Nội dung đề tài: Hệ thống con lắc ngược quay Rotary Inverted Pendulum - RIP là một hệ thống phi tuyến điển hình trong các hệ thiếu cơ cấu chấp hành underactuated và được sử dụng nhiều t
TỔNG QUAN VỀ HỆ THỐNG CON LẮC NGƯỢC QUAY
Giới thiệu chung
Hệ thiếu cơ cấu chấp hành và con lắc ngược quay
Hệ thiếu cơ cấu chấp hành (underactuated system) ngày càng phổ biến và thu hút sự chú ý từ các nhà khoa học và công ty sản xuất Đặc điểm nổi bật của những hệ thống này là số lượng cơ cấu chấp hành ít hơn bậc tự do của hệ, tạo ra cả lợi thế và thách thức Mặc dù việc giảm số lượng cơ cấu tác động giúp giảm khối lượng và chi phí đầu tư, nhưng điều này cũng làm cho việc điều khiển hệ thống trở nên khó khăn hơn Do đó, cần áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp và tiên tiến để giải quyết các vấn đề liên quan đến việc kiểm soát các bậc tự do không độc lập.
Hệ thiếu cơ cấu chấp hành có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm hệ ball and beam, hệ Acrobot, hệ Pendubot và hệ thống cầu trục Những ứng dụng này không chỉ giúp minh họa các khái niệm điều khiển mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển các giải pháp kỹ thuật tiên tiến.
Acrobot là một hệ thống động lực học bao gồm hai thanh nối với nhau tại một điểm xoay chung, với một đầu của thanh thứ hai treo lơ lửng Hệ thống này có hai bậc tự do: góc xoay của thanh đầu tiên và góc xoay của thanh thứ hai so với mặt phẳng đứng Acrobot thiếu cơ cấu chấp hành, chỉ có một tín hiệu đầu vào là lực xoắn tác động lên điểm xoay chung Mục tiêu điều khiển acrobot là duy trì thanh thứ hai ở vị trí cân bằng, với cả hai góc xoay của hai thanh đều bằng 0.
Hệ thống pendubot, tương tự như hệ Acrobot, bao gồm hai thanh nối tại một điểm xoay chung, với một đầu của thanh thứ hai treo lơ lửng Sự khác biệt chính giữa hai hệ thống này là pendubot có cơ cấu tác động lực xoay ở đầu thanh thứ nhất.
Hệ thống cầu trục là một thiết bị phổ biến, nhưng thường gặp vấn đề về sự đối lập giữa hiệu quả vận chuyển và độ ổn định của tải treo Khi xe di chuyển với tốc độ và gia tốc cao, tải treo có thể bị lắc, gây ra nguy cơ tai nạn nghiêm trọng Để đảm bảo hiệu suất và an toàn cho hệ thống, cần áp dụng các phương pháp điều khiển phù hợp.
Hình 1.3 Hệ thống cầu trục
Trong đồ án này, chúng tôi nghiên cứu điều khiển hệ thống con lắc ngược quay (Rotary Inverted Pendulum - RIP), một hệ thống thiếu cơ cấu chấp hành điển hình Con lắc Furuta, được phát minh năm 1991 tại Tokyo Institute of Technology bởi nhà khoa học Katsuhisa Furuta cùng các đồng nghiệp, là một ví dụ tiêu biểu cho hệ thống này Hệ thống này bao gồm một thanh cánh, thể hiện những thách thức trong việc duy trì thăng bằng.
Ba tay được gắn cố định với trục động cơ, cho phép quay trên mặt phẳng nằm ngang Một thanh con lắc được gắn ở cuối cánh tay, có khả năng quay tự do trong mặt phẳng dọc Hình 1.4 dưới đây minh họa một con lắc ngược quay đầy đủ, bao gồm động cơ, cánh tay, thanh con lắc và các cảm biến góc cùng encoder.
Hình 1.4 Hệ thống con lắc ngược quay
Hệ thống con lắc ngược quay có giá trị học thuật và ứng dụng thực tiễn cao Mặc dù là một hệ thống phi tuyến, mô hình toán của con lắc ngược có thể được đơn giản hóa Khi con lắc dao động xung quanh vị trí cân bằng thẳng đứng, ta có thể tuyến tính hóa mô hình, cho phép áp dụng các phương pháp điều khiển tuyến tính Sự linh hoạt này làm cho con lắc ngược trở thành đối tượng nghiên cứu phổ biến trong việc kiểm chứng hiệu quả của các thuật toán điều khiển.
Con lắc ngược không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn mang lại nhiều ứng dụng thực tiễn quan trọng Các ứng dụng này dựa trên nguyên lý hoạt động của con lắc ngược, thể hiện giá trị thực tế của hệ thống trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Hầu hết các ứng dụng yêu cầu sự ổn định theo phương thẳng đứng đều dựa trên nguyên lý con lắc ngược Ví dụ điển hình bao gồm hệ thống vận chuyển cần cân bằng vật và hệ thống cân bằng của tên lửa khi phóng Một trong những ứng dụng nổi bật và thành công trong thương mại hóa là xe Segway.
Xe Segway là một phương tiện di chuyển cá nhân tự cân bằng hai bánh, được điều khiển bằng cách thay đổi trọng tâm cơ thể Hệ thống điện tử phức tạp giúp giữ xe cân bằng, cho phép người điều khiển di chuyển bằng cách nghiêng người về phía trước hoặc phía sau để thay đổi hướng di chuyển.
Hình 1.5 Xe Segway trong thực tế
Xe Segway, được phát triển bởi Dean Kamen và Segway Inc., ra mắt lần đầu vào năm 2001 Phương tiện này thường được sử dụng trong các tòa nhà văn phòng, khu du lịch và giải trí, cũng như trong ngành bảo trì và sửa chữa.
Xe Segway bao gồm các thành phần chính như bộ cảm biến gia tốc và góc độ, giúp đo trọng lực và góc nghiêng; bộ vi xử lý để tính toán và điều khiển tín hiệu từ các cảm biến; và hệ thống động cơ cùng bánh xe để di chuyển Ngoài ra, xe Segway còn được trang bị hệ thống điều khiển phanh và tăng tốc, cho phép người lái kiểm soát tốc độ và hướng đi một cách dễ dàng.
Phần mềm mô phỏng
MATLAB® là một môi trường lập trình và điện toán số được hàng triệu kỹ sư và nhà khoa học sử dụng cho việc phân tích dữ liệu, phát triển thuật toán và tạo mô hình Với các hộp công cụ chuyên nghiệp, MATLAB hỗ trợ xử lý tín hiệu và hình ảnh, hệ thống điều khiển, liên lạc không dây, tài chính điện toán, robot, học sâu và trí tuệ nhân tạo.
MATLAB là một ngôn ngữ lập trình bậc cao hỗ trợ kỹ sư và nhà khoa học trong việc trình bày và thể hiện ma trận toán học cũng như mảng một cách trực tiếp Nó đi kèm với Live Editor, cho phép tạo kịch bản bao gồm tập lệnh, đầu ra và văn bản được định dạng Các ứng dụng có sẵn giúp thực hiện các tác vụ một cách nhanh chóng và trực quan, đồng thời cho phép tự động tạo mã MATLAB để dễ dàng chỉnh sửa theo nhu cầu cá nhân.
MATLAB dễ dàng kết nối với các phần mềm và phần cứng khác, giúp tối ưu hóa quá trình thiết kế điều khiển thực tế Ngoài ra, các gói chương trình bổ sung phong phú cùng với sự hỗ trợ từ nhiều cộng đồng người dùng làm cho việc sử dụng MATLAB trở nên đơn giản và chuyên nghiệp hơn.
Simscape Multibody™ (trước đây là SimMechanics™) là một môi trường mô phỏng mạnh mẽ cho các hệ thống cơ khí 3D, bao gồm rô-bốt, hệ thống treo phương tiện, thiết bị xây dựng và bộ phận hạ cánh máy bay Người dùng có thể lập mô hình các hệ thống nhiều vật thể thông qua các khối đại diện cho vật thể, khớp nối, ràng buộc, yếu tố lực và cảm biến Simscape Multibody tự động xây dựng và giải các phương trình chuyển động cho toàn bộ hệ thống cơ học, đồng thời cho phép nhập các tổ hợp CAD hoàn chỉnh với tất cả các khối cần thiết.
Hoạt hình 3D tự động giúp hình dung động lực học của hệ thống bằng cách tích hợp lượng, quán tính, khớp nối, ràng buộc và hình học 3D vào mô hình.
Simscape Multibody cho phép phát triển hệ thống điều khiển và kiểm tra hiệu suất ở cấp độ hệ thống Người dùng có thể tham số hóa mô hình thông qua các biến và biểu thức MATLAB®, đồng thời thiết kế hệ thống điều khiển cho các thành phần trong Simulink® Hệ thống thủy lực, điện, khí nén và các hệ thống vật lý khác có thể được tích hợp vào mô hình nhờ vào các bộ phận từ dòng sản phẩm Simscape™ Đặc biệt, Simscape Multibody hỗ trợ tạo mã C để triển khai mô hình sang các môi trường mô phỏng khác, bao gồm các hệ thống phần cứng trong vòng lặp (HIL).
Mô hình vật lý con lắc ngược được xây dựng trên Simscape Multibody nhằm nâng cao độ chính xác và tính thực tiễn trong mô phỏng Các khối chính được sử dụng trong quá trình thiết kế mô hình này.
− Rigid transform: thay đổi hướng và vị trí của trục tọa độ
Trong khối Rigid Transform, người dùng có thể điều chỉnh hướng và vị trí của các trục tọa độ Đối với phần Rotation, nên chọn phương pháp quay đơn giản và phù hợp, với hai phương pháp phổ biến là Aligned Axes và Standard Axis Về phần Translation, phương pháp dịch Cartesian thường được lựa chọn để dịch hệ trục theo cả ba hướng trục.
Khối khớp Revolute cho phép điều chỉnh các tham số như vị trí cân bằng, hệ số tắt dần và phương thức tác động, bao gồm cả việc cấp lực hoặc theo khối phía trước Ngoài ra, nó cũng cung cấp thông tin về vị trí và tốc độ của khớp quay.
Hình 1.11 Bảng cài đặt khối Solid
Trong khối Solid, người dùng có thể tự thiết kế hình khối theo ý muốn, nhưng việc thiết kế trực tiếp trong khối này khá phức tạp và bị hạn chế Do đó, thường thì chúng ta sử dụng các phần mềm vẽ 3D bên ngoài để thiết kế và sau đó liên kết vào khối Solid.
Chúng em đã xây dựng mô hình mô phỏng con lắc trên Simulink dựa trên mô hình thực tế, như thể hiện trong Hình 1.12 và Hình 1.13 Các thông số vật lý của mô hình được trình bày chi tiết trong Bảng 1.1.
Hình 1.12 Mô phỏng con lắc trên Simulink
Hình 1.13 Mô hình 3D trên Simscape Multibody
Khối lượng của thanh con lắc (kg) 𝑚 0.027
Khối lượng của cánh tay (kg) 𝑀 0.05
Chiều dài của thanh con lắc đến khối tâm (m) 𝐿 0.153
Chiều dài của cánh tay (m) 𝑟 0.08260
Moment quán tính của cánh tay đòn và con lắc quy về trục động cơ (kgm 2 ) 𝐽 𝑒𝑞 2.33×10 -4
Hệ số ma sát nhớt của động cơ (Nms/rad) 𝐵 𝑒𝑞 0.0005
Trọng lực (m/s 2 ) 𝑔 9.81 Điện trở phần ứng của động cơ () 𝑅 𝑚 3.3
Hằng số phản điện động 𝐾 𝑚 0.02797
Bảng 1.1 Thông số vật lý của hệ con lắc ngược quay
MÔ HÌNH HOÁ HỆ THỐNG
Mô hình hóa động cơ DC
Hệ thống con lắc ngược quay bao gồm một con lắc quanh quanh một động cơ
Để mô hình hóa hệ thống, chúng ta sẽ bắt đầu với việc mô hình hóa động cơ DC Hình 2.1 dưới đây minh họa sơ đồ mạch điện đơn giản của một động cơ DC.
Hình 2.1 Sơ đồ mạch điện đơn giản của động cơ DC
V in : là điện áp cấp cho động cơ (V)
I m : là cường độ dòng điện qua động cơ (A)
R m : là điện trở của động cơ ()
L m : là điện cảm của cuộn dây trong động cơ (H)
: là sức phản điện động tạo ra trong động cơ (V)
Sức phản điện động tạo ra trong động cơ được tính như sau:
Với K m là hằng số phản điện động của động cơ (Vs/rad)
m : là góc của motor (rad) Áp dụng định luật Kirchhoffs 2 cho sơ đồ mạch điện trên ta được:
V R : là điện áp giữa hai đầu điện trở R m của động cơ (V)
V L : là điện áp giữa hai đầu điện cảm L m của động cơ (V)
Gọi P e là công suất điện (W), P m là công suất cơ (W) của động cơ DC Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
Trong đó T m là moment xoắn của động cơ (Nm) được tính như sau: m t m
Với K t là hằng số moment của động cơ (Nm/A)
Thay (2.1) và (2.4) vào (2.3) ta được phương trình mới như sau:
Giả sử ảnh hưởng của cuộn từ cảm L m là không đáng kể, dựa vào (2.6), ta có thể viết lại (2.2) như sau: in m m m m m
Ta có phương trình cân bằng moment trên trục động cơ (trước hộp số):
T 1 : là moment của động cơ trước hộp số
T ' : là moment tải quy đổi về trục động cơ (Nm)
B: là hệ số ma sát nhớt (Nm.s/rad)
J : là moment quán tính của động cơ và moment quán tính của hệ thống con lắc quy đổi về trục động cơ (Kgm^2)
Quy đổi moment động cơ sau hộp số ta được :
J m : là moment quán tính của động cơ và hệ thống sau khi quy đổi sau hộp số k g : là tỉ số truyền
g : là hiệu suất của hộp số
: là góc quay của động cơ sau hộp số
Thay (2.9) vào (2.8) và bỏ qua ma sát nhớt, ta được phương trình mới:
Với T out là moment tải quy đổi về trục động cơ sau hộp số
Mô hình hóa hệ thống con lắc ngược
Sau khi có được mô hình toán học của động cơ, ta tiếp tục mô hình hóa hệ thống con lắc ngược quay
Hình 2.2: Mô hình 3D hệ thống con lắc ngược quay
Mô hình 3D của hệ thống con lắc ngược quay, như được thể hiện trong Hình 2.2, là một mô hình đơn giản với con lắc có khối lượng m (kg) và chiều dài 2L (m) Con lắc này quay quanh trục động cơ DC thông qua cánh tay đòn có khối lượng M (kg) và chiều dài r (m) Góc quay của con lắc được ký hiệu là α (độ) và góc quay của cánh tay đòn là θ (độ) Gia tốc trọng trường được xác định là g (m/s²), với trọng tâm của con lắc được đặt ở giữa.
Theo Hình 2.2: Mô hình 3D hệ thống con lắc ngược quay, tọa của độ của con lắc theo thời gian trên mặt phẳng Oxy là:
Con lắc di chuyển theo góc quay của cánh tay, dẫn đến tọa độ của nó dịch chuyển theo thời gian một khoảng rθ Do đó, tọa độ của con lắc theo thời gian được biểu diễn bằng công thức: x = r * sin(θ) và y = L * cos(θ).
Vận tốc của con lắc theo thời gian là: cos( ) sin( ) x r L y L
Thế năng của con lắc là: cos( )
V =mgL (2.15) Động năng của con lắc là: arm vx vy pen
E arm là động năng của cánh tay đòn, được tính bằng công thức:
Với J eq là moment quán tính của cánh tay đòn và con lắc quy về trục động cơ
E vx là động năng của hệ khi chuyển động theo phương x, được tính bằng công thức:
E vy là động năng của hệ khi chuyển động theo phương y, được tính bằng công thức:
E pen là động năng quay của con lắc, được tính bằng công thức:
Với J p là moment quán tính của con lắc:
Vậy động năng T của con lắc có thể được tính như sau:
Phương trình động lực học của hệ con lắc ngược được tìm thông qua phương trình Euler - Lagranges:
Với L = − T V , Q i là lực tổng quát
Dựa vào (2.15) và (2.22), chúng ta có thể dễ dàng tính:
L= J + mL −mLr + mr −mgL (2.24) Áp dụng phương trình Euler - Lagranges (2.23) cho biến và ta được hệ phương trình:
Trong đó B eq là hệ số ma sát nhớt của động cơ
Thay (2.11) và (2.24) vào (2.25) ta được hệ phương trình:
( ) 0 c c cos c sin c c V in c cos c c sin
= Đặt các biến trạng thái là x = T và biểu diễn các phương trình dưới dạng: x=Ax+Bu (2.27)
A c cos sin c c cos c c cos sin c c sin c c
THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN
Điều khiển swing up
Thiết kế bộ điều khiển dựa trên năng lượng cho con lắc nhằm đưa nó từ vị trí thẳng đứng hướng xuống đến vị trí cân bằng không ổn định (thẳng đứng hướng lên) là rất cần thiết Trong đồ án này, chúng em sẽ áp dụng phương pháp điều khiển dựa năng lượng (Energy based control – EC) Phần tiếp theo sẽ trình bày quá trình khảo sát năng lượng của con lắc và đề xuất tín hiệu điều khiển phù hợp.
Phương trình chuyển động của con lắc là: sin cos 0
Để đưa con lắc từ vị trí ban đầu (α = -180°) lên vị trí thẳng đứng (α = 0°), cần cung cấp một năng lượng đủ Phương trình năng lượng của con lắc khi không có tín hiệu điều khiển được xác định như sau: Jpα - mgLα + mLθα = 0.
Để kiểm soát năng lượng hiệu quả, cần hiểu cách năng lượng bị ảnh hưởng bởi gia tốc của trục quay (θ) Tính đạo hàm của năng lượng E theo thời gian cho thấy mối quan hệ giữa p, sin, J, mg, L và các yếu tố khác.
Nhân cả 2 vế của (3.1) với sau đó thế vào phương trình (3.3) ta đươc:
Hệ thống có khả năng mất kiểm soát khi hệ số của biến ở vế phải của (3.4) biến mất Điều này xảy ra khi =0 hoặc
Khi con lắc ở vị trí ngang hoặc thay đổi chiều vận tốc, góc đạt giá trị 2 Để đạt hiệu quả điều khiển tối ưu, góc nên bằng 0 hoặc = và vận tốc cần lớn Để tăng cường năng lượng, cần tăng gia tốc của trục động cơ.
phải dương khi đại lượng cos âm Một chiến lược điều khiển có thể dễ dàng thu được bằng phương pháp Lyapunov Với hàm Lyapunov:
(E 0 là giá trị năng lượng mong muốn) và luật điều khiển:
Trong đó k là tham số thiết kế ( k >0)
19 Đạo hàm hàm Lyapunov ta được:
Với các hằng số dương m, k, L, đạo hàm của hàm Lyapunov dV/dt < 0 chứng tỏ rằng luật điều khiển (3.5) đảm bảo tính ổn định Để tối ưu hóa sự thay đổi năng lượng, độ lớn của tín hiệu điều khiển cần được tối đa hóa Điều này được thực hiện thông qua luật điều khiển đã đề xuất.
Trong đó là giá trị gia tốc tối đa mà trục động cơ có thể cung cấp
Khi năng lượng E tiến gần đến E0, hiện tượng chattering sẽ xảy ra theo luật điều khiển (3.9) Để khắc phục vấn đề này, một luật điều khiển mới đã được đề xuất.
Hàm sat thể hiện một hàm bão hòa tại Để chuyển đổi giữa gia tốc của cánh tay đòn và gia tốc của trục động cơ với điện áp đầu vào động cơ, chúng ta sử dụng phương trình: in 2 g m g g m.
Mô phỏng điều khiển swing up
Dựa trên luật điều khiển từ phương trình (3.10) và tín hiệu điện áp (3.11), ta thu được giá trị góc lệch của con lắc như trong Hình 3.1:
Hình 3.1 Góc lệch của con lắc với bộ điều khiển swing up
Bộ điều khiển dựa năng lượng có khả năng đưa con lắc lên vị trí mong muốn ở góc 0 độ, nhưng không thể duy trì sự ổn định ở vị trí đó Mặc dù bộ điều khiển swing up hoạt động tốt, nó vẫn chưa đáp ứng đầy đủ cả hai yêu cầu điều khiển Do đó, cần thiết phải sử dụng thêm các bộ điều khiển ổn định để giữ giá trị góc lệch luôn ở mức 0 khi con lắc đạt vị trí cân bằng Trong phần tiếp theo của đồ án, chúng em sẽ nghiên cứu và thiết kế các bộ điều khiển ổn định.
Điều khiển ổn định
Các tín hiệu trạng thái của đối tượng điều khiển cung cấp thông tin quan trọng về chất lượng động học của hệ thống Khi có tác động bên ngoài, các tín hiệu này phản ánh nhanh chóng những ảnh hưởng đó Để đảm bảo chất lượng điều khiển ổn định trong môi trường có nhiễu, cần thiết phải sử dụng bộ điều khiển có khả năng theo kịp các thay đổi trạng thái và phát tín hiệu điều khiển thích hợp.
Với hệ thống tuyến tính tham số hằng được mô tả bởi mô hình không gian trạng thái:
Điểm cực của hệ thống, hay giá trị riêng của ma trận A, có ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng của hệ Để đạt được chất lượng mong muốn, cần sử dụng bộ điều khiển có khả năng thay đổi điểm cực hiện tại thành những điểm cực có giá trị hơn Phương pháp thiết kế điều khiển này được gọi là phương pháp gán điểm cực.
Hình 3.2 Cấu trúc điều khiển phản hồi trạng thái
Bộ điều khiển bao gồm hai phần: bộ điều khiển chính và thành phần tỉ lệ Bộ điều khiển chính nhận giá trị trạng thái từ vecto trạng thái và nhân với ma trận điều khiển để tạo ra tín hiệu điều khiển Thành phần tỉ lệ giúp đảm bảo quỹ đạo bám sát quỹ đạo đặt Đối với hệ thống có một đầu vào điều khiển, phương pháp Ackermann có thể được áp dụng để xác định ma trận điều khiển.
Khi áp dụng phương pháp điều khiển trạng thái gán điểm cực, việc hiểu rõ ảnh hưởng của các điểm cực đến chất lượng hệ thống là rất quan trọng Lựa chọn điểm cực chính xác và phù hợp để đạt được chất lượng mong muốn thường gặp nhiều khó khăn và tốn thời gian Do đó, bộ điều khiển tối ưu đã được phát triển nhằm cung cấp ma trận điều khiển một cách khoa học hơn, với độ chính xác cao hơn và chất lượng điều khiển tốt hơn.
Bộ điều chỉnh tuyến tính bậc hai (LQR) là một thành tựu quan trọng trong lý thuyết điều khiển tối ưu, nhằm tìm tín hiệu điều khiển tối ưu đưa hệ thống từ trạng thái ban đầu x0 đến trạng thái cuối cùng với chi phí thấp nhất.
Xét một hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian trong dạng không gian trạng thái:
Hình 3.3 Quỹ đạo trạng thái
Hàm chi phí để đưa hệ từ trạng thái x 0 tới t f x :
Trong đó, 𝑀 và 𝑄 là các ma trận xác định bán dương; 𝑅 là ma trận xác định dương Ta có:
J x Qx Ru d x t Qx t u t Ru t d dt
Ta có được phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman:
Lấy gradient của hàm trên theo 𝑢(𝑡):
Suy ra được tín hiệu điều khiển:
Xét hàm giá trị 𝑉 có dạng:
Với 𝑆(𝑡) là ma trận xác định dương ( )S t =S ( )t 0
Thay vào phương trình (3.18) và phương trình (3.20):
Ta thấy ma trận 𝑆(𝑡) phải thỏa mãn điều kiện sau (còn gọi là phương trình vi phân Riccati):
Khi đó, hệ kín sẽ có dạng
Từ mô hình hệ thống được tuyến tính hóa ở (2.31), và các ma trận 𝑄 và 𝑅 thỏa mãn điều kiện
ta được ma trận điều khiển phản hồi 𝐾:
Mô phỏng điều khiển ổn định
Sử dụng ma trận điều khiển 𝐾 và tín hiệu điều khiển, ta thu được đồ thị giá trị góc 𝛼 Với góc ban đầu của con lắc là −20°, con lắc dao động quanh vị trí cân bằng và đạt giá trị xác lập sau khoảng 2.3 giây Bộ điều khiển LQR đã thể hiện khả năng điều khiển ổn định tốt khi góc lệch của con lắc gần 0.
Hình 3.4 Góc lệch của con lắc với bộ điều khiển LQR
Hình 3.5 Tốc độ góc của con lắc với bộ điều khiển LQR
Hình 3.6 Tín hiệu điện áp với bộ điều khiển LQR
Tốc độ góc của con lắc tăng đột ngột khi bắt đầu và ngừng dao động khi con lắc dừng lại Giá trị điện áp cung cấp cho động cơ cao ngay từ đầu nhưng nhanh chóng giảm khi con lắc ổn định Tín hiệu điều khiển trở về 0 khi góc lệch của con lắc đạt giá trị 0.
BỘ ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT
Giới thiệu về điều khiển trượt
Điều khiển trượt (Sliding mode control – SMC) là một phương pháp điều khiển phi tuyến, cho phép điều chỉnh động học của hệ thống thông qua nhiều cấu trúc điều khiển khác nhau Luật điều khiển phản hồi trạng thái không liên tục theo thời gian, mà thay đổi giữa các hàm liên tục tùy thuộc vào vị trí hiện tại trong không gian trạng thái Do đó, điều khiển trượt có tính chất cấu trúc biến đổi, với mục tiêu đưa quỹ đạo hệ thống trượt trên mặt trượt và đạt đến vị trí cân bằng.
Hình 4.1 Chế độ trượt lý tưởng
Trong chế độ trượt lý tưởng, quỹ đạo hệ thống sẽ bám sát mặt trượt để đạt vị trí ổn định Tuy nhiên, trong thực tế, các yếu tố như sự thay đổi liên tục của tín hiệu điều khiển và nhiễu hệ thống có thể làm cho quỹ đạo không bám chính xác theo mặt trượt Hiện tượng này, được gọi là rung (chattering), xảy ra khi quỹ đạo di chuyển liên tục trên và dưới mặt trượt Để giảm thiểu hiện tượng rung, thường sử dụng các hàm bão hòa thay vì hàm dấu, vì hàm dấu có thể gây ra sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu điều khiển.
Thiết kế bộ điều khiển trượt bao gồm hai bước chính: đầu tiên, cần thiết kế mặt trượt phù hợp để đạt được đáp ứng hệ thống mong muốn; thứ hai, xây dựng luật điều khiển phản hồi nhằm đưa quỹ đạo trạng thái của hệ thống đến mặt trượt đã xác định Lý thuyết ổn định Lyapunov đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển các luật điều khiển này.
Một số ưu điểm của bộ điều khiển trượt khiến nó trở nên phổ biến và hiệu quả:
Bộ điều khiển trượt nổi bật với tính bền vững cao, cho phép hoạt động hiệu quả trong các hệ thống không chắc chắn và chịu ảnh hưởng của nhiễu bên ngoài Nó giúp duy trì sự ổn định của hệ thống ngay cả khi có sự thay đổi về tham số, đảm bảo hiệu suất tối ưu trong mọi điều kiện.
- Sự đơn giản: so với các phương pháp điều khiển nâng cao khác thì việc thiết kế và thực thi điều khiển trượt là tương đối dễ dàng
SMC không cần một mô hình toán học chính xác để điều khiển đối tượng, giúp nó linh hoạt trong việc quản lý các hệ thống phi tuyến cao và biến đổi theo thời gian.
Thiết kế bộ điều khiển
Bộ điều khiển trượt SMC
Từ hệ phương trình động học (2.26), ta viết lại dưới dạng như sau:
F c c sin x c cos x c sin x x c x c c cos x c c c cos x G c c c cos x c F x c sin x c c
Hệ thống con lắc ngược quay được chia thành hai phần chính: cánh tay gắn với trục động cơ và thanh con lắc Để tối ưu hóa hoạt động, chúng ta cần xây dựng các mặt trượt cho từng hệ thống con này.
Với các hệ số 𝜆 1 và 𝜆 2 là các hệ số hằng dương
Xét hàm Lyapunov dương như sau để đảm bảo tính ổn định của hệ thống:
Hệ số 𝜆 𝑉 là số dương được chọn có giá trị trong khoảng từ 0 đến 1 Ta chọn tín hiệu điều khiển 𝑢 sao cho thỏa mãn:
Trong đó hệ số 𝛽 > 0 giúp thay đổi tốc độ tiến về 0 của 𝑉 Hàm bão hòa V sat
làm giảm hiện tượng rung xảy ra khi sử dụng hàm dấu 𝑠𝑔𝑛 Hàm bão hòa được xác định như sau:
Từ phương trình (4.3), ta có:
= + (4.6) Đạo hàm hàm Lyapunov theo thời gian:
Từ đó, ta rút ra được tín hiệu điều khiển 𝑢 từ các phương trình (4.4) và (4.7):
V sat V x F x sgn s x F x sgn s u G x sgn s G x sgn s
4.2.1.1 Kết quả mô phỏng bộ điều khiển SMC
Xét các kết quả mô phỏng khi sử dụng bộ điều khiển trượt với góc lệch ban đầu
Hình 4.3 minh họa góc lệch của con lắc khi sử dụng bộ điều khiển trượt SMC Khi áp dụng bộ điều khiển này, góc lệch của con lắc nhanh chóng trở về giá trị 0, cho thấy hiệu quả điều khiển Mặc dù con lắc được duy trì ở vị trí thẳng đứng hướng lên, vẫn tồn tại sự rung nhẹ, dẫn đến sai lệch khoảng 0.5° đến 1° quanh điểm cân bằng.
Hình 4.4 Tốc độ góc của con lắc với bộ điều khiển SMC
Hình 4.5 Tín hiệu điện áp với bộ điều khiển SMC
Tín hiệu điều khiển trong Hình 4.5 cho thấy sự đảo chiều liên tục của động cơ, mặc dù đã áp dụng hàm bão hòa để hạn chế sự thay đổi đột ngột của tín hiệu điều khiển Tuy nhiên, hiện tượng rung vẫn chưa được xử lý triệt để, dẫn đến con lắc vẫn có sự dao động nhẹ quanh vị trí cân bằng Điều khiển trượt phân cấp HSMC cần được xem xét để cải thiện tình trạng này.
Con lắc ngược quay là một hệ thống thiếu cơ cấu chấp hành, với số lượng cơ cấu tác động ít hơn số bậc tự do của đối tượng điều khiển Phương pháp điều khiển trượt, đặc biệt là điều khiển trượt phân cấp (HSMC), rất hiệu quả cho các hệ thống thiếu cơ cấu chấp hành, nhất là các đối tượng SIMO như hệ con lắc ngược và pendubot Trong đồ án này, bộ điều khiển trượt phân cấp sẽ được áp dụng để điều khiển hệ con lắc ngược quay.
Để thiết kế bộ điều khiển HSMC, cần đưa hệ thống về dạng (4.1) để phân biệt các hệ thống con và xác định các mặt trượt tương ứng Hai mặt trượt của hệ con lắc ngược quay được xác định ở (4.2), và khi đạo hàm hai mặt trượt theo thời gian, ta sẽ có các thông tin cần thiết cho quá trình điều khiển.
= + + + (4.9) Đặt s 1 = =s 2 0 Ta rút ra được tín hiệu điều khiển cân bằng 𝑢 𝑒𝑞 cho từng hệ thống con:
Hình 4.6 Cấu trúc phân cấp của các mặt trượt
Cấu trúc phân cấp của các mặt trượt được thể hiện rõ ràng qua hình ảnh minh họa Lớp đầu tiên của mặt trượt, 𝑆 1, tương ứng với mặt trượt của hệ thống con đầu tiên Khi kết hợp với mặt trượt của hệ thống con thứ hai, 𝑠 2, ta thu được mặt trượt tổng thể của toàn hệ thống, 𝑆 2 Phương pháp biểu diễn này giúp mặt trượt tổng mang thông tin đầy đủ từ tất cả các mặt trượt con và các lớp khác nhau Mặt trượt 𝑆 2 có thể được biểu diễn một cách chi tiết như sau:
Trong đó, 𝑘 1 là hằng số được chọn
Tín hiệu điều khiển của toàn hệ thống sẽ bao gồm các tín hiệu điều khiển tương ứng với các hệ thống con:
Thành phần 𝑢 𝑠𝑤 giúp đưa hệ thống trượt trên mặt trượt xác định Để rút ra 𝑢 𝑠𝑤 , ta xét hàm Lyapunov như sau:
V t = 2S (4.13) Đạo hàm hàm Lyapunov theo thời gian và thế các giá trị từ (4.9) và (4.11), ta có:
( ( )) eq eq sw eq eq sw
Từ giá trị của 𝑢 𝑒𝑞 1 và 𝑢 𝑒𝑞 2 ở (4.10), suy ra:
( ) eq sw eq sw eq eq sw
Trong đó, 𝑘 và 𝜂 là các hệ số dương
Từ các (4.15) và (4.16), giá trị của thành phần 𝑢 𝑠𝑤 được tính như sau:
. sgn( ) s ng ( ) sw eq eq eq eq eq eq eq eq u u u u
4.2.2.2 Phân tích tính ổn định a) Tính ổn định của mặt trượt 𝑆 2
Từ hàm Lyapunov 𝑉 ở (4.13), ta có đạo hàm theo thời gian của 𝑉:
Lấy tích phân hai vế của phương trình trên ta được:
Ta suy ra (4.24) dựa trên bổ đề Barbalat:
Vậy S 2 →0 khi t→ Có nghĩa là mặt trượt 𝑆 2 ổn định tiệm cận b) Tính ổn định của mặt trượt 𝑠 1 và 𝑠 2
Như đã chứng minh ở trên, ta có S 2 →0 khi t→ Với S 2 =k S 1 1 +s 2 từ (4.11), ta có:
Vậy nên s 1 →0, s 2 →0 khi t→ Hai mặt trượt của các hệ thống con ổn định tiệm cận
4.2.2.3 Kết quả mô phỏng bộ điều khiển HSMC
Xét các kết quả mô phỏng khi sử dụng bộ điều khiển trượt phân cấp với góc lệch ban đầu 𝛼 = 20°
Hình 4.7 Góc lệch của con lắc với bộ điều khiển HSMC
Hình 4.7 cho thấy sự cải thiện rõ rệt về thời gian xác lập của con lắc Trong khi hai bộ điều khiển truyền thống mất khoảng 2.5 giây để đưa con lắc về gần vùng ổn định, bộ điều khiển HSMC chỉ cần khoảng 2 giây để giá trị góc lệch gần như bằng 0 Sau đó, con lắc được duy trì ở vị trí cân bằng một cách ổn định.
Hình 4.8 Tốc độ góc của con lắc với bộ điều khiển HSMC
Hình 4.9 Tín hiệu điện áp với bộ điều khiển HSMC