10) MA MB+ = MA MB+ .
Hướng dẫn: 1) ¤ Nếu k 1
2
≠ − , chọn điểm I xác định bởi IA kIB kIC 0+ + = Ta có: MA kMB kMC 0+ + = ⇔(1 2k MI 0+ ) = ⇔M I≡ Vậy tập hợp cần tìm gồm một điểm I. ¤ Nếu k 1 2 = − Ta có: MA 1MB 1MC 0 (MA MB) (MA MC) 0 2 2 − − = ⇔ − + − = ⇔BA CA 0+ = (vô lý) Vậy tập điểm cần tìm là tập rỗng. 2) Chọn điểm I thỏa: kIA+ −(1 k IB 0) = Ta có: kMA+ −(1 k MB 0) = ⇔MI 0=
Vậy tập hợp cần tìm gồm một điểm I.
3) Tập cần tìm là một điểm I thỏa 2IA+(3 k IB kIC 0− ) + = 4) Chọn I là tâm tỉ cự của A 1 , B 1 ,C 2( ) ( ) ( )
Ta có: v MA MB 2MC 4MI. Vậy v cùng phương BC= + + = ⇔MI cùng phương BC ⇔M thuộc đường thẳng qua I và song song với BC.
5) ¤ Nếu k 1 4 ≠ , chọn I là tâm tỉ cự của A 2 , B k 1 ,C 3k( ) (− − ) (− ). Tập điểm I cần tìm chỉ gồm một điểm I. ¤ Nếu k 1 4 =
Ta có: 2MA 5MB 3MC 0 5 MA MB( ) (3 MA MC) 0 5BA 3CA 0
4 4
− − = ⇔ − + − = ⇔ + = (vô lý)
Vậy tập cần tìm là tập rỗng.
6) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC Ta có: 3MG 3 2MI MG MI
2
= ⇔ = ⇔M thuộc đường trung trực của IG. 7) Dựng hình bình hành ABCD.
Ta có: MA BC+ = MA MB− ⇔ MA AD+ = BA ⇔ MD = BA ⇔DM BA= Vậy M thuộc đường tròn tâm D, bán kính R AB= .
8) Chọn P là tâm tỉ cự của A 2 , B 1( ) ( ), Q là tâm tỉ cự của B 4 ,C 1( ) ( )− . Ta có: 2MA MB+ = 4MB MC− ⇔ 3MP = 3MQ ⇔MP MQ=
Vậy M thuộc trung trực của PQ.
Ta có: 4MA MB MC+ + = 2MA MB MC− − ⇔ 6ME = MA MB MA MC− + −
1
6ME BA CA ME BA CA
6
⇔ = + ⇔ = + .
Vậy M thuộc đường tròn tâm E, bán kính R 1 BA CA 6
= +
10) Dựng hình bình hành MANB. Ta có: MA MB MN+ = Lại có: MN MB BN≤ + . Dấu “=” xảy ra khi B thuộc MN.
Mà MA MB+ = MA MB+ ⇔ MN = MA MB+ ⇔MN MB BN= + ⇔ ∈B MN. Vậy tập các điểm M là đường thẳng AB trừ tất cả các điểm trong đoạn AB.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD.
1) M và N là hai điểm lưu động xác định bởi MN 3MA 2MB 2MC MD= − − + .
a) Chứng minh MN là vectơ không đổi. Tìm tập hợp điểm M biết rằng giá của MN qua tâm O của hình bình hành.
b) Tìm tập hợp điểm M khi N chuyển động trên AC. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2) Gọi A’B’C’D’ là hình bình hành. Các điểm P và Q định bởi: PC kPC+ ′=0,QD kQD+ ′=0 k( ≠ −1), còn M và N của hình bình hành ABCD định bởi MA kMA+ ′=0, NB kNB+ ′=0.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Tìm tập hợp tâm hình bình hành khi M chạy trên AA’ Hướng dẫn:
1) a) MN 2 MA MB= ( − ) (+ MA MC− ) (+ MD MC− )=2BA CA CD+ +
MN 2BA CA CD
⇒ = + + là vectơ không đổi.
Tập các điểm M chính là đường thẳng qua O và song song với vectơ không đổi 2BA CA CD+ + . b) Ta dựng một điểm đặc biệt của tập cần tìm.
Dựng A0 sao cho: A A 2BA CA CD0 = + + . Khi đó ta có: MN A A= 0 . Vậy tập điểm cần tìm là đường thẳng qua A0 và song song AC. 2) a) MN MA AB BN và kMN k MA A B B N= + + = ( ′+ ′ ′+ ′ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k 1 MN MA kMA AB kA B NB kNB k 1 MN AB kA B ′ ′ ′ ′ ⇒ + = + + + − + ′ ′ ⇒ + = + Tương tự ta có: (k 1 QP DC kD C+ ) = + ′ ′ Mà AB DC, A B= ′ ′=D C′ ′ Nên (k 1 MN+ ) =(k 1 QP+ ) ⇒MN QP= . Vậy MNPQ là hình bình hành.
b) Gọi E là tâm của hình bình hành MNPQ, ta có:
( )
⇒E, O, O’ thẳng hàng, đồng thời khi M chạy trên đoạn AA’, E chạy trên đoạn OO’ trong đó O là tâm hình bình hành ABCD, O’ là tâm hình bình hành A’B’C’D’.
Bài 4: Cho ba điểm cố định A, B,C không thẳng hàng. Gọi M là điểm di động sao cho AM cùng phương
BC.
1) Tìm tập hợp các điểm M.
2) Gọi N là điểm sao cho ABMN là hình bình hành. Tìm tập hợp các điểm N. 3) Gọi I là tâm của hình bình hành ABMN. Tìm tập hợp các điểm I.
Hướng dẫn: 1) Tìm tập hợp các điểm M:
Ta có: AM cùng phương BC ⇔BC kAM= .
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng qua A song song với BC. 2) Vì ABMN là hình bình hành ⇒AM cùng phương BN.
Mà AM cùng phương BC
Nên BN cùng phương BC ⇒ B, N, C thẳng hàng Vậy tập hợp điểm N là đường thẳng BC (N BC∈ ). 3) Gọi O là trung điểm AB, suy ra O cố định.
Theo tính chất hình bình hành ta có OI cùng phương BC. Vậy tập hợp điểm I là đường thẳng qua O và song song BC. Bài 5: Cho tứ giác ABCD.
1) Xác định điểm O sao cho OB 4OC 2OD+ = .
2) Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức MB 4MC 2MD+ − = 3MA . Hướng dẫn:
1) Ta có: OB 4OC 2OD+ = ⇔OB 4 OB BC+ ( + ) (=2 OB BD+ )
⇔3OB 2BD 4BC 2 BD BC= − = ( − )−2BC 2CD 2BC 2 CD BC= − = ( − )
3OI 4CI= (I là trung điểm BD) BO 4IC
3
⇔ =
Vậy O là đỉnh hình bình hành IBOE với IE 4IC 3
= . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});