Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hăn ô tô còn đi được bao nhiêu m?. Hướng dẫn giải Khi ô tô dừng hẳn thì vt = 0.
Trang 1LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ ĐỊNH KỲ LẦN 2 - GT1
Thực hiện bởi Team GT1 - CLB Hỗ trợ Học tập
Câu 1 [1đ] Cho tích phân bất định I =
ˆ
x2√ 2x + 1dx Với phép biến đổi t =√
2x + 1, ta thu được:
⃝ I = 1
4
ˆ (t6− t4+ 1)dt
⃝ I = 1
4
ˆ (t6− 2t4+ t2)dt
⃝ I = 1
4
ˆ (t6+ 2t4− t)dt
⃝ I = 1
3
ˆ (t6− t4+ 1)dt
Hướng dẫn giải
Ta có: t =√
2x + 1 ⇒ t2 = 2x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx ⇒ dx = tdt
⇒ I =
ˆ t2− 1
2
2 t2dt
= 1
4
ˆ
(t4− 2t2+ 1).t2dt
= 1
4
ˆ
(t6− 2t4+ t2)dt
Đáp án: I = 1
4
ˆ (t6− 2t4+ t2)dt
Câu 2 [1đ] Tính đạo hàm theo biến x của hàm số:
f (x) =
x 3
ˆ
x 2
(t + cos 2t)dt
⃝ −(x2+ cos x).2x + (x3+ cos 2x3).3x2
⃝ −(2x + cos 2x).x2+ (x3+ cos 2x3).3x2
⃝ (2x + cos 2x).x2− (x3+ cos 2x3).3x2
⃝ −(x2+ cos 2x2).2x + (x3+ cos 2x3).3x2
Hướng dẫn giải
Ta có: f (x) =
x 3
ˆ
x 2
(t + cos 2t)dt
⇒ f′(x) = (x3+ cos 2x3).(x3)′− (x2+ cos 2x2).(x2)′ = (x3+ cos 2x3).3x2− (x2+ cos 2x2).2x
Đáp án: −(x2+ cos 2x2).2x + (x3+ cos 2x3).3x2
Trang 2Câu 3 [1đ] Biết I =
5 ˆ 0
25 − 5x − x2
√
25 − x2 dx = a
bπ + c Tính a + b + c ?
⃝ 1
⃝ 2
⃝ 3
⃝ 4
Hướng dẫn giải
I =
5
ˆ
0
25 − 5x − x2
√
25 − x2 dx =
5 ˆ 0
√
25 − x2− √ 5x
25 − x2
dx
= 1
2x
√
25 − x2+ 25
2 arcsin
x 5
5
0 + 5√
25 − x2
5
0
= 25
4 π − 25 Vậy a + b + c = 4
Đáp án: 4
Câu 4 [1đ] Tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số y = x
3+ 1
x2− 1 là:
⃝ 1
⃝ 2
⃝ 3
⃝ 4
Hướng dẫn giải
- Ta có: lim
x→1 +y = lim
x→1 +
(x + 1)(x2− x + 1) (x + 1)(x − 1) = limx→1 +
x2− x + 1
x − 1 = +∞
lim
x→−1y = lim
x→−1
x2− x + 1
x − 1 =
−3 2
⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Ta có: lim
x→∞y = lim
x→−∞
x3+ 1
x2 − 1 = ∞ ⇒ Hàm số không có tiệm cận ngang
- Ta có: lim
x→∞
y
x = limx→∞
x3+ 1
x3− x = 1 lim
x→∞(y − x) = lim
x→∞
x3+ 1
x2 − 1− x
= lim x→∞
1
x − 1 = 0
⇒ y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Đáp án: 2
Trang 3Câu 5: [1đ] Biết I =
ˆ
10x (1 + x)(x2+ 4)dx = a ln
x2+ 4 (x + 1)2
+ b arctanx
c + C Tính T = a + b + c?
⃝ 10
⃝ 7
⃝ 5
⃝ 6
Hướng dẫn giải
I =
ˆ
10x
(1 + x)(x2+ 4)dx =
ˆ −2
1 + x +
2x + 8
x2+ 4
dx
=
ˆ −2
1 + x +
2x
x2+ 4 +
8
x2+ 4
dx
= ln x
2 + 4 (x + 1)2 + 4 arctanx
2 + C.
Vậy T = a + b + c = 7
Đáp án: 7
Câu 6: [1đ] Cho f′(x) = sin x và f (0) = −1 Đặt
I =
π/2 ˆ 0
f (x)dx −
π/2 ˆ 0
f3(x)dx = a
b
a
b tối giản, a, b ∈ Z∗
Tính a.b =?
⃝ 3
⃝ −3
⃝ 2
⃝ 10
Hướng dẫn giải
Ta có: f (x) = − cos x + C ⇒ f (0) = −1 + C = −1 ⇒ C = 0
⇒ f (x) = − cos x
Do đó, I =
π/2
ˆ
0
(− cos x)dx −
π/2 ˆ 0
− cos3xdx = −
π/2 ˆ 0 (cos x)dx −
π/2 ˆ 0 cos3xdx
= −
π/2 ˆ 0 cos x(1 − cos2x)dx
= −
π/2 ˆ 0 cos x sin2xdx = −
π/2 ˆ 0 sin2xd(sin x)
= −sin
3x 3
π/2
0
= −1 3
⇒ a.b = −3
Đáp án: −3
Trang 4Câu 7: [1đ] Cho hàm số f (x) khả vi trên R thỏa mãn: f (0) = 1, f (x) + C =
ˆ 3x2f (x)dx Gọi a = f (2) Khẳng định nào sau đây là đúng?
⃝ 2979 < a < 2980
⃝ 2980 < a < 2981
⃝ 2981 < a < 2982
⃝ 2982 < a < 2983
Hướng dẫn giải
Đạo hàm hai vế của phương trình f (x) + C =
ˆ 3x2f (x)dx ta được:
f′(x) = 3x2f (x) ⇒ f
′(x)
f (x) = 3x
2
⇒
ˆ
f′(x)
f (x)dx =
ˆ 3x2dx
⇒ ln |f (x)| = x3+ C
⇒ ln |f (0)| = C ⇒ ln 1 = C ⇒ C = 0
⇒ |f (x)| = ex 3
Do f (0) = 1 ⇒ f (x) = ex3
⇒ a = f (2) = e8 ⇒ 2980 < a < 2981
Đáp án: 2980 < a < 2981
Câu 8: [1đ] Cho hàm số f (x) chẵn, khả vi trên R và f (1) = 2.
Giá trị của tích phân sau: I =
1 ˆ
−1
(f′(x))3+ xf′(x) + f (x)dx là:
⃝ 2
⃝ 4
⃝ 0
⃝ 6
Hướng dẫn giải
Do f (x) chẵn ⇒ f′(x) lẻ ⇒ (f′(x))3 lẻ ⇒
1 ˆ
−1
(f′(x))3dx = 0
⇒ I =
1
ˆ
−1
(xf′(x) + f (x)) dx =
1 ˆ
−1 (xf (x))′dx = xf (x)
1
−1
= f (1) + f (−1) = 2 + 2 = 4
Đáp án: 4
Trang 5Câu 9: [1đ] Tích phân suy rộng nào sau đây hội tụ?
□
+∞
ˆ
1
dx
2x
□
+∞
ˆ
0
dx
x2+ 1
□
+∞
ˆ
0
dx
√
x2+ 1
□
+∞
ˆ 0
dx (x + 1)(x + 2)
□
+∞
ˆ 1 sin xdx
□
+∞
ˆ 1
arctan x
x2 dx
Hướng dẫn giải
1
+∞
ˆ
1
dx
2x
Ta có:
+∞
ˆ
1
dx 2x =
1
2ln x
+∞
1
= +∞
Do đó
+∞
ˆ
1
dx 2x phân kỳ
2
+∞
ˆ
0
dx
x2+ 1
Ta có:
+∞
ˆ
0
dx
x2+ 1 = arctan x
+∞
0
= π
2 − 0 = π
2
Do đó
+∞
ˆ
0
dx
x2+ 1 hội tụ
3
+∞
ˆ
0
dx
√
x2+ 1
Ta có:
+∞
ˆ
0
dx
√
x2+ 1 = ln
x +√
x2+ 1
+∞
0
= +∞
Do đó
+∞
ˆ
0
dx
√
x2 + 1 phân kỳ
4
+∞
ˆ
0
dx (x + 1)(x + 2)
Trang 6Ta có:
+∞
ˆ
0
dx (x + 1)(x + 2) = ln
x + 1
x + 2
+∞
0
= ln 1 − ln 1
2
= ln 2
Do đó
+∞
ˆ
0
dx (x + 1)(x + 2) hội tụ
5
+∞
ˆ
1
sin xdx
Ta có:
+∞
ˆ
1
sin xdx = − cos x
+∞
1
= cos 1 − lim
x→+∞cos x Xét 2 dãy xn= 2nπ và yn = (2n + 1)π
2 có limn→+∞xn= lim
n→+∞yn= +∞
Lại có:
lim n→+∞cos xn= 1 lim
n→+∞cos yn = 0
⇒ lim x→+∞cos x không tồn tại
Do đó
+∞
ˆ
1
sin xdx phân kỳ
6
+∞
ˆ
1
arctan x
x2 dx
Ta có:
+∞
ˆ
1
arctan x
x2 dx =
+∞
ˆ 1
arctan xd −1
x
= − arctan x
x
+∞
1 +
+∞
ˆ 1
1 x(x2+ 1)dx
= 0 +π
4 +
+∞
ˆ 1
1
x − x
x2+ 1
dx
= π
4 +
ln x − 1
2ln (x
2+ 1)
+∞
1
= π
4 + ln
x
√
x2+ 1
+∞
1
= π
4 +
1
2ln 2
Do đó
+∞
ˆ
1
arctan x
x2 dx hội tụ
Đáp án:
+∞
ˆ
dx
x2+ 1 và
+∞
ˆ
dx (x + 1)(x + 2) và
+∞
ˆ dx
√
x2+ 1 và
+∞
ˆ arctan x
x2 dx
Trang 7Câu 10: [1đ] Đường cong có phương trình nào dưới đây đi qua gốc tọa độ?
□ r = 2 + 2 cos φ
□
x(t) = t3+ 2 sin t + cosh t − 1
y(t) = arctan t + t2+ tanh t
□ y =
x ˆ 0
tet2dt
□ y = arccos x + arcsin x
□
x(t) = 1 + t y(t) = 1 − t3
□ r = cos2φ
Hướng dẫn giải
1 r = 2 + 2 cos φ
Đưỡng cong r = 2 + 2 cos φ đi qua gốc tọa độ khi r = 0 ⇔ 2 + 2 cos φ = 0 ⇔ cos φ = −1(∗)
Phương trình (∗) có nghiệm
Do đó đường cong r = 2 + 2 cos φ đi qua gốc tọa độ
2
x(t) = t3+ 2 sin t + cosh t − 1
y(t) = arctan t + t2+ tanh t
Khi t = 0 ⇒
x = 0
y = 0 Vậy đường cong
x(t) = t3+ 2 sin t + cosh t − 1 y(t) = arctan t + t2+ tanh t
đi qua gốc tọa độ
3 y =
x
ˆ
0
tet2dt
Khi x = 0 thì y =
0 ˆ 0
tet2dt = 0
Vậy đường cong y =
x ˆ 0
tet2dt đi qua gốc tọa độ
4 y = arccos x + arcsin x
Ta có: arccos x + arcsin x = π
2, ∀x ∈ R
Do đó đường cong y = arccos x + arcsin x không đi qua gốc tọa độ
5
x(t) = 1 + t
y(t) = 1 − t3
Ta có: x(t) = 0 ⇔ t = −1
Khi t = −1 thì y(t) = 2
Trang 8Do đó x(t), y(t) không đồng thời bằng 0
Vậy đường cong
x(t) = 1 + t y(t) = 1 − t3
không đi qua gốc tọa độ
6 r = cos2φ
Đường cong r = cos2φ đi qua gốc tọa độ khi r = 0 ⇔ cos2φ = 0(∗)
Phương trình (∗) có nghiệm nên đường cong r = cos2φ đi qua gốc tọa độ
Đáp án: r = 2 + 2 cos φ và
x(t) = t3+ 2 sin t + cosh t − 1 y(t) = arctan t + t2+ tanh t
và y =
x ˆ 0
tet2dtvà r = cos2φ
Câu 11: [1đ] Trong những đồ thị hàm số sau, đồ thị hàm số nào có tiệm cận xiên là y = x + 1?
□ y = x
2+ 4x + 5
x + 3
□ y = 1
x2+ 1
□ y = ex
□ ln x
□ √3
x3+ 1 + 1
□ x + arctan x
Hướng dẫn giải
1 y = x
2+ 4x + 5
x + 3
Tập xác định: D = R \ {−3}
Ta có: lim
x→∞y = ∞
lim
x→∞
y
x = limx→∞
x2 + 4x + 5
x2+ 3x = 1 lim
x→∞(y − x) = lim
x→∞
x + 5
x + 3 = 1
⇒ y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (thoả mãn)
2 y = 1
x2+ 1
Tập xác định: D = R
Có: lim
x→∞
1
x2+ 1 = 0 nên đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
3 y = ex
Tập xác định: D = R
lim
x→+∞
y
x = limx→+∞
ex
x = +∞
lim
x→−∞
y
x = limx→−∞
ex
x = 0
⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên
Trang 9x→+∞
y
x = limx→+∞
ln x
x = 0
⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên
5 y = √3
x3+ 1 + 1
Tập xác định: D = R
Có: lim
x→+∞
y
x = limx→+∞
3
√
x3+ 1 + 1
lim
x→+∞(y − x) = lim
x→+∞
3
√
x3+ 1 + 1 − x = lim
3
p(x3+ 1)2+√3
x3+ 1 + 1+ 1) = 1
⇒ y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (thoả mãn)
6 y = x + arctan x
Tập xác định: D = R
Ta có: lim
x→∞
y
x = limx→∞
1 + arctan x
x
= 1 (sử dụng nguyên lý kẹp)
Xét lim
x→+∞(y − x) = lim
x→+∞arctan x = π
2. Xét lim
x→−∞(y − x) = lim
x→−∞arctan x = −π
2. Vậy 2 đường thẳng y = x + π
2 và y = x −
π
2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Đáp án: y = x
2+ 4x + 5
x + 3 và
3
√
x3+ 1 + 1
Câu 12: [1đ] Tính tích phân
ˆ
−x +√1 − x2
1 − x2 dx thu được kết quả là:
□ ln(√1 − x2) + arcsin(x) + C
□ 1
2ln(1 − x
2) − arccos(x) + C
□ ln(√4 − 4x2) − arccos(x) + C
□ 1
2ln(2 − 2x
2) + arcsin(x) + C
□ ln(1 − x2) + arcsin(x) + C
□ ln(1 − x2) − arccos(x) + C
Hướng dẫn giải
I =
ˆ
−x
1 − x2dx +
ˆ 1
√
1 − x2dx
= 1
2
ˆ
d(1 − x2)
1 − x2 +
ˆ 1
√
1 − x2dx
= 1
2ln(1 − x
2) + arcsin(x) + C
= 1
2ln(1 − x
2) − arccos(x) + π
2 + C(do arccos x + arcsin x =
π
2)
Đáp án:
ln(√
1 − x2) + arcsin(x) + C
2ln(1 − x
2) − arccos(x) + C b)
Trang 104 − 4x2) − arccos(x) + C
2ln(2 − 2x
2) + arcsin(x) + C d)
Câu 13: [1đ] Tính tích phân
π ˆ 0 (x2+ 2x) cos xdx thu được kết quả có dạng aπ + b (a và b là các số nguyên) Giá trị của a là:
Hướng dẫn giải
Ta có:
I =
π
ˆ
0
(x2+ 2x) cos xdx =
π ˆ 0 (x2+ 2x).d(sin x)
= (x2+ 2x) sin x
π
0
−
π ˆ 0 sin x.d(x2+ 2x) = −
π ˆ 0 (2x + 2) sin xdx
=
π
ˆ
0
(2x + 2)d(cos x) = (2x + 2) cos x
π
0
−
π ˆ 0 cos x.d(2x + 2)
= −2π − 4
⇒ Ta tìm được a = −2
Đáp án: −2 Câu 14: [1đ] Một ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −15t + 30 (m/s) trong
đó t là khoảng thời gian tính bằng s , kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hăn ô tô còn
đi được bao nhiêu m ?
Hướng dẫn giải
Khi ô tô dừng hẳn thì v(t) = 0
⇒ −15t + 30 = 0
⇒ t = 2 Quãng đường ô tô đi được là:
S =
2 ˆ 0 (−15t + 30) dt = 30 m
Đáp án: 30
Câu 15: [1đ] Cho A = lim
n→+∞
1
n2cos π
2n
+ 2
n2 cosπ
n
+ 3
n2 cos 3π
2n
+ + n
n2 cosnπ
2n
a b
Trang 11Hướng dẫn giải
Ta viết lại:
A = lim
n→+∞
1
n2 cos π
2n
+ 2
n2 cos 2π
2n
+ 3
n2 cos 3π
2n
+ + n
n2 cosnπ
2n
= lim
n→+∞
n X
k=1
k
n2 cos kπ
2n
!
= lim
n→+∞
1
n
n X
k=1
k
n cos
kπ 2n
!
⇒ A =
1
ˆ
0
x cosπ
2x
dx
⇒ A = 2
π
1
ˆ
0
x.d
sin
π
2x
= 2
πx sin
π
2x
1
0
− 2 π
1 ˆ 0 sin
π
2x
dx
= 2
π +
4
π2 cos
π
2x
1
0
= 2
π − 4
π2
⇒ a = 2 và b = −4 hay giá trị tích a.b = −8
Đáp án: −8