PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO UÔNG BÍ TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TOẢN Thi học sinh giỏi năm học 2009 – 2010 Lớp 7 – Vòng trường Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1(1,5điểm) : Tính giá trị các biểu thức sau : 1. A = 1 1 1 1 1 3 5 49 . 4.9 9.14 14.19 44.49 89 − − − − + + + + ÷ 2. B = ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 − − − + + Câu 2 (1,5điểm) : Tìm x, y, z biết : 1. ( x – 1 ) 3 = - 8 2. | 9 – 7x | = 5x – 3 3. 12 9 5 x y z = = và xyz = 20 Câu 3 (2điểm) : 1. Tìm số dư khi chia 2 2010 cho 31 2. Chứng minh rằng : ( ) 11969 69220 220119 220 119 69 102+ + M Câu 4 (4điểm) : Cho tam giác ABC. Kẻ các tia phân giác Bx và By của góc trong và ngoài đỉnh B. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác Bx ở M và cắt đường thẳng BC ở E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác By ở N và cắt đường thẳng BC ở F. 1. Chứng minh MN // BC. 2. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Chứng minh bốn điểm N, I, M, K thẳng hàng. Câu 5 (1điểm) : Tìm chữ số tận cùng của T = 0 8 1 6 9 0 1 2 9 4 15 18+ **************Hết**************** Đáp án và biểu điểm chấm Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm 1 1,5 điểm 1 (1đ) ( ) ( ) ( ) { } 1 3 5 7 49 1 5 5 5 5 . 5 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 49 3 . 49 3 : 2 1 : 2 1 1 1 1 1 1 1 . 5 4 9 9 14 44 49 89 1 1 1 1 52.12 1 45 623 9 7.89 9 . . . . 5 4 49 89 5 49 89 49 89 7 A − + + + + = + + + + ÷ − + − + = − + − + + − ÷ − − − = − = = = − ÷ 0,5đ 0,5đ 2 (0.5đ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 5 12 4 10 3 10 4 12 6 12 5 9 3 9 3 3 12 4 10 3 12 5 9 3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2 2 .3 3 1 5 .7 1 7 5. 6 2 1 10 21 2 .3 3 1 5 .7 1 8 3.4 9 6 3 6 B − − = − + + − − − = − = − = + = + + 2 (1,5đ) 1 (0,5đ) (x – 1) 3 = (-2) 3 1 2 1x x⇒ − = − ⇒ = − 2 (0,5đ) * 9 - 7x = 5x - 3 12 12 1 * 9 7 3 5 2 6 3 x x x x x x ⇒ = ⇒ = − = − ⇒ = ⇒ = 3 (0,5đ) Đặt ( ) 3 3 12 ; 9 ; 5 . 12 9 5 1 1 . . 12 .9 .5 540 20 27 3 x y z k k Z x k y k z k x y z k k k k k k = = = ∈ ⇒ = = = = = = ⇒ = ⇒ = Vậy x = 4 ; y = 3 ; z = 5/3. 3 (2đ) 1 (1đ) Ta có ( ) ( ) ( ) 402 5 2010 5 402 2 32 1 mod31 2 2 32 1 mod31= ≡ ⇒ = = ≡ Vậy chia 2 2010 cho 31 dư 1. 2 (1đ) Ta có: 2 ; 3 và 17 nguyên tố cùng nhau . Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11969 220 0 mod2 ; 220 1 mod3 ; 220 1 mod17 220 0 mod2.3.17 0 mod102 220 0 mod102 ≡ ≡ ≡ − ⇒ ≡ ≡ ⇒ ≡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 69220 119 1 mod 2 ;119 1 mod3 ;119 0 mod17 119 0 mod2.3.17 0 102 119 0 mod102mod ≡ ≡ − ≡ ⇒ ≡ ≡ ⇒ ≡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 220119 69 1 mod 2 ;69 0 mod3 ;69 1 mod17 69 0 mod2.3.17 0 mod102 69 0 mod102 ≡ − ≡ ≡ ⇒ ≡ ≡ ⇒ ≡ Vậy ( ) 11969 69220 220119 11969 69220 220119 220 119 69 0 mod102 220 119 69 102Hay + + ≡ + + M 0,5đ 0,5đ 4 4điểm Vẽ hình : 1.Do Bx, By là phân giác góc trong và góc ngoài đỉnh B nên Bx By⊥ (t/c tia phân giác). Lại có ( ) / / .Bx AE gt AE By⊥ ⇒ Tương tự AF // Bx. ( ) BNM AMN gcg∆ = ∆ vì MN – cạnh chung, · · BMN ANM= (so le trong), · · BNM AMN= (so le trong) BM AN⇒ = ABN ∆ và MNB ∆ vuông tại N và B, có cạnh chung BN, AN = BM (cmt). Do đó ABN MNB ∆ = ∆ (cạnh góc vuông) · · BAN NMB⇒ = . Mà · · BAN ABM= (so le trong) · · ABM EBM= (Bx là phân giác) · · NMB EBM⇒ = / / / /MN BE MN BC⇒ ⇒ . 2.Kéo dài IK lấy KD = KI. Nối DC. ( ) · · , / /IAK DCK cgc IA CD IB AIK CDK CD IB∆ = ∆ ⇒ = = = ⇒ . Nối IC. ( ) · · / / / /IBC CDI cgc BIC DCI ID BC IK BC∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⇒ . Tam giác AMBvuông tại M có IA = IB (gt) nên MI = IB = AB/2 IMB⇒ ∆ cân tại I · · · / / / /IBM IMB MBE IM BE IM BC⇒ = = ⇒ ⇒ . Như vậy qua M có MN//BC, MI//BC nên M, I, N thẳng hàng. Qua I có IK//BC, IM//BC nên I, K, M thẳng hàng. Vậy bốn điểm N, I, M, K thẳng hàng. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ B M N E F I K x A C y D 5 1đ Ta có : 8 0 6 1 9 0 1 2 9 9 4 4 15 15 ;18 18= = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 4 4 15 5 mod10 15 5 mod10 5 mod10 18 2 mod10 18 2 32 2 mod10 ≡ ⇒ ≡ ≡ ≡ − ⇒ ≡ = ≡ Vậy : ( ) ( ) ( ) 9 4 15 18 5 2 mod10 7 mod10+ ≡ + ≡ Hay chữ số tận cùng của 8 0 6 1 9 0 1 2 9 4 15 18+ là 7. 0,5đ 0,5đ . PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO UÔNG BÍ TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TOẢN Thi học sinh giỏi năm học 2009 – 2010 Lớp 7 – Vòng trường Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu