Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 Đề tài 9 “ tính diện tích hình phẳng

Trong đó, đề tài “7n điện tích hình phẳng” chắc hắn là một trong những ứng dụng phổ biến nhất của bộ môn Giải tích vào bên trong các lĩnh vực.. Những loại hình này đều có công thức tính

=} TRUONG DAIHOC BACH KHOA TPHCM- ŸŠ

DH QUOC GIA THANH PHO HO CHI MINH

KHOA KHOA HOC & Ki THUAT MAY TINH

Ứng dụng Matlab bài 33

Trần Minh Khôi 2311703

Giải bài tập 33 Biện luận bài tập 42, 43

Ứng dụng Matlab bài 3, 4

Võ Công Đăng Khôi 2311708

Thiết kế và trình bày báo cáo

Soạn cơ sở lý thuyết

Giải bài tập 40, 41 Biện luận bài tập 33

Ứng dụng Matlab bài 42

Nguyễn Trung Kiên 2311737

Giải bài tập 42 Biện luận bài tập 45, 46

Ứng dụng Matlab bài 40, 43

Cao Nhất Lâm 2311815 Soạn cơ sở lý thuyết

Giải bài tập 43 Biện luận bài tập 40, 41

Ứng dụng Matlab bài 41, 44

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

MỤC LỤC

9009 ic0i0 is CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÍ THUYT 2222:2222221122221111221111122111112211112211 1 111

CHƯƠNG III: BÀI TẬP VẬN DỤNG - 2 222 221222121121122122122222 re

3.2 Bài 4, mục 6.I, sách James S†eWarf - Lá LH HT TH SH nn HT 5111k KH và 3.3 Bài 33, mục 6.1, sách James ŠteWAF - Q Qnnn HT TH HH TT T511 k1 k KH u 3.4 Bài 40, mục 6.1, sách James SŠteWAF cece nn HT TH HH ng T511 HH KH vu 3.5 Bài 41, mục 6.1, sách James SteWaFf - - Q HT HH SH HH ng 2 2 21 222222 se 3.6 Bài 42, mục 6.1, sách James SteWaFf - - nn TH S121 ng 2 2 21 2222222

3.7 Bài 43, mục 6.1, sách James SteWaFf - HH HH T121 HE ng 2 2 21 2222222

3.8 Bài 44, mục 6.1, sách James SteWaFf - - cccccesessececceneeeeececeeeeeeeeeceeeseees 3.9 Bài 45, mục 6.1, sách James SteWaFf - HH HH S121 ng ng 2 2121 222222

3.10 Bài 46, mục 6.1, sách James Stewaft - T111 1 HH ng 2 2 122 2g ra

9°I0i9)I€00019)/c04 ai ẽ

TAI LIEU THAM KHẢO 2 2 221 2511215121151 121151152115115 2112152121258 ng

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU

Cuộc sống quanh chúng ta luôn hiện hữu toán học Nó đã trở thành một phần không thé thiéu trong hâu hết các lĩnh vực từ Kinh tế, Tài chính đến Xây đựng, Máy tinh,

Tại Trường Đại học Bách Khoa TPHCM - Dai hoc Quốc gia thành phố Hè Chí Minh

cũng vậy, các sinh viên của tất cả các ngành đều được tiếp cận bộ môn Giải tích một cách cụ thể và rõ ràng nhất, từ đó các bạn có thế áp dụng vào chính các môn học chuyên ngành và nghề nghiệp trong tương lai Giải tích là một nhánh quan trọng của

toán học nghiên cứu về các khái niệm vả phương pháp liên quan đến biến đổi và tính toán các hàm số Trong đó, đề tài “7n điện tích hình phẳng” chắc hắn là một trong

những ứng dụng phổ biến nhất của bộ môn Giải tích vào bên trong các lĩnh vực Từ

đó, sinh ra các khái niệm khác nhau trong các lĩnh vực khác nhau Vậy, diện tích hình

phẳng là gì ?

Ở các cấp tiêu học, trung học cơ sở hay trung học phô thông, chúng ta đều đã biết

đến khái niệm hình phẳng là những hình chỉ tổn tại trên một mặt phắng, hay nói cách

khác là chúng tồn tại ở không gian hai chiều vả những hình chúng ta gặp rất phổ thông

như hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành, hình thoi, Những loại hình này đều

có công thức tính diện tích cụ thé riêng mà từ bé chung ta đã được bắt phải học thuộc Chẳng hạn, diện tích của hình chữ nhật bằng tích của chiều dài và chiều rộng Đối với các đa giác lỗi bat kì, diện tích của chúng còn có thể được tính bằng cách chia nhỏ đa giác lỗi đó thành các hình đã có công thức tính và tính tổng diện tích của chúng

Nhưng đối với các hình không ôn định (như cái hồ, hình thang cong, .) thì diện tích

của những hình ấy tính như thế nào? 7ícb phân va tong Riemann |a céng cu quan trọng trong việc tính toán diện tích hình phẳng cho các hình có cấu trúc đơn giản nói riêng

và các hình có câu trúc phức tạp nói chung

Trong bài tập lớn này, nhóm chúng em sẽ sử dụng các bài tập mang tính lý thuyết xen lẫn với các bài mang tính thực tiễn để minh hoạ về cách tích phân hoạt động ở các lĩnh vực trong việc tính diện tích hình phẳng Trong quá trình giải cdc bai tập, nhóm 9 chúng em có sử dụng phần mềm code Matlab cũng như một số phần mềm khác dé minh hoạ hình ảnh để có tính trực quan và đề đễ hình dung về hướng giải quyết của đề

bài

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

CHUONG II: CO SO Li THUYET

s* Xét miễn phăng S nằm giữa hai đường cong y = Ñx) và y = g(x) và giữa hai đường thẳng đứng x = a và x =b Trong đó f{x) và ø(x) là các hàm số liên tục và f{x) > ø(x) với mọi x thuộc [a, bị

Hình 2.2 Một phân hoạch của [a, b]

Bước 2: Mỗi hình con S; được xấp xỉ bởi hình chữ nhật với chiều rộng là

Ax;=x;—x,_¡ và chiều đài là ƒ|x; |—Ø|x; ] với mỗi x,’ la một điểm mẫu tùy ý trong mỗi

đoạn con [X,_;; x,Ì

s* Một cách tông quát ta có công thức:

Định lý: Diện tích hình phẳng nằm giữa 2 đường cong liên tục y = Ñx) và y = g(x)

và giữa 2 đường thằng đứng x = a và x = b là

b S= [|fIx)—g(x)Ìdx

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

Định lý: Nếu miền phẳng được giới hạn bởi các đường x = fly), x = ø(y), y = c và

y =d, trong đó f{y) và ø(y) là các hàm số liên tục trên [c, đ] thì điện tích của nó là

s=[lfIyI~ø[yllw

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

CHƯƠNG III: BÀI TẬP VẬN DỤNG

3.1 Bài 3, mục 6.1, sách James Stewart

& = 6(y) exp(y);

% Tìm giao điểm bằng cách giải phương trình f(y) = g(y)

intersection_points = fsolve(@(y) f(y) - g(y), [-1, 1]);

% Tính giá trị của đại lượng tích phân S

S = integral(@(y) abs(f(y) - g(y)), -1, 1);

fsolve completed because the vector of function values is near zero

as measured by the value of the function tolerance, and

<stopping criteria details>

Các điểm giao nhau:

Dién tich S dưới đường cong:

solve(x1-x2, y) XTìm giao điểm của hàm x1, x2

%Tính tích phân và in ra diện tích tính bằng tích phân

fprintf('Dien tịch bi gioi han boi 2 duong cong la S=Xf', int( abs(x1-x2), ans(1), ans(2) ) )

cac duong cho trudc: + y=sin “4 |? Y= 608

s* Bài giải:

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

* - Diện tích là:

1 S= [|f(x|dx#Ax./f|x|*fl;|*flx¿|#flx¡|Ì

midpoints = (delta_x / 2) + (@:delta_x:1-delta_x);

% Tính diện tích sử dụng Quy Tắc Trung Điểm

area_under_curve = delta_x * sum(arrayfun(@(x) abs(f(x)), midpoints));

Va* ly x<1+ynếu y<0

* Tung dé giao diém cua x=2 y’ va x=1— y là:

% Tìm giao điểm của đường cong

y_intersection = solve(2*y*2 + y - 1 == 0, y);

% Lấy giá trị dương của y

y_intersection = double(y_intersection(y_intersection >= @));

% Tính diện tích sử dụng tích phân

area = 2 * int(abs((1 - y) - 2*y^2), y, 9, y_intersection);

% Hiển thị kết quả

disp(['Diện tích của khu vực là:

Diện tích của khu vực là: 7/12

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

3.5 Bai 41, muc 6.1, sach James Stewart

$% Đề bài:

Xe dua do Chris va Kelly cam lái khởi hành bên cạnh nhau Bảng dưới cho thây

vận tốc hai xe (tính bằng đặm/gïờ) trong mười giây đầu tiên của cuộc đua Dùng Quy Tắc Trung Điểm để ước tính xem Kelly vượt qua mặt Chris bao xa trong mười

giây đầu tiên

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

s* Chương trình matlab:

Cominand Window

>› % Dữ liệu vận tốc của Chris va Kelly

T ~ 0:1:19; % Thời gien theo h

ve = [@ 20 32 46 54 62 69 75 81 86 96]; % Vận tốc của Chris

vk = [@ 22 37 52 61 71 8ô 86 93 98 192]; % Vận tốc của Kelly

t=T/3600;% thdi gian theo s

% Số phân đoạn

n=5;

% Tính độ dài mỗi phân đoạn

delto_t = (mox(t) - min(t)) / n3

% Tính trung điển của các phân đoạn

t_midpoints = min(t) + delta_t/2 : delta_t : max(t) - delta_t/2;

% Tính khoảng cách sử dụng Quy Tắc Trung Điển

distance = sum((interpi(t, vk, t_midpoints)-interp1(t, vc, t_midpoints))* delta_t);

% Hién thi két qua

fprintf('Khoảng cách mà Kelly vượt qua Chris sau 16 giây (sử dụng Quy Tắc Trung Điển với %d phân đcạn) là: %.4f dặm\n', n, distence); khoảng cách mà Kelly vượt qua Chris sau 19 giây (sử dụng Quy Tắc Trung Điểm với 5 phân đoạn) là: 0.0222 dặn

Chiều rộng (tính bằng mét) của hồ bơi hình quả thận được đo ở những khoảng cách

2 mét như trong hình Dùng Quy Tắc Trung Điêm đê ước tính diện tích hồ bơi

Bài tập lớn Giải tich I Nhóm 09— Lớp L21

s* Chương trình matlab:

>> %Dữ liệu của hồ bơi

x = 0:2:16; %Chia chiều dài của hồ bơi thành 8 phần với khoảng cách 2 mét

% Tính diện tích bằng cách sử dụng giá trị của hàm y tại các điểm chẵn

area = sum(y_values) * delta x;

% Hién thi két qua

Diện tích ước tính của hồ bơi là: 91.2 m^2|

23.8, 20.5, 15.1, 8.7 và 2.8 Dùng Quy Tắc Trung Điểm để ước tính diện tích của

thiết diện của cánh

Bai giai:

* Goi x la chiéu rộng của cánh từ điểm tận củng bên trái

* Goi h(x) la chiều cao của cánh, tính bằng cm, ở những khoảng cách x em

>> % Di liéu chiéu cao của cánh

xX = 0:20:200; %Chia chiéu dai cla caénh thanh 10 phan cé khoang cách bang 20 cm

h = [5.8, 20.3, 26.7, 29.0, 27.6, 27.3, 23.8, 20.5, 15.1, 8.7, 2.8]; XChiều cao của cánh theo vị trí x cm

% Số phân đoạn

n= 5;

% Tính độ dài mỗi phân đoạn

delta_x = (max(x) - min(x)) / n;

% Tính trung điểm của các phân đoạn

x_midpoints = min(x) + delta_x/2 : delta_x : max(x) - delta_x/2;

% Tinh khoang cách sử dụng Quy Tắc Trung Điểm

distance = sum(interp1(x, h, x_midpoints) * delta_x);

% Hién thi két qua

fprintf('Diện tích tiết diện của cánh là: %.4f dam*2\n', distance);

Diện tích tiết diện của cánh là: 4232.0900 dặm^2

0

* Ynghia: Trong khoang thoi gian 10 năm, dân số tăng khoảng 8868 người

%Tính tích phân và in ra diện tích tính bằng tích phân

fprintf('Dien tích giua cac duong cong nay la: S=%f', int(b-d,t,@,10))

4 Xe nào vượt trước sau một phút? Giải thích

bY nghia cua dién tich cua miền được tô là gì?

c Xe nào vượt trước sau hai phút? Giải thích

đ Ước tính thời gian hai xe một lần nữa lại chạy cạnh nhau

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

khoảng thời gian từ a (phút) tới b (phút), ƒ v„Ít}dt=s,„ (z) Tương tự, diện tích

được giới hạn bởi đường cong vận tốc B, trục Ot và 2 đường thắng đứng t = c, t

= d biểu thị quãng đường đi được của xe B trong khoảng thời gian từ c (phút)

d

toi d(phut), J v,(t)dt=s,(t)

a Xe A vượt trước xe B sau 1 phút Vì phần diện tích được giới hạn bởi đường

cong vận tốc A, trục Ot và 2 đường thăng đứng t = 0, t = 1 lớn hơn phần diện

tích được giới hạn bởi đường cong vận tốc B, trục Ot và 2 đường thắng đứng t

=0,t=1

b Y nghia cua dién tich miền được tô là khoảng cách xe A vượt trước xe B trong

1 phút từ lúc khởi hành

c Sau 2 phút, xe B có vận tốc nhanh hơn xe A nhưng phần diện tích được giới

hạn bởi 2 đường thắng đứng t = 0, t = 1, trục Ot và đường cong vận tốc A vẫn lớn hơn phan điện tích được giới hạn bởi 2 đường thăng đứng t =0, t = 1, truc

Ot và đường cong vận tốc B nên xe A vẫn vượt trước xe B sau 2 phút từ khi

khởi hành

d Từ đồ thị, đường như diện tích giữa đường cong A và B từ 0 đến 1 giây ( khi xe

A nhanh hơn), tương ứng với khoảng cách mà xe ÀA đi trước, là khoảng 3 ô vuông Do đó, ô tô sẽ chạy cạnh nhau tại thời điểm x Trong đó, diện tích piữa các đường cong khi 1<t<x (khi xe B nhanh hơn) bằng diện tích giữa các đường cong khi 0<t<1 Từ đỗ thị, ta thấy x=2,25( phút) Vậy 2 xe một lần nữa lại chạy

cạnh nhau là tại thời điểm t=2,25{ phút)

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

3.10 Bài 46, mục 6.1, sách James Stewart

$% Đề bài:

Hinh dưới cho thây dé thi cia ham số doanh thu cận biên R' và hàm số chỉ phí

cận biên C của một công ty sản xuất [Nhớ là ở Bài 4.7 ta đã biết R(x) và C(x)

biểu thị doanh thu và chỉ phí khi x đơn vị được sản xuất R và C được tính bằng nghìn đôla] Ý nghĩa của diện tích của miền được tô là gi? Dùng Quy Tắc Trung Điểm để ước tính giá trị của đại lượng này

s* Bài giải:

YÝ nghĩa của diện tích miền được tô là: Từ 50 đơn vị được sản xuất đến 100 đơn

vị được sản xuất, diện tích miền được tô là lợi nhuận của công ty

1008059 (aysx

* Ta ding Quy Tac Trung Diém voi n= 1 phan doan va Ax=

* Tauéc tinh dién tich cua mién duoc t6 nhu sau:

S%Ax |RÍ75]—C [75)]~50.(2—1)=50(nghìnđô la)

Bài tập lớn Giải tích ] Nhóm 09_ Lớp L21

CHƯƠNG IV: TONG KET 4.1 Những điều đã đạt được

Qua bài tập lớn này, chúng em đã có cơ hội đề tìm hiệu rõ hơn về Tổng Riemann

và Tính diện tích hình phẳng về ứng dụng của nó trong các bài toán hàn lâm cũng như

là toán thực tế Đây là những kiến thức có tính ứng dụng cao trong các lĩnh vực Khoa học, Kinh tế, nên chúng em sẽ có thêm một công cụ tính toán các đại lượng trong lĩnh vực của mỗi người Chúng em đã ứng dụng cả kiến thức này vào các ứng dụng, phần mềm tính toán như Geogebra, Matlab, WolfamAlpha và điều này đã trang bị cho chúng em khả năng có thể sử dụng chúng trong tương lai

Ngoài các kiến thức chuyên môn, chúng em còn có cơ hội để có thé trau dồi và trang bị thêm các kỹ năng mềm trong quá trình làm bài báo cáo Kỹ năng làm việc nhóm là một trone các kĩ năng quan trọng mà các công ty, doanh nghiệp đòi hỏi ở các

cá nhân và bọn em đã được học hỏi cũng như ứng dụng trong bài tập này Ngoài ra, kỹ năng giao tiếp và quản lý thời gian là các kĩ năng chúng em đã sử dụng để bắt kịp tiến

độ công việc và làm cho bài báo cáo trở nên hiệu quả hơn

4.2 Những điều chưa đạt được

- _ Thứ nhất là tính chính xác của các bài toán Vì các phương pháp sử dụng đều có

tính xấp xỉ nên những kết quả cũng chỉ mang tính chất tương đối và có thé

chính xác hơn nữa với những cách giải khác

- — Thứ hai là tiễn độ làm việc không như dự đoán Vì tính chất địa lý nên việc họp

và tiễn hành những buôi gặp mặt đề thuyết trình thử rất khó Điều này cũng khiến cho công việc trở nên chậm trễ hơn

- Tuy vậy, nhóm chúng em đã cố gắng hết sức khắc phục những điểm yếu bằng các điểm mạnh như thay thế tính sáng tạo bằng sự chỉ tiết, tỉ mỉ và đa dang hoa

cách giải bài Đây cũng là lần đầu tiên nhóm chúng em làm bài tập lớn nên sai

sót là điều không thể tránh khỏi Xin cảm ơn thầy Đào Huy Cường đã dành thời

gian để lắng nghe, sửa lỗi và giúp chúng em tốt hơn