LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn PhướcPhần II: khảo sát lý thuyết biêu diễn Phần III: bài toán dao động tử điều hòa trong các phépbiểu dién Phần IV: một số bài tập Mặc dù có rất nhiều đi
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH
GVHD: Lê Văn Phước
SVTH: Nguyễn Ảnh Nam
Trang 2LUẠN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
LỜI CẢM ON
Trong suốt 4 năm học dưới mái trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh, được sự quan tam, tận tâm dạy dỗ của các thầy cô trong
nhà trường, đã giúp em mở rộng kiến thức, nâng cao sự hiểu biết, đây
chính là điều hạnh phúc nhất trong quá trình học tập của em Công lao to
lớn của quý thay cô thực sư em không thể nào quên, nhân đây em xin
được gửi lời cám ơn chân thành nhất đến:
- Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
và Ban Chủ nhiệm khoa Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho em khi làm
luận văn.
- Thay Lê Văn Phước đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em
trong suốt thời gian làm luận văn.
- Các thay cô trong trường đã truyền đạt kiến thức cho em trong
những năm học 2001 - 2005.
Sau cùng, em xin kính chúc quý thầy cô luôn mạnh khỏe và thành
công trong sự nghiệp giáo dục.
Sinh viên
Nguyễn Ảnh Nam
THƯ VIÊMTrường Đại-Học tu -Phạm
TP HỒ-CHÍ-MINH
Trang 3LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
LỜI MỞ ĐẦU
Vật lý và toán học là hai ngành khoa học tự nhiên giữ vai trò trọng
yếu, có rất nhiều ứng dụng trong xã hội, trong đời sống, trong sản xuất và
trong khoa học kỹ thuật Giữa chúng lại có mối liên hệ mật thiết với nhau
và phan học vẻ vật lý toán thể hiện rõ mối quan hệ mật thiết ấy.
Học phần Cơ học lượng tử mà các bạn sinh viên đã và sẽ được theo
học ở năm thứ 4, nhưng vì thời gian có han, thay day chỉ có thể gới thiệu
và giảng dạy những phân cơ bản nhất, cô đọng nhất để các bạn có thể
hoàn tất học phan ấy mà thôi Còn rất nhiều, rất nhiều những phần kiến
thức mà các bạn phải tự mình tìm hiểu qua tài liệu, qua sách tham khảo
để củng cố thêm kiến thức, khắc sâu và các bạn sẽ được tiếp xúc kỹ hơn
khi tiếp tục học lên cao học.
Trong Cơ học lượng tử thì nền tảng toán học để SV tiếp cận môn học
là một điều rất quan trọng Đặc biệt trong phần “Ly thuyết biểu diễn” , một
phan học nghiên cứu trạng thái của hệ lượng tử trong các phép biểu diễn
khác nhau thì những kiến thức toán học về phan “Đại số tuyến tinh” là rất
cần thiết để khảo sát phần này Do đó trong luận văn của mình, em đã cố gắng hệ thống lại các kiến thức toán học can thiết nhất và áp dụng vào phần
* Lý thuyết biểu diễn " trong Cơ học lượng tử để có thể hiểu rd hơn, hiểu thấu đáo hơn về môn học Cơ học lượng tử, qua đó cũng thấy được vai trò rất
quan trọng cúa Toán học trong Vật lý.
Nội dung luận văn gồm 4 phản chính:
Phần I: Cơ sở toán học
' tw ‘
SVTH :Nguyễn Anh Nam
Trang 4LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
Phần II: khảo sát lý thuyết biêu diễn
Phần III: bài toán dao động tử điều hòa trong các phépbiểu dién
Phần IV: một số bài tập
Mặc dù có rất nhiều điều cần nghiên cứu nhưng do thời gian và
điều kiện còn hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót Em rat mong được sự chỉ bao, góp ý của quý thay cô va các bạn.
Š>` -_-——cc SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 5-3-LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
MỤC LỤC
Trang
HT GIs scoces cress canascmmmanaemnonmanianisienenrenaaneien: 2
PHAN I :CO SO TOÁN HOC
VI Ung dụng ma trận nghịch dao đẻ giải phương trình ma trận 17
Chương II: KHONG GIAN VECTƠ
I Khái niệm không gian vectØ - 19
Il Độc lập tuyến tinh và phụ thuộc tuyến tính - 20
IV NTGXIẾ se ci oat emai nee 23
Chương III: ANH XA TUYẾN TINH
I.— Định nghĩa và các tính chất - << <<«2 26
Il Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính - -+ =- 27
II TH GC, ln 29
IV Đa thức đặc trưng của ma trận và toán tử ‹- 30
SVTH :Nguyễn Anh Nam
Trang 6-4-LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
II — Toán tử tuyến tính liên hợp - - - << << x«<<, 47
IV Toán tử Unita và ma trận Unita 49
V Toán tử Hermite và ma trận Hermite 5 I
Chương V : KHÔNG GIAN HILBERT -5-5<- 53
PHAN HH : LÝ THUYET BIEU DIEN
Chương I :KHÔNG GIAN VECTO TRANG THÁI 55
Chương Il : VECTO TRANG THÁI- MA TRAN TOÁN
TU-EY FEU ĐÁ cvaieeaeeoeseoec 58
Chương IL :CƠ HỌC LUQNG TỬ TRONG F-BIEU DIEN
l 2B UŒÃ¿ái:coa0uatiliiitotiaviirtricidiccdaasavaaai 64
II Phép chuyên biểu diễn cẶ 5252 <e< 66
IE fifwdiEninHil 220i tcGatirtoagesessaa 68
Trang 7-5-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Vin Phước
PHAN II : DAO DONG TU DIEU HÒA
TRONG CAC PHEP BIEU DIEN
Chương |: DAO DONG TU DIEU HOA TRONG
BIEU DIEN TOA DO
| — Nghiệm giải tich cccccccseeeeeeessceeceeeeeeeseceecerseneees 80
ll Lời giải bằng phương pháp toán ti 5 ss 55s 85
Chương H: DAO ĐỘNG TU DIEU HOA TRONG
BIEU DIEN XUNG LƯỢNG 9}
Chương HH: DAO ĐỘNG TU DIEU HOA TRONG
BIEU DIEN NANG LƯỢNG 94
Trang 8-6-LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
-Ký hiệu [A], hay a, được hiểu là phân tử ở vị trí dòng ỉ,cột j của A.
-Tập hợp tất cả các ma trận loại mxn trên trường K được ký hiệu là
MAK).
-Nếu m=n thi A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K Tập hợp tất cả
các ma tran vuông cấp n trên trường K được ký hiệu là Ä⁄ (K).
+Nếu a, =0,Vi # / thì ta nói A là một ma trân đường chéo Được ký
hiệu là đ¿4g(4,,đ, đ,) Ví dụ :
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam St
Trang 9LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lé Van Phước
1 0 0
A=|0 -5 0
D 2 2
+Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử đều bằng 1 gọi là ma
trận đơn vị cấp n ký hiệu là Ï_, nghĩa là :
1 0 0
0 1 0
l=
0 0 |
H.Các phép toán trên ma tran:
- Cho A, 8 e M, (K) Ta nói nếu A=B : [A], =[B], Yi, 7.
Trang 10-8-LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
-Cho Ac M (K) Ta nói BEM, (K) là chuyển vị của A (ký hiệu
B=A') nếu :
[8], =[A], viv.
+Cho A,B © M_(K), Khi đó (A")'=A và A'= 8Ì 2 A=B.
+ Giả sử Ae M (K) Khi đó nếu A'=A thì ta nói A là một ma trận
đối vững : nếu AT=-A thì ta nói A là một ma trận phản đối xứng
Trang 11-9-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
- Cho A,B e M (K) ta gọi tổng của A vaB (ký hiệu A+B) là một ma
- Cho AEM, (K) va BEM, (K) Tích của A với B (ký hiệu AB) là
một ma trận thuộc M_ (K) được xác định bởi :
ar
SVTH :Nguyén Anh Nam -
Trang 1210-LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
+ Tích hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai Phan tử ở vị trí (7) của ma trận tích có
được bằng cách lấy các phan tử đòng ¿ của ma trận thứ nhất nhân với từng
phản tử cột / của ma trận thứ hai (theo thứ tự đó) rồi cộng kết quả lại.
+ Khi A,Be&M (K) thì AB và BA cùng tổn tại, thông thường
AB # BA (tích các ma trận vuông không có tính giao hoán) Nếu
A,Be€M,(K) và AB=BA thi A và B được gọi là giao hoán nhau
+ Nếu AEM, (K) và BEM, (K) thì có thể xảy ra khả năng
A #0 và 8 #0 nhưng AB=0 Do đó không thể khẳng định nếu AB=0
Trang 13-l11-LUẬN VĂN TÔT NGHIỆP GVHD: Lé Văn Phước
+(AB)T=BTAT
+ @(AB)=(@A)B=A(aB) Vaek
IH.Lũy thừa ma trận :
*Cho A œ M_(K).Ta gọi luf thừa bậc k của A là một ma trận trong
M_(K)(ky hiệu la A* )được xác định một cách quy nạp như sau :
+ ATM =A’‘A'’
+A” =(A’ }
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 14-12-LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
IV.Các phép biến đổi sơ cấp :
*Định nghĩa | : một ánh xạ 9: Mĩ, (K)-> M,.„(K) được gọi là một phép biến đổi sơ cấp trên dòng nếu @ thỏa một trong các điều kiện sau với
+Nếu A—*4—> A! thì A'—”—› A.
+Nếu A—*““—›A' thi A’ “+ A.
+Nếu A—“““—›A' thi A'—“““—›A.
- Cho A,ЀM, (K) Ta nói A tương đương dòng với B (ký hiệu A~B)
nếu Ö có thể nhận được từ A thông qua một số phép biến đổi sơ cấp trên
đòng Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương nghĩa là với
mọi A,B,C e M_.(K).Ta có:
+A^A.
+ Nếu A~B thi 8~A.
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 15-13-LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
——————T——————— TT TT TT TT TFT—_—_—_ — ———EeKS_
+ Nếu Av~B và B~C thì A~C.
- Tương tự phép biển đổi sơ cấp trên dòng thì ta có phép biến đổi sơ cấp
trên cột như sau :
*Định nghĩa 2 : Một ánh xạØ: Af, (K)-›» AM,.(K) được gọi là một
phép biển đổi sơ cấp trên cột nếu @ thỏa một trong các điều kiện sau với
-Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng và trên cột được gọi chung là phép
biển đổi sơ cấp
* Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ /„ qua duy nhất một phép
biến đổi sơ cấp gọi là một ma trận sơ cấp
Ƒ—————————>—-r-r—
SVTH :Nguyễn Anh Nam Spar
Trang 16LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHDĐ: Lê Văn Phước
+Nếu S$ là ma trận sơ cấp có được từ 7, qua phép biến đổi sơ cấp @ thì ta
ký hiệu S=@ (J, ).
+ Nếu S$ là ma trận sơ cấp thì tổn tại một phép biến đổi sơ cấp trên dòng
ọ và một phép biến đổi sơ cấp trên cột sao cho S = @(1„)= (1, )
1 0 0 1 0 0
Ví dụ : các ma trận S =|0 | 0|;S =|0 1 O| là các ma
0 0 3 lI 0 1
trận sơ cap.
+Giả sử A =(a,)€ M „.(K),@ là một phép biến đổi sơ cấp trên dòng và
ự là một phép biến đổi sơ cấp trên cột Khi đó :
ø(A)= ø(1„)A và y(A) = Ay (1, )
+ Cho A,B eM, (K) Khi đó A~B khi và chỉ khi tôn tại các ma trận sơ
+ Cho AEM, (K) Ta nói A khả nghịch trái nếu tổn tại
8c<M,, (K)sao cho BA = ï (khi đó Ö được gọi là nghịch đảo trái của
A) và A được gọi là khả nghịch phải nếu tổn tại C€ Aƒ, (K) sao cho
AC =I, (C được gọi là nghịch đảo phải của A).
—————————ee—>———————=——
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 17-1§-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
+Cho A € M_(K) Ta nói A khả nghịch nếu tôn tại 8 € M_(K) sao cho
AB = BA = I, Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của A,
3 -4 -6 -Ì -2 -2
Ví dụ : cho A=|l0 -1 -l|vaB=|2 0 3 thì
-2 3 4 -2 -Ì -3
AB = BA = Ï, và ta nói A khả nghịch và B là nghịch đảo của A.
+ Nếu A có một dòng hoặc một cột bằng 0 thì A không khả nghịch.
+ Ma trận nghịch đảo (nếu có ) của A là duy nhất , ký hiệu là A”
nghịch P © M_(K) và QE M (K) sao cho A= li, N2
SVTH :Nguyễn Anh Nam
Trang 18-l16-LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
+Cho A,B eM, (K) Khi đó A~B khi và chỉ khi tổn tại P € M, (K)
khả nghịch sao cho B = PA.
+Cho AeM,._(K) Khi đó r (AT)=r (A) và để tìm hạng của ma trận
A ta có thể ding cả hai phép biến đổi sơ cấp trên dong và trên cột để đưa
A về ma trận bậc thang từ đó suy ra hạng của ma trận A.
+Cho AE M _(K) Khi đó ta có :
-A khả nghịch.
-R, — if * -A là tích của một số hitu hạn các ma trận sơ cấp.
VI Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình
ma trận :
+ Cho AeM (K); B,.XeM, (K) Khi đó nếu A khả nghịch thì
phương trình AX=B có nghiệm duy nhất X=A"B,
+ ChoAeM (K); 8,XeM, (K) Khi đó nếu A khả nghịch thì
phương trình XA=B có nghiệm duy nhất X=BA"
+ Cho AEM, (K); CeM (K): B,XeM, „(K) Khi đó nếu A và C
khả nghịch thì phương trình AXC=B có nghiệm duy nhất X=A' BC!
2 1 \ ộ U &
Ví dụ : cho A = ,B= và C=
53 3 4 0 1 a)Tim X biết AX=B.
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam Sy
Trang 19LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
Trang 20-18-LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
CHƯƠNG II : KHƠNG GIAN VECTƠ
- V(x, y)e V°,Và e K,đ(x + y) = ưx + œ,
-Wx €V,V(a, B)e K* (a+ B)x = œ + fx
Vx eV,V(a, B) € K*,a( fx) =(a@B)x,
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 21-19-LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
-Cho V là một không gian vectơ trên trường K và V,V,,V, ¿ „w là
các phần tử của V Ta nói v là một fF hợp tuyến tính của các vectd WáWsdb¿00e „w „nếu tổn tại các vô hướng Ø,đ,, ,a,€K sao
cho:
+Vi dụ : cho V = KỶ và w=(I,2);v, =(2,1);v, = (—2,2).Vectơ v
là tổ hợp tuyển tính của Y,,V, vì: = w, + tho
————————————xr-rxr-r-c=rcr————e—e—=e—e—=—==>=——=——
SV'TH :Nguyễn Anh Nam
Trang 22-20-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
- Họ các vectƠ V,,V, ,¥, của không gian vectơ V trên trường K
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tổn tại các vô hướngESO esses ,a, © K không phải tất cả đều bang 0 sao cho
CA ROW AE ania +a v=0
- Ho vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là họ độc lập tuyến tinh
Nếu các vecd W,,V;, ,V phụ thuộc tuyến tính thì
như vậy ta thấy nếu các Vectd V,,V,„ - ¥, phụ thuộc tuyến tính thì
có ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 23.2l-LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
CAC vecld U,,V;, „w độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu :
SC a,)eK’, Yay =0>a@ =0Vi=l n
aol
-Mọi họ hữu han các vectơ trong đó có vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.
- Vw€ V,{v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v # 0,
HI.Cơ sở và số chiều :
1)Dinh nghĩa | :
-Không gian vectơ V trên trường K gọi là n chiều nếu tồn tại n vectơ độc
lập tuyến tính và không tổn tại một họ độc lập tuyến tính nào chứa nhiều hơn z vectơ Số chiều của không gian vectơ ký hiệu là dimgV .
-Như vậy có thể nói số chiéu của một không gian vectơ là số tối đa những
vectơ độc lập tuyến tính
-Không gian vectd có số chiéu hữu hạn gọi là không gian-veetơ hữu hạn chiều
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 24-22-LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
rr
-Không gian vectơ trong đó có thể tìm được vô số vectơ độc lập tuyến tínhgọi là không gian vectơ vô hạn chiều
+ Họ ” vectơ độc lập tuyến tính của một không gian vectd.n chiều gọi là
một cơ sở của-V Khi đó mọi vectơ x của không gian vecto n chiều đều viết
được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tinh của những vect cơ sở.
+Néu B = {a,,đ, ,@,} là một tập độc lập tuyến tính và sinh ra V thì B
là một cơ sở của V.
Ví dụ :Xét không gian n chiều thì dễ dàng ta thấy tập các vectơ
B, = {e, = (1,0, ,0),e, = (0,1, 0), e, = (0,0, ,1)} la độc lap
tuyến tính và nếu X = (X,„X;¿ „X4, ) là một vectơ bất kỳ thuộc K thì
x=x,e+x,e, + + xe, Ta gọi B, là cơ sở chính tắc của không gian
trên.
[V.Toa độ :
-Một cơ sở của không gian vectơ được gọi là một cơ sở được sắp nếu ta chú
ý đến thứ tự của các vectơ cơ sở Ta ký hiệu B= (4,,đ, „ ;a, ) chỉ
một cơ sở đã sắp xếp và B= Cy To „4, ) là một cơ sở không được
sắp xếp,ta có thể gọi một cơ sở không được sắp xếp là một tập cơ sở
-Ví dụ như B = (4,,đ,, ,ä,) và BY =(4,,d› „đ,) là hai cơ
sở khác nhau thì rõ rằng hai cơ sở trên có chung một tập cơ sở Ứng với
một tập cơ sở thì có n! cơ sở được sip.
SVTH :Nguyễn Anh Nam
Trang 25-23-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
toa độ của X trong cơ sở Ö.
* Sự thay đổi toạ độ của một vectơ khi thay đổi cơ sở
-Giả sử = (d,.đ, „4, ) và BY = (đ/,đ;› va) là hai cơ sở
được sắp Lập ma trận vuông trong đó cột thứ / là toa độ của vectơ a’
Trang 26-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
-Pinh lý 1: Cho B và B' là hai cơ sở được sắp của V và P=( B — B') là
ma trận chuyển cơ sở từ B sang B'.
Khi đó [x], = P{x]„ say ra [x]„ = Pˆ`Ix],
-Định lý 2 : Cho V là một không gian vecto n chiều và B là một cơ sở được
sắp của V Giả sử C = (V,,V;¿ »V_) là một họ vectơ bất kỳ của V Ta
Khi đó C là cơ sở cud V nếu và chỉ nếu P khả nghịch và trong trường hợp
này thì P=( 8 > €)
———— -_
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 27-25-LUAN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
CHƯƠNG Il: ANH XA TUYẾN TÍNH
I.Định nghĩa và các tính chất cơ bản :
Dinh nghĩa: Cho V, W là hai không gian vectơ trên trường K Anh xạ
ƒ£:V — W được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu :
+ f(v,+v,)= ƒ(v,)+ ƒ(,), Vv,,v, EV.
+f(av)=af(v), VveV,VøeK.
-Hai điều kiện trên có thể thay bằng các điều kiện sau :
+f(av, +v,)=af(v,)+ ƒ(,), Vv,,v, eV,Vư eK.
*Đặt L(V, W) là tap tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào W:
L(V,W)={ƒ: V —> WI ƒ là ánh xạ tuyến tinh} Trên L(V, W) ta định
nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau ;
+ (f+g)(u) = flu)+g(u)
+(afuy=af(u) VueV,Vư e K(zJ)\(u).
SVTH :Nguyễn Anh Nam - 26:
Trang 28LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
————
Mệnh dé: Cho B=(e,.e, e, ) là một cơ sở được sắp của V và
i, U,, U4, lan vectơ tity ý của W Khi đó tôn tại duy nhất một ảnh xạ
tuyến tính ƒ : V —> W thỏa f (e;) =u; với i=Ì, n.
+Ví dụ : cho £ € L(R’,R’) là một ánh xa tuyến tính thỏa
/01.0)=(1.2) và /(0,1)=(5,6) Hãy tim fx,y).
+Ta có f(x,y) =ƒ[x(1,0)+y(0,1)]=x /(1,0)+y,/t0,1)
=x.(1,2)+y.(Š5,6)=(x+5Šy,2x+ốy) duy nhất.
Il Ma trận biểu diễn ánh xa tuyến tính :
-Xét một không gian vectơ hữu hạn chiều, ta quy ước ký hiệu V = V/ là
không gian vectơ n chiều với các cơ sở được sắp Nếu V = V và W = W,
thì ánh xạ tuyến tính ƒ£ : V — W được xác định duy nhất bởi
ƒ(b,) ƒ(b, ) khi B= (b,, „b, ) là một cơ sở được sắp của V Gọi
1)Định nghĩa :
-Ma trận PEM, (K) có cột thứ j là ƒ[(b,)], với /= /, ,m được gọi là
ma trận biểu dién ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở B,C Ký hiệu là | ƒ Ih
-Nếu V=W và B=C thì ta dùng ký hiệu | ƒ]„ hoặc chi đơn giản | f |thay
cho [/ l¿
==========—m—mnnÏẺẼẽẽšẽMAMNRaaaaa‹a4‹aaaaaáãaãaa=—=ẻ
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 29.2T-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Vian Phước
— ễồẦ
-Ví du: cho ánh xa
Fle +R
(x,y) (x+y,x-y) tim ma trận biểu diễn [ f]? (với cơ sở chính tắc)
I1
+ta có thể dễ dàng tìm được [ ƒ] = i |
2)Dinh ly : Cho V=V_ và W=W là hai không gian vectơ hữu han
chiéu có các cơ sở được sắp xếp là B = (b,, ,b, ) và C =(€,› €„).
Khi đó f : V —> W tà một ánh xạ tuyến tính thì với mọi tá € V thì :
3)Mệnh để 1: Cho V=V, và W = W, là hai không gian vectơ hữu han
chiéu có các cơ sở được sắp xếp là 8 = (b,, ;ở:) và:€ =(@;:: s03:
Trang 30-LUẬN VAN TOT NGHIEP GVHD: Lê Van Phước
— TT
— -là một đẳng cấu không gian vectơ
4)Ménh để 2 : cho V =V, và W = W/ ,gọi Pe M,(K)là ma trận
chuyển cơ sở từ sang B’ trong V,Q € M_(K) là ma trận chuyển cơ sở
từ C sang C” trong W Khi đó với mọi f € L(V,MW) ta có :
Lf =@".LI,.P
IH.Toán tử tuyến tính :
-Một ánh xạ tuyến tinh từ V vào chính nó gọi là một foán tử tuyến tính
trên V Tập hợp tất cả các toán tử trên V được ký hiệu là L(V) Như vậy
L(V) là không gian vectơ đẳng cấu với không gian vectơ các ma trận
vuông Ä„(K).
-Nếu là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ thì ta có công thức
[ƒ]„=P".U],.P œ®)
-Hai ma trận A,B € M_(K) dude gọi là đồng dạng với nhau nếu có ma
trận khả nghịch P e M,(K) sao cho 8= A.P Từ biểu thức (*) suy ra
ma trân biểu diễn toán tử tuyến tính ƒ với những cơ sở khác nhau là những
ma tran đồng dang nhau.
-Vi du : Cho V là không gian vectơ gồm các đa thức có bậc <3 Gọi D là
toán tử đạo hàm trên V, Gọi 8 =(h,,h.,h,.hh,) là một cơ sở được sắp của
V và được định nghĩa h(f)=f"` Với aE R nếu ta đặt ø (f)= (f+ a} l
SVTH :Nguyễn Anh Nam
Trang 31-29-LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
g, =a’h, +3a`h, +3ah, +h,
+Gọi P là ma trận biểu diễn của B’ = (g,,#,,#,,#,) đối với cơ sở B thi:
laaap= 0 1 2a 3a’
0 0 1 3a
0 0 0 l
IV.Đa thức đặc trưng của ma trận và toán tử :
1.Đa thức đặc trưng của ma trận :
- Cho A € M_(K) Ta gọi đa thức đặc trưng của A là đa thức
Trang 32-LUAN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
2.Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính :
-Cho T là một toán tử tuyến tính trên không gian V hữu hạn chiều Ta gọi
da thức đặc trưng của T là đa thức bậc n:
/,(x) = det(xI, =A)= f, 09
với A là ma trận biểu diễn 7 đối với một cơ sở B nào đó của V
*Néu C là ma trận biéu diễn T đối với một cơ sở J2 nào đó của V thi ta có :
#,(x)= ƒ.(x)
- Ví dụ : Cho là một toán tử tuyên tính trên R ` xác định bởi :
TK zy) SN FH 520, +2X —Xy 2X + De)
Ma trận biểu diễn T trong cơ sở chính tắc Ö, =(b,,b,,b,)
Trang 33-31-LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
V.Trị riêng và vecto riêng của toán tử tuyến tính :
-Cho V là một không gian vectơ trên K , T là một toán tử tuyển tính trên
không gian V
| Dinh nghĩa :
-Vectơ 0 # ¿ V được gọi là một vecfơ riêng (hay vecto đặc trưng) của
toán tử 7 nếu ton tại một 2 € K sao cho:
Tu= Âu Khi đó ta nói 2 là môt trị riêng của toán tử T vàu là một vectơ
riêng tương ứng trị riêng 2
-Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều va 7 là một toán tử tuyến
tính trên V Khi đó :
+ A là một trị riêng của 7.
+ Toán tử 7 ~ Ald, không là đơn cấu (nên không khả nghịch)
+ © là nghiệm của đa thức đặc trưng ƒ, (x).
Ví dụ :
Với toán tử tuyến tính 7` G ví dụ trên ta thấy
/,(x)=(x~1)(x-2}
Do đó T có các trị riêng là A = 1,2 = 2.
-Nếu với một cơ sở B nào đó của V mà toán tử tuyến tinh 7` có ma trận
biểu điển là ma trận chéo :
SVTH :Nguyễn Anh Nam
Trang 34-32-LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
3.Bải toán ham riêng (vectơ riêng), trị riêng :
-Ta sẽ khảo sát bài toán nay bằng cách sử dụng ký hiệu Dirac.
-Xét vectơ | /) # 0 thỏa phương trình :
f|/)= /|7) (V.3.1) trong đó | /) gọi là vecto riêng của toán tử F,s6 f gọi là trị riêng của toán
tử /` tương ứng với vect riêng | /) Để đơn giản, theo Dirac ta ký hiệu trị
riêng va vectơ riêng đều la một chữ f , vectơ riêng khác trị riêng là nó ở
trong móc |.) hoặc (ƒ|:
Nhân hai về của phương trình (V.3.1) với ( /| va sử dụng định nghĩa
các thành phan vectơ va tinh day đủ của hệ vecto cơ sở ta có :
Ú|#|Z)= FUN)
SVTH :Nguyễn Anh Nam 3242
Trang 35LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
dẫn đến việc tìm nghiệm khác không của hệ phương trình đại số thuần nhất
(V.3.3) Điều kiện cần va đủ dé hệ phương trình trên có nghiệm khác không
(V.3.3)
Sa fa-S ` Su =0 (V.3.4)
nn Sr — i ="
-Đây là phương trình đặc trưng của ma trận biểu diễn toán tir F’ Các
nghiệm của phương trình gọi là các nghiệm đặc trưng của ma trận toán tử F
(hay là các trị riêng của ma trận toán tử F).
-Giải phương trình (V.3.4) đối với f ta tìm được ø giá trị riêng của /, sau
đó thay từng giá trị vào hệ phương trình ( V.3.3) ta tìm được các vectơ riêng
tương ứng.
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 36-34-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
3 4
-Vi dụ : Tìm các trị riêng và vectơ riêng của ma trận A -(; }
Phuong trình đặc trưng của ma trận :
Trang 37-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
-Cho V là một không gian vecto trên K, F là một toán tử tuyến tính trên
không gian V Giả sử việc giải phương trình hàm riêng, trị riêng
|) = S\S) cho ta tìm được một hệ vectơ riêng L/) của
-Ta chọn hệ vectơ riêng | ƒ: ) của F làm co sở của không gian V đang
xét Theo định nghĩa ma trận thì các phần tử ma trận của F là:
F= với f\ /›, /„ là các trị riêng của F.
SVTH :Nguyễn Anh Nam =355
Trang 38LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
-Vẫn đề ở day là sự chéo hóa ma trận của toan tử Hermite cho trước
(hay lả tìm hệ cơ sở dé ma trận đó có dạng chéo) Van dé này được giải quyết đồng thời với bai toán hàm riêng, trị riêng của toán tử này.
VI.Chéo hóa ma trận :
- T là một toán tử tuyển tinh trên không gian V có trị riêng là 2
- Tập hợp tat cả những vectơ v € V sao cho TU = ÂU là một không gian
con của V Ký hiệu E(A) :
E(A) = {U eW | To = Âu}
- Ngoài ra, Vv,,0, € E(A),a € K tacó:
T(U, + œU;) = TU, +aTv, = ÂU, + adv, = A(v, + av,)
nên v, + av, € E(A) Do đó E(A) là không gian con của V,
- Ta gọi E(A) là không gian con riêng của ứng với trị riêng A.
- Ta có E(A) = ker(7 — Ald, )
- Vi dụ: Cho 7 là một toán tử tuyến tính trên R”, có ma trận biểu diễn
trong cơ sở B, la:
3 4 sỉ
[T], =B=|2 2 -1
22 0
Khi đó có hai trị riêng là A, = 1,4, = 2 nên có không gian con riêng
là E(A,) = £() E(A,) = EQ)
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam
Trang 39-37-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
+ Vay E(1)= {(t,0,2t)1t R} sinh bởi (1,0,2)
* Tương tự £(2) có số chiều là 1 và E(2) = {(t,t,2¢) lte R} sinh
Trang 40-LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước
- T là một toán tử tuyển tinh trên không gian V hữu hạn chiêu được gọi là
chéo hóa được khi có một cơ sở được sắp C của V sao cho [T]„ = D, với
là một ma trận chéo D Cơ sở này chính là hệ vecto riêng của 7'.
3.Dịnh lý : Cho 7' là một toán tử tuyến tính trên không gian V hữu han
chiều Gọi 4, „.„„ 4„ là tất cả những trị riêng khác nhau của 7, E(A,) là
không gian riêng tương ứng với A, va (số chiều của không gian Z(2,))
Khi đó :
+ T chéo hóa được.
+ Đa thức đặc trưng của T có dang :
r(x)=(x-2)®- (x—A)é;
+n +n, + + n, = dimV,
* Hệ quả :Cho 7` là một toán tử tuyến tính trên không gian V m chiều.
Khi đó nếu 7' có ø trị riêng khác nhau thì 7 chéo hóa được
4.Chéo hóa các ma trận :
- Ví dụ : hãy chéo hóa ma trận sau (nếu được) :
l 3 3 A=|-3 -5 -3
3 3 A
- Bước 1: Tìm các trị riêng của A,
+ Trị riêng của A là nghiệm da thức đặc trưng của A :
f (A) = det(A - 2ï,)= 0
SVTH :Nguyễn Anh Nam