Đáp án tự luận Môn Toán cao cấp BF30 - Full bản tự luận đầy đủ Đây là những bài tự luận mới được cập nhật chương trình từ sau đợt mở môn của tháng 12/2024 dành cho sinh viên Đại học Mở Hà Nội theo học chương trình trực tuyến
Trang 1BÀI KIỂM TRA MÔN TOÁN CAO CẤP
ĐỀ SỐ 1
Bài 1 Giải phương trình ma trận[3 5 −2
6 7 −3] X = [1 0
Bài 2: Cho hệ vectơ:
S = {α₁ = (1, -2, 3, -4); α₂ = (2, -3, 1, -1); α₃ = (0, -1, 2, -1); α₄
= (1, 0, k, -2)}
a) Xét sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ trên
b) Tính Rank(S)
Bài 3: Tính
∫
1
+∞
2 xe x2dx
Bài làm
Bài 1
Sử dụng Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình ma trận
Ta có phương trình ma trận như sau: A.X=B
Trong đó:
A = [3 5 −2
6 7 −3] , B = [1 0
Trang 2Để sử dụng phương pháp Cramer cho hệ phương trình ma trận này, chúng ta sẽ giải riêng cho từng cột của ma trận X (vì B có hai cột, nên ta sẽ giải hai hệ phương trình tuyến tính)
Giả sử X = [x11 x12
x21 x22
x31 x32] trong đó [x11
x21
x31] là cột thứ nhất của X tương ứng với cột thứ nhất của B, tức là [1
0
2] và
[x12
x22
x32] là cột thứ hai của X, tương ứng với cột thứ hai của B, tức là
2
−3]
Bước 1: Tính định thức của ma trận A
Ta có ma trận: A = [3 5 −2
Định thức của A là: det(A) = 3 * ((-3) * (-3) - 3 * 7) - 5 * (1 * (-3)
- 3 * 6) + (-2) * (1 * 7 - (-3) * 6)
Tính từng phần:
1 3 * (9 - 21) = 3 * (-12) = -36
2 -5 * (-3 - 18) = -5 * (-21) = 105
3 -2 * (7 - (-18)) = -2 * 25 = -50
Vậy: det(A) = -36 + 105 - 50 = 19
Trang 3Bước 2: Tìm từng phần tử của ma trận X bằng phương pháp Cramer
Tìm cột thứ nhất của X (ứng với cột [1 0 2] của B)
Tính x11
Thay cột thứ nhất của A bằng [1 0 2]: A1 = [1 5 −2
Tính định thức của A1: det(A1) = 1 * ((-3) * (-3) - 3 * 7) - 5 * (0
* (-3) - 3 * 2) + (-2) * (0 * 7 - (-3) * 2)
Tính từng phần:
1 1 * (9 - 21) = -12
2 -5 * (-6) = 30
3 -2 * 6 = -12
Do đó: det(A1) = -12 + 30 - 12 = 6 Vậy: x11 = det(A1) / det(A)
= 6 / 19
Tính x21
Thay cột thứ hai của A bằng [1 0 2]: A2 = [3 1 −2
Tính định thức của A2: det(A2) = 3 * (0 * -3 - 3 * 2) - 1 * (1 * -3
- 3 * 6) + (-2) * (1 * 2 - 0 * 6)
Tính từng phần:
1 3 * 6 = 18
Trang 42 -1 * (-3 - 18) = 21
3 -2 * 2 = -4
Vậy: det(A2) = 18 + 21 - 4 = 35 Do đó: x21 = det(A2) / det(A)
= 35 / 19
Tính x31
ta thay cột thứ ba của ma trận AAA bằng cột [1,0,2][1, 0, 2][1,0,2]:
Ma trận A3 sẽ là
A3 = [3 5 1
det(A3) = 3 * (3) * 2 - 0 * 7) - 5 * (1 * 2 - 0 * 6) + 1 * (1 * 7 - (-3) * 6)
Tính từng phần:
3 * (-6) = -18
-5 * 2 = -10
1 * (7 + 18) = 25
Vậy:
det(A3) = -18 - 10 + 25 = -3
Do đó:
x31 = det(A3) / det(A) = -3 / 19
Trang 5Tính x12
Thay cột thứ nhất của A bằng [0, 2, -3]
Ma trận A12 sẽ là:
A12 = [ 0 5 −2
Tính định thức của A12:
det(A12) = 0 * ((-3) * -3 - 3 * 7) - 5 * (2 * -3 - 3 * -3) + (-2) * (2 *
7 - (-3) * -3)
Tính từng phần:
0 * (-9 - 21) = 0
-5 * (-6 + 9) = -5 * 3 = -15
-2 * (14 - 9) = -2 * 5 = -10
Vậy:
det(A12) = 0 - 15 - 10 = -25
Do đó:
x12 = det(A12) / det(A) = -25 / 19
Tính x22
Thay cột thứ hai của A bằng [0, 2, -3]
Trang 6Ma trận A22 sẽ là:
A22 = [3 0 −2
Tính định thức của A22:
det(A22) = 3 * (2 * -3 - 3 * -3) - 0 * (1 * -3 - 3 * 6) + (-2) * (1 * -3
- 2 * 6)
Tính từng phần:
3 * (-6 + 9) = 3 * 3 = 9
-2 * (-3 - 12) = -2 * -15 = 30
Vậy:
det(A22) = 9 + 30 = 39
Do đó:
x22 = det(A22) / det(A) = 39 / 19
Tính x32
Thay cột thứ ba của A bằng [0, 2, -3]
Ma trận A32 sẽ là:
Trang 7A32 = [3 5 0
Tính định thức của A32:
det(A32) = 3 * ((-3) * -3 - 2 * 7) - 5 * (1 * -3 - 2 * 6) + 0 Tính từng phần:
3 * (9 - 14) = 3 * -5 = -15
-5 * (-3 - 12) = -5 * -15 = 75
Vậy:
det(A32) = -15 + 75 = 60
Do đó:
x32 = det(A32) / det(A) = 60 / 19
Vậy Ma trận X là
X =
[ 6
19
−25
19
−1
19
39
19
−3
19
60
19 ]
Bài 2
Bài giải: Xét sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ S
Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số
Trang 8Hệ vectơ đã cho là:
α1=(1,−2,3,−4)
α2=(2,−3,1,−1)
α3=(0,−1,2,−1)
α4=(1,0,k,−2)
Để xét sự độc lập tuyến tính của các vectơ, ta kiểm tra xem có tồn tại tổ hợp tuyến tính nào khác không để tạo thành vectơ không, tức là:
c1∗α1+c2∗α2+c3∗α3+c4∗α4=(0,0,0,0)
Điều này dẫn đến hệ phương trình tuyến tính:
c1 + 2c2 + 0 * c3 + c4 = 0
-2c1 - 3c2 - c3 + 0 * c4 = 0
3c1 + c2 + 2c3 + k * c4 = 0
-4c1 - c2 - c3 - 2c4 = 0
Bước 2: Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình
Ta viết ma trận mở rộng của hệ phương trình này:
¿
Bước 3: Rút gọn ma trận theo phương pháp khử Gauss
Rút gọn ma trận hệ số để xác định giá trị của k làm cho hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất c1 = c2 = c3 = c4 = 0
Trang 9Điều này sẽ xác định liệu các vectơ có độc lập tuyến tính hay không
Sau khi rút gọn ma trận theo phương pháp khử Gauss, ta thu được ma trận đơn vị:
[1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1]
Kết quả này cho thấy hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất c1 = c2 = c3 = c4 = 0, bất kể giá trị của k
Kết luận
Hệ vectơ S là độc lập tuyến tính với mọi giá trị của k
*** Phần b
Tính Rank(S)
Cho hệ vectơ S gồm các vectơ:
alpha1 = (1, -2, 3, -4)
alpha2 = (2, -3, 1, -1)
alpha3 = (0, -1, 2, -1)
alpha4 = (1, 0, k, -2)
Ta cần tính Rank(S), phụ thuộc vào giá trị của tham số k
Bước 1: Lập ma trận từ các vectơ trong S
Biểu diễn các vectơ trong S dưới dạng ma trận:
Trang 10[1 −2
k −2]
Bước 2: Tính định thức của ma trận 4x4
Tính định thức của ma trận A để xem nếu có giá trị nào của k làm cho định thức khác 0:
Định thức của ma trận A là -6k - 6
Bước 3: Phân tích các trường hợp của k
1 Nếu k khác -1:
o Khi k khác -1, định thức của A khác 0, điều này cho thấy ma trận A có đầy đủ 4 vectơ độc lập tuyến tính
o Kết luận: Rank(S) bằng 4 khi k khác -1
2 Nếu k bằng -1:
o Khi k bằng -1, định thức của A bằng 0, nên Rank(S)
có thể nhỏ hơn 4 Ta sẽ tính định thức của các ma trận con 3x3
để xác định Rank(S) trong trường hợp này
Bước 4: Tính các ma trận con 3x3 khi k bằng -1
Thay k bằng -1 vào ma trận A:
A khi k = -1
[1 −2
Trang 11Tính định thức của các ma trận con 3x3:
1 Ma trận con 1 (lấy 3 hàng đầu và 3 cột đầu tiên):
[1 −2 3
Định thức của ma trận con này là -3
2 Ma trận con 2 (lấy 3 hàng đầu và các cột 1, 2, và 4):
Định thức của ma trận con này là 6
3 Ma trận con 3 (lấy 3 hàng đầu và các cột 1, 3, và 4):
[1 3 −4
Định thức của ma trận con này là -9
4 Ma trận con 4 (lấy 3 hàng đầu và các cột 2, 3, và 4):
−3 1 −1
Định thức của ma trận con này là 12
Kết luận cuối cùng:
Vì tồn tại các ma trận con 3x3 có định thức khác 0 khi k bằng
-1, nên Rank(S) là ít nhất 3 trong trường hợp này
Trang 12 Khi k khác -1, Rank(S) bằng 4.
Khi k bằng -1, Rank(S) bằng 3
Bài 3
Bước 1: Thiết lập bất đẳng thức so sánh
Vì hàm số e x2
tăng rất nhanh khi x tiến đến +∞, ta có thể so sánh tích phân này với một hàm đơn giản hơn mà vẫn phản ánh tính chất phân kỳ Cụ thể:
e x2≥ e x với mọi x ≥ 1
Do đó
2x *e x2 ≥ 2x *e x với mọi x ≥ 1
Vậy ta có bất đẳng thức:
∫
1
+∞
2 xe x2
dx ≥ ∫
1
+∞
2 xe x dx
Bước 2: Xét tích phân so sánh
Để xác định tính hội tụ hay phân kỳ của tích phân ban đầu, ta
sẽ kiểm tra tính hội tụ của tích phân
∫
1
+∞
2 xe x2dx
Tính tích phân ∫
1
+∞
2 xe x2
dx
Trang 131
+∞
2 xe x2
dx = lim
b → +∞∫
1
b
2 x e xdx
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt:
u=2x⇒ du=2dx
dv= e x dx⇒v=e x
Áp dụng công thức tích phân từng phần ∫udv = uv - ∫vdu, ta được
∫2 x e x dx = 2 x ex - ∫2 e x dx = 2 x ex - 2 ex = e x(2x-2)
Thay cận từ 1 đến b:
∫
1
b
2 x e x , dx=[e x (2 x−2)]1
b
Tính kết quả tại cận
= e b(2 b−2)−e1
(2.1−2)
Khi b → +∞, e b(2 b−2 ) → +∞ Do đó: ∫
1
+∞
2 xe x2
dx
có giá trị = +∞
Bước 3: Kết luận về tính phân kỳ của tích phân ban đầu
1
+∞
2 xe x2dx ≥∫
1
+∞
2 xe x dx =+∞
Nên tích phân ban đầu cũng phân kỳ về dương vô cùng:
∫
1
+∞
2 xe x2dx =+∞
Trang 14Kết quả cuối cùng
∫
1
+∞
2 xe x2
dx =+∞
Tích phân phân kỳ và có giá trị dương vô cùng
Số 2:
Câu 1: (2 điểm)
a Tính giới hạn:
lim
x → π sin 2 x cotgx=lim
x → π sin 2 x cosx
sinx=lim
x → π
2 sinx cos2x sinx =lim
x → π2 cos 2x
¿ lim
x → π2.1
2(1+cos 2 x)=lim
x → π (1+cos 2 x)=2
b Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:
Trang 15f ( x)={x2−9
x−3∧khi x ≠ 3
Hàm số f(x) liên tục tại x = 3 nếu:
lim
x →3 f ( x )=f (3)
Ta có: f(3) = b và
lim
x →3 f ( x )=lim
x →3
x2−9
x−3 =limx →3
( x−3).( x+3)
x−3 =limx →3 ( x+3)=6
Vậy: Nếu b = 6 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 3
Nếu b ≠ 6 thì hàm số f(x) không liên tục tại x = 3
Câu 2: (2 điểm)
a Tính đạo hàm của hàm số sau:
y=ln(x2
+1) arcsin(√x2
+3 x+2)
Ta có:
y '=(ln(x2+1))'
arcsin(√x2+3 x+2)+ ¿(arcsin(√x2+3 x+2))'
ln(x2+1)¿
¿ 2 x
x2+1 arcsin(√x2+3 x+2)+ (√x2+3 x+2)'
√1−x 2
−3 x−2 ln(x2 +1)
¿ 2 x
x2
+1 arcsin(√x2
+3 x+2)+ (x2+3 x+2)'
2√x2+3 x+2 .
ln(x2+1)
√−x2
−3 x−1
¿ 2 x
x2
+1 arcsin(√x2
2√x2+3 x+2 .
ln(x2+1)
√−x2
−3 x−1
b Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức:
B=sin 61o
−√327 ,1
Xét hàm:y ( x)=3
√x
Trang 16⇒ y ' ( x)= 1
3√3 x2⇒ y '(27)= 1
3√327 2 = 1
27
Theo công thức số gia: ∆ y =f '
(x0) ∆ x, nếu ∆ x khá bé (∆ x=0 ,1).
Do đó: √327 ,1=√327+∆ y ≈√327+ 1
27 ∆ x=√327 + 1
27.0 ,1=3,00370
Xét hàm: y ( x)=sin x
⇒ y '
( x)=cos x ⇒ y '
(π
3)=cosπ
3 =1 2
Khi đó theo công thức số gia: ∆ y =f '
(x0) ∆ x, nếu ∆ x khá bé(∆ x= π
180).
Do đó: sin 61o
=sin(π
180)≈ sin π
3 +1
2 ∆ x=sinπ
3 +1
2.
π
⇒ B=sin 61 o
Câu 3: (2 điểm)
Tính:
a.
A=∫x24 x−3
−2 x+12 dx=∫(x24.( x−1)+1
−2 x+1)+11dx=∫4.( x−1) ( x−1)+12
+11dx
Đặt u = x – 1 ⇒ du = dx
⇒ A=∫u 4 u+12
+11du=∫u24 u
+11du+∫u2du
+11
¿∫u24 u
+11du+
1
11 arctan
u
Đặt t =u2
2
Trang 17Vậy A=2 ln |t| + 1
11 arctan
u
¿ 2 ln|x2
−2 x+12|+ ¿ 1
11 arctan (
x−1)
b.
B=∫
0
2 π
dx
2+cos x
Đặt t=tan x
2⇒ dt= 1
2 cos 2x
2
dx=1
2.(1+tan 2 x
2)dx=1+t2
⇒ dx= 2 dt
1+t 2
Ta có:
cosx=2.cos 2x
(1+tan 2x
2)−1=(
1−tan 2x
2) (1+tan 2x
2)=(
1−t2) (1+t 2)
⇒ B=∫
0
2 π
dx
2+cos x=∫
0
1+t 2 2+(1−t2) (1+t 2)
dt=∫
0
2 π
2
(1+t2).
(1+t2) (3+t2)dt
¿∫
0
2 π
2
3+t 2dt= ¿ 2.1
3 arctan
t
3 arctan
tanx 2
3 |0
2 π
=0 ¿
Câu 4: (2 điểm)
Trang 18Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:
{x =12cos t +5 sin t
y =5 cos t−12sin t với 0 ≤ t ≤ 2 π
Ta có:
dx =x '
(t ) dt=(−12sin t +5 cos t ) dt
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong trên được tính theo công thức sau:
S=∫
0
2 π
|y (t ) x '
(t )|dt=∫
0
2 π
|(5 cos t−12sin t ).(−12sin t +5 cos t )|dt
¿∫
0
2 π
|−60 sin t cos t +25 cos2
t+144 sin 2
t −60 sin t cos t|dt
¿∫
0
2 π
|−120 sin 2t +25
2 (1+cos 2t )+1442 (1−cos 2t )|dt
¿|60 cos 2t+25
2 (t+sin 2t
2 (t−sin 2t
2 ) | |0
2 π
¿|( 60.1+25 π +144 π) − ( 60.1 )|=169 π
Câu 5: (2 điểm) Tìm cực trị của hàm hai biến sau:
z =x3
+3 xy2
−30 x−18 y
Tìm điểm dừng:
{z ' x ( x , y )=3 x2
+3 y2
−30=0⇔{x2
+ y2
=10⇔{x2
−2 xy+ y2
=4 3
Trang 19⇔{( x− y)2
=4
y=3
x
⇔{ [ x − y=2
y=3
x
⇔{ [x2−2 x−3=0
x2+2 x−3=0
y=3
x
x2=−1, y2=−3
Vậy hàm số z có 4 điểm dừng là (3 ; 1), (-1 ; -3),(1 ; 3) và (-3 ; -1) Xét ma trận Hess:
H=(z x2
' '
z xy ' '
z xy ' ' z y2
' ')=(6 x 6 y
6 y 6 x)
Tại điểm dừng (3 ; 1):
H=(18 6
6 18)với{ H1=z x2
' '=18>0
⇒ Hàm z đạt cực tiểu tại điểm dừng (3 ; 1)
Tại điểm dừng(-1 ; -3):
' '
=−6
H2=det H =−288<0
⇒ Hàm z không đạt cực trị tại điểm dừng (-1 ; -3)
Tại điểm dừng (1 ; 3):
Trang 20H=(6 18
' '
=6
⇒ Hàm z không đạt cực trị tại điểm dừng (1 ; 3)
Tại điểm dừng (-3 ; -1):
−6 −18)với{ H1=zx2
' '
=−18<0
⇒ Hàm z đạt cực đại tại điểm dừng (-3 ; -1)