1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Đáp án Tự luận - Toán cao cấp BF30 - Đại học mở Hà Nội bản Đầy Đủ

20 0 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Đáp án Tự luận - Toán cao cấp BF30
Trường học Đại học mở Hà Nội
Chuyên ngành Toán cao cấp
Thể loại bài kiểm tra
Định dạng
Số trang 20
Dung lượng 38,38 KB

Nội dung

Đáp án tự luận Môn Toán cao cấp BF30 - Full bản tự luận đầy đủ Đây là những bài tự luận mới được cập nhật chương trình từ sau đợt mở môn của tháng 12/2024 dành cho sinh viên Đại học Mở Hà Nội theo học chương trình trực tuyến

Trang 1

BÀI KIỂM TRA MÔN TOÁN CAO CẤP

ĐỀ SỐ 1

Bài 1 Giải phương trình ma trận[3 5 −2

6 7 −3] X = [1 0

Bài 2: Cho hệ vectơ:

S = {α₁ = (1, -2, 3, -4); α₂ = (2, -3, 1, -1); α₃ = (0, -1, 2, -1); α₄

= (1, 0, k, -2)}

a) Xét sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ trên

b) Tính Rank(S)

Bài 3: Tính

1

+∞

2 xe x2dx

Bài làm

Bài 1

Sử dụng Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình ma trận

Ta có phương trình ma trận như sau: A.X=B

Trong đó:

A = [3 5 −2

6 7 −3] , B = [1 0

Trang 2

Để sử dụng phương pháp Cramer cho hệ phương trình ma trận này, chúng ta sẽ giải riêng cho từng cột của ma trận X (vì B có hai cột, nên ta sẽ giải hai hệ phương trình tuyến tính)

Giả sử X = [x11 x12

x21 x22

x31 x32] trong đó [x11

x21

x31] là cột thứ nhất của X tương ứng với cột thứ nhất của B, tức là [1

0

2] và

[x12

x22

x32] là cột thứ hai của X, tương ứng với cột thứ hai của B, tức là

2

−3]

Bước 1: Tính định thức của ma trận A

Ta có ma trận: A = [3 5 −2

Định thức của A là: det(A) = 3 * ((-3) * (-3) - 3 * 7) - 5 * (1 * (-3)

- 3 * 6) + (-2) * (1 * 7 - (-3) * 6)

Tính từng phần:

1 3 * (9 - 21) = 3 * (-12) = -36

2 -5 * (-3 - 18) = -5 * (-21) = 105

3 -2 * (7 - (-18)) = -2 * 25 = -50

Vậy: det(A) = -36 + 105 - 50 = 19

Trang 3

Bước 2: Tìm từng phần tử của ma trận X bằng phương pháp Cramer

Tìm cột thứ nhất của X (ứng với cột [1 0 2] của B)

Tính x11

Thay cột thứ nhất của A bằng [1 0 2]: A1 = [1 5 −2

Tính định thức của A1: det(A1) = 1 * ((-3) * (-3) - 3 * 7) - 5 * (0

* (-3) - 3 * 2) + (-2) * (0 * 7 - (-3) * 2)

Tính từng phần:

1 1 * (9 - 21) = -12

2 -5 * (-6) = 30

3 -2 * 6 = -12

Do đó: det(A1) = -12 + 30 - 12 = 6 Vậy: x11 = det(A1) / det(A)

= 6 / 19

Tính x21

Thay cột thứ hai của A bằng [1 0 2]: A2 = [3 1 −2

Tính định thức của A2: det(A2) = 3 * (0 * -3 - 3 * 2) - 1 * (1 * -3

- 3 * 6) + (-2) * (1 * 2 - 0 * 6)

Tính từng phần:

1 3 * 6 = 18

Trang 4

2 -1 * (-3 - 18) = 21

3 -2 * 2 = -4

Vậy: det(A2) = 18 + 21 - 4 = 35 Do đó: x21 = det(A2) / det(A)

= 35 / 19

Tính x31

ta thay cột thứ ba của ma trận AAA bằng cột [1,0,2][1, 0, 2][1,0,2]:

Ma trận A3 sẽ là

A3 = [3 5 1

det(A3) = 3 * (3) * 2 - 0 * 7) - 5 * (1 * 2 - 0 * 6) + 1 * (1 * 7 - (-3) * 6)

Tính từng phần:

 3 * (-6) = -18

 -5 * 2 = -10

 1 * (7 + 18) = 25

Vậy:

det(A3) = -18 - 10 + 25 = -3

Do đó:

x31 = det(A3) / det(A) = -3 / 19

Trang 5

Tính x12

Thay cột thứ nhất của A bằng [0, 2, -3]

Ma trận A12 sẽ là:

A12 = [ 0 5 −2

Tính định thức của A12:

det(A12) = 0 * ((-3) * -3 - 3 * 7) - 5 * (2 * -3 - 3 * -3) + (-2) * (2 *

7 - (-3) * -3)

Tính từng phần:

 0 * (-9 - 21) = 0

 -5 * (-6 + 9) = -5 * 3 = -15

 -2 * (14 - 9) = -2 * 5 = -10

Vậy:

det(A12) = 0 - 15 - 10 = -25

Do đó:

x12 = det(A12) / det(A) = -25 / 19

Tính x22

Thay cột thứ hai của A bằng [0, 2, -3]

Trang 6

Ma trận A22 sẽ là:

A22 = [3 0 −2

Tính định thức của A22:

det(A22) = 3 * (2 * -3 - 3 * -3) - 0 * (1 * -3 - 3 * 6) + (-2) * (1 * -3

- 2 * 6)

Tính từng phần:

 3 * (-6 + 9) = 3 * 3 = 9

 -2 * (-3 - 12) = -2 * -15 = 30

Vậy:

det(A22) = 9 + 30 = 39

Do đó:

x22 = det(A22) / det(A) = 39 / 19

Tính x32

Thay cột thứ ba của A bằng [0, 2, -3]

Ma trận A32 sẽ là:

Trang 7

A32 = [3 5 0

Tính định thức của A32:

det(A32) = 3 * ((-3) * -3 - 2 * 7) - 5 * (1 * -3 - 2 * 6) + 0 Tính từng phần:

 3 * (9 - 14) = 3 * -5 = -15

 -5 * (-3 - 12) = -5 * -15 = 75

Vậy:

det(A32) = -15 + 75 = 60

Do đó:

x32 = det(A32) / det(A) = 60 / 19

Vậy Ma trận X là

X =

[ 6

19

−25

19

−1

19

39

19

−3

19

60

19 ]

Bài 2

Bài giải: Xét sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ S

Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số

Trang 8

Hệ vectơ đã cho là:

α1=(1,−2,3,−4)

α2=(2,−3,1,−1)

α3=(0,−1,2,−1)

α4=(1,0,k,−2)

Để xét sự độc lập tuyến tính của các vectơ, ta kiểm tra xem có tồn tại tổ hợp tuyến tính nào khác không để tạo thành vectơ không, tức là:

c1∗α1+c2∗α2+c3∗α3+c4∗α4=(0,0,0,0)

Điều này dẫn đến hệ phương trình tuyến tính:

 c1 + 2c2 + 0 * c3 + c4 = 0

 -2c1 - 3c2 - c3 + 0 * c4 = 0

 3c1 + c2 + 2c3 + k * c4 = 0

 -4c1 - c2 - c3 - 2c4 = 0

Bước 2: Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình

Ta viết ma trận mở rộng của hệ phương trình này:

¿

Bước 3: Rút gọn ma trận theo phương pháp khử Gauss

Rút gọn ma trận hệ số để xác định giá trị của k làm cho hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất c1 = c2 = c3 = c4 = 0

Trang 9

Điều này sẽ xác định liệu các vectơ có độc lập tuyến tính hay không

Sau khi rút gọn ma trận theo phương pháp khử Gauss, ta thu được ma trận đơn vị:

[1 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1]

Kết quả này cho thấy hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất c1 = c2 = c3 = c4 = 0, bất kể giá trị của k

Kết luận

Hệ vectơ S là độc lập tuyến tính với mọi giá trị của k

*** Phần b

Tính Rank(S)

Cho hệ vectơ S gồm các vectơ:

 alpha1 = (1, -2, 3, -4)

 alpha2 = (2, -3, 1, -1)

 alpha3 = (0, -1, 2, -1)

 alpha4 = (1, 0, k, -2)

Ta cần tính Rank(S), phụ thuộc vào giá trị của tham số k

Bước 1: Lập ma trận từ các vectơ trong S

Biểu diễn các vectơ trong S dưới dạng ma trận:

Trang 10

[1 −2

k −2]

Bước 2: Tính định thức của ma trận 4x4

Tính định thức của ma trận A để xem nếu có giá trị nào của k làm cho định thức khác 0:

 Định thức của ma trận A là -6k - 6

Bước 3: Phân tích các trường hợp của k

1 Nếu k khác -1:

o Khi k khác -1, định thức của A khác 0, điều này cho thấy ma trận A có đầy đủ 4 vectơ độc lập tuyến tính

o Kết luận: Rank(S) bằng 4 khi k khác -1

2 Nếu k bằng -1:

o Khi k bằng -1, định thức của A bằng 0, nên Rank(S)

có thể nhỏ hơn 4 Ta sẽ tính định thức của các ma trận con 3x3

để xác định Rank(S) trong trường hợp này

Bước 4: Tính các ma trận con 3x3 khi k bằng -1

Thay k bằng -1 vào ma trận A:

A khi k = -1

[1 −2

Trang 11

Tính định thức của các ma trận con 3x3:

1 Ma trận con 1 (lấy 3 hàng đầu và 3 cột đầu tiên):

[1 −2 3

Định thức của ma trận con này là -3

2 Ma trận con 2 (lấy 3 hàng đầu và các cột 1, 2, và 4):

Định thức của ma trận con này là 6

3 Ma trận con 3 (lấy 3 hàng đầu và các cột 1, 3, và 4):

[1 3 −4

Định thức của ma trận con này là -9

4 Ma trận con 4 (lấy 3 hàng đầu và các cột 2, 3, và 4):

−3 1 −1

Định thức của ma trận con này là 12

Kết luận cuối cùng:

Vì tồn tại các ma trận con 3x3 có định thức khác 0 khi k bằng

-1, nên Rank(S) là ít nhất 3 trong trường hợp này

Trang 12

 Khi k khác -1, Rank(S) bằng 4.

 Khi k bằng -1, Rank(S) bằng 3

Bài 3

Bước 1: Thiết lập bất đẳng thức so sánh

Vì hàm số e x2

tăng rất nhanh khi x tiến đến +∞, ta có thể so sánh tích phân này với một hàm đơn giản hơn mà vẫn phản ánh tính chất phân kỳ Cụ thể:

e x2≥ e x với mọi x ≥ 1

Do đó

2x *e x2 ≥ 2x *e x với mọi x ≥ 1

Vậy ta có bất đẳng thức:

1

+∞

2 xe x2

dx ≥

1

+∞

2 xe x dx

Bước 2: Xét tích phân so sánh

Để xác định tính hội tụ hay phân kỳ của tích phân ban đầu, ta

sẽ kiểm tra tính hội tụ của tích phân

1

+∞

2 xe x2dx

Tính tích phân

1

+∞

2 xe x2

dx

Trang 13

1

+∞

2 xe x2

dx = lim

b → +∞

1

b

2 x e xdx

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt:

 u=2x⇒ du=2dx

 dv= e x dx⇒v=e x

Áp dụng công thức tích phân từng phần ∫udv = uv - ∫vdu, ta được

2 x e x dx = 2 x ex - ∫2 e x dx = 2 x ex - 2 ex = e x(2x-2)

Thay cận từ 1 đến b:

1

b

2 x e x , dx=[e x (2 x−2)]1

b

Tính kết quả tại cận

= e b(2 b−2)−e1

(2.1−2)

Khi b → +∞, e b(2 b−2 ) → +∞ Do đó:

1

+∞

2 xe x2

dx

có giá trị = +

Bước 3: Kết luận về tính phân kỳ của tích phân ban đầu

1

+∞

2 xe x2dx ≥

1

+∞

2 xe x dx =+∞

Nên tích phân ban đầu cũng phân kỳ về dương vô cùng:

1

+∞

2 xe x2dx =+∞

Trang 14

Kết quả cuối cùng

1

+∞

2 xe x2

dx =+∞

Tích phân phân kỳ và có giá trị dương vô cùng

Số 2:

Câu 1: (2 điểm)

a Tính giới hạn:

lim

x → π sin 2 x cotgx=lim

x → π sin 2 x cosx

sinx=lim

x → π

2 sinx cos2x sinx =lim

x → π2 cos 2x

¿ lim

x → π2.1

2(1+cos 2 x)=lim

x → π (1+cos 2 x)=2

b Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

Trang 15

f ( x)={x2−9

x−3∧khi x ≠ 3

Hàm số f(x) liên tục tại x = 3 nếu:

lim

x →3 f ( x )=f (3)

Ta có: f(3) = b và

lim

x →3 f ( x )=lim

x →3

x2−9

x−3 =limx →3

( x−3).( x+3)

x−3 =limx →3 ( x+3)=6

Vậy: Nếu b = 6 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 3

Nếu b ≠ 6 thì hàm số f(x) không liên tục tại x = 3

Câu 2: (2 điểm)

a Tính đạo hàm của hàm số sau:

y=ln(x2

+1) arcsin(√x2

+3 x+2)

Ta có:

y '=(ln(x2+1))'

arcsin(√x2+3 x+2)+ ¿(arcsin(√x2+3 x+2))'

ln(x2+1)¿

¿ 2 x

x2+1 arcsin(√x2+3 x+2)+ (√x2+3 x+2)'

√1−x 2

−3 x−2 ln(x2 +1)

¿ 2 x

x2

+1 arcsin(√x2

+3 x+2)+ (x2+3 x+2)'

2√x2+3 x+2 .

ln(x2+1)

−x2

−3 x−1

¿ 2 x

x2

+1 arcsin(√x2

2√x2+3 x+2 .

ln(x2+1)

−x2

−3 x−1

b Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức:

B=sin 61o

−√327 ,1

Xét hàm:y ( x)=3

x

Trang 16

⇒ y ' ( x)= 1

3√3 x2⇒ y '(27)= 1

3√327 2 = 1

27

Theo công thức số gia: ∆ y =f '

(x0) ∆ x, nếu ∆ x khá bé (∆ x=0 ,1).

Do đó: √327 ,1=√327+∆ y ≈√327+ 1

27 ∆ x=√327 + 1

27.0 ,1=3,00370

Xét hàm: y ( x)=sin x

⇒ y '

( x)=cos x ⇒ y '

(π

3)=cosπ

3 =1 2

Khi đó theo công thức số gia: ∆ y =f '

(x0) ∆ x, nếu ∆ x khá bé(∆ x= π

180).

Do đó: sin 61o

=sin(π

180)≈ sin π

3 +1

2 ∆ x=sinπ

3 +1

2.

π

⇒ B=sin 61 o

Câu 3: (2 điểm)

Tính:

a.

A=∫x24 x−3

−2 x+12 dx=∫(x24.( x−1)+1

−2 x+1)+11dx=∫4.( x−1) ( x−1)+12

+11dx

Đặt u = x – 1 ⇒ du = dx

⇒ A=u 4 u+12

+11du=∫u24 u

+11du+∫u2du

+11

¿∫u24 u

+11du+

1

11 arctan

u

Đặt t =u2

2

Trang 17

Vậy A=2 ln |t| + 1

11 arctan

u

¿ 2 ln|x2

−2 x+12|+ ¿ 1

11 arctan (

x−1)

b.

B=∫

0

2 π

dx

2+cos x

Đặt t=tan x

2⇒ dt= 1

2 cos 2x

2

dx=1

2.(1+tan 2 x

2)dx=1+t2

⇒ dx= 2 dt

1+t 2

Ta có:

cosx=2.cos 2x

(1+tan 2x

2)−1=(

1−tan 2x

2) (1+tan 2x

2)=(

1−t2) (1+t 2)

⇒ B=

0

2 π

dx

2+cos x=∫

0

1+t 2 2+(1−t2) (1+t 2)

dt=∫

0

2 π

2

(1+t2).

(1+t2) (3+t2)dt

¿∫

0

2 π

2

3+t 2dt= ¿ 2.1

3 arctan

t

3 arctan

tanx 2

3 |0

2 π

=0 ¿

Câu 4: (2 điểm)

Trang 18

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:

{x =12cos t +5 sin t

y =5 cos t−12sin t với 0 ≤ t ≤ 2 π

Ta có:

dx =x '

(t ) dt=(−12sin t +5 cos t ) dt

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong trên được tính theo công thức sau:

S=∫

0

2 π

|y (t ) x '

(t )|dt=∫

0

2 π

|(5 cos t−12sin t ).(−12sin t +5 cos t )|dt

¿∫

0

2 π

|−60 sin t cos t +25 cos2

t+144 sin 2

t −60 sin t cos t|dt

¿∫

0

2 π

|−120 sin 2t +25

2 (1+cos 2t )+1442 (1−cos 2t )|dt

¿|60 cos 2t+25

2 (t+sin 2t

2 (tsin 2t

2 ) | |0

2 π

¿|( 60.1+25 π +144 π) − ( 60.1 )|=169 π

Câu 5: (2 điểm) Tìm cực trị của hàm hai biến sau:

z =x3

+3 xy2

−30 x−18 y

Tìm điểm dừng:

{z ' x ( x , y )=3 x2

+3 y2

−30=0{x2

+ y2

=10{x2

−2 xy+ y2

=4 3

Trang 19

{( x− y)2

=4

y=3

x

{ [ x − y=2

y=3

x

{ [x2−2 x−3=0

x2+2 x−3=0

y=3

x

x2=−1, y2=−3

Vậy hàm số z có 4 điểm dừng là (3 ; 1), (-1 ; -3),(1 ; 3) và (-3 ; -1) Xét ma trận Hess:

H=(z x2

' '

z xy ' '

z xy ' ' z y2

' ')=(6 x 6 y

6 y 6 x)

 Tại điểm dừng (3 ; 1):

H=(18 6

6 18)với{ H1=z x2

' '=18>0

⇒ Hàm z đạt cực tiểu tại điểm dừng (3 ; 1)

 Tại điểm dừng(-1 ; -3):

' '

=−6

H2=det H =−288<0

⇒ Hàm z không đạt cực trị tại điểm dừng (-1 ; -3)

 Tại điểm dừng (1 ; 3):

Trang 20

H=(6 18

' '

=6

⇒ Hàm z không đạt cực trị tại điểm dừng (1 ; 3)

 Tại điểm dừng (-3 ; -1):

−6 −18)với{ H1=zx2

' '

=−18<0

⇒ Hàm z đạt cực đại tại điểm dừng (-3 ; -1)

Ngày đăng: 23/12/2024, 15:57

w