Bất cứ khi nào một thí nghiệm ngẫu nhiên được lặp lại, giá trị của biến ngẫu nhiên bằng kết quả trung bình qua các lần lặp lại có xu hướng có phân phối chuẩn vì số lần lặp lại trở nên lớ
TỔNG QUAN LÝ THUYẾT
Các quy luật phân phối xác suất
Mô hình phân phối chuẩn được ứng dụng rộng rãi để đo lường liên tục, dựa trên định lý giới hạn trung tâm (De Moivre, 1733; Gauss, độc lập phát triển sau đó) Phân phối chuẩn, hay phân phối Gaussian, mô tả kết quả trung bình của nhiều lần lặp lại một thí nghiệm ngẫu nhiên Ứng dụng thực tiễn bao gồm ước lượng trung bình (ví dụ: lực kéo của đầu nối ô tô) và mô hình hóa hiện tượng vật lý (ví dụ: vận tốc phân tử) Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn có dạng hình chuông, với kỳ vọng E(x) xác định đỉnh và phương sai V(x) = σ² xác định độ rộng Các biến ngẫu nhiên khác nhau sẽ có các đường cong phân phối chuẩn với hình dạng tương tự nhưng khác nhau về vị trí đỉnh, chiều cao và độ rộng.
Trong đú: E(x) = à: là kỡ vọng hay giỏ trị trung bỡnh của biến ngẫu nhiờn X
𝜎 2 : là phương sai của biến ngẫu nhiên X
Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn thì hàm mật độ xác suất có dạng như sau:
Độ lệch chuẩn thể hiện khoảng cách từ mỗi điểm dữ liệu đến giá trị trung bình (trung bình = 0).
Đồ thị hàm phân phối chuẩn có dạng hình chuông đối xứng, đạt cực đại tại x=μ và có tổng diện tích dưới đường cong bằng 1, thể hiện xác suất biến ngẫu nhiên X xuất hiện là 100% Xác suất X xuất hiện lớn nhất khi gần giá trị trung bình μ Phân phối chuẩn là một phân phối thống kê quan trọng, ứng dụng rộng rãi.
Hình 1.2: Đồ thị hàm phân phối chuẩn
Khi μ = 0 và σ = 1, X ~ N(0, 1) được gọi là phân phối chuẩn tắc, có hàm mật độ là hàm mật độ Gauss Phân phối chuẩn có nhiều ứng dụng rộng rãi.
Được sử dụng khi có mẫu lớn (thường hơn 30) hoặc khi phương sai của quần thể đã biết trước
Phân phối chuẩn được áp dụng trong các tình huống mà dữ liệu có thể được mô tả bằng một phân phối đối xứng và hình dạng hình chuông
Phân phối chuẩn cung cấp một cách tiếp cận tiện lợi khi tính toán các giá trị xác suất và khoảng tin cậy
Với mẫu nhỏ (dưới 30), phân phối chuẩn không chính xác Phân phối t Student là giải pháp thay thế, ước lượng chính xác đặc trưng mẫu khi phương sai chưa biết và cỡ mẫu nhỏ.
1.1.1.2 Các giá trị kiểm định của dữ liệu có phân phối chuẩn a Khoảng tin cậy
Định lý giới hạn trung tâm khẳng định phân phối các giá trị trung bình mẫu xấp xỉ phân phối chuẩn, bất kể phân phối ban đầu của mẫu như thế nào Với cỡ mẫu lớn, tính chất này càng rõ rệt Nếu mẫu ban đầu có phân phối chuẩn, phân phối các giá trị trung bình mẫu cũng sẽ là chuẩn.
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng hình chuông, với khoảng tin cậy tập trung ở vùng giá trị trung bình, chiếm phần lớn diện tích đồ thị.
Khoảng tin cậy (thường là 95%) cho thấy trung bình mẫu gần bằng trung bình tổng thể Nói cách khác, khoảng tin cậy là phạm vi chứa trung bình của hầu hết các mẫu được rút ra từ tổng thể Tuy nhiên, một số ít mẫu sẽ nằm ngoài khoảng tin cậy này.
- khoảng tin cậy) Vùng ngoài khoảng tin cậy này được gọi là vùng mức ý nghĩa
Hình 1.3: Đồ thị hàm phân phối chuẩn – Khoảng tin cậy b Mức ý nghĩa
Mức ý nghĩa thống kê phản ánh độ khác biệt giữa dữ liệu mẫu và giá trị kỳ vọng, giúp xác định liệu dữ liệu đó có ý nghĩa thống kê hay không Ngưỡng mức ý nghĩa được đặt trước để quyết định tính ý nghĩa thống kê của một giá trị.
Mức ý nghĩa 0,05 cho phép chấp nhận rủi ro 5% kết quả nghiên cứu là ngẫu nhiên Xác suất biến ngẫu nhiên nằm ngoài khoảng tin cậy là 5%, biểu thị sự khác biệt với trung bình tổng thể Mức ý nghĩa càng thấp, độ tin cậy càng cao, và sự khác biệt với trung bình tổng thể càng nhỏ.
Với hầu hết thực nghiệm dựa trên giả thuyết, mức ý nghĩa 0,05 là chấp nhận được
Hình 1.4: Đồ thị hàm phân phối chuẩn – Mức ý nghĩa c Giá trị p (p – value – Probability value)
P-value và mức ý nghĩa α đều thể hiện mức ý nghĩa thống kê Tuy nhiên, α là giá trị được đặt trước khi tiến hành nghiên cứu, trong khi p-value được tính toán từ kết quả thực nghiệm.
Bài kiểm định giả thuyết sử dụng mức ý nghĩa α để đánh giá giả thuyết H0: không có sự khác biệt về giá trị các yếu tố đến giá trị trung bình tổng thể, so với giả thuyết đối H1: có sự ảnh hưởng của các yếu tố đến sự khác biệt của trung bình tổng thể Kết quả kiểm định được thể hiện qua giá trị p-value, tính toán dựa trên số liệu thực nghiệm.
Cuối cùng, so sánh 2 mức ý nghĩa này (𝛼 và p-value) để đưa ra quyết định bác bỏ giả thuyết 𝐻 0 hay không bác bỏ giả thuyết 𝐻 0
Để kiểm định giả thuyết H0, ta so sánh p-value với mức ý nghĩa α Nếu p-value < α (hoặc p-value nằm trong vùng bác bỏ), bác bỏ H0, kết luận yếu tố có ảnh hưởng đáng kể về mặt thống kê đến kết quả trung bình Ngược lại, yếu tố đó không có ảnh hưởng đáng kể So sánh p-value và α tương đương với so sánh giá trị tra bảng của chúng.
Phân phối t được nhà thống kê Gosset (người Anh) công bố lần đầu tiên vào năm
Năm 1908, William Sealy Gosset (dùng bút danh "Student") công bố phân phối t, một phân phối xác suất hữu ích cho mẫu nhỏ, có hình dạng chuông tương tự phân phối chuẩn nhưng với đuôi dày hơn do dựa trên ước lượng phương sai mẫu Hợp đồng với Guinness yêu cầu ông giấu danh tính và dữ liệu công ty, dẫn đến việc sử dụng bút danh "Student" và tên gọi "phân phối t" Phân phối t lý tưởng cho việc phân tích dữ liệu có biến động lớn và giá trị ngoại lai.
Biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối t(m) với hàm mật độ xác suất đã cho, ký hiệu X ∼ t(m), trong đó m là bậc tự do Khi m lớn, phân phối t(m) xấp xỉ phân phối chuẩn N(0,1) Mối quan hệ giữa phân phối t và phân phối χ²(m) được thiết lập thông qua định lý liên hệ giữa biến ngẫu nhiên Y ∼ χ²(m) và Z ∼ N(0,1).
*Đồ thị của hàm phân phối Student:
Cách xác định khoảng tin cậy: Cho 0 < α < 1, một khoảng [L, U] được gọi là một khoảng tin cậy 100.(1 − α)% cho tham số θ nếu P(L ≤ θ ≤ U) = 1 − α Khi đó, đại lượng
Lý thuyết kiểm định và xây dựng mô hình hồi quy
1.2.1 So sánh phương sai phân phối chuẩn
Phương sai (σ²) là đại lượng đo mức độ phân tán dữ liệu, thường dùng trong phân phối chuẩn có hình dạng đặc trưng đỉnh tại trung bình và phân bố đều hai phía σ là độ lệch chuẩn.
So sánh phương sai mẫu với phương sai của phân phối chuẩn giúp xác định mức độ khác biệt đáng kể giữa hai phương sai, từ đó kết luận về sự giống hoặc khác nhau giữa chúng Kiểm định này đánh giá ý nghĩa thống kê của sự khác biệt đó.
0 yêu cầu hai mẫu dữ liệu: một từ phân phối mà chúng ta muốn so sánh và một từ phân phối chuẩn
Cho tổng thể 𝑋 có phương sai là 𝜎 2 ( 𝜎 2 chưa biết) Dùng thống kê từ mẫu, thực hiện kiểm định 𝜎 2 với 𝜎 2 ( 𝜎 2 là giá trị cho trước), xét với mức ý nghĩa 𝛼
Mẫu được chọn từ tổng thể có phân phối chuẩn 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) với kỳ vọng 𝜇 chưa biết và phương sai 𝜎 2 chưa biết
+ B1: Đặt giả thuyết và xác định miền bác bỏ tương ứng (sử dụng một trong hai cách viết miền bác bỏ):
Giả thuyết Miền bác bỏ
+B2: Tính thống kê kiểm định:
Nếu 𝜒 2 < 𝜒 2 hoặc 𝜒 2 > 𝜒 2 ⇔ 𝜒 2 ∈ 𝑅𝑅 ⇒ Bác bỏ 𝐻 0 , chấp
Nếu 𝜒 2 ≤ 𝜒 2 ≤ 𝜒 2 ⇔ 𝜒 2 ∉ 𝑅𝑅 ⇒ không bác bỏ 𝐻0 (chấp nhận
Nếu 𝜒 2 < 𝜒 2 ⇔ 𝜒 2 ∈ 𝑅𝑅 ⇒ Bác bỏ 𝐻0, chấp nhận 𝐻 1
Nếu 𝜒 2 > 𝜒 2 ⇔ 𝜒 2 ∉ 𝑅𝑅 ⇒ không bác bỏ 𝐻 0 (chưa bác bỏ được 𝐻 0
Nếu 𝜒 2 > 𝜒 2 ⇔ 𝜒 2 ∈ 𝑅𝑅 ⇒ Bác bỏ 𝐻 0 , chấp nhận 𝐻 1
Nếu 𝜒 2 < 𝜒 2 ⇔ 𝜒 2 ∉ 𝑅𝑅 ⇒ không bác bỏ 𝐻 0 (chưa bác bỏ được 𝐻 0 , chấp
Tìm giá trị 𝜒 2 : tra bảng Chi bình phương, cột 𝛼/2 và dòng 𝑛 − 1
Tìm giá trị 𝜒 2 : tra bảng Chi bình phương, cột 𝛼 và dòng 𝑛 − 1
Trong lĩnh vực Khoa Vật liệu (Material Faculty), kiểm định phương sai có thể được áp dụng trong nhiều mục đích khác nhau, như:
Kỹ sư vật liệu kiểm định chất lượng vật liệu bằng cách so sánh phương sai của các thông số kỹ thuật (độ bền, độ cứng, chịu nhiệt) giữa các lô sản phẩm để đảm bảo chất lượng đồng đều và phát hiện biến động đáng kể.
Kiểm định phương sai giúp đánh giá độ đồng đều trong sản xuất vật liệu Biến động lớn về phương sai thành phần chỉ ra cần điều chỉnh quy trình để nâng cao chất lượng và hiệu suất.
Kiểm định phương sai là công cụ quan trọng trong nghiên cứu và phát triển vật liệu mới, giúp đánh giá hiệu suất và tính đồng đều của mẫu thử nghiệm, từ đó xác định khả năng ứng dụng thực tiễn.
Đánh giá hiệu suất vật liệu trong điều kiện khắc nghiệt như nhiệt độ cao, áp suất lớn hoặc ứng suất mạnh là rất quan trọng So sánh phương sai thông số hiệu suất giữa thử nghiệm và điều kiện hoạt động thực tế giúp xác định khả năng chịu tải của vật liệu.
So sánh phương sai của phân phối chuẩn giúp đánh giá mức độ biến động dữ liệu và xác định sự khác biệt giữa các nhóm Kiểm định phương sai cần chính xác, hợp lý và xem xét kích thước mẫu cũng như các trường hợp cụ thể.
1.2.2 So sánh phương sai hai mẫu phân phối chuẩn
Xét biến X của hai tổng thể có phương sai 𝜎 2 𝑣à 𝜎 2 Lấy từ hai tổng thể ấy hai
Bài viết này so sánh phương sai của hai mẫu dữ liệu có kích thước n1 và n2, ký hiệu là s1² và s2² Kết quả phân tích phương sai giúp đánh giá sự khác biệt về độ phân tán của hai mẫu.
1 2 tổng thể với độ tin cậy 1 − α (hay mức ý nghĩa α ) cho trước Như vậy giả thuyết không sẽ là:
Còn giả thuyết đối nghịch H1 thì tùy trường hợp cụ thể mà tỷ số hai phương sai có thể là khác 1, lớn hơn 1 hay bé hơn 1
Tiêu chuẩn kiểm định cho so sánh hai phương sai là :
𝑠 2 Tiêu chuẩn này có phân phối Fisher với các độ tự do: ν1 = n1 − 1 và ν2 = n2 – 1 Xét hai ĐLNN X1 và X2, thể hiện trên hai tập dữ liệu Giả sử X1 ~N( ), X2~N(
; ) Với mức ý ngĩa α cần kiểm định giả thuyết H0: 𝜎 2 = 𝜎 2
Chọn từ tập hợp thứ nhất ra mẫu kích thước n1: W1 = (X11, X12, , X1n, ) Từ đó tính được: và
Chọn từ tập hợp thứ hai ra mẫu kích thước n2:W2 = (X21, X22, , X2n, ) Từ đó tính được: và
Nếu hai mẫu trên là độc lập, ta có:
Vì vậy ta có TCKĐ: ( ta luôn chọn kí hiệu sao cho )
1.2.3.1 Phân tích phương sai hai yếu tố không lặp
Phân tích phương sai hai yếu tố với một quan sát mỗi ô mở rộng phân tích một yếu tố, kiểm định đồng thời giả thuyết về sự bằng nhau của trung bình theo cả cột và hàng.
Bảng 1.1: Dữ liệu cho mô hình:
Yếu tố thứ hai (hàng) Yếu tố thứ nhất (cột)
Giả thuyết H0: - Trung bình của tổng thể theo chỉ tiêu cột bằng nhau
- Trung bình của tổng thể theo chỉ tiêu hàng bằng nhau
*Ta có các bước sau:
Bước 1: Tính số trung bình
- Tính trung bình từng cột: 𝑥 = 𝑗=1
- Tính trung bình từng hàng: 𝑥 𝑗 = 𝑖=1
Bước 2: Tính tổng độ lệch bình phương
- Tổng độ lệch bình phương chung:
- Tổng độ lệch bình phương sinh ra bởi yếu tố cột:
- Tổng độ lệch bình phương sinh ra bởi yếu tố hàng
- Tổng độ lệch bình phương sai số:
- Phương sai sinh ra bởi yếu tố cột: 𝑀𝑆𝐺 = 𝑆𝑆𝐺
- Phương sai sinh ra bởi yếu tố hàng: 𝑀𝑆𝐵 = 𝑆𝑆𝐵
- Phương sai sinh ra bởi yếu tố cột: 𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
Bước 4: Giá trị kiểm định từ hai tỷ số
Bước 5: Quyết định bác bỏ giả thuyết H0:
- Bác bỏ giả thuyết theo chỉ tiêu cột: 𝐹 1 > 𝐹𝑘−1,(𝑘−1)(ℎ−1),𝛼
- Bác bỏ giả thuyết theo chỉ tiêu hàng: 𝐹 2 > 𝐹ℎ−1,(𝑘−1)(ℎ−1),𝛼
Bảng 1.2: tổng quát phân tích ANNOVA
Biến thiên Tổng độ lệch bình phương Bậc tự do Phương sai
1.2.3.2 Phân tích phương sai hai yếu tố có lặp
Phân tích phương sai hai chiều (ANOVA hai chiều) không chỉ kiểm định sự bằng nhau của trung bình theo cột và hàng mà còn đánh giá ảnh hưởng tương tác giữa hai yếu tố này đến kết quả nghiên cứu, cho phép chọn nhiều quan sát ứng với mỗi tổ hợp yếu tố cột và hàng.
Bảng 1.3: Dữ liệu cho mô hình:
Yếu tố thứ nhất (cột)
h x1h1 x1h2 x1hn x2h1 x2h2 x2hn xkh1 xkh2 xkhn
Giả thuyết H0: - Trung bình của tổng thể theo chỉ tiêu cột bằng nhau
- Trung bình của tổng thể theo chỉ tiêu hàng bằng nhau
- Không có sự tương tác giữa yếu tố cột và hàng
*Ta có các bước sau:
Bước 1: Tính số trung bình
Bước 2: Tính tổng độ lệch bình phương
- Tổng độ lệch bình phương chung:
- Tổng độ lệch bình phương sinh ra bởi yếu tố cột:
- Tổng độ lệch bình phương sinh ra bởi yếu tố hàng:
- Tổng độ lệch bình phương sinh ra bởi sự tương tác giữa hàng và cột:
- Tổng độ lệch bình phương sinh ra bởi yếu tố sai số:
SST = SSG + SSB + SSI + SSE
- Phương sai sinh ra bởi yếu tố cột: 𝑀𝑆𝐺 = 𝑆𝑆𝐺
- Phương sai sinh ra bởi yếu tố hàng: 𝑀𝑆𝐵 = 𝑆𝑆𝐵
- Phương sai sinh ra bởi sự tương tác: 𝑀𝑆𝐼 = 𝑆𝑆𝐼
- Phương sai sinh ra bởi yếu tố ngẫu nhiên: 𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
Bước 4: Giá trị kiểm định từ hai tỷ số F
- Kiểm định sự tương tác giữa hàng và cột: 𝐹3
Bước 5: Quyết định bác bỏ giả thuyết H0:
- Bác bỏ giả thuyết theo chỉ tiêu cột: 𝐹 1 > 𝐹𝑘−1,𝑘ℎ(𝑛−1),𝛼
- Bác bỏ giả thuyết theo chỉ tiêu hàng: 𝐹 2 > 𝐹ℎ−1,𝑘ℎ(𝑛−1),𝛼
-Bác bỏ giả thuyết không có sự tương tác giữa hàng và cột:
Bảng 1.4: Tổng quát phân tích ANNOVA
Biến thiên Tổng độ lệch bình phương Bậc tự do Phương sai Giá trị kiểm định F Giữa các cột SSG k-1 𝑆𝑆𝐺
1.2.4 Lý thuyết hồi quy tuyến tính
Mọi sự vật hiện tượng đều có mối liên hệ nhân quả, phụ thuộc lẫn nhau Nghiên cứu sự phụ thuộc này rất cần thiết, đặc biệt trong khoa học thực nghiệm (ví dụ: ảnh hưởng chất tạo màu đến khả năng hấp thụ ánh sáng, hàm lượng khoáng tạp đến khả năng đóng rắn xi măng ) Phân tích hồi quy và tương quan là phương pháp nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc này.
Nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc chia thành hai loại chính: tương quan và hàm số, dựa trên mức độ chặt chẽ giữa các biến.
Liên hệ tương quan là mối liên hệ không chặt chẽ giữa nguyên nhân và kết quả, không rõ ràng ở từng cá thể nhưng thể hiện khi nghiên cứu trên quy mô lớn Đây là mối liên hệ phổ biến trong nghiên cứu kinh tế - xã hội.
Liên hệ hàm số: là mối liên hệ hoàn toàn chặt chẽ giữa nguyên nhân - ký hiệu là
Mối quan hệ giữa nguyên nhân (x) và kết quả (y) được biểu diễn bằng hàm số y = f(x), nghĩa là mỗi giá trị của x tương ứng với một giá trị duy nhất của y Hàm số được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên như vật lý và hóa học.
Đề tài nghiên cứu xác định yếu tố(tố) chính ảnh hưởng mạnh đến kết quả, từ đó xây dựng mô hình hồi quy (đơn giản hoặc phức tạp).
ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH
Bài toán 1
*Đề : Muốn so sánh hai phương pháp để xác định hàm lượng thiếc (mg/kg) trong thực phẩm
Kết quả thực nghiệm bài toán 1:
Phương pháp Hàm lượng thiếc (mg/kg)
Với hệ số tin cậy 99%, nghiên cứu so sánh độ chính xác và kết quả phân tích trung bình giữa hai phương pháp cho thấy có sự khác biệt đáng kể.
2.1.1 Giải thủ công a Có sự khác biệt đáng kể về độ chính xác giữa 2 phương pháp không?
Bảng 2.1: bảng tần số phương pháp 1
Bảng 2.2: Bảng tần số phương pháp 2
H0: 𝜎 2 = 𝜎 2 (không có sự khác biệt đáng kể về độ chính xác giữa 2 phương pháp)
H1: 𝜎 2 ≠ 𝜎 2 (có sự khác biệt đáng kể về độ chính xác giữa 2 phương pháp)
Phân tích cho thấy F < F(5;5;0.005), do đó giả thuyết H0 được chấp nhận Không có sự khác biệt đáng kể về độ chính xác giữa hai phương pháp Kết quả phân tích trung bình của hai phương pháp cũng không có sự khác biệt đáng kể.
F < F crit : không có sự khác biệt đáng kể nào về kết quả phân tích trung bình giữa hai phương pháp
2.1.2 Minitab a Có sự khác biệt đáng kể về độ chính xác giữa 2 phương pháp không?
Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics…
Bước 2: Phát biểu giả thuyết
+H0: Không có sự sai khác nhau giữa hai phương pháp 𝜎 2 = 𝜎 2
+H1: Có sự sai khác giữa hai phương pháp 𝜎 2 ≠ 𝜎 2
Bước 3: Kiểm tra điều kiện phân phối chuẩn và phương sai đồng nhất
*Kiểm tra ĐK phân phối chuẩn: làm lần lược từng biến phương pháp 1, phương pháp
2 Stat > Basic statistics > Normality test
P-Value = 0.607 > 0,01 (1%) => Biến phương pháp 1 có phân phối chuẩn
Hình 2.2: Kết quả minitab P-Value = 0.365 > 0,01 (1%) => Biến phương pháp 2 có phân phối chuẩn
*Kiểm tra điều kiện phương sai đồng nhất: lần lược từng biến phương pháp 1, phương pháp 2 Stat > Basic statistics > 2 Variances…
- Kết quả kiểm tra phương sai:
F-Test (normal distribution): sử dụng cho phân phối bình thường
Xác suất p-value = 0,459 > 0,01 (α) vì vậy H0 được chấp nhận Kết luận hai phương sai đồng nhất (P > 0,01)
Bước 4: Tính xác suất P: Stat > Basic Statistics > 2-Sample t…
Bước 5: So sánh P với α và kết luận
Phân tích cho thấy p-value (0,399) lớn hơn mức ý nghĩa α (0,01), dẫn đến việc chấp nhận giả thuyết H0: không có sự khác biệt đáng kể về độ chính xác giữa hai phương pháp (độ chính xác trung bình 0.833 mg/kg).
Bước 2: Stat > ANOVA > One Way…
P < P-value (0.01