Cac chuyen dê toán9

chủ đề : Nâng cao ( 4 tiết ) một số bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai A/. Mục tiêu * Kiến thức: + HS biết biến đổi một số phơng trình bậc cao, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình vô tỷ về dạng của phơng trình bậc hai để giải. + Biết giải một số bài toán bằng cách lập phơng trình và đa về phơng trình bậc hai. * Kĩ Năng: + HS có kĩ năng giải một số phơng trình đa về phơng trình bậc hai theo từng dạng cụ thể. B/. Nội dung. Dạng 1: Phơng trình đa về dạng phơng trình bậc hai. Loại 1: Phơng trình trùng phơng. * Phơng pháp chung: pt trùng phơng có dạng: ax 4 + bx 2 + c = 0 (1) ( a 0 ; a,b,c là hằng số ) Bớc 1: Đặt x 2 = t ( t 0 ) Khi đó pt(1) có dạng : at 2 + bt + c = 0 (2) Bớc 2: Giải pt2 tìm t, loại giá trị t không thoả mãn. Bớc 3: Giải pt x 2 = t và kết luận tập nghiệm của pt(1) Ví dụ : Giải phơng trình: 5x 4 4x 2 1 = 0 (*) B1: Đặt x 2 = t ( t 0 ). Khi đó (*) có dạng: 5t 2 4t 1 = 0 ta thấy có a + b + c = 5 + ( - 4 ) + ( - 1) = 0 pt có hai nghiệm: t 1 = 1 t 2 = 5 1 ( loại ) Với t = 1 ta có x 2 = 1 x = 1 KL : Vậy phơng trình có hai nghiệm là x = 1 hoặc x= - 1. * Điểm sai của HS thờng mắc phải. Khi đặt ẩn phụ t = x 2 không đặt điều kiện t 0 + Khi giải ra pt nghiệm t thì kết luận luôn bài toán + Khi giải ra pt ẩn t thì không đối chiếu điều kiện của t để loại giá trị không thoả mãn. Cách giải khác: + Biến đổi vế trái thành nhân tử đa về dạng pt tích để giải. Loại 2: Phơng trình bậc cao. ở THCS HS không đợc học phép giải tổng quát của phơng trình bậc 3, bậc4, bậc 5, tuy nhiên trong một số trờng hợp cá biệt HS có thể đa pt về phơng trình tích, pt bậc nhất, pt bậc hai để giải. Ta phải dựa vào đặc thù của từng phơng trình để lựa chọn ph- ơng pháp thích hợp. * Phơng pháp chung. + Phơng pháp 1: Đa pt về phơng trình tích: Sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi vế trái của phơng trình f(x) = 0 thành nhân tử. + Phơng pháp 2: Đặt ẩn phụ. + Lu ý một số trờng hợp. + Pt: ( x + a)( x + b)(x+c )( x +d) = m ta đa về phơng trình bậc hai nếu thoả mãn: a + b = c + d hoặc a + c = b + d a + d = b + c ( 4 số a,b,c,d có tổng đôi một bằng nhau ) + Pt: ( x + a ) 4 + ( x + b ) 4 = c Đa về pt trùng phơng bằng cách đặt : y = x + 2 ba + Ví dụ 1: Giải pt: x 4 4x 3 + 3x 2 + 4x 4 = 0 ( x 4 4x 3 + 4x 2 ) ( x 2 4x + 4 ) = 0 ( x 2 2x ) 2 ( x 2 ) 2 = 0 ( x 2 + x + 2 )( x 2 + 3x 2 ) = 0 x 2 + x + 2 = 0 không có nghiệm x 2 + 3x 2 = 0 có hai nghiệm x 1, 2 = 2 173 KL: Vậy pt có hai nghiệm x 1, 2 = 2 173 Ví dụ 2: Giải pt: ( x 1)(x+1)(x + 3 )( x + 5 ) = 9 [( x - 1)(x + 5 )][(x + 1 )( x + 3)] = 9 ( x 2 + 4x 5 )( x 2 + 4x + 3 ) = 9 (2) Đặt y = x 2 + 4x 5 x 2 + 4x + 3 = y + 8 (2) y( y + 8 ) = 9 y 2 + 8y 9 = 0 y = 1 y = - 9 Thay y ngợc lại tìm x. * Một số sai lầm HS hay mắc phải. + Chia hai vế cho một đa thức của phơng trình f 1 (x).g(x) = f 2 (x).g(x) (1) f 1 (x) = f 2 (x) + Khử luỹ thừa bậc chẵn ở hai vế của phơng trình. f 2n (x) = g 2n (x) (2) f(x) = g(x) Hai phép biến đôi trên có thể làm mất nghiệm. Cách khắc phục: + Đối với phơng trình (1): Chuyển vế để đa về pt tích. Xét g(x) = 0 g(x) 0 Đối với pt(2) phải giải hai phơng trình. f(x) = g(x) f(x) = - g(x) * Cách giải khác: Ví dụ 1 : Giải pt: x 3 x 2 x = 3 1 (1) 3x 3 3x 2 3x = 1 4x 3 = x 3 + 3x 2 +3x + 1 ( ) ( ) 14 3 3 += xx 14 3 += xx x = 14 1 3 KL: Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 14 1 3 Loại 3: Phơng trình chứa ẩn ở mẫu. * Phơng pháp chung. Bớc 1: Tìm ĐKXĐ của phơng trình Bớc 2: Quy đồng và khử mẫu Bớc 3: Giải phơng trình nhận đợc Bớc 4: Đối chiếu với điều kiện và kết luận nghiệm. Ví dụ: Giải phơng trình x 2 + x + 0 11 2 =+ xx (1) ĐKXĐ x 0 pt(1) 0)1)(1( 01 0 1 3 34 222 3 2 4 =++ =+++ =+++ xx xxx xx x x x x x x 3 + 1 = 0 ( x+ 1 )(x 2 + x + 1 ) = 0 x + 1 = 0 x + 1 = 0 x = - 1 * Sai lầm của học sinh hay mắc phải. + Không đặt điều kiện, khủ mẫu hai phân thức bằng nhau ở vế trái, khử mẫu hai phân thức đối nhau ở một vế. + Lu ý HS đặt điều kiện trớc khi giải. Cách giải khác. Ví dụ : Giải phơng trình x 2 + x + 0 11 2 =+ xx (1) ĐKXĐ x 0 0 11 2 2 = ++ + x x x x Đặt 2 111 2 2 22 2 =+= +=+ t x xt x xt x x Khi đó pt có dạng: t 2 + t 2 = 0 a + b + c = 0 t = 1 t 2 = - 2 Với t = 1 ta có 011 1 2 =+=+ xx x x ( vô nghiệm ) Với t = - 2 ta có x + 10122 1 2 ==++= xxx x ( thoả mãn ) KL: Vậy pt có 1 nghiệm x = - 1 Loại 4 : Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. * Phơng pháp giải: 1, Dùng định nghĩa =A A khi A 0 - A khi A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2, áp dụng hằng đẳng thức, 2 2 AA = Ví dụ: Giải pt: 321 = xx Hai vế không âm bình phơng ta có. pt ( ) ( ) 22 22 321321 == xxxx 3x 2 10x + 8 = 0 pt có hai nghiệm x 1 = 2 ; x 2 = 3 4 * Sai lầm của học sinh. + Tìm đợc nghiệm không đối chiếu với điều kiện xác định của pt, giá trị của ẩn đang xét. + Bình phơng hai vế pt khi 2 vế của pt cha thoả mãn lớn hơn hoặc bằng 0 đó là phép biến đổi không tơng đơng, có thể khắc phục bằng cách thử lại nghiệm tìm đợc hoặc xét điều kiện để hai vế không âm rồi bình phơng. * Cách giải khác Ví dụ: Giải pt: 321 = xx x 1 = 2x 3 x 1 = - 2x + 3 Loại 5: Phơng trình chứa căn thức. * Phơng pháp chung. + Khi pt chứa căn bậc chẵn thì phải đặt ĐKXĐ + Nâng lên luỹ thừa cả hai vế để khử căn ( chú ý hai vế của pt phải không âm ) + Dùng bất đẳng thức ngợc chiều ở hai vế khi xét điều kịên + Dùng phép đặt ẩn phụ Ví dụ : Giải pt: x7x21x2 =+ (1) ĐKXĐ: x 2 7 pt (1) 7x2x1x2 +=+ Hai vế không âm, bình phơng ta có. 2x + 1 = x + 2x 7 + 2 ( ) 7x2x 8 x = 2 ( ) 72 xx (2) ĐK 8 x 0 8 2 7 8 xx Bình phơng 2 vế pt(2) ta có : 7x 2 12x 64 = 0 x 1 = 4 ( thoả mãn đk ) x 2 = - 7 16 Vậy pt có 1 nghiệm x = 4. * Sai lầm của HS hay mắc phải. + Không đặt ĐKXĐ của pt. + Bình phơng hai vế của pt khi 2 vế cha thoả mãn không âm + Khi tìm đợc giá trị của ẩn không đối chiếu lại ĐKXĐ. Ví dụ 2 : Giải pt: 51x1x2 =+ (1) Đặt u = 01 x và v = 01x2 pt(1) trở thành: u + v = 5 (3) v 2 2u 2 = 1 (4) Từ pt(3) rút v theo u rồi thế vào pt (4) ta đợc. ( 5 u ) 2 2u 2 = 1 - u 2 10u + 24 = 0 u 1 = 2 ( thoả mãn) u 2 = - 12 (loại) Với u = 2 21x = ĐK x 1 bình phơng hai vế ta có: x 1 = 4 x = 5 ( thoả mãn ) KL: Vậy pt có nghiệm x = 5.