C¸c ph¬ng ph¸p t×m nguyªn hµm I. Mơc tiªu. -Gióp häc sinh hƯ thèng ho¸ toµn bé c¸c kiÕn thøc vỊ nguyªn hµm cđa mét hµm sè. -VËn dơng b¶ng nguyªn hµm t×m ®ỵc nguyªn hµm cđa mét hµm sè. -Sư dơng thµnh th¹o ph¬ng ph¸p t×m nguyªn hµm b»ng c¸ch ®ỉi biÕn sè vµ ph¬ng ph¸p tõng phÇn. II. Néi dung. Hoa !" 1.TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ: a.Kiến thức cần nắm vững : Các đònh nghóa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm. Bảng nguyên hàm thường dùng. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HP : ( ) u u x = 1 2 2 1, . 2, , 1. 1 3, ln , 0. 4, . 5, , 0 1. ln 6, cos . sin 7, sin . cos 8, tan cos 9, cot sin x x x x dx x C x x dx C dx x C x x e dx e C a a dx C a a x dx x C x dx x C dx x C x dx x C x α α α α + = + = + ≠ − + = + ≠ = + = + < ≠ = + = − + = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 1 2 2 1, . 2, , 1. 1 3, ln , 0. 4, . 5, , 0 1. ln 6, cos . sin 7, sin . cos 8, tan cos 9, cot sin u u u u du u C u u du C du u C u u x u e du e C a a du C a a u du u C u du u C du u C u du u C u α α α α + = + = + ≠ − + = + = ≠ = + = + < ≠ = + = − + = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b.Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng đònh nghóa và tính chất. 1 Phương pháp giải: Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả. Ví du 1 : Tìm nguyên hàm các hàm số sau: a) f(x) = x 3 – 3x + x 1 b) f(x) = x 2 + x 3 c) f(x) = (5x + 3) 5 d) f(x) = sin 4 x cosx Giải a) = = − + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 3 3 2 1 1 x 3 ( ) (x - 3x + ) x 3 ln x x 4 2 f x dx dx dx xdx dx x x C b) = = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ x x 2 3 ( ) (2 + 3 ) 2 3 ln2 ln3 x x x x f x dx dx dx dx C c) + + = = = + ∫ ∫ ∫ 6 5 5 (5 3) (5 3) ( ) (5x+ 3) (5x+ 3) 5 30 d x x f x dx dx C d) = = = + ∫ ∫ ∫ 5 4 4 sin ( ) sin x cosx sin x (sin ) 5 x f x dx dx d x C Ví du 2 ï: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( 6 π )= 0. Giải Ta có F(x)= x – 1 3 cos3x + C. Do F( 6 π ) = 0 ⇔ 6 π - 1 3 cos 2 π + C = 0 ⇔ C = - 6 π . Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – 1 3 cos3x - 6 π . VÝ dơ 3: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè. 2 2 1 ) 2 2 3 5 ) 2 1 x a dx x x x b dx x − + − + − ∫ ∫ 2 2 1 ) 3 2 3 2 ) 4 4 c dx x x x d dx x x − + − + + ∫ ∫ c. T×m nguyªn hµm b»ng c¸ch ®ỉi biÕn sè: Ph¬ng ph¸p gi¶i: ®Ỉt t=u(x) VÝ dơ 4. T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè 2 3 1 ) 3 1 3 ) 2 1 a dx x b dx x + − ∫ ∫ 3 2 1` ) 1 3 1 ) 1 2 x c dx x x d dx x − − + + + ∫ ∫ d. T×m nguyªn hµm b»ng ph¬ng ph¸p tõng phÇn: Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sư dơng c«ng thøc: = − ∫ ∫ . . .u dv u v v du VÝ dơ 5. T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè ) 2 .cos ) ( 1)sin 2 a x xdx b x xdx+ ∫ ∫ 2 ) (2 1) ln ) x c x e dx x d dx x + ∫ ∫ Cu #$ Bài tập đề nghò: 1. T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y. 3 2 2 2 2 . (2 3 5) . . . 2 3 . sin . . ( 5) . . 2 2 1 x x x a x x dx b dx x x c dx d e e dx e dx x − + + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin 2 x.cosx, biết giá trò của nguyên hàm bằng − 3 8 khi x= π 3 3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e 1-2x , biết F( = 1 ) 0 2 4. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3 2 2 2 3 3 1 2 1 x x x x x + + − + + , biết F( 1 1) 3 = %&' C¸c ph¬ng ph¸p tÝch ph©n-§ỉi biÕn sè I. Mơc tiªu. 3 -Gióp häc sinh tÝnh ®ỵc tÝch ph©n cđa mét sè hµm ®¬n gi¶n. -Sư dơng thµnh th¹o ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n b»ng c¸ch ®ỉi biÕn sè . II. Néi dung. Hoa !" 1/Các kiến thức cần nắm vững : Bảng nguyên hàm thường dùng. Đònh nghóa tích phân, các tính chất của tích phân. Phương pháp tính tích ph©n b»ng ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè. 2/Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tính tích phân bằng đònh nghóa và tính chất. Phương pháp giải: Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả. Ví dụ : Tìm tích phân các hàm số sau: a/ 3 3 1 ( 1)x dx − + ∫ b/ 4 4 2 4 ( 3sin ) cos x dx x π π − − ∫ c/ 2 2 1x dx − − ∫ Giải a/ 3 3 1 ( 1)x dx − + ∫ = 3 3 3 4 3 1 1 1 81 1 1 ( ) ( 3) ( 1) 24 4 4 4 x x dx dx x − − − + = + = + − − = ∫ ∫ b/ π π π π π π π π − − − − − = − = + = ∫ ∫ ∫ 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 4 1 ( 3sin ) 4 3 sin (4tan 3cos ) cos cos x dx dx xdx x x x x = π π π π + − − + − (4 tan 3cos ) [4 tan( ) 3cos( )] 4 4 4 4 =8 c/ 2 2 1x dx − − ∫ = 1 2 1x dx − − ∫ + 2 1 1x dx− ∫ = 1 2 (1 )x dx − − ∫ + 2 1 ( 1)x dx− ∫ =(x- 2 2 1 2 2 1 ) ( ) 2 2 x x x − + − =5 Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1: Phương pháp giải: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) ⇒ dx = u (t). dt ′ b2: Đổi cận: x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = α x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = β ( chọn α , β thoả đk đặt ở trên) 4 b3: Viết b a f(x)dx ∫ về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân . Ví dụ: Tính : 1 2 0 1 x dx− ∫ §Ỉt x = sint ⇒ dx = cost.dt. Víi x ∈ [0;1] ta cã t ∈ [0; ] 2 π §ỉi cËn: x = 0 ⇒ t = 0 ; x= 1 ⇒ t = 2 π VËy 1 2 0 1 x dx− ∫ = 2 2 2 2 0 0 0 1 1 s 2 cos t.dt (1 cos2t).dt= ( ) 2 2 2 in t t π π π = + + ∫ ∫ = 4 π Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng : 2 2 a x− thì đặt x= a sint t ∈ [ ; ] 2 2 π π − 2 2 a x+ thì đặt x= a tgt t ∈ ( ; ) 2 2 π π − 2 2 x a− thì đặt x= sin a t t ∈ [ ; ] 2 2 π π − \ { } 0 Dạng 2: Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx b a ϕ ϕ ∫ bằng phương pháp đổi biến. Phương pháp giải: b1: Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = '( ). dxx ϕ b2: Đổi cận: x = a ⇒ t = ϕ (a) ; x = b ⇒ t = ϕ (b) b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được . Ví dụ : Tính tích phân sau : a/ 1 2 0 2 1 1 x I dx x x + = + + ∫ b/ 1 2 0 3. .J x x dx= + ∫ Giải: a/ Đặt t = x 2 + x +1 ⇒ dt = (2x+1) dx 5 Đổi cận: x = 0 ⇒ t =1 ; x = 1 ⇒ t = 3. Vậy I= 3 3 1 1 ln ln3 dt t t = = ∫ b/ Đặt t= 2 3x + ⇒ t 2 = x 2 + 3 ⇒ tdt = x dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3 ; x = 1 ⇒ t = 2 . Vậy J = 2 2 3 2 3 3 1 (8 3 3) 3 3 t t dt = = − ∫ Cu #$ Bài tập đề nghò: Bµi 1. TÝnh các tích phân sau: 1/I= π + ∫ 2 0 (3 cos2 ).x dx 2/J= + ∫ 1 0 ( 2) x e dx 3/K= + ∫ 1 2 0 (6 4 )x x dx Bµi 2. Tính các tích phân sau: 1/ π ∫ 2 sin 0 .cos . x e x dx 2/ + ∫ 1 0 1 x x e dx e 3/ + ∫ 1 1 ln e x dx x 4/ + ∫ 1 2 5 0 ( 3)x x dx ()* C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n-Tõng phÇn I. Mơc tiªu. -Gióp häc sinh tÝnh ®ỵc tÝch ph©n cđa mét sè hµm ph©n thøc h÷u tØ. -Sư dơng thµnh th¹o ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p tõng phÇn . II. Néi dung. Hoa !" 6 1/ Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần: Công thức từng phần : . . . b b b a a a u dv u v v du= − ∫ ∫ Phương pháp giải: B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần còn lại là dv tìm v. B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần. B3: Tích phân b a vdu ∫ suy ra kết quả. Chú ý: a) Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho b a vdu ∫ dễ tính hơn ∫ b a udv nếu khó hơn phải tìm cách đặt khác. b) Khi gặp tích phân dạng : ( ). ( ). b a P x Q x dx ∫ - Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số e ax+b , cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên. - Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a/ I= 2 0 .cos .x x dx π ∫ b/J= 1 .ln . e x x dx ∫ Giải a/ Đặt : cos . sin u x du dx dv x dx v x = = ⇒ = = (chú ý: v là một nguyên hàm của cosx ) Vậy I=x cosx 2 0 π - 2 0 sin .x dx π ∫ = cosx 2 0 π = -1 7 b/ Đặt : 2 1 . ln . 2 du dx u x x dv x dx x v = = ⇒ = = Vậy J= lnx. 2 2 x 1 e - 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 4 4 e e e x e e e dx xdx x x + = − = − = ∫ ∫ 2/ Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp: a) Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu: Phương pháp giải: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính. Ví dụ: Tính các tích phân sau: a/ 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 (1 ) [ ln 2 1] 1 ln3 2 1 2 1 2 2 x dx dx x x x x = + = + - = + - - ò ò = 1 ln3 2 . b/ 0 0 3 3 2 2 0 1 1 1 3 1 5 23 ( 4 ) [ 4 ln 1] ln2 1 1 3 2 6 x x x x dx x x dx x x x x - - - + + = + + + = + + + - = - - - ò ò b) Dạng bậc1 trên bậc 2: Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính. *Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt: Ví dụ: Tính các tích phân : ( ) 2 2 1 5 1 6 x dx x x - - - ò Giải Đặt ( ) 2 5 1 6 x x x - - - = 5 5 ( 3) ( 2) ( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3) x A B A x B x x x x x x x - - + + = + = + - + - + - ⇒ A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 ⇒ A=3. cho x=3 ⇒ B=2. Vậy ta có: ( ) 2 2 1 5 1 6 x dx x x - - - ò = 2 2 1 1 3 2 16 ( ) (3ln 2 2ln 3 ) ln 2 3 27 dx x x x x + = + + - = + - ò * Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: Ví dụ: Tính các tích phân : 1 2 0 (2 1) 4 4 x dx x x + - + ò 8 Giải CI: 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 (2 1) 2 4 5 ( 4 4) 1 ( ) 5 4 4 4 4 4 4 4 4 ( 2) x dx x d x x dx dx x x x x x x x x x + - - + = + = + - + - + - + - + - ò ò ò ò =(ln 2 5 4 4 ) 2 x x x − + − − 1 0 5 ln4 2 = − CII: Đặt 2 2 2 2 2 1 2 1 ( 2) ( 2) 2 1 4 4 ( 2) 2 ( 2) ( 2) x x A B A x B A x B x x x x x x x + + - + = = + = Û - + = + - + - - - - ⇔ Ax -2A+B= 0 ⇔ 2 2 2 1 5 A A A B B = = ⇔ − + = = Vậy 1 1 2 2 0 0 2 1 2 5 [ ] 4 4 2 ( 2) x dx dx x x x x + = + - + - - ò ò = 1 0 5 (2ln x-2 - ) x-2 = 5 ln4 2 − *Trường hợp mẫu số vô nghiệm: Ví dụ: Tính các tích phân :I= 0 2 1 (2 3) 2 4 x dx x x - - + + ò Giải : 0 0 1 2 2 2 2 1 1 0 2 2 5 ( 2 4) I 5J 2 4 ( 1) 3 2 4 x d x x dx dx x x x x x - - + + + = - = - + + + + + + ò ò ò Ta có 1 2 2 0 ( 2 4) 2 4 d x x x x + + + + ò = 0 2 1 4 ln/x +2x+4/ ln4 ln3 ln 3 − = − = Tính J= 0 2 1 5 ( 1) 3 dx x - + + ò Đặt x+1= 3tgt (t ∈ ; 2 2 π π − ) ⇒ dx= 2 3(1 )tg t dt+ . Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t= 6 π ⇒ J= 2 6 6 2 0 0 3(1 ) 3 3 1 (3 3 ) 3 3 6 tg t dt dt tg t π π π + = = − + ∫ ∫ . Vậy I= ln 4 5( 3 − 3 3 6 π − ) 3/ Tính tích phân hàm vô tỉ: Dạng1: + ∫ ( , ) b n a R x ax b dx Đặt t= n ax b+ 9 Dạng 2: + + ∫ ( , ) b n a ax b R x dx cx d Đặt t= n ax b cx d + + Ví dụ: Tính tích phân I = 1 3 0 1 xdx− ∫ Giải Đặt t = 3 1 x− ⇔ t 3 = 1-x ⇔ x= 1-t 3 ⇒ dx= -3t 2 dt. Đổi cận: x=0 ⇒ t=1; x=1 ⇒ t=0. Vậy I= 1 0 1 4 2 3 1 0 0 3 .( 3 ) 3 3 4 4 t t t dt t dt− = = = ∫ ∫ 4/ Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp Dạng: sin .cos , sin .sin , cos .cosax bxdx ax bxdx ax bxdx β β β α α α ∫ ∫ ∫ Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải. Dạng: sin ; cos n n xdx xdx β β α α ∫ ∫ Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến. Ví dụ : 2 1 2 2 2 2 sin sin sin (1 cos ) sin Đặt t =cosx 1 cos2 cos (cos ) 2 n n n n n n xdx x xdx x xdx x xdx x dx dx β β β α α α β β β α α α + = = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Dạng: (sin ).cos R x xdx β α ∫ Đặc biệt: 2 2 1 sin .cos n k x xdx β α + ∫ Phương pháp giải: Đặt t =sinx 10 [...]... toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường b cong (C) :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là : S = ∫ f ( x ) dx a 12 b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) và y=g(x) có đồ thò (C’) liên . pháp giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải. Dạng: sin ; cos n n xdx xdx β β α α ∫ ∫ Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc,. dấu tích phân bằng u tính du. phần còn lại là dv tìm v. B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần. B3: Tích phân b a vdu ∫ suy ra kết quả. Chú ý: a) Khi tính tính tích phân. !" 6 1/ Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần: Công thức từng phần : . . . b b b a a a u dv u v v du= − ∫ ∫ Phương pháp giải: B1: Đặt một biểu