Iii. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng ( ) 1 1 1 1 ax b ax b dx c , a α + α + + = + α ≠ − ÷ α + ∫ ( ) ( ) 1 cos ax b dx sin ax b a + = + ∫ + c 1dx ln ax b c ax b a = + + + ∫ + c ( ) ( ) 1 sin ax b dx cos ax b c a − + = + + ∫ 1 ax b ax b e dx e c a + + = + ∫ ( ) ( ) 1 tg ax b dx ln cos ax b c a + = − + + ∫ 1 ax b ax b m dx m c a ln m + + = + ∫ ( ) ( ) 1 cotg ax b dx ln sin ax b c a + = + + ∫ 2 2 1dx x arctg c a a a x = + + ∫ ( ) ( ) 2 1dx cotg ax b c a sin ax b − = + + + ∫ 2 2 1 2 dx a x ln c a a x a x + = + − − ∫ ( ) ( ) 2 1dx tg ax b c a cos ax b = + + + ∫ ( ) 2 2 2 2 dx ln x x a c x a = + + + + ∫ 2 2 x x arcsin dx x arcsin a x c a a = + − + ∫ 2 2 dx x arcsin c a a x = + − ∫ 2 2 x x arccos dx x arccos a x c a a = − − + ∫ 2 2 1dx x arccos c a a x x a = + − ∫ ( ) 2 2 2 x x a arctg dx x arctg ln a x c a a = − + + ∫ 2 2 2 2 1dx a x a ln c a x x x a + + = − + + ∫ ( ) 2 2 2 x x a arc cotg dx x arc cotg ln a x c a a = + + + ∫ ( ) ( ) b ln ax b dx x ln ax b x c a + = + + − + ÷ ∫ ( ) 1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a + = + + ∫ 2 2 2 2 2 2 2 x a x a x a x dx arcsin c a − − = + + ∫ ( ) 1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a + = + + ∫ ( ) 2 2 ax ax e a sin bx b cos bx e sin bx dx c a b − = + + ∫ ( ) 2 2 ax ax e a cos bx b sin bx e cos bx dx c a b + = + + ∫ 1 Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm 1. Ví dụ 1: Chứng minh: 2 2 dx 1 x a ln c 2a x a x a − = + + − ∫ ; 2 2 dx 1 a x ln c 2a a x a x + = + − − ∫ Chứng minh: 2 2 dx 1 1 1 1 dx dx 1 x a dx ln c 2a x a x a 2a x a x a 2a x a x a − = − = − = + ÷ ÷ − + − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x dx ln c 2a a x a x 2a a x a x 2a a x a x − + = + = − = + ÷ ÷ + − + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 dx ln x x a x a = + + + ∫ + c Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 x a ln x x a c x x a ′ ′ + + + + + = + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x x a 1 1 x x a x a x x a x a x a + + = + = × = ÷ + + + + + + + 3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 2 2 dx 1 u c a a x = + + ∫ (với x tg u a = ) Đặt x tg u a = , ( ) u , 2 2 π π ∈ − ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 2 d a tg u dx 1 1 du u c a a a x a 1 tg u = = = + + + ∫ ∫ ∫ 4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 2 2 dx u c a x = + − ∫ (với x sin u a = , a > 0) Đặt x sin u a = ,u∈ , 2 2 π π − ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 2 dx d a sin u du u c a x a 1 sin u = = = + − − ∫ ∫ ∫ Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm 2 2 dx 1 x arctg c a a a x = + + ∫ và 2 2 dx x arcsin c a a x = + − ∫ (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này. 2 V. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN V.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN: 1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc: = 1 n n x x ; = = m m n n k m m n nk x x ; x x − − = = 1 n n n n 1 1 x ; x x x ; − = m n n m 1 x x ; − = m nk n k m 1 x x 2. Biến đổi vi phân: dx = d(x ± 1) = d(x ± 2) = … = d(x ± p) adx = d(ax ± 1) = d(ax ± 2) = … = d(ax ± p) ( ) ( ) x p 1 x 1 x 2 dx d d d a a a a ± ± ± = = = = ÷ L V.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ 1. 3 dx 1 x x − ∫ ( ) 3 2 1 1 1 dx 1 dx 1 1 x x x x x − + = = + + + ÷ − − ∫ ∫ = ( ) ( ) 2 3 2 1 1 1 1 dx ln 1 1 3 2 d x x x x x x x c x − + + + = + + + − + − ∫ ∫ 2. ( ) 1 4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx 4 x x x x+ + − + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 1 2 2 2 2 1 1 2 2 4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7 16 16 5 3 x x d x x x c = + − + + = + − × + + ∫ 3. ( ) ( ) ( ) 17 2 2 2 d 2 d 1 2 5 2 2 5 x x I x x = = + + ∫ ∫ 1 10 arctg 5 10 x c = + ÷ 4. ( ) ( ) ( ) x dx 1 2 1 1 1 1 2 2 ln ln 2 5ln 2 5ln 2 2 + 5 2 2 5 2 5 2 2 5 x x x x x x x x d d c = = − = + ÷ + + + ∫ ∫ ∫ 5. ( ) ( ) 5 3 2 3 cos cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx 1 sin x dx x x dx x x x x x = + = − + − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 sin cos 1 sin sin cos cos sin 3 4 x x x d x xd x x c= − − = − − + ∫ ∫ 3 Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương V.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 1 x 2 x 3 x 4 J dx x x + + + + = ∫ ; 2 7x 3 J dx 2x 5 − = + ∫ ; 2 3 3x 7x 5 J dx x 2 − + = − ∫ ( ) 3 2 2 2 4 5 6 10 2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9 J dx ;J dx ; J dx x 1 2x 1 x 1 − + − − + − + = = = − − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 3 2 7 8 15 30 x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4 J dx ; J dx x 2 x 1 − + − + − + = = − + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ −−+=+−=−+= dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ 33 2 11 152 10 3100 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 2 4 5 5 9 12 13 14 4 7 x 3x 5 J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx 2x 1 − + = + − = = + + ∫ ∫ ∫ ( ) 9 3 15 16 17 4 2 2 10 5 x x x J dx ; J dx ; J dx x x 1 x x 1 2 3x = = = + − − − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18 19 20 2 2 2 2 dx dx dx J ; J ; J x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3 = = = − + + + − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 23 2 2 2 2 2 2 x dx dx dx J ; J ; J x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3 = = = − − + + + − ∫ ∫ ∫ ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 2x x x 24 25 26 27 x x x 1 0 0 0 dx e dx 1 e J ; J ; J e 1dx ; J dx 1 e e 1 e 1 − = = = + = + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 x x 1 1 1 1 x 28 29 30 31 x 2x 2x x 3x 0 0 0 0 1 e dx 1 e e dx dx J ; J ; J ; J dx 1 e 1 e e e e − − + + = = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ln 2 ln 4 1 e 3x 32 33 34 35 x 3 x x x 0 0 0 1 dx dx e dx 1 ln x J ; J ; J ; J dx x e e 4e 1 e − + − − + = = = = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 1 1 6 5 2 5 3 3 2 36 37 38 0 0 0 J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx= + = − = − ∫ ∫ ∫ ( ) 2 x 1 1 1 1 2x x 39 40 41 42 x x x x 0 0 0 0 2 1 dx dx dx J ; J ; J ; J e 1 e dx 4 3 4 2 4 − − + = = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 4 . ∫ 3. ( ) ( ) ( ) 17 2 2 2 d 2 d 1 2 5 2 2 5 x x I x x = = + + ∫ ∫ 1 10 arctg 5 10 x c = + ÷ 4. ( ) ( ) ( ) x dx 1 2 1 1 1 1 2 2 ln ln 2 5ln 2 5ln 2 2 + 5 2 2 5 2 5 2 2 5 x x x x x x x. ∫ ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 2x x x 24 25 26 27 x x x 1 0 0 0 dx e dx 1 e J ; J ; J e 1dx ; J dx 1 e e 1 e 1 − = = = + = + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 x x 1 1 1 1 x 28 29 30 31 x 2x 2x x 3x 0 0 0 0 1 e dx 1. ( ) ( ) ( ) 18 19 20 2 2 2 2 dx dx dx J ; J ; J x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3 = = = − + + + − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 23 2 2 2 2 2 2 x dx dx dx J ; J ; J x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3 = =