr ọng tâm tứ giác A B C D′ ′ ′ ′

Bài 12: Cho tam giác ABC, k là hằng số, M là điểm di dộng sao cho v MN 2MA 3MB kMC= = − +

1) Với k 1= Chứng minh MN có phương không đổi

2) Với k 1≠ Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn:

1) k 1 : v 2MA 3MB MC 2MA 3 MA AB= = − + = − ( + ) (+ MA AC+ )= −3AB AC+ vectơ không đổi Vậy MN có phương không đổi

2) Gọi I: 2IA 3IB kIC 0− + = ⇔2 CA CI( − ) (−3 CB CI− )−kCI 0= ⇔(1 k CI 3CB 2CA− ) = −

Và: MN 2 MI IA= ( + ) (−3 MI IB+ ) (+k MI IC+ )=(k 1 MI 2IA 3IB kIC− ) + − + =(k 1 MI− )

Vậy MN=(k 1 MI− ) ⇒MN // MI⇒MN đi qua I cố định

Bài 13: Cho tam giác ABC, trọng tâm G Các điểm M, N thỏa mãn: 3MA 4MB 0,CN 1BC

Vậy ba điểm M, N, G thẳng hàng

Bài 14: Cho tam giác ABC

1) MN v 2MA 3MB kMC= = + +

a Khi k 5≠ Chứng minh giá của MN luôn qua một điểm cố định

b Tìm k để MN là một vectơ không đổi

2) Lấy E, F trên tam giác ABC sao cho AE 1AB, AF 1 AC k 0; 1( )

1) a) Gọi I là điểm thỏa 2IA 3IB kIC 0+ + = ⇔2IA 3 IA AB+ ( + ) (+k IA AC+ )=0

(5 k IA) 3AB kAC IA 3AB kAC(k 5)

Hay kEF AC AB AF BC AF= − − = −

Vẽ AI BC= thì AI AF kEF− = ⇒kEF FI= ⇒E, F, I thẳng hàng⇒EF qua I cố định

Bài 15: Cho hình bình hành ABCD

1) Gọi I, F, K là các điểm xác định bởi AI= αAB, AF= βAC, AK = γAD Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng hàng là 1 = +1 1(α β γ ≠, , 0)

2) Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AM 1 CN 1,

AB = 3 CD 2= Gọi G là trọng tâm tam giác

BMN

a) Tính AN, AG theo AB, AC

b) Gọi H là điểm định bởi BH kBC= Tính AH theo AB, AC và k Tìm k để AH qua G

b) AH AB BH AB kBC AB kBA kAC= + = + = + + =(1 k AB kAC− ) +

⇒ Điều kiện cần và đủ để AG qua H là AG cùng phương AH 5 k 1(1 k) k 6

Bài 16: Cho tam giác ABC

1) Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho BD DE EC= =

a) Chứng minh rằng AB AC AD AE+ = +

b) Tính AS AB AD AC AE theo AI= + + + , suy ra A, I , S thẳng hàng

2) Gọi M là điểm định bởi BM BC 2AB= − , N là điểm định bởi CN xAC BC= −

a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng

b) Xác định x để MN qua điểm giữa I của BC Tính IM

b) AS=(AB AC+ ) (+ AD AE+ )=2AI 2AI 4AI+ =

Vì AS 4AI= nên AS và AI cùng phương hay A, S, I thẳng hàng

2) a) Ta có: BM BC 2AB= − ⇔2AB BC BM= −

Hay 2AB=(BA AC+ ) (− BA AM+ )=AC AM− ⇔AM AC 2AB= − (1)

CN xAC BC= − ⇔xAC CN CB= − =(CA AN+ ) (− CA AB+ )

Hay xAC AN AB= − ⇒AN xAC AB= + (2)

Để A, M, N thẳng hàng ⇔AM, AN cùng phương⇔AM kAN=

Chọn k = −2 thì AM= −2AN⇒AM 2AN 0+ = ⇔(AC 2AB− ) (+2 xAC AB+ )=0

⇒xCI xIA IN IB= + − ⇒IN= −xIA+(x 1 IC− )

Để M, N, I thẳng hàng⇔IM và IN cùng phương⇔IM kIN=

Chọn k = −5 thì IM= −5IN⇒IM 5IN 0+ = ⇔2IA 3IC 5 xIA+ − ⎡− +(x 1 IC− ) ⎤=0

Bài 17: Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực sao cho a b c 0+ + ≠

1) Chứng minh rằng chỉ có một điểm G thỏa mãn hệ thức aGA bGB cGC 0+ + =

2) Gọi M và P là hai điểm di động sao cho MP aMA bMB cMC= + + Chứng minh rằng ba điểm G, M, P thẳng hàng

Hướng dẫn:

1) Ta có: aGA bGB cGC 0+ + = ⇔aGA b GA AB+ ( + ) (+c GA AC+ )=0

(a b c GA) bAB cAC AG bAB cAC

Vậy M, P ,G thẳng hàng

Bài 18: Cho tam giác ABC

1) Gọi M là trung điểm BC, I và J là hai điểm xác định bởi AI= αAB và AJ = βAC Tìm hệ thức liên hệ giữa và α β để AM cắt IJ tại trung điểm của AM

2) Gọi P là điểm lưu động Dựng vectơ PQ 2PA 3PB PC= + − Chứng minh PQ đi qua một điểm cố định khi

P thay đổi Gọi H là trung điểm của CQ Chứng minh rằng PH đi qua một điểm cố định khi P thay đổi

2α+2β = ⇔ α β+ =

b Gọi E là điểm định bởi 2EA 3EB EC 0+ − = ⇔2EA 3 EA AB+ ( + ) (− EA AC+ )= 0

5AE 3AB AC E cố định

Ta chứng minh PQ qua E

PQ 2PA 3PB PC 2 PE EA= + − = + +3 PE EB+ − PE EC+ =4PE 2EA 3EB EC 4PE+ + − =

⇒P, Q, E thẳng hàng⇒PQ qua điểm cố định E

Ta có: PH 1(PQ PC) (1 2PA 3PB) 1(2 3 PJ) 5PJ

⇒P, H, J thẳng hàng⇒PH qua điểm cố định J

Bài 19: Cho bốn điểm A, B, C, M thỏa mãn MA 2MB 3MC 0+ − = Chứng minh A, B, C thẳng hàng

Bài 20: Cho tam giác ABC, M và N thay đổi sao cho MN 2MA 3MB MC= + −

1) Tìm điểm I thỏa mãn 2IA 3IB IC 0+ − =

2) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

⇒ = − : đẳng thức xác định điểm I

2) MN 2MA 3MB MC 2 MI IA= + − = ( + ) (+3 MI IB+ ) (− MI IC+ )=4MI+(2IA 3IB IC+ − )=4MI

⇒M, N, I thẳng hàng hay MN đi qua điểm I cố định

Bài 21: Cho tam giác ABC, gọi I, J là hai điểm xác định bởi IA 2IB; 3JA 2JC 0= + =

Bài 22: Cho tam giác ABC, hai điểm M, N thay đổi sao cho MN 2MA MB MC= − +

1) Dựng điểm I sao cho 2IA IB 3IC 0− + =

2) Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

3) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh MP đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

Hướng dẫn:

1) 2IA IB 3IC 0− + = ⇔2 OA OI( − ) (− OB OI− ) (+3 OC OI− )= ⇔0 2OA OB 3OC 4OI− + =

Nếu chọn O C thì 4CI 2CA CB≡ = − : đẳng thức này hoàn toàn xác định I

Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác trên

1 Chứng tỏ AA BB CC′+ ′+ ′=3GG′ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm

2 Giả sử A’, B’, C’ lần lượt thuộc cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai tam

giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là BA CB AC

Bài 3: Cho hình thang ABCD, AC cắt BD tại O Qua O vẽ đường thẳng MN song song hai đáy AD, BC Đặt

a AB , b CD= = Chứng minh MN bAB aDC

a b

+

=

+ Hướng dẫn:

Ta có: 3MA 4MB 0 3AM 4 AB AM( ) 0 AB 7AM

1 Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho BI 2IC= Hãy tính vectơ AI theo hai vectơ AB và AC

2 Gọi N, P lần lượt là trung điểm của CA, AB Đặt BN a,CP b= = Tính AB, BC,CA theo a và b

Bài 7: Cho bốn điểm A, B, C, D Ta dựng các điểm M , N, P thỏa mãn AM 2AB, AN 2AC,= = AP 2AD=

3) Nếu 0α + β + γ ≠ thì tồn tại duy nhất điểm I thỏa: IAα + βIB+ γIC 0= khi

2MA 3MB MC+ − trong tam giác ABC

6) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa IAα + βIB 0= Suy ra rằng với M bất kỳ, ta có:

Bài toán trên I gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A, B, C

2) Đặt f M( )= αMA+ βMB+ γMC= α + β + γ( )MI 0≥ ⇒f M( )min khi M I≡

Do đó f(M) là một vectơ không đổi

3) Gọi I là điểm thỏa 2MA 3MB MC+ −

I tồn tại vì α + β + γ = + − = ≠ 2 3 1 4 0

Theo câu 2 f M( ) (= α + β + γ)MI = 4MI 0≥ ⇒f M( )min khi M I≡