PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG ĐỀ THI GIAO LƯU HSG MÔN TOÁN LỚP 8 Năm học 2009 - 2010 Thời gian làm bài: 150phút (không kể thời gian giao đề) I)Phần tự luận Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng trong các câu sau: Câu 1: Cạnh của hình vuông thứ nhất có độ dài là a (m). Đường chéo của hình vuông này là cạnh của hình vuông thứ hai. Đường chéo của hình vuông thứ hai dài là: A) a(m) B) 20a (dm) C) 20a (dm) D) a (m) Câu 2: Cho tam giác ABC, các điểm D và E lần lượt trên AC và AB sao cho CD= AC , AE = AB. Gọi O là giao điểm của BD và CE. Tỉ số là: A) B) C) D) Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x(x+1)(x + 2)( x+3) là: A) 1 B) -2 C) -1 D) Một kết quả khác. Câu 4: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn + + = 0 Giá trị của biểu thức + + bằng: A) 0 B) 1 C) -1 D) Một kết quả khác. II)Phần tự luận Câu 5:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x - 11x + 30x b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z Câu 6: Cho các số thực x, y, z, a, b, c thỏa mãn x+ y + z = 1; x + y + z = 1 và = = . Chứng minh rằng: ab + bc + ca = 0 Câu 7: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình. Có 3 ô tô chạy trên quãng đường AB. Cùng một lúc ô tô thứ nhất chạy từ A tới B thì ô tô thứ hai chạy từ B tới A. Khi ô tô thứ nhất tới B thì ô tô thứ 3 bắt đầu chạy từ B tới A và về A cùng lúc với ô tô thứ hai. Tại chính giữa quãng đường AB người ta thấy rằng sau khi ô tô thứ nhất đi qua 10phút thì ô tô thứ hai đi qua và sau đó 20phút thì ô tô thứ ba đi qua. Vận tốc ô tô thứ ba là 120km/h. Tính vận tốc ô tô thứ nhất, ô tô thứ hai và quãng đường AB. Câu 8:Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB MF⊥ AD. a) Chứng minh rằng CF = DE và CF ⊥ DE b) Chứng minh CM, BF, DE đồng quy. c) Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho BN = BE. Vẽ BH ⊥ CE. Chứng minh rằng : DH ⊥ HN. Câu 9: Giả sử m và n là các số nguyên sao cho: = 1- + - +… - + . Chứng minh rằng : m chia hết cho 2003. ……………Giám thị không giải thích gì thêm………… HƯỚNG DẪN THI GIAO LƯU HSG TOÁN 8: NĂM HỌC 2009 - 2010 I)Phần trắc nghiệm(2 điểm) Mỗi ý chọn đúng được 0,5 điểm Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 B D C A II) Phần tự luận.(8 điểm) Câu Nội dung Thang điểm Câu 5 (1.5đ) a) phân tích được kết quả x(x -5)( x - 6 ) 1 đ b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z =4xy - ( x + 2yx + y ) + (2xz + 2yz ) - z =(2xy) - [( x + y) - 2z(y + z )+ (z)] =(2xy) - (x + y - z ) =(2xy - x - y + z)( 2xy + x + y - z) =(x + y + z)( x +y - z)(x + z - y)(z - x + y) 0,5 đ Câu 6 (1.5đ) Đặt = = = k => a = kx ; b = ky ; c = kz ab + bc + ca = k 2 (xy + yz + zx) = k 2 [(x + y + z) 2 - (x 2 + y 2 + z 2 )] = k 2 (1 - 1) = 0 Vậy ab +bc + ca =0 1,5 đ Câu 7 (1.5đ) Giả sử C là điểm chính giữa quãng đường AB. Gọi x phút là thời gian đi quãng đường BC của ô tô thứ hai ĐK: x ≥ 10 Thì x - 10 phút là thời gian đi quãng đường AC của ô tô thứ nhất. Khi đó 2x phút là thời gian đi cả quãng đường AB của ô tô thứ hai 2x - 20 phút là thời gian đi cả quãng đường AB của ô tô thứ nhất thời gian đi quãng đường BC của ô tô thứ ba là: x + 20 - ( 2x - 20) = 40 - x (phút) Thời gian đi cả quãng đường AB của ô tô thứ ba là 2(40 - x) = 80 - 2x ( phút) Ta thấy thời gian đi quãng đường AB của ô tô thứ hai bằng tổng thời gian đi quãng đường AB của ô tô thứ nhất và ô tô thứ ba. Ta có phương trình: 2x = (2x - 20) + 80 - 2x => x = 30 =>.Thời gian đi quãng đường AB của ô tô thứ ba là:20phút Quãng đường AB dài : .20 = 40(km) Vận tốc ô tô thứ nhất là . 60 = 60 (km/h) Vận tốc của ô tô thứ hai là .60 = 40 (km/h) a)Vẽ hình - ghi GT_KL đúng Hs chứng minh đúng ∆AED = ∆DFC(c.g.c) => CF = DE Và CF⊥ DE b)Ta có ABCD là hình vuông nên BD là đường trung trực của AC =>MA = MC mà AEMF là hình chữ nhật nên MA= EF => EF=MC và = Mà = ( Góc có cạnh t/ư cùng nhọn) Gọi P là giao điểm của CM và AB K là giao điểm của CM và DE Ta thấy + = 90 => => + = 90 => CK⊥ EF hay CM ⊥EF *) Chứng minh tương tự phần a) ta được BF⊥CE Nên CM, BF, DE là 3đường cao của ∆CEF nên CM, BF, DE đồng quy 0,25Đ 0.75 Đ 1 đ c) Từ phần b) ta suy ra H là giao điểm của BF và CE Ta có ∆HEB∽ ∆HBC(g.g) => = => = Lại có = =>∆HDC∽ ∆HBN(c.g.c) => = mà BHN+ NHC = 90 0 => DHC + CHN = 90 0 hay DHN = 90 0 Vậy DH⊥ HN 1 đ Câu 9 (0.5đ) Học sinh viết được n m =2003.[ + +….+ ] = 2003. (1) Trong đó a và b là các số nguyên và b= 668.669….1334.1335 Mà 2003là số nguyên tố nên ( b; 2003)=1 Từ (1) suy ra b.m = 2003.a.n (2) Do a;n là các số nguyên nên từ (2) suy ra m.b 2003 mà ( b;2003)=1 nên m 2003 0.5 đ . 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z =4xy - ( x + 2yx + y ) + (2xz + 2yz ) - z =(2xy) - [( x + y) - 2z(y + z )+ (z)] =(2xy) - (x + y - z ) =(2xy - x - y + z)( 2xy + x + y - z) =(x + y + z)( x +y. - 11x + 30x b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z Câu 6: Cho các số thực x, y, z, a, b, c thỏa mãn x+ y + z = 1; x + y + z = 1 và = = . Chứng minh rằng: ab + bc + ca = 0 Câu 7: Giải bài toán sau. + z)( x +y - z)(x + z - y)(z - x + y) 0,5 đ Câu 6 (1.5đ) Đặt = = = k => a = kx ; b = ky ; c = kz ab + bc + ca = k 2 (xy + yz + zx) = k 2 [(x + y + z) 2 - (x 2 + y 2 + z 2 )] = k 2 (1