Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT CHUYÊN ĐỀ 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP: 1/ LOẠI 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC CÓ NGHĨA: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa là tìm điều kiện cho sự tồn tại của các biểu thức có trong bài toán và suất hiện trong quá trình biến đổi. Khi làm câu hỏi này cần chú ý: + Đối với phân thức B A có nghĩa ⇔ B ≠ 0 + Đối với căn thức A có nghĩa ⇔ A ≥ 0 2/ LOAI 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ: Khi rút gọn biểu thức đại số ta cần đặt điều kiện cho sự tồn tại của biểu thức Sử dụng thành thạo , linh hoạt các phép biến đổi Chú ý một số phương pháp : * Thông thường một biểu thức cần rút gọn ở dạng M = ( F E D C B A :)+ - Trước hết cần rút gọn từng phân thức F E D C B A ;; ( nếu có thể) - Biến đổi , quy đồng , thực hiện phép tính. * Nếu a x 2 + b x + c = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì a x 2 + b x + c = a ( x – x 1 )( x- x 2 ) Ví dụ : CMR giá trị của biểu thức 2 5 1 10 ( 0) 3 2 4 3 5 6 x x x M x x x x x x x + + = + + ≥ + + + + + + kh ông phụ thuộc vào biến số x Bài làm 2 5 1 10 ( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 2)( 3) 2 ( 3) (5 1)( 2) ( 10)( 1) ( 1)( 2)( 3) 2 6 5 11 2 11 10 5 5 6 6 2( 6 11 6) 2 6 11 6 x x x M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + = + + + + + + + + = = + + + Vậy M không phụ thuộc vào x. * Biến đổi biểu thức bên trong căn về dạng bình phương để khai phương. Ví dụ: Rút gọn biểu thức : 2 2A a b c ac bc a b c ac bc= + + + + + + + − + (a;b;c ≥ 0 ) Bài làm 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) A a b a b c c a b a b c c a b c a b c = + + + + + + − + + = + + + + − a b c a b c= + + + + − 2 2 a b khi a b c c khi a b c + + ≥ = + < * Trong quá trình biến đổi biểu thức ta hay sử dụng các hằng đẳng thức sau: a - b = ( a - b ) ( a + b ) a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a ab + b) ( a ± b ) 2 = a ± 2 ab + b 3/ LOẠI 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức số: Chú ý: Nếu biểu thức có dạng A ± 2 B Trong đó A = a+b và B = a.b Thì A ± 2 B = ( a ± b ) 2 Ví dụ : 324 − = 13)13( 2 −=− Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 1 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n 245 + = 23)23(625 2 +=+=+ Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đại số tại giá trị cho trước của biến (tính A(x) tại x = a) +) Bước 1: Rút gọn A(x) nếu có thể +) Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện phép tính. +) Bước 3: Kết luận. 4/ LOẠI 4: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN SỐ x ĐỂ BIỂU THỨC A(x) THOẢ MÃN MỘT ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ. VD: +) Tìm x để A(x) = m (m R∈ ) (1) +) Tìm a để A(x) > m hoặc A(x)< m… (2) Việc tìm x chính là tìm nghiệm của (1); (2) Mở rộng: A(x) = B(x); A(x) > B(x); A(x) < B(x) …. +) Tìm x để A(x) thoả mãn một số điều kiện khác như: Biểu thức A(x) nhận giá trị nguyên. Biểu thức A(x) đạt giá trịlớn nhất, nhỏ nhất: Chú ý: +) Khi tìm được giá trị của biến số ta cần kết hợp với điều kiện xác định của biểu thức để kết luận. + Sử dụng tính chất chia hết để tìm giá trị nguyên của biểu thức: VD: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A = 3 2 2 − − x x đạt giá trị nguyên. ⇒∈ − − Z x x 3 2 2 Z x xx ∈ − +− 3 )2)(2( 2 Z x Z x x ∈ − ⇔∈ − − ⇔ 3 1 3 4 22 2 ∈−⇔ 3 2 x Ư (1) x = 2;2 ±± Với x = 2 thì A = 0 Với x = -2 thì A = - 4 5/ LOẠI 5: CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ X C/m giá trị của biểu thức A(x) không phục thuộc vào biến sốx nghĩa là ta đi rút gọn A(x) để kết quả sau khi rút gọn không chứa biến. 6/ LOẠI 6: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC A(X)= B(X) Thông thường ta biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Một số các câu hỏi trắc nghiệm về chương căn Câu 1: Căn bậc hai của (a-b) 2 là: A. a- b B. b- a C. ba − D. a- b và b -a Câu 2: Căn bậc hai số học của (a+ b) 2 là: A. a + b B. – (a + b) C. ba + D. (a + b) và - (a+ b) Câu 3: a/ Giá trị của x để 5 = 70 là A. x= 980 B. x = 14 C. x= 196 D. – 196 b/ Giá trị của x để 35 =+ x là : A. x=2 B. x= 16 C. x = 1 D. 8 c/ Giá trị của x để x < 3 là A. x<3 B. 0 3 <≤ x C. x>3 D. x=3 d/ Giá trị của x để - 105 −<x là A. x< 20 B. x>20 C. 0 < x< 20D. x > 4 Câu 4: Điều hệ thức hoặc cụm từ thích hợp vào chỗ trống. a/ 2 a có nghĩa khi … b/ a3− có nghĩa khi … c/ 144 2 +− aa có nghĩa … d/ b−2 3 có nghĩa khi… e/ x35 − có nghĩa khi… f/ 4 2 −a xác định khi… g/ 1 2 +a xác định… h/ 2 4 a− xác định khi… Câu 5: Kết quả của phép khai căn : 2 )5( −a là A. a-5B. 5-a C. a−5 D. cả 3 điều sai Câu 6: Kết quả của phép tính 549 − là Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 2 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n A. 3- 52 B. 52 − C. 25 − D. cả 3 điều sai Câu 7: Kết quả của phép tính : x-3 + 96 2 +− xx với x< 3 A. 2x – 6 B. 0 C. 2x – 6 hoặc 0 D. Cả 3 đều sai Câu 8: Giá trị của x để xx −=− 4)4( 2 là: A. x = 4 B. x< 4 C. x 4≤ D. x 4≥ Câu 9: Điền số thích hợp vào ô trống : a/ + 2 12 = 2 15 b/ + 2)32( 2 =− c/ 1528 − = - Câu 10.Điền dấu (>,<,=) vào a/ 1625 − 1625 − b/ 916 + 916 + c/ 20062004 + 2 2005 d/ 2 ba + ab (a 0;0 ≥≥ b ) e/ 2 ba + 2 ba + (a 0;0 ≥≥ b ) g/ 3 2 2 1 2 1 3 2 h/ - 27 3 1 - 12 2 1 f/ 5 10 6 9 i/ 3 3 20.2 2 3 5 k/ 3 3 2 200 3 3 3 Câu 11. Giá trị của biểu thức 223 2 223 2 − + + bằng A. - 8 2 B. 8 2 C. 12 D. -12 Câu 12: Giá trị của biểu thức 32 − - 32 + là A. - 2 B. 2 C. ± 2 D. Một kết quả khác. Câu 13: Giá trị của x để 4459 3 1 9 5 3204 =−− − +− x x x là: A. 5 B. 9 C. 6 D. Cả A,B,C đều sai Câu 14: Giá trị của biểu thức: + − + 57 57 57 57 + − = A. 1 B. 12 C. 2 D. 12 Câu 15: Giá trị của biểu thức: 66156615 ++− A. 30 B.12 6 C.6 D.3 Câu 16: Giá trị của biểu thức: 3232 3232 −−+ −++ bằng: C. BÀI TẬP TỰ LUẬN: Bài 1: Thực hiện phép tính: a/ 53 2 53 2 − + + b/ 15 55 53 1 53 1 − − ÷ + − − c/ ( ) 610154)154( −−+ d/ 26 324 − − e/ ( ) 336623 −+ h/ ( ) ( ) 53535353 −+++− Bài 2 : Thực hiên phép tính ) 14 6 5 14 6 5 ) 13 30 2 5 4 2 2 3 2 3 ) 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 ) 2 3 2 3 ) 6 2 2 3 2 12 18 128 a b c d e + + − + + + + − + + + − − − + + + − + − + + − Bài 3 : Rút gọn biểu thức . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 5 9 9 13 2001 2005 2 3 6 8 4 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 2002 2003 A B C = + + + + + + + + + + + + = + + = + + + + + + + + + + + + Bài 4: Rút gọn biểu thức: Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 3 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n A = a x xa a x xa 22 22 + + +− + (x > 0; a > 0) Bài 5: Cho biểu thức B = ( 4 4 2 2 2 2 − − + − − − + x x x x x x ) : 42 3 − − x x a/ Tìm điều kiện xác định của A b/ Rút gọn biểu thức A Bài 6: Cho biểu thức A = (1 - 1 2 +x x ) : ( 1 2 1 1 +++ − + xxxx x x ) a/ Rút gọn biểu thức A. b/ Tính giá trị của A biết x = 2000 - 2 1999 Bài 7: Cho biểu thức P = x x xxyxx x yxy x − − × −−+ − − 1 1 22 2 2 a/ Rút gọn P với x > 0; y > 0; x ≠ 1; x ≠ 4y b/ Tính giá trị của biểu thức P biết 2x 2 + y 2 – 4x – 2xy + 4 = 0 Bài 8: Cho biểu thức A = ( x x 2 1 2 − ).( 11 − + − + − x xx x xx ) a/ Rút gọn biểu thức A. b/ Tìm x để A > - 6 Bài 9: Cho biểu thức: 3 1 1 1 1 1 x x A x x x x x − = + + − − − + − (đk: x>1) a,Rút gọn biểu thức A b,Tìm x để 1A = Bài 10 : Cho biểu thức: 2 1 1 1 1 1 x x A x x x x x + + = + + − + + − a,Rút gọn biểu thức A b,C/m 0; 1x x ∀ ≥ ≠ thì 0A ≥ Bài 11: Cho biểu thức: 5 25 3 5 1 : 25 2 15 5 3 x x x x x A x x x x x − − + − = − − + ÷ ÷ ÷ ÷ − + − + − a,C/m 5 3 A x = + 0; 9; 25x x x ≥ ≠ ≠ b) Tìm x Z ∈ để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 12: Cho biểu thức : 2 3 1 1 2 1 2(1 ) 2(1 ) x A x x x + = + − − + − Rút gọn biểu thức A. b)Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. Bài 13 : Cho biểu thức : 2 : ( ) a a b b b A ab a b a b a b + = − − + ÷ ÷ + + C/m biểu thức Akhông phụ thuộc vào a và b. Bài 14: Cho : ( 0; 0; ) a a b b a a b b a b A a b a b a b a b a b + − − = − ≥ ≥ ≠ ÷ ÷ + − + a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi 2 3; 2 3a b= − = + Bài 15 : Cho biểu thức : 2 1 5 12 9 3 3 x x x x B x x x − + − − = + + − − + Tìm ĐK của x để B xác định b)Rút gọn B . c)Tìm x Z ∈ để biểu thức B nhận giá trị nguyên. Bài 16 : Cho 1 1 ( 0; 1) 1 1 a a a a P a a a a + − = + − ≥ ≠ ÷ ÷ ÷ ÷ + − + a. Rút gọn P b. Tìm a để P > 2 Bài 17: Cho 2 1 1 1 1 1 x x Q x x x x x + + = + − − + + − a. Rút gọnQ b. Tính giá trị của Q khi 33 8 2x = − c. CMR 1 3 Q < . Bài 18 : Cho 2 1 1 : 2 1 1 1 x x x A x x x x x + − = + − ÷ ÷ − + + − Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 4 Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân a) CMR 0; 1x x thỡ 0 2A < b) Tỡm x nguyờn A nhn giỏ tr nguyờn. Bi 19 : Cho 2 : y y xy C x y x xy x xy = + ữ ữ + a. Tỡm x , y C cú ngha b. Rỳt gn C. c. Tỡm x , y C = 1 Bi 20 : Cho 3 9 3 1 1 1 2 : 1 2 1 2 x x P x x x x x + = + + ữ ữ + + a. Rỳt gn P. b. Tỡm s t nhiờn x 1 P l s t nhiờn . c. Tớnh P khi 4 2 3x = Bi 21: Cho 4 8 1 2 : 4 2 2 x x x P x x x x x = + ữ ữ ữ ữ + a. Rỳt gn P. b. Tỡm x P = -1 Tỡm m mi x > 9 ta cú ( 3) 1m x P x > + Bi 22: Cho a b a b N ab b ab a ab + = + + a. Rỳt gn N . b. CMR nu 1 5 a a b b + = + thỡ N cú giỏ tr khụng i . Bi 23 Cho biu thc: 2 4 4 4 4 8 16 1 x x x x A x x + + = + a. Rỳt gn A . b. Tỡm giỏ tr nguyờn ln nht ca x A cú giỏ tr nguyờn . D. BI TP T LM Bi 1: Cho biu thc : 1 1 1 1 A x y = + + Tớnh giỏ tr ca A khi 1 1 ; 7 4 3 7 4 3 x y = = + . Bi 2 : Cho biu thc : 1 : 1 1 1 1 2 x x x A x x x x = + ữ ữ + + a. Tỡm KX ca A. b. Rỳt gn A. c. Tớnh giỏ tr ca A khi 3 1 2 x = Bi 3 : Cho biu thc : 1 1 2 2 2 2 A x x = + a. Tỡm KX ca A. b. Rỳt gn biu thc A. c. Tớnh giỏ tr ca A bit 2 9 18 0x x + = Bi 4 : Cho biu thc : 1 2 2 7 6 2A x x x x = + a. Tỡm KX ca A. b. Tớnh giỏ tr ca A khi 2 3x Bi 5 : Cho 1 1 8 3 2 : 1 9 1 3 1 1 3 3 1 x x x A x x x x = + ữ ữ ữ ữ + + a/ Rỳt gn biu thc A. b/ Tỡm x 6 5 A = . Bi 6: Cho biu thc : 1 2 1 : 1 1 1 x x A x x x x x x = + ữ ữ ữ ữ + + a/ Rỳt gn biu thc A. b/ Tỡm x 0A < . Bi 7: Cho biu thc : 1 3 2 1 1 1 A x x x x x = + + + + a/ Rỳt gn biu thc A. b/ C/m 0 1A < . Bi 8:Cho biu thc 2 2 2 1 . 1 2 1 2 x x x A x x x + = ữ ữ ữ + + a/ Rỳt gn biu thc A. b/ C/m nu 0 1x < < thỡ 0A > c/ Tỡm giỏ tr ln nht ca A . CC BI TON V BIN I CN THC, PHN THC Phn 1: Bin i cỏc biu thc cha s. 1) Rỳt gn cỏc biu thc sau: Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 5 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n A 6 2 5 29 12 5= + − − . B 8 8 20 40= + + + . 15 4 12 C ( 6 11) 6 1 6 2 3 6 = + − + ÷ + − − . 2) C/m đẳng thức: 3 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 + − + = + + − − . 3) C/m số 0 x 2 2 3 6 3 2 3= + + − − + là một nghiệm của phương trình: 4 2 x 16x 32 0− + = . 4) Thu gọn 2 3 6 8 4 P 2 3 4 + + + + = + + . 5) Tính giá trị của biểu thức 3 3 P x y 3(x y) 2004= + − + + , trong đó 3 3 3 3 x 3 2 2 3 2 2 , y 17 12 2 17 12 2= + + − = + + − 6) Rút gọn 1 1 1 1 P 1 5 5 9 9 14 2001 2005 = + + + + + + + + 7) Rút gọn biểu thức 1 1 1 A 2 1 1 2 3 2 2 3 2005 2004 2004 2005 = + + + + + + 8) Tính giá trị của biểu thức 1 1 A a 1 b 1 = + + + với 1 1 a ,b 2 3 2 3 = = + − . 9) C/m 3 3 84 84 1 1 9 9 + + − là một số nguyên. 10) Rút gọn biểu thức 3 5 3 5 A 10 3 5 10 3 5 + − = − + + + − . 11) Rút gọn biểu thức A a b c 2 ac bc a b c 2 ac bc= + + + + + + + − + 12) Rút gọn các biểu thức: 2 3 2 3 A 2 2 3 2 2 3 + − = + + + − − 2 3 2 3 3 2 3 B 2 (24 8 6) 3 2 4 2 2 3 2 3 2 3 + = + + − + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + − 1 1 1 1 1 1 C 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 2002 2003 = + + + + + + + + + 13) Rút gọn các biểu thức: A 4 7 4 7 2= + − − − B 6 2 2 3 2 12 18 128= + − + + − . 14) C/m 2 3 5 3 48 A 6 2 + − + = + là số nguyên. 15) Rút gọn biểu thức 3 6 A 2 3 4 2. 44 16 6= − + . 16) Cho 3 10 6 3( 3 1) x 6 2 5 5 + − = + − . Tính 3 1997 P (x 4x 1)= − + . 17) So sánh hai số 10 13+ và 7 17+ . 18) C/m 4 4 4 2 4 3 5 2 5 125 1 5 − + − = + . 19) Rút gọn biểu thức 2 3 4 5 A 2 3 5 6 8 10 16 + + + = + + + + + + . 20) Rút gọn các biểu thức sau: a) 4 4 A 49 20 6 49 20 6= + + − b) B 4 10 2 5 4 10 2 5= + + + − + c) C 4 15 4 15 2 3 5= + + − − − 21) C/m các số sau đây đều là các số nguyên: a) (5 2 6)(49 20 6) 5 2 6 M 9 3 11 2 + − − = − b) N 4 5 3 5 48 10 7 4 3= + + − + . 22) Trục căn thức ở mẫu số: Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 6 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n a) 3 3 2 A 2 2 4 2 = + + b) 3 3 6 B 2 2 2 4 = − + c) 3 3 2 C 2 4 2 = + + . 23) Tính giá trị của biểu thức 3 2 2008 A (3x 8x 2)= + + với 3 ( 5 2) 17 5 38 x 5 14 6 5 + − = + − . 24) C/m 3 3 x 9 4 5 9 4 5= + + − là nghiệm của phương trình 3 x 3x 18 0− − = . 25) Rút gọn các biểu thức sau: 2 A ( 6 2 16 2 15 3)= − − + . B (3 10) 19 3 40= − + 2 10 30 2 2 6 2 C : 2 10 2 2 3 1 + − − = − − D 13 30 2 9 4 2= + + + E m 2 m 1 m 2 m 1= + − + − − F 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 ( 2 10) 2008 = + + + − + − + + Phần 2: Biến đổi các biểu thức chứa biến. 1) Cho biểu thức x 2 x 1 x 1 A 1: x 1 x x 1 x x 1 + − − = + − ÷ − + − + a) Với điều kiện nào của x thì A xác định. b) Rút gọn biểu thức A. c) C/m A > 1 với mọi x > 0 và x ≠ 1. 2) Cho biểu thức 2 4a 10a 2 2a 20 A (a 1)(a 2) (a 1)(a 3) (a 2)(a 3) + + = + + + + + + + + . a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. 3) Cho biểu thức 2 x 1 x 1 x 1 A 4 4 x x 1 x 1 − + = − − ÷ ÷ + − . a) Rút gọn A. b) Tìm x để 5 2A x 4 + = . 4) Cho biểu thức 3x 9x 3 x 1 x 2 P x x 2 x 2 x 1 + − + − = − − + − + − . a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi x 3 2 2= + . 5) Cho biểu thức 3x 9x 3 x 1 x 2 P x x 2 x 2 1 x + − + − = − + + − + − . a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức A nguyên. 6) Cho biểu thức 1 x 2 M x 1 x 1 x x 1 + = + − ÷ ÷ + + + . Tìm x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn M. 7) Cho biểu thức x x 1 x x 1 x 1 P x x x x x − + + = − + − + . a) Rút gọn P. b) Tìm x để 9 P 2 = . 8) Cho biểu thức x x A 1 x x + = − − . a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A có nghĩa. Với điều kiện đó, hãy rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A + x - 8 = 0. 9) Cho biểu thức x 2 x 1 x 1 P x 1 x x 1 x x 1 + + + = + − − − + + . a) Rút gọn biểu thức P. b) C/m 1 P 3 < với x ≥ 0 và x ≠ 1. 10) Cho biểu thức 2x 1 x 2x x x x (x x )(1 x ) M 1 . 1 x 1 x x 2 x 1 − + + − − − = − + − + − ÷ ÷ a) Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M. Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 7 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2000 - M khi x ≥ 4. c) Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên. 11) Cho biểu thức 2x 2 x x 1 x x 1 P x x x x x + − + = + − − + . a) Rút gọn P. b) So sánh P với 5. c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, C/m biểu thức 8 P chỉ nhận đúng 1 giá trị nguyên. 12) Cho biểu thức 2 x 4 x 4 x 4 x 4 A 16 8 1 x x + − + − − = − + . a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định. b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất. c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 13) Cho biểu thức 3x 9x 3 1 1 1 P 2 : x 1 x x 2 x 1 x 2 + − = + + − ÷ − + − − + . a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P. b) Tìm các số tự nhiên x để 1 P là số tự nhiên. c) Tính giá trị của P với x 4 2 3= − . 14) Cho biểu thức x 2 x 3 x 2 x P : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 + + + = − − − ÷ ÷ − + − − + a) Rút gọn P. b) Tìm x để 1 5 P 2 ≤ − . 15) Cho các biểu thức 2 2 5x 1 2 x 1 A : 1 2x 1 2x 4x 1 1 4x 4x − = + − ÷ − + − + + B 4 2 3 19 8 3= − + − . a) Với những giá trị nào của x thì A có nghĩa. b) Rút gọn A và B. c) Tìm những giá trị của x để A = B. 16) Cho biểu thức x 1 x 2 x 1 P x 1 x x 1 x x 1 + + + = − − − − + + . a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 Q x P = + . 17) Cho biểu thức x 2 x 1 1 A x x 1 x x 1 x 1 + + = + − − + + − . a) Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A. b) Tính A với x 33 8 2= − . c) C/m 1 A 3 < . 18) Cho biểu thức 2 x x 2x x 2(x 1) P x x 1 x x 1 − + − = − + + + − . a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. c) Tìm x để biểu thức 2 x Q P = nhận giá trị là số nguyên. 19) C/m biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x: 3 6 4 2 3. 7 4 3 x A x 9 4 5. 2 5 x − + − = + − + + . 20) Cho biểu thức 1 2 x 2 x P : 1 x 1 x 1 x x x x 1 = − − ÷ ÷ + − − + − , với x ≥0; x ≠ 1. a) Rút gọn P. b) Tìm x sao cho P < 0. 21) Cho biểu thức 2x x x x x x x 1 x M . x 1 x x 1 2x x 1 2 x 1 + − + − = − + − − + − − ÷ a) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M. Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 8 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M. 22) Cho biểu thức 2 2 2x x 1 P(x) 3x 4x 1 − − = − + . a) Tìm điều kiện để P(x) xác định, rút gọn P(x). b) C/m nếu x > 1 thì P(x). P(-x) <0. 23) Rút gọn biểu thức 2 2 x x x x M x 1 x x 1 x x 1 − + = − + + + + − + với 0≤ x ≤ 1. 24) Cho biểu thức 2 x 1 x 1 1 x P . 2 x 1 x 1 2 x − + = − − ÷ ÷ + − . a) Rút gọn P. b) Tìm x để P 2 x > . 25) Cho biểu thức x 2 x 1 1 M x x 1 x x 1 1 x + + = + + − + + − , với 0 ≤ x ≠ 1. a) Rút gọn M. b) C/m với 0 ≤ x ≠ 1, ta có M < 1/3. 26) Cho biểu thức 2 2 2 2 x y x y P (x y)(1 y) (x y)(1 x) (1 x)(1 y) = − − + − + + + − . a) Tìm điều kiện để P xác định, rút gọn P. b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2. 27) Cho x, y là hai số thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0, x + y =1. a) Rút gọn biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x y 2x y x M : xy (x y) (x y ) y x − = − + ÷ − − − . b) C/m A < -4. 28) Cho biểu thức a 3 a 2 a a a a P : a 1 ( a 2)( a 1) a 1 a 1 + + + = − + ÷ ÷ − + − + − . a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm a để 1 a 1 1 P 8 + − ≥ . 29) Cho a, b, c là ba số phân biệt khác không và thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Đơn giản biểu thức: a b c b c c a a b P b c c a a b a b c − − − = + + + + ÷ ÷ − − − . 30) Cho biểu thức x 1 2 x P 1 : 1 x 1 x 1 x x x x 1 = + − − ÷ ÷ + − + − − . a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q P x= − nhận giá trị nguyên. 31) Cho biểu thức 2 x 9 x 3 2 x 1 A x 5 x 6 x 2 3 x − + + = − − − + − − . a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A < 1. c) Tính giá trị của biểu thức A với x 29 12 5 29 12 5= + − − . d) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A cũng là số nguyên. Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 9 Giáo viên: Bùi Văn Hải THCS Hải Tân Chuyờn : t giỏc ni tip I) Cỏc kin thc cn nh 1) Khỏi nim: O A B C D Mt t giỏc cú bn nh nm trờn mt ng trũn c gi l t giỏc ni tip ng trũn (Gi tt l t giỏc nt tip) 2) nh lớ - Trong mt t giỏc ni tip, tng s o hai gúc i din bng 180 0 -Nu mt t giỏc cú tng s o hai gúc i din bng 180 0 thỡ t giỏc ú ni tip ng trũn. 3) Du hiu nhn bit (cỏc cỏch C/m ) t giỏc ni tip - T giỏc cú tng s do hai gúc i din bng 180 0 . - T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc trong ca nh i din. - T giỏc cú bún nh cỏch u mt im(m ta cú th xỏc nh c). im ú l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc. - T giỏc cú hai nh k nhau cựng nhỡn cnh cha hai nh cũn li di mt gúc a. II) Bi tp Bi 1: Cho ABC vuụng A. Trờn AC ly dim M v v ng trũn ng kớnh MC. K BM ct ng trũn ti D. ng thng DA ct ng trũn ti S. C/m : a) T giỏc ABCD ni tip. b) ã ã ABD ACD= c) CA l phõn giỏc ca ã SCB Bi 2: Cho t giỏc ABCD ni tip na ng trũn ng kớnh AD. Hai ng chộo AC v BD ct nhau ti E. V EF vuụng gúc vi AD. C/m : a) T giỏc ABEF, t giỏc DCEF ni tip . b) CA l phõn giỏc ca ộBCF. c) Gi M l trung im ca DE. C/m t giỏc BCMF ni tip Bi 3:T giỏc ABCD ni tip ng trũn ng kớnh AD . Hai ng chộo AC , BD ct nhau ti E . Hỡnh chiu vuụng gúc ca E trờn AD l F . ng thng CF ct ng trũn ti im th hai l M . Giao im ca BD v CF l N . C/m : a. CEFD l t giỏc ni tip . b. Tia FA l tia phõn giỏc ca gúc BFM . c. BE . DN = EN . BD Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuụng A v mt im D nm gia A v B . ng trũn ng kớnh BD ct BC ti E . Cỏc ng thng CD , AE ln lt ct ng trũn ti cỏc im th hai F , G . C/m : a) Tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc EBD . b) T giỏc ADEC v AFBC ni tip c trong mt ng trũn . c) AC song song vi FG . d) Cỏc ng thng AC , DE v BF ng quy . Bi 5: Cho tam giỏc vuụng ABC ( 0 90A = ; AB > AC) v mt im M nm trờn on AC (M khụng trựng vi A v C). Gi N v D ln lt l giao im th hai ca BC v MB vi ng trũn ng kớnh MC; gi S l giao im th hai gia AD vi ng trũn ng kớnh MC; T l giao im ca MN v AB. C/m : a. Bn im A, M, N v B cựng thuc mt ng trũn. b. CM l phõn giỏc ca gúc BCS . c. TA TC TD TB = . Bi 6:Cho ng trũn (O) v im A nm ngoi ng trũn. Qua A dng hai tip tuyn AM v AN vi ng trũn (M, N l cỏc tip im) v mt cỏt tuyn bt kỡ ct ng trũn ti P, Q. Gi L l trung im ca PQ. a/ C/m 5 im: O; L; M; A; N cựng thuc mt ng trũn. b/ C/m LA l phõn giỏc ca ã MLN Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 10 [...]... đó Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đường tròn (O) a C/m : PT2 = PM.PN Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một đường tròn cố định Chun đề luyện thi Tốn 9 THCS H¶i T©n b Gọi giao điểm của TT’ với PO, PM là I và J K là trung điểm của MN c C/m : Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp d C/m : Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N... ∠PHM = ∠PHN Chun đề luyện thi Tốn 9 Trang 22 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i Chun đề 5: hàm số và đồ thị BÀI 1: HÀM SỐ A KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG 1 Khái niệm hàm số: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi sao cho: với mỗi giá trị của x ta ln xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số Kí hiệu y = f(x) Chú ý: Khi x thay đổi mà y chỉ nhận một... tự Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC khơng là đường kính của (O) Kẻ từ Chun đề luyện thi Tốn 9 THCS H¶i T©n các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D C/m : a AE2 = AB.AC b Tứ giác AEOF c Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường tròn d ED song song với Ac e Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại... lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB M là một điểm bất kỳ trên AB Dựng đường tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A, đường tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N a C/m tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác của góc ANB b C/m M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi c Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 là ngắn nhất... thị: Điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị của hàm số f(x) ⇔ y0 = f(x0) BÀI 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT 1 Dạng tổng qt : y = ax + b (a ≠ 0); a, b ∈ R 2 Tính chất: TXĐ: x ∈ R Tính biến thi n: + Nếu a > 0 thì hàm số ln đồng biến trên xác định R Chun đề luyện thi Tốn 9 THCS H¶i T©n + Nếu a < 0 thì hàm số ln nghịch biến trên xác định R 3 Đồ thị : - Là đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ b và song song với đường... phương trình y=m cắt đồ thi (T) tạo thành một hình thang Tìm m để diịen tích hình thang bằng 28 Trang 25 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i Bài 11: Cho hệ phương trình: (1) 3 x + y = m 2 x + 3 y = 3m − 7 (2) m là tham số 1 giải hệ phương trình trên với m =2 2.Gọi (D1); (D2) là các đường thẳng có phương trình (1) và (2) a, Xác định toạ độ giao điểm M của (D1) và (D2) theo m b C/m khi m thay đổi thì điểm M ln... thêm 5 người thì số ngày để hồn thành cơng việc sẽ giảm đi 7 ngày Bài 11: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 4 5 giờ bể đầy Mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy được bằng 1 1 lượng nước chảy được cua 2 vòi 2 Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể? Bài 12: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ Trang 31 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i phải bơm... được 8 ngày thì đội một được điều Chun đề luyện thi Tốn 9 động làm việc khác , còn đội hai tiếp tục làm Do cải tiến kĩ thuật, năng xuất tăng gấp đơi nên đội 2 đã làm xong phần cơng việc còn lại trong 3 ngày rưỡi.Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong cơng việc nói trên (với năng xuất bình thường) ? Bài 19: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1giờ 20 phút bể đầy Nếu mở vòi... là tiếp điểm) với đường tròn (O) Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tai E và F C/m : a Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đường tròn b ∠IAB = ∠AMO c O là trung điểm của FE Chun đề luyện thi Tốn 9 THCS H¶i T©n Bài 56:Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vng góc với AB Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By... tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt các đường thẳng SO ; OM tại P và Q a C/m tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp b C/m SA2 = SD SC Trang 17 Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i c C/m OM OQ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm S d Khi BC // SA C/m tam giác ABC cân tại A e Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA Bài 60:Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M là một điểm chính . MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ X C/m giá trị của biểu thức A(x) không phục thuộc vào biến sốx nghĩa là ta đi rút gọn A(x) để kết quả sau khi rút gọn không chứa biến. 6/. của biểu thức 2 5 1 10 ( 0) 3 2 4 3 5 6 x x x M x x x x x x x + + = + + ≥ + + + + + + kh ông phụ thuộc vào biến số x Bài làm 2 5 1 10 ( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 2)( 3) 2 ( 3) (5 1)( 2) ( 10)( 1) (. + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + = + + + + + + + + = = + + + Vậy M không phụ thuộc vào x. * Biến đổi biểu thức bên trong căn về dạng bình phương để khai phương. Ví dụ: Rút