Giải chi tiết Đại số tuyến tính ahust

TÀI LIỆU KHÓA HỌC ĐẠI SÓ Biên soạn : Lê Thái Bảo & Cao Như Đạt Vậy hai mệnh đẻ p > q —q va pv q latuong duong logic... TÀI LIỆU KHÓA HỌC ĐẠI SÓ Biên soạn : Lê Thái Bảo & Cao Như Đạt... T

Trang 1

Biên soạn : Lê Thái Bảo & Cao Như Đạt

Chương I TẬP HỢP — LOGIC - ÁNH XẠ - CÁU TRÚC ĐẠI SỐ - SÓ PHỨC Bài 1

Trang 2

TÀI LIỆU KHÓA HỌC ĐẠI SÓ

Vậy hai mệnh đẻ (p > q) —q va pv q latuong duong logic

a) Lap bang chan tri

A | B | A | AaB} AaB | AB | (AnB)v(AnB)

Tacé: (AAC)—>(BAC) va (AVC) >(BvC) 1a 1 ménh dé ding

Gia st AB sai thi A=1 va B=0

+ C=0>AvC=1 va BvC=0=> (AvC)>(BvC) sai (vo ly)

+C=1>AAC=1 va BAC=0=> (A^C)->(B^C) sai (vô lý)

Vậy giả sử là sai nên A —> B là mệnh đẻ đúng

Trang 3

Bài 5

Do 2020 chẵn nên 2020 là số lẻ là mệnh đẻ sai (=0)

202073 nén 2020 chia hết cho 3 là mệnh đề sai (=0)

Vậy mệnh đề “Do 2020 là số lẻ nên nó chia hét cho 3” 1a mệnh đè đúng

Bài 6

Mệnh đề ban dau: “Wx,,.x, €[] , f(x,)= f (x,) >», =x,”

Mệnh dé phi dinh: “x,,x, €() , f (x,)= f (x, Aa, #2,”

(Chú ý: A—>B và A^ B là 2 mệnh đề tương đương)

Do vậy để chứng minh | ham số không là đơn anh ta chi can chi ra 3x,,.x, ma x, # x, va f(x,)= f(x)

Bai 7

f(x)=0 a) f (x).g(x)=00 a

=> Tap nghiém C=AUB

Trang 4

Trang 5

Bai 11

a)+ ye f(AUB), f(x)=y thi xe AUB

“I2 ven” |ye /(g)S }*/(4)27(8)=/(AvB)=7(4)27(8) () em

+ /(A)=f(Ao8) ƒ(B)c ƒ(Aoð)

= f(A)UF(B)< F(AUB) (2)

Từ (1) va (2) > f(A)Uf(B)= f (AUB) VA,BCX

b)+ Tacs AABCA=> f(ANB)c f(A)

Tương tự f (ANB) f(B)

Do dé f (ANB) f(A) f (B)

+ Điều ngược lại là không đúng

Xa f(x)=x°, A={2}, B={-2}

Khi dé f (ANB)=@; f (A)O f (B)={4}

c) xe f '(AUB)& f(x)e AUB [jee [ney

Trang 6

Trang 7

x -y=u,

—=xÌ+x=u+w x+y=y

+ VaeZ, déucé phan tử đối xứng: I*3=2*4=0

Trang 8

a) Không là vành, trường (vì phép toan + không đóng kín)

b) Là vành, không là trường ((Œ,®) không là nhóm, chăng hạn 7 €Z)

c) la truéng

d) la vanh, không là trườn ((G, ) khôn là nhóm, chăng han ——= 2 8 e is 3442 1 : me 5 _ N2 eX) y 5

à trưở “TT -.r= Tra ¬.rX3<ŸY, Y(a;b) # (0:0) |

Q0 mống | TC E a-3b a -3bˆ aap Be (a:b) +( )

Bài 18

a) (1 +ivB) = [2,{<os% isin | =-2°

Tủ nh

©) (z+:/2) (#5 -i)` -| {cos +isin)] |2{ cos +isin=)

Trang 9

Trang 10

Trang 11

KHOA HOC GIAI TICH 1 +DAISO |

[%4 thắt lọc các dạng bài tập ví dụ quan trọng trích trong để thi

[4 8ể thi thử giữa kỳ/ cuổì kỳ ôn tập lại cdc dang bai

{4 Tổng hợp để thi cuối kỳ và hướng dẫn giải (tặng bản cứng)

(⁄ Phính sách høàn tiến 40k khi làm 609/o BTVN

bkkhongsotach.edu.vn

Mang lai giá trị thực cho sinh viên, gửi tâm huyết trong từng sản phẩm!

Trang 12

Biên soạn : Lê Thái Bảo & Cao Như Đạt -

Chương II MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

, [1 3ŸƑ [-2 9 , -5 0

b) Theo câu a: AÌ—3A+5E =0— AÌ +5E =3A,3A- A =5E

= Cằn tìm X thỏa mãn: 3AX = B”.5E => X= 2A (do det A #0)

A=|2 + 1|EA'=|-3 -7 5| ƒf(A)=3A'-2A+5E=|-I3 34 13|

Bai 4

A= coska —sinka At =| on —sinna

9° sinka coska -Quynạp &* sinna cosna

+ n=1 Ding

+ Giả sử mệnh đề đúng với m = & eÏi *

Trang 13

AHl- coska ~sinka|[cosa -=sina| |cos(k+l)a -sin(k+l)a

~|sinka coska ||sina cosa | |sin(k+l)a cos(k+l)a

Trang 14

TÀI LIỆU KHĨA HỌC ĐẠI SĨ

; |Ja°+be ab+bd

|ac+ed_ đ°+be |>-0s92)4x(,-s)r~| ac+ed-(a+d)c đ°+be-(a+d)d+ad-be

=> Á thỏa mãn phương trình x” —(à+đ)x+ ađ —bc =0

b) Rõ ràng A? =0 thì A* =0 Vk >2

Giả sử AŸ =0 với k>2 Ta chứng minh A? =0

A‘ =0=> det A=0= ad —be =0=> A’ —(a+d)A=0 (theo cau a)

+ (a+d)=0=>A°=0

+(a+d)z0= A*?[ A'=(a+đ)A |=0— A*” =0 Tiếp tục quá trình =A}=0

Bài 7

a,t+bhx a,-bx c| |a+bx 2a, œ

a)|ay+b,x a,—b,x c,|=|a,+b,x 2a, c,|(C,+C, >C,)

a+bx a=bx c| ja,+bx 2a, c,

Trang 15

a+b ab a’+b*| |a=c b(a=e) (a=c)(a+e)

b) B=|b+c be b’+c*|=\b-a c(b-a) (b-a)(b+a)| (L—L; -> L:L, =L, —> L,)

c+a ca C+a ic+a ca C+a

a) det A =det A’ =det(—A) (do A” =—A)

Giastr A cap n lé = det (—A)=(-1)" det A=—det A

Do vay det A =—det A = det A =0

Trang 16

Trang 17

Trang 18

a,A‘ +a,,A°" + +a A+a,E =0 (a, #

4 4 Bai 16

Hệ có duy nhat 1 nghiém théa:

Trang 19

Trang 20

=(a+5)[(a~1)(4-2a)=4(a=1) ]~a.|3.(4-2a)—(2a~1)(a- 1) ]

=(a+5)(-2a’ +2a)-a(-2a* -Sa +13)

=~2d` —8a? +10a + 2a* +5a* -13a

=-3a?—3a =~3a(a+I)

a#~=l Bài 19

Trang 21

KHOA HOC GIAI TICH 1+DAI SO |

[x2 thắt lục các dạng bài tập vi dy quan trọng trích trong dé thi

[4 8ể thi thử giữa kỳ/ cuổi kỳ ôn tập lại cdc dang bai

{4 Tổng hợp để thi cuối kỳ và hướng dẫn giải (tặng bản cứng)

[⁄ thính sách hoàn tiển 40K khi làm 609/o BTVN

bkkhongsotach.edu.vn

Mang lại giá trị thực cho sinh viên, gửi tâm huyết trong từng sản phẩm!

Trang 23

Biên soạn: Lê Thái Bảo- Cao Như Đạt

Chương III KHONG GIAN VECTOR Bai 1

a) Nhân xét (k, + k;).(x; y;z) =(|k, + k;|x;|k, + k;

yilk, +k, :)

=>V khong là không gian vector

kP; có hệ số bậc nhất bằng 0 Vk e R

= Tập các đa thức có hệ số bậc nhất bằng 0 của ? [x] là KGVT con của ? [+]

c, d, e) CMTT giống a, b

p+qceW: Yp.qeW

kpeWw; VWkeR, pew

Nghiêm cẩm các quán photo sử dụng các tài liệu

do BKOST biên soạn đê ban khi chưa được sự đồng ý

(Cần chỉ ra | thì W là KGVT con sinh bởi V )

Trang 24

HUONG DAN GIAI DE CUONG CHUONG 3: KHONG GIAN VECTOR

Bài 3

>utveV OV, u,veV, u+veV,

a) uveV,AV,> >

u,veV, u+veV, ueV,, KeER>kveV,, tuong tu kueV, > ku eV, OV,

Do dé V, OV, 1a KGVT con của V

° ku =ku, +ku, €V,+V, (do ku, €V,, ku, €V,)

=>V,+V, laKGVT con cua V

Trang 25

Xét ueW, +W, >u=u) +u) (ui EW, uy eW,)

Ma {¥,,v,, ,¥%} 1a hé sinh cla W, => 3k, tut = > ky, XS)

Goi A là ma trận của 8 đối với cơ sở chính thức {:x:x'} của P.[x]

1 0 2

=>A=|2 3 =I}, detA=-240=>B déc lap tuyến tính

0-1 1

Trang 26

Trang 27

Trang 28

=dimV =3, cơ sở {(I;2;0:1);(0.—3:3:2);(0;0:0;3)}

Trang 29

=> dim span {u,,u,,u,,u,}=dimV, +V, =3, co sé {(1;0;1;0);(0;1;—1;1);(0;0;1;1)}

b) Xét we V, AV, > Ay xy yxy = Uy +X, = XU, + XU,

— Xu + XU, — XU, — Xu, =0

Trang 30

+ p, cMi, kcR —=p, (~x) = kp,(x)— kp?, <W,

Vậy W, là KCVT con của P„¡,[x]

Do p(—x)= p(x)— Đa thức p(x) chỉ gồm các hạng tử bậc chin của x

Trang 31

=|" — x, +3x, —2x, + 4x, =0 Dit ‘ =a,x,=b

=> x, =S5a—b, x, =2c+8at+b

=X =(%¡:x%;:x;:x,:x„)= a(0:8 5;1;0)+b(0:1;—1;0;1)+e(I:2;:0:0:0)

= Không gian nghiệm có dim3, cơ sở {(0:8;5:1;0):(0: 1;~1;0;1);(1;2;0;0;0))

Chú ý: V là không gian nghiệm của hệ pt n an thi dimV =n—r(A) (hé thuan nhất)

Bài 18

Cơ sở U,V lần lượt là {“,„w„, „} ; {v,.V; v, }

+ Nếu UV ={0} —Íw,;u;: w„:v,:v›: :v„Ì độc lập tuyến tính và là cơ sở của

(U +V)—= dim(U +V)= m+n = dimU + dimV — đim(U NV)

+ Nếu đim(U V)= p, cơ sở {n„r; r„Ì = A

Bồ sung m~ p vector r, „ vào A đề được cơ sở của L/

Bồ sung m- p vector z„ ; ;?, „„ vào A đề được cơ sở của V

Ta chứng minh Š = {nsfo ar,sr, wrest là cơ sở của U+V

=[fBsesP,vf,.s.f f.s„„} là hệ sinh cla U +V

* ST Ar =0 thì Š` Az = Â„eUcV= ¥ Ar eV >A =0 Vi=p+l,m

t=m+l ¿=l r=m+l r=atl

=Ề 'Ar+ Š 2r=0—^,=0Vi=l,p, i=m+1,n+p+m = Hệ § ĐLTT = § là cơ sở

bkkhongsotach.edu.vn Tài liệu khóa học Đại Số

Trang 33

Chương IL ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Bai 1

a) Xét u,,u, eR?’ => f(u, +u,)=(3(x, + ))+(x; +y,)-(x,+y,), 2(% +y,)+(%, +95)

= (3x, +x, —x,,2x, +, )+(3», +}y;—;›2y + y;)

=/(w)+ /(u:) Xét m ER’, ke R= f (hay) =(3kx, + kx, — kxy,2x, + kx; )

Trang 35

b) Goi B, lama tran cia f đối với cơ sở chính tắc E

Š$ là ma trận chuyển cơ sở từ Ø sang £ (= Š” là ma trận chuyên từ E sang B)

=[7(x#'+!)|, =8,|0|=| 56 |

1} [14 Bài 7

Trang 36

Ta chỉ cần chứng minh ƒ đơn ánh © ƒ toàn ánh

+ Giả sử ƒ đơn ánh = ker ƒ ={#®} Mà dim Ker ƒ + dim Im ƒ =—dim Ƒ”

=> dimIm f = dim’

Lại có Im ƒ là KGVT con của J”= Im f =lƑ”= ƒ toàn ánh

+ Giả sử ƒ toàn ánh = Im ƒ = Ƒ“= dim Im ƒ = dim’

=> dim Ker f = dimV’'—dimIm f =0 => Ker f ={4}

Trang 38

6x,—9x, +4x, =0

3x, —5x, +2x, =0 + A=1, v, (1) là KG nghiệm hệ 4 5x,—8x; +3x, = 0

Trang 39

+ 2=2, vp (2)=span{(1;0;0)}

Do Ð chỉ có tối đa 2 vector riêng ĐLTT nên D không chéo hóa được

(Chú ý: D'AD=S cé dang chéo héa

=> A=DS.D"' => A" =D.S".D"', S" dang chéo)

Trang 40

với = A=5, v,(5)=span {(0;0;1)}

= B khéng chéo héa được, tức không tồn tại ma trận chéo đồng dang voi B

Trang 41

4L, +6L, —> L, -6 0 l| m 0 30 10) 4m+36

-1 2 0| |=6 0 1 trong dé E là cơ sở chính tắc của 8Ì, £ =Íe,;e;;e,}

Dua bai toán về: Ma trận 4 biết 4ˆ có trị riêng là 4°

Cần chứng minh 4 có trị riêng 2 hoặc -2

Trang 42

0 0 hs)»

U—#yVƑ—›yJŸ; A,B là ma trận của ƒ,g đối với cặp cơ sở tương ứng

+ Im( ƒs g)c Im ƒ >r( 4B) = dimIm( ƒ s g) < dim Im ƒ = r(4)

+ Ker g c Ker( ƒ s g)—= dimIm( ƒ s g) < dim Im g

Trang 44

Chương V: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH - DẠNG TAM PHƯƠNG KHONG GIAN EUCLID - DUONG VA MAT BAC HAI Bai 1

a) f (u,,u,)=0

ƒ(u,—u; +u,, 2u, +3u; =u, )= 2 ƒ (xu, )+ 3ƒ (vu; )— ƒ (suy )— 2 ƒ (;.ú,)— 3ƒ (;.u, )

+f (u,,u,)+2f (u;.u,)+3f(u,.u,)—f (u;.u;)

Trang 45

Dạng song tuyến tính trên là tích vô hướng nếu nó xác định đương

(A, =2: A;=2a-l; A; =6a—11)

Trang 38

Trang 46

Bài 7

a) Kiém chimg: * (u,v)=(v,u)

* (au, + Bu,,v)=a(u,,v)+ B (u,v)

Chon p =x(x-1)(x-2)e R[x] thi p#0 va (p,p)=0

= (p.4) không là tích vô hướng

Trang 47

b) fu+v]=[uf + [of +2(u,¥)

u Lv (u,v) =0 fu + vf =fulf +|vf : dpem

Trang 49

= B={v,,v;} là l cơ sở trực chuan cla H

b) w là hình chiếu trực giao của v lên # (v=(3,6,3))

Trang 50

v/v eƑ = (w¡,v,)=(w;,v,)=0— (ví +v,v,)=0 (Gọi F là KGVT con của 8Ÿ: =>vievieV )

AvieV, keR Bai 17

a) Chứng minh: ¢ a,b € V, => (a,V)=(b,V)=0 We V,

=> (a+b,v)=0>a+bel,

° aeV,, ke R= (ka,V)=k(a,V)=0 Vel,

>kaeV,

= V, 1a KGVT con clia V

b) Xét Ö, ={x,.x; x„} là cơ sở trực chuẩn của V,

Bồ sung m—m vector để được cơ sở trực chuẩn của Ƒ là Íx,.x; x„ X„ X„Ì

* 2=0=yv,(0)=s „(9)=sen[(5~50) 0;—1;1)} = vector riéng: | 0,—=, €(OF-5)

* A=1=>v,(1)=span{(1;0;0)} = vector riéng: (1;0;0)

Trang 51

*® 4=25 ta có vector riêng trực chuân: (3 55 )

® Â=~25 ta có vector riêng trực chuẩn (+2)

+2=0> v, (0) =span {(—1,1,0)} , trực chuẩn hóa được v2’ V2 = ` Ị )

+ 2=1=v,(1)=span{0,0,1}, true chuan héa duoc (0,0,1)

Trang 52

Chéo hóa trực giao 4 được: P ran-|Š | : Xp Vp

` []- LE VE [7] = ' ,| = Phương trình đường cong la: x” + 2 -sy =0 = parabol 42

dak: A 6 2 tu riéng 20, —5

= có thể đưa dạng toàn phương 1x? +24xy+ 4y về 20x2 —5y?

= Phương trình đường cong là: 20x” - 5y'? —15 =0 = hyperbol

Trang 53

Có 2 trị riêng 2,,4,.4, là nghiém cua —2' +727 -4=0

Chéo hóa trực giao 4 đưa dạng toàn phương về dạng w= Ä,x” + Â,y” + Â,z

= Phương trình mặt cong 4x” + 2,y"" + 4,2 =1 => Hyperboloid 1 tầng (2,,4; >0, 2, < 0)

2 -1 0 c) A=|-1 2 -I| có 3 trị riêng 2,,2,,2, >0 là nghiệm —2Ì +74? -144+7=0

Trang 54

A,B vuéng, déi xtmg cap n có tất cả trị riêng dương

Chứng minh 4+8 cũng có tất cả trị riêng dương

Giải

Xét ƒ;ø là 2 dạng toàn phương ứng với ma trận 4 & B (đối với cơ sở chính tắc)

Do 4 có tất cả trị riêng dương => ƒ xác định đương

Tương tự, ø xác định dương

= /+g xác định dương Mà 4+ là ma trận của ƒ+ g đối với cơ sở chính tắc

= A+B có tất cả trị riêng dương (đpcm)

Chú ý: Ma trận 4 vuông, đối xứng có tất cả các trị riêng dương

Trang 47

Tiêu đề	Giải Chi Tiết Đại Số Tuyến Tính
Tác giả	Lờ Thỏi Bảo, Cao Như Đạt
Trường học	ahust
Chuyên ngành	Đại Số Tuyến Tính
Thể loại	tài liệu khía học
Năm xuất bản	2020

Định dạng
Số trang	55
Dung lượng	16,4 MB