sangkienkinhnghiem (bac4-tinh)

Trng THCS Hng ng Thnh ph H tnh Ngi vit: Nguyn Th Nhung sở giáo dục & đào tạo hà tĩnh phòng gd Thành phố sáng kiến kinh nghiệm tên đề tài: hớng dẫn học sinh cách tìm lời giải một số bài toán có giả thiết là trung điểm của các đoạn thẳng Ngời viết: Nguyễn Thị Nhung Đơn vị: Trờng THCS Hng Đồng Trường THCS Hưng Đồng – Thành phố Hà tĩnh §Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm Tên đề tài : Hướng dẫn học sinh cách tìm lời giải một số bài toán có giả thiết là trung điểm các đoạn thẳng "tách rời nhau" A. ®Æt vÊn ®Ò: Toán học, đặc biệt hình học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, nó rèn luyện cho người học khả năng đo đạc, tính toán, suy luận logic, phát triển tư duy sáng tạo, nâng cao năng lực tư duy, tính độc lập, linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập toán.Học giải toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đây là một vấn đề khá khó đối với học sinh nhưng lại rất cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trường phổ thông.Việc dạy học và nhất là bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ là cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc càng làm nhiều bài tập khó, bài tập hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo, năng lục tư duy trừu tượng, phán đoán logic và khái quát hóa bài toán.Việc phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát thành phương pháp, đường lối chung là một việc làm rất quan trọng của người học toán, giúp học sinh nắm kiến thức một cách chắc chắn và phát hiện, giải quyết nhanh những bài toán có cùng dạng. Qua việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường tôi nhận thấy học sinh ít có thói quen khái quát hóa bài toán để rồi giải xong bài nào chỉ biết có bài đó mà nếu có gặp bài tương tự cũng lúng túng .Chính vì vậy tôi chọn đề tài này với mục đích là hướng dẫn học sinh cách tìm lời giải của một số bài toán có giả thiết là trung điểm của các đoạn thẳng mà đoạn thẳng nối các trung điểm đó không có tính chất gì đặc biệt, và cũng thông qua đó giúp học sinh có thói quen khái quát hóa đối với những bài toán tương tự. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1.Cơ sở thực tiễn : Người viết: Nguyễn Thị Nhung Trường THCS Hưng Đồng – Thành phố Hà tĩnh Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh gỏi ở trường, tôi nhận thấy phần lớn học sinh rất ngại giải toán hình học, khi được hỏi thì các em đều cho là khó. Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có hai nhóm nguyên nhân chính đó là : -Thứ nhất do các em không nắm chắc kiến thức cơ bản, tư duy sáng tạo hạn chế . -Thứ hai các em không có một phương pháp chung cho những bài toán cùng dạng. Để khắc phục tình trạng trên thì ở nhóm nguyên nhân thứ nhất phụ thuộc chủ yếu ở học sinh, còn nhóm nguyên nhân thứ hai thì đòi hỏi người dạy phải giúp học sinh . 2.Cơ sở khoa học : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG ĐỀ TÀI : a.Đường trung bình của tam giác : -Định nghĩa : Đường trung bình của tam giác là đoạn nối thẳng trung điểm hai cạnh của tam giác đó . -Tính chất : + Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh còn lại và bằng nửa cạnh đó . + Đường thẳng song song với một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh thứ hai thì cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. b.Đường trung bình của hình thang : -Định nghĩa : Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang gọi là đường trung bình của hình thang . -Tính chất : +Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng độ dài hai cạnh đáy . +Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên và song song với cạnh đáy thì cũng đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại . c.Tính chất đường chéo hình bình hành : Người viết: Nguyễn Thị Nhung Trường THCS Hưng Đồng – Thành phố Hà tĩnh +Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường . +Nếu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì nó là hình bình hành . 3.Một số ví dụ : Sau đây là một số ví dụ minh họa cho việc tìm lời giải của một số bài toán có giả thiết là trung điểm của các đoạn thẳng không phải là các cạnh của một tam giác hay các cạnh bên của một hình thang hay là giao điiểm hai đường chéo của hình bình hành mà tôi tạm gọi là "trung điểm của các đoạn thẳng rời nhau" và chúng ta sẽ tìm cách "liên kết " nó lại để chúng có các tính chất như đã nói ở trên. Bài 1: Cho tứ giác ABCD, gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G,H,I,K theo thứ tự là trung điểm của AF; ED; BF; EC. Chứng minh rằng tứ giác GHIK là hình bình hành. (Đề thi KSGV) Nhận xét: Bài toán yêu cầu chứng minh tứ giác GHIK là hình bình hành thì ta có thể chứng minh nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà ở đây ta có G, H, I, K là trung điểm của 4 đoạn thẳng "rời nhau" nên ta sẽ "liên kết" chúng lại bằng cách sử dụng thêm các trung điểm trung gian, đó là điểm E và F. Ta có cách giải như sau: P K I G H F E A D C B Bài giải: Gọi P là giao điểm của HK và IG. Tứ giác GHIK có hai đường chéo là GI và HK cắt nhau tại P, ta sẽ chứng minh P là trung điểm của mỗi đường. Người viết: Nguyễn Thị Nhung Trường THCS Hưng Đồng – Thành phố Hà tĩnh Trong ∆ EDC có H và F là trung điểm của ED và DC nên HF là đường trung bình của ∆ EDC ⇒ HF//DC và HF= 2 1 DC Do đó HF//EK và HF=EK (K là trung điểm của EC) nên tứ giác HFKE là hình bình hành, suy ra EF và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Trong ∆ BAF có E và I là trung điểm của BA và BF nên EI là đường trung bình của ∆ BAF, suy ra FI // AF và FI= 2 1 AF, tức là FI//GF và FI=GF (vì G là trung điểm của AF), do đó EIFG là hình bình hành nên EF và GI cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Như vậy ba đoạn thẳng EF, GI và HK đồng quy với nhau tại trung điểm mỗi đường tức P là trung điểm của hai đường chéo của tứ giác GHIK ⇒ tứ giác GHIK là hình bình hành (đpcm) Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi AD là phân giác và AM là trung tuyến. Đường tròn đi qua 3 điểm A, M, D cắt AB tại E, cắt AC tại F. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng IM//AD (đề thi HSG lớp 9) A I F E M D B C Nhận xét: Ta thấy I và M là hai trung điểm của hai cạnh đối diện của một tứ giác thường nên IM không có tính chất gì đặc biệt do đó ta cần "liên kết" hai trung điểm này với nhau để có thể sử dụng được tính chất của đường trung bình của tam giác bằng cách lấy thêm điểm trung gian là trung điểm của đoạn thẳng khác nữa sao cho các đường trung bình này phải có chứa điểm M hoặc I do đó ta làm như sau: Người viết: Nguyễn Thị Nhung Trường THCS Hưng Đồng – Thành phố Hà tĩnh A K L I F E M D C B Bài giải Gọi K;L lần lượt là trung điểm của BF và CE . Do AD là phân giác của tam giác ABC nên theo tính chất phân giác của tam giác ta có : AB AC = DB DC ⇒ AB DB = AC DC (1) Xét ∆ BAD và ∆ BEM có : · BAD = · BEM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ED ⇒ ∆ BAD ∆ BEM µ B chung ⇒ BM BD AB BE BM BD BE AB .=⇒= (2) Tương tự ∆ DAC ∆ FMC ⇒ MC DC AC FC MC AC FC DC .=⇒= (3) Mà theo giả thiết MB = MC, kết hợp với (1);(2);(3) Suy ra BE =FC . Do I và L là trung điểm của EF và EC nên IL là đường trung bình của ∆ EFC Do M và K là trung điểm của BC và BF nên MK là đường trung bình của ∆ BFC ⇒ IL//FC và IL = 2 1 FC KM //FC và KM = 2 1 FC ⇒ IL//KM và IL=KM = 2 1 FC (4) IK là đường trung bình của ∆ EBF ;LM là đường trung bình của ∆ CEB nên ta có: Người viết: Nguyễn Thị Nhung Trường THCS Hưng Đồng – Thành phố Hà tĩnh KI//BE và KI = 2 1 BE ;LM//BE và LM = 2 1 BE. Suy ra KI //LM và KI =LM = 2 1 BE (5) Từ (4) và (5) kết hợp với BE =FC ta suy ra KI=LM =IL =KM suy ra tứ giác IKML là hình thoi suy ra IL là phân giác · KIL Mà · BAC và · KIL là hai góc có cạnh tương ứng song song có IM là phân giác · KIL ; AD là phân giác · BAC nên ta dễ dàng chứng minh được AD //IM . Bài 3: Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy các điểm M và N sao cho AM =MN=NB. Lấy D và E thứ tự là trung điểm của các cạnh BC và AC.Gọi H là giao điểm của các đường thẳng BE và CN, K là giao điểm của các đường thẳng AD và CM .Chứng minh AB=4HK .(Đề thi chọn HSG ) Nhận xét : Ở đây ta cần chứng minh về tỷ số của hai đoạn thẳng nên ta phải nghĩ đến hai tam giác đồng dạng hoặc định lý Talet. Muốn vậy, đối với bài toán này ta sẽ tạo ra các đoạn thẳng song song, mà ở đây đã có các trung điểm D,E,M,N nên ta nghĩ đến tính chất đường trung bình và tính chất hình bình hành. Do đó ta có cách giải sau : P Q K H E D M A B C N Bài giải : Nối ED cắt CM và CN lần lượt tại P và Q. Do DE là đường trung bình của ∆ CAB nên DE //AB ⇒ DP và DQ là đường trung bình của ∆ CMB và ∆ CNB (Vì Người viết: Nguyễn Thị Nhung Trường THCS Hưng Đồng – Thành phố Hà tĩnh chúng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh còn lại ) ⇒ P là trung điểm của CM và Q là trung điểm của CN ⇒ QP là đường trung bình của ∆ CMN ⇒ PQ = 1 2 MN = 1 6 AB và PQNM là hình thang . Vì DP là đường trung bình của ∆ CMB ⇒ DP= 1 2 MB =MN=MA (Vì NB=NM =MA (gt)) ⇒ Tứ giác DPAM là hình bình hành (Vì có DP//MA và DP =MA ), có hai đường chéo cắt nhau tại K ⇒ K là trung điểm của MP . Tương tự ta chứng minh được tứ giác EQBN là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại H ⇒ H là trung điểm NQ . Từ đó suy ra KH là đường trung bình của hình thang PQNM ⇒ KH= 1 2 (PQ+MN)= 1 2 ( 1 6 AB + 1 3 AB )= 1 2 . 1 2 AB = 1 4 AB Hay AB =4KH (đpcm) Bài 4 : Cho tam giác ABC, trên AB và AC lấy điểm D và E sao cho BD=CE. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của BC,DE . Chứng minh rằng đường thẳng MN tạo với các đường thẳng AB, AC các góc bằng nhau .Ta có hình vẽ của bài toán như sau : M N A B C D E Người viết: Nguyễn Thị Nhung Trường THCS Hưng Đồng – Thành phố Hà tĩnh Nhận xét : Để chứng minh MN tạo với các đường thẳng AB, AC các góc bằng nhau ta sẽ chứng minh MN tạo ra với hai đường thẳng song song với AB, AC các góc bằng nhau .Ở đây ta có M và N là trung điểm của hai đoạn thẳng “rời nhau” DE và BC nên ta sẽ "liên kết "chúng lại bằng cách lấy thêm trung điểm của đoạn thẳng DE để có thể sử dụng tính chất đường trung bình . Do vậy ta có cách giải sau : 1 1 1 Q P M N C B A D E Giải : Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với AB, AC. Gọi K là trung điểm của DC . Trong ∆ CDB có KD=KC và MB=MC (gt) nên KM là đường trung bình của ∆ BDC ⇒ KM //DB (1) và KM = 1 2 DB (2) Tương tự KN là đường trung bình ∆ DEC ⇒ KN//EC (3) và KN = 1 2 EC (4) Từ (2)và (4) kết hợp với giả thiết BD =EC ⇒ KM =KN Hay ∆ KMN cân tại K ,do đó ¶ M 1 = µ N 1 (5) Do KM //DB (theo 1)hay KM//BP ⇒ ¶ M 1= µ P (góc so le trong) (6) Do NK //EC (theo 3) hay NK //AC ⇒ µ 1 Q = µ N 1 (hai góc đồng vị) (7) Từ (5);(6); (7) suy ra µ 1 Q = µ P hay · · BPM MQC= (đpcm) Người viết: Nguyễn Thị Nhung Trường THCS Hưng Đồng – Thành phố Hà tĩnh Bài 5 : Cho tam giác ABC. Dựng ở miền ngoài và miền trong của tam giác ấy các tam giác đều ACM và ABN. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của AB, AN, NC.Chứng minh tam giác EFI đều . E F I M N A B C Nhận xét : Để chứng minh tam giác EFI là tam giác đều thì trước hết ta phải chứng minh nó là tam giác cân . Ở đây ta có trung điểm các đoạn thẳng AB, AM, CN trong đó các điểm E và I ; F và I đang "rời "nhau nên ta sẽ liên kết chúng lại bằng cách lấy thêm một trung điểm nữa làm trung gian đó là trung điểm của AC. Vậy ta có hình vẽ và cách giải sau : 1 2 2 3 1 3 K E F I M N C B A Giải : Người viết: Nguyễn Thị Nhung