Trờng THPT hoàng mai Tổ :Toán - Tin Đề thi học sinh giỏi trờng năm học:2009-2010 Môn :Toán 10 Câu 1 (6 điểm) a) Giải phơng trình : 2 2 1 1 2x x x x + + = b) Giải bất phơng trình : ( ) ( ) 4 2 3 2 2 3 3 2 2x x x x + + + Câu 2. (6,0 điểm) a) Tìm m để Phơng trình sau có nghiệm: ( ) ( ) 3 2 3 0m x m x m + + = b) Tìm m để hệ phơng trình: 2 2 2 4x y x y m + = = có nghiệm Câu3(2,5 điểm) Cho cặp số thực (x;y) thoả mãn diều kiện : x - 2y + 4 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 2 6 12 45 10 16 89P x y x y x y x y= + + + + + Câu4 (5,5 diểm) a) Cho tam giác ABC , gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AC ; E ,F lần lợt là các điểm thoả mãn : 1 3 ME MN= uuur uuuur , 1 3 BF BC= uuur uuur . Chứng minh rằng A,E,F thẳmg hàng. b) Trong hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Biết A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm G thuộc đờng thẳng (d) : 3x- 6y - 8=0. Tính bán kính đòng tròn nội tiếp tam giác . Hết 1 Hớng dẫn và biểu điểm chấm Môn : Toán 10 Câu Nội dung Biểu điểm Câu1 1.a. Giải phơng trình : 2 2 1 1 2x x x x + + = (1) ĐK: 1x Nhận xét : 2 2 1. 1 1x x x x + = Đặt : 2 1t x x= ( ) 0t PT (1) có dạng: 1 2 1t t t + = = PT (1) 2 1 1 1x x x = = 1.b Giải BPT: ( ) ( ) 4 2 3 2 2 3 3 2 2x x x x + + + (1) Giải: TXĐ: 2 [ ; ) 3 D = + Trên D 2 0x + > ,ta cha hai vế cho 2 0x + > BPT(1) 4 3 2 3 2 2. 1 3. 2 2 x x x x + + + Đặt : 4 3 2 ; 0 2 x t t x = + BPT 2 1 2 3 1 0 0 2 t t t + hoặc 1t Với 4 1 3 2 1 2 34 0 2 2 2 3 47 x t x x + Với 4 3 2 1 1 2 2 x t x x + Vậy tập nghiệm của BPT là : 2 34 [ ; ] [2; ) 3 47 T = + Bài 2 2.a Tìm m để Pt sau có nghiệm : ( ) ( ) 3 2 3 0m x m x m + + = (1) Giải: Đk: 0x Đặt: ; 0t x t= PT (1) trở thành : ( ) ( ) 2 2 3 3 0m t m t m + + = (2) PT(1) có nghiệm khi và chi khi Pt(2) có nghiệm thoả mãn : 0t +Nếu: 2m TH1:PT(2) có nghiệm : t=0 m=3 TH2: PT(2) có nghiệm : 1 2 0 5 0 0 2 3 0 t t S m P < > < > TH3: PT(2) có nghiệm: 1 2 0t t< < 2 3m < < +Nếu m=2thì PT (2) có 1 nghiệm t=1 (t/m) 2 Vậy PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi: 5 3 3 m 2.b Tìm m để hệ PT: 2 2 2 4x y x y m + = = có nghiệm Hệ Pt: 2 2 2 4x y x y m + = = ( ) 2 2 4 0 y x m x x m = + = ( ) 2 4 0 x m y x m x x m = + = +Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi PT: ( ) 2 ( ) 4 0f x x x m= + = có nghiệm trong [ ; )m + (*) Ta có : 4 17m = + nên f(x) = 0 PT có nghiệm khi: 17 4 m và 1 4 17 2 m x + = Suy ra f(x)=0 có nghiệm thoả mãn (*) 1 4 17 2 1 4 17 2 m m m m + + + ( ) 2 2 1 0 17 2 1 0 2 4 4 17 2 1 m m m m m + + + + Cách 2: Nhận xét : Từ PT: 2 2 4x y+ = 2 2 2 2 4 0 2 2 4 0 2 2 x y y y x x = = Hệ PT : 2 2 2 4x y x y m + = = ( ) 2 2 (1) 4 0(*) y x m x x m = + = Hệ (1) có nghiệm [ ] 2 2 ( ; ) 2; 2 4 (*) y x m x y x x m = + = ( ) 2 4 0x x m + = có nghiệm trên [-2;2]. Xét đồ thị hàm số 2 4y x x= + trên [-2;2] và đồ thị hàm số y = m Ta có; nghiệm của PT : 2 4x x m + = trên [-2;2] là giao điểm của hai đồ thị hàm số. Vậy; 17 2 4 m Bài 3 Tìm GTNN của 2 2 2 2 6 12 45 10 16 89P x y x y x y x y= + + + + + Giải: 2 2 2 2 6 12 45 10 16 89P x y x y x y x y= + + + + + Biến đổi; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 6 5 8P x y x y= + + + Trong mặt phẳng toạ độ với hệ 0xy ta gọi là đờng thẳng có phơng trình: x - 2y + 4 = 0 và các điểm M(x;y), A(3;6), B(5;8) thì P= MA+MB Bài toán trở thành tìm toạ độ điểm M thuộc sao cho tổng MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất 3 Rõ ràng A,B nằm về cùng một phía với . Ta tìm đợc điểm A(5;2) , đối xứng A qua . Với M thuộc ta có :MA + MB = MA+ MB AB (không đổi) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A,M,B thẳng hàng hay M chính là giao điểm của với dờng thẳng AB Tìm đợc PT đờng thẳng AB là x 5 = 0 Giải hệ PT: 5 0 2 4 0 x x y = + = 5 9 2 x y = = Kết kuận:Min P = 6 5 9 2 x y = = Bài4 4.a Chứng minh A,E,F thẳng hàng Biến đổi: 1 1 3 6 AE AB AC= + uuur uuur uuur 2 1 3 3 AF AB AC= + uuur uuur uuur Vậy; ta có ; 2AF AE= uuur uuur ( ĐPCM) 4.b Gọi C(a;b) . 1 . 2 S AB CH= Ta có : 2AB = Phơng trình AB: x y -5 =0 5 ( , ) 2 a b CH d C AB = = Do đó: 5 3 1 (1) . . 2 2 2 2 a b = 5 3a b = 8 2 a b a b = = Toạ độ: 5 5 ; 3 3 a b G + ữ . ( ) ( ) 3 5 5 8 0 3 3 a b G + = 3 4a b = TH1: ( ) 3 4 2 2; 10 8 10 a b a C a b b = = = = Chu vi tam giác ABC: 2 2 65 89P AB BC CA= = = = + + 3 2 65 89 S r P = = + + TH2: ( ) 3 4 1 1; 1 2 1 a b a C a b b = = = = Chu vi tam giác ABC: 3 2 2 2 5 2 2 5 P r= + = + 4 5 . Trờng THPT hoàng mai Tổ :Toán - Tin Đề thi học sinh giỏi trờng năm học:2009-2010 Môn :Toán 10 Câu 1 (6 điểm) a) Giải