Phần thứ nhất: Đại số I. Biến đổi đồng nhất *Bài 2: Cho a là nghiệm của phơng trình: x 2 - 5x + 1 = 0 Tính giá trị biểu thức: A= a 4 + 3 2 4 3 2 1 1 1 1 2 3 4a a a a a a a + + + + ữ ữ ữ *Bài 3: Cho các số a, b R thoả mãn (a - 3) (b - a) + (a - b) (b - 3) + (a -3) (3 - b) + 3 = 0 Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 ( ) ( 3) ( 3)a b a b + + *Bài 4: Cho x 2 + y 2 = 1 và 4 x a + 4 1y b a b = + . Tính : 2006 2006 1003 1003 x y a b + *Bài 5: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thoả mãn ab + ac + bc = 1 . Tính giá trị biểu thức : A= ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 (1 )(1 )(1 ) a b b c c a a b c + + + + + + + *Bài 6: Cho a + b + c = 0; a, b, c Q. Chứng minh rằng: M= 2 2 2 1 1 1 a b c + + là bình phơng của một số hữu tỷ Ta có: 2 2 2 1 1 1 a b c + + = ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 a b c a b c ab bc ac a b c abc a b c + + + + + + = + + = + + ữ ữ ữ ữ Vậy M là bình phơng của một số hữu tỷ *Ví dụ 2 : Cho abc = 1, biết biểu thức sau đợc xác định. Tính giá trị của biểu thức: P = 1 1 1 1 1 1ab a bc b ca c + + + + + + + + Giải: P = 1 1 1 1 1 1ab a bc b ca c + + + + + + + + = 2 1 1 c ac abc ac c ca c abc abc ac + + + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 c ac ca c ca c ca c ca c ca c + + + + = = + + + + + + + + . *Bài 5 : Cho x,y,z đôi một khác nhau . Tính giá trị của biểu thức : M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy yz xz y z z x z x x y x y y z + + (Đặt : a = x y z ; b = y z x ; c = z x y ta có : (a+1)(b+1)(c+1) = (a-1)(b-1)(c-1) nên M = ab+bc+ca = 1 ) Bài 5 Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a,b,c,d nào thoả mãn đẳng thức : abcd - a = 1961 abcd - b = 961 abcd - c = 61 abcd - d = 1 Giải : Bài 5 : Giả sử ta có các số nguyên a,b,c,d thoả mãn các đẳng thức đã cho . Phân tích vế trái của đẳng thức đã cho thành nhân tử , ta có a(bcd-1) = 1961 (1) b(acd -1 ) = 961 (2) c(abd - 1) = 61 (3) d(abc - 1) = 1 (4) Vế trái của (1) là số lẻ vế trài của (1) là tích hai số lẻ a là số lẻ Tơng tự ta có : b,c,d là số lẻ nên a,b,c,d, là số lẻ . Hiệu (abcd - a ) là một số chẵn . Mâu thuẫn (1) Bài 6 Chứng minh rằng đa thức x 10 y 10 + 1 không thể viết đớc dời dạng f(x).g(y) với f(x) và g(y) là các đa thức với hệ số đều là số nguyên . Giải Bài 6 : Giả sử x 10 y 10 + 1 = f(x).g(y) = (a 0 x 10 + a 1 x 9 + + a 10 )( b 0 y 10 + b 1 y 9 + + b 10 ) (1) Trong đó a 10 b 10 = 1 nên a 10 = b 10 = 1 hoặc a 10 = b 10 = -1 . Giả sử a 10 = b 10 = 1 thì x 10 y 10 + 1 = f(x).g(y) = (a 0 x 10 + a 1 x 9 + + 1)( b 0 y 10 + b 1 y 9 + + 1) (2) V.Bất đẳng thức , bất phơng trình ,cực trị đại số Bài 1: Cho x 2;2 y Chứng minh rằng: (x + y) (x 2 + y 2 ) x 5 + y 5 Bài 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: ba c ac b cb a c c b b a a + + + + + + + + + + 2 3 111 222 Bài 3: Chứng minh rằng: 4006 2001 )20022001(4003 1 )43(7 1 )32(5 1 )21(3 1 < + ++ + + + + + Bài 4: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6. Chứng minh rằng: 512 72911 1 1 1 333 + + + c a ba Bài 5: Cho abc = 1; a 3 > 36, Chứng minh rằng: 3 2 a + b 2 + c 2 > ab + bc + ca Bài 6 : Chứng minh rằng . Nếu x, y, z 0 thì x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y) 0 Bài 7: Cho a, b, c [0;2] có a + b + c = 3. CMR: a 2 + b 2 + c 2 < 5 Bài 8: Cho các số thực dơng a , b , c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng : 5 5 5 5 5 5 5 ab bc ca a b c b c bc c a ac + + + + + + + + < 1 Bài 9: CMR. nếu x, y + Â thì một trong hai bất đẳng thức sau là sai: 1 xy 2 2 1 1 1 5 x y + ữ và 1 ( )x x y+ 1 5 ( ) 2 2 1 1 x x y ữ + ữ + Bài 10: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng: 3+++ + + + + + cba c ba b ac a ab Bài 11: Chứng minh rằng: Mọi a, b, c, d, p, q > 0 ta có: qapc qp qcpb qp qbpa qp cba + + + + + + + + ++ '111 Bài 12 : Cho x, y thay đổi sao cho 0 x 3; 0 y 4 Tìm Max của P = (3 x) ( 4 y) (2x + 3y) Bài 13: Tìm GTLN và GTNN của xy với x, y là nghiệm của phơng trình: x 4 + y 4 3 = xy (1 2xy) Bài 14: Giải bất phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 3 0x x x x+ + + + H ớng dẫn giải Bài 1: Vì x 2 ; y 2 => x 2 + y 2 4 => 2 2 22 + yx => 2. 2 . 22 22 yxyxyx ++ + => 22 .2 33 yxyx + + => ( ) ( ) 552233222 )()(.2 yxyxyxyxyx +++++ Bài 2: Ta có : 2 1 1 2 + a a Tơng tự cho b , c ta đợc 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c a b c + + + + + Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 * Mặt khác : 3 1 1 1 9 ( ) 2 2 a b c a b c b c a c a b b c a c a b + + <=> + + + + ữ + + + + + + Đặt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta có ( ) 0)()()( 2 9111 222 ++<=> ++++ xzzyyx zyx zyx ( Đúng ) Bài 3: Xét 2 1 ( 1 ) 1 1 1 1 2 (2 1)( 1) 2 ( 1) 1 4 4 1 n n n n n n n n n n n n n + + = < = ữ + + + + + + + Vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 5 1 n S n n n < + + + = ữ ữ + )2(22 2 1 44 2 1 44 2 12 2 + <=> + = ++ < + < n n S n nn n S nn với n = 2001 ta có: 4006 2001 2003 2001 2003 2 12 20012001 <=>=< SS Bài 4: Đặt A = + + + 333 1 1 1 1 1 1 cba Ta có A = 333333333333 1111111 1 cbacacbbacba + +++ +++ 3 333222 1 1 133 1 +=+++ abc cbacba abc A ( Bất đẳng thức Cosicho 3 số dơng ) Theo bất đẳng thức cosi: 3 1 1 8 8 3 8 a b c abc abc abc + + = => => ữ Vậy 512 729 8 1 1 3 = +A (Dấu bằng xảy ra: a = b = c = 2) Bài 5 : Ta có : 3 2 2 3 a b c ab bc ac+ + > + + <=> 3 2 a + b 2 + c 2 a(b+c) bc > 0 <=> 3 2 a + (b + c) 2 a(b+c) 3bc > 0 (*) Thay bc = a 1 ta đợc: (*) <=> 3 2 a + (b + c) 2 a(b+c) a 3 > 0 <=> a( b + c) 2 a 2 (b + c) + 3 3 a - 3 > 0 Đặt b + c = x ta có: ax 2 a 2 x + 3 3 a - 3 > 0 Với mọi x Điều này tơng đơng: = a 4 4a ( 3 3 a - 3) < 0 <=> a 4 - 012 3 4 4 <+ a a <=> 12a (36 a 3 ) < 0 đúng vì a 3 > 36 Bài 6:- Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên có thể giả sử z y x Khi đó: x(x - y) (x - z) 0 (1) Mặt khác: z (z - x) y(y - z) Do vậy: z (z - x) (z - y) y(y - x) (z - y) z (z - x) (z - y) + y(y - z) (y - x) 0 (2) Từ (1) và (2) đpcm. Bài 7: - Do a, b, c [0;2] nên (2 - a) (2 - b) (2 - c) 0 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ac) - abc 0 2 (ab + ac + bc) + 4 (a + b + c) + abc - 8 2 (ab + ac + bc) 4 + abc 4 (a + b + c) 2 - (a 2 + b 2 + c 2 ) 4 (a 2 + b 2 + c 2 ) < 5 Dấu "=" xảy ra khi a, b, c có một số bằng 2; một số bằng 0; một số bằng 1. Bài 8 :Ta có: (a 3 - b 3 ) (a 2 - b 2 ) 0 (a 5 + b 5 ) a 2 b 2 (a + b) Do đó : 2 5 5 2 2 2 ( ) ab ab c c a b ab a b a b ab c a b c ì = + + + + + + (1) Tơng tự: 5 5 bc a b ab+ + < a a b c+ + (2) 5 5 ca c a ac+ + < b a b c+ + (3) . Từ (1) ; (2) và (3) ta có điều cần chứng minh Bài 9 :- Giả sử cả hai bất đẳng thức đều đúng khi đó: 5 xy x 2 + y 2 và 5 x(x + y) x 2 (x + y) 2 5 (x 2 + 2xy) 3x 2 + 2xy + 2y 2 2y 2 - 2( 5 - 1)xy + (3 - 5 )x 2 0 4y 2 - 4 ( 5 - 1)xy + (6 - 3 5 )x 2 0 (2y) 2 - 2 . 2y ( 5 - 1)x + [( 5 - 1)] 2 0 [2y - ( 5 - 1)x] 2 0 Điều này không xảy ra vì ( 5 - 1)x là số vô tỷ không thể bằng 2y khi x ,y + Â . Bài10:- Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có: 2 b c c a a b bc ca ab a b c a b c + + + + + + + ữ ữ b c c a a b ca ab ab bc bc ca b c c a a b a b c + + + + + + + + + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ 6 2( ) 3 3 b c c a a b a b c a b c abc a b c a b c + + + + + + + + + + = + + + (Bất đẳng thức cosi cho 3 số) Dấu bằng xảy ra khi a = b= c =1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxi ta có: Bài11: ( ) ( ) qbpa b q a p qb b q pa a p qp + + +=+ 2 2 Tơng tự ( ) )( 2 qcpb c q b p qp + ++ ( ) ( ) qapc a q c p qp + ++ 2 Do đó ( ) ( ) +++ + + + + + + cba qp qapcqcpbqbpa qp 111111 2 qapc qp qcpb qp qbpa qp cba + + + + + + + + ++=> 111 Bài 12: Ta có: P = 6 1 (6 2x) (12 3y) (2x + 3y) 3 3 6 3 3231226 6 = +++ yxyx P P 36 P max = 6 <=> = = +== 2 0 40 30 3231226 y x y x yxyx Bài 13: Ta có: x 4 + y 4 3 = xy ( 1- 2xy) <=> xy + 3 = x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 <=> xy + 3 = (x 2 + y 2 ) 2 Do (x 2 + y 2 ) 2 4x 2 y 2 do đó: xy+ 3 4x 2 y 2 Đặt xy = t ta có: 4x 2 y 2 xy 3 0 hay 4t 2 t 3 0 <=> 1 4 3 t Vậy (xy) max = 1 khi x = y = 1 (xy) min = 4 3 khi x = y = 2 3 Bài1 4: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 3 4 3 0 1 4 2 3 3 0 5 4 5 6 3 0 x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + Đặt x 2 +5x +4 = t thì x 2 +5x +6 = t +2 Bất phơng trình trở thành : ( ) ( ) 2 1 t +2t -3 0 3 1 0 3 t t t t + Với t 3 ta có: x 2 +5x+8 2 5 7 0 0 2 4 x + + ữ Vô nghiệm Với t 1 ta có: 2 2 2 5 13 5 13 5 13 2 2 2 5 4 1 5 3 0 2 4 5 13 5 13 2 2 2 x x x x x x x x x + + + + + + + ữ + + Bài tập chung của chơng bát đẳng thức Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau a) P = 1 15032004 2 + + x x b ) P = 2 2 20042 x xx + Bài 7: Cho 0 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = )1( 14 2 2 xx x + Bài 8: Cho 0 x, y, z 1 Tìm max và min của: P = x + y + z xy yz xz (P max = 1; P min = 0) < P = (1 x) (1 y) ( z 1) xyz + 1 1) Bài 9: Chứng minh rằng: a) 0,2 >+ ba c b b a b) )1( 1 3 )1( 1 )1( 1 )1( 1 + + + + + + xyzxzzyyx (x, y, z là các số dơng) Bài 10: Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chứng minh rằng ít nhất có 1 bất đẳng thức sau là sai 2a ( 1- b) > 1 3b (1 c) > 2 8c ( 1- d) > 1 32d ( 1 a) > 3 (Chứng minh bằng phản chứng) Bài 11: Chứng minh rằng: a) Với mọi a, b dơng ta có: baba + + 411 b) Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi thì: ++ + + cbacpbpap 111 2 111 Bài 12: Cho 2 số dơng a, b, c thoả mãn (a + b) (a + c) = 1. Chứng minh rằng: a) abc( a + b + c) 4 1 b) a( ab + bc + ca) 9 32 Bài 13: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng: 222242424 1 cbaccbbaa ++++++++ Bài 14: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng: cabcababccabbca ++++++++ 1 Bài 15: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng: (a + bc) (b + ca) ( c + ab) 81 64 (ab + bc + ca) 2 H ớng dẫn giải: Bài 9: a) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dơng 2.2 =+ a b b a c b b a b) (1) <=> 3 )1( 1 )1( 1 )1( 1 + + + + + + + + xz xyz zy xyz yx xyz <=> 61 )1( 1 1 )1( 1 1 )1( 1 + + + + + + + + + + + xz xyz zy xyz yx xyz <=> 6 )1( 1 )1( 1 )1( 1 + +++ + + +++ + + +++ zz zxzxyz zy yyzxyz yx xxyxyz <=> 6 1 )1( )1( 1 1 )1( )1( 1 1 )1( )1( 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + x yx xz z z xz zy y y zy yx x <=> 6 )1( 1 1 )1( )1( 1 1 )1( 1 )1( )1( 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + xz z z xz zy y y zy x yx yx x áp dụng (a) cho mỗi cặp ta có điều phải chứng minh. Bài 4: a) Bất đẳng thức Cosi cho 2 số a(a + b + c) + bc )(2 cbaab ++ => abc ( a + b + c) 4 1 b) Bất đẳng thức Cosi cho 3 số dơng: a 2 ; 2 ; 2 cabcabcabcab ++++ 1= (a + b) ( a + c) = a 2 (ab + bc + ca) = a 2 + 3 2 4 )( 22 cabcabacabcabcabcab ++ ++ + ++ => a 2 (ab + bc + ca) 2 27 1 => a(ab + bc + ca) 9 32 Bài 5: 2 2 ))(())(()1( 2 2222224 acaba acaabacabaaaaaa ++ ++=++=+=+ Bài 6: )())(()( bcacababccbaabca +++=+++=+ (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) (Chú ý: (a + b) (a + c) = a 2 + (ab + ac + bc) Bài 17: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 a 3 + b 3 + c 3 (Bunhiacpxki cho 3 cặp số) hớng dẫn: (a 3 + b 3 + c 3 ) 2 = a.a 2 + b.b 2 + c.c 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) (a 4 + b 4 + c 4 ) => 1 3 3 3 222 222 333 333 444 == ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ cba cba cba cba cba cba cba Bài 18: Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng: cb c ba b ac a cbb ca baa bc acc ab + + + + + + + + + + )()()( . + a 10 )( b 0 y 10 + b 1 y 9 + + b 10 ) (1) Trong đó a 10 b 10 = 1 nên a 10 = b 10 = 1 hoặc a 10 = b 10 = -1 . Giả sử a 10 = b 10 = 1 thì x 10 y 10 + 1 = f(x).g(y) = (a 0 x 10 +. đa thức x 10 y 10 + 1 không thể viết đớc dời dạng f(x).g(y) với f(x) và g(y) là các đa thức với hệ số đều là số nguyên . Giải Bài 6 : Giả sử x 10 y 10 + 1 = f(x).g(y) = (a 0 x 10 + a 1 x 9 . biểu thức: 2 2 2 ( ) ( 3) ( 3)a b a b + + *Bài 4: Cho x 2 + y 2 = 1 và 4 x a + 4 1y b a b = + . Tính : 2006 2006 100 3 100 3 x y a b + *Bài 5: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thoả mãn