Định lý thặng dư trong vành chia Định giá

3.1 Một số kiến thức cơ bản về vành chia định giá bữa hạn chiều trên tâm.. Ci hai công trình này đều được phát triển dựa trên lý thuyết định giá valuation theory, Si phát triển của lý ch

BO GIAO DUC VADAO TAO

TRUONG DAI HOC SU’ PHAM THANH PHO HO CHi MINH KHOA LUAN TOT NGHIEP

ĐỊNH LÝ THẶNG DƯ TRONG VÀNH CHIA ĐỊNH GIÁ

Thuộc nhóm ngành khoa học: Đại Số và Lý thuyết số

SV thực hiện: Nguyễn Đức Anh Khoa inh Nam

Xác nhận của Giảng viên hướng dẫn

TS, Huỳnh Việt Khánh

“Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 05 năm 2024

“Xúc nhận của Chủ tịch Hội đồng,

PGS TS My Vinh Quang

23 Nh6m SK; va TK; ea đại số chia hữu hạn chiều trên La

3 Vanh chia định giá hữu hạn chiều trên tâm 3.1 Một số kiến thức cơ bản về vành chia định giá bữa hạn chiều trên tâm

32 Nhóm con xoắn của nhóm 1 † Afp của trường định giá Định lý thăng dư cho vành chia định giá

+1 Định lý thăng dư cho nhóm SK;(Đ)

L2 Định lý thăng dư cho nhóm TR;(D)

5 Két Luan

Chuong 1

Mé dau

Thong suốt hơn T0 năm qua, Ig thuyée ve dai sb chia bữa han chiều trêu tâm đã được i hoe lon và đã có nhiều công trình quan trong được xuất

kế đến là vi di dai sb chia non-crossed produet của fannaka-Artin cfia Platonoy Ci hai công trình này đều được phát triển dựa trên lý thuyết định giá (valuation theory), Si phát triển của lý chuẩn giúp chúng ta xây dựng nhiều cách xây dưng mới về dại số chúa thoả một số diều kiên cho trước

Cho D là một vành chia hữu hạn chiều trên tâm F của nó và Nrấp © D> F lia ảnh xạ chuẩn rất gọn Nhóm Whitehead K;(D) va nhom Whitehead rit gon SKy(D) của D được dịnh nghĩa là các nhóm thương

KD) Đ/|DĐ] và SKy(D} = DM /(D*, DY trong đó DO là nhóm con của D bao gồm tất cả các phần tử có chuẩn rút gọn bằng

1 và [D*, D*] hay Ø' là nhóm sinh bởi các giao hoán tử nhãn của Ø, nghĩa là

pi {0D Nitya) = 1} va D'= (ata fa,be D*) Cho D là vành chỉa hữu han chiều trên tâm, nhóm: xoấn của nhấm IEhtchoad, ký hiệu

là TRK¡(Ð), được định nghĩa TK+(Ð) = + (Ki(D)) Do Kx(D) là nhóm giao hoán nên

‘TK,(D) trang vai tap hop gdm tắt cả các phân tử xoấn của Kị(D) anh dịo D được gi là vành của Ảnh gá ấn số được tung l mất nh giá w ‘Mia 2.1.1 Khi đó D có các tap con Mp,Vp va Cin chia thao D lin ast được dụh nghĩa tương ng với hàm di gi trong Dinh

ở nghiên cứu mỗi quan hộ giữa các tập con Mp, Vp vii ese nhóm trong K-ý thuyết của vành chia J Một trong những kết quả nổi bật là định

ý thăng dư cho nhóm SK„(D) của vành chia định giá D được now & [3, Theorem Bl trang 154), Bản thảo (S] cũng đã nêu được mot sé kết quả dẹp của vành chia định gia

ảnh chia đình giá Khóa luận này được viết với mong muốn tìm hiểu về Thuyết cũng hư lý tuyết nh giá cho dạ số chứa hữu hạ eh ren tm, tinh bày Tại một phần định lý thăng dư cho nhóm SKị() cũng như mt số kết quả trong bản vành chỉn định giá D hữu hạn chiều trên tâm Cu thể, nội đong chính của khóa lận được chia làm ba chương

ng 2 Van chin dh giá, Chương này tro bị các

về vành chia đnh giá cũng như K-lý thuyết cơ bản cho vành chia hữu hạn chiến tren tam nhằn phục vụ ch việc thụ hi ede nội dụng các ð chương san thức cơ bản

» Chuan, tr nh út ca ành ta nh gi kăụ bọt chân Hếu rn vi hàm định gỉ Wg 3: Vanh u trén tâm Chương này đưa Henselian phục vụ cho định lý thăng dic

* Chương 4: Định lý thặng dư cho vành chia định giá Chương này trình bày lại một phần định lý thăng đư cho uhm SK,(D) trong [3, Theorem BL trang 154) và kết quả tương tự cho nhóm TK (D) của vành chìa định giá D Cac bổ dề và hệ quả trong phần Nhóm con xoấn cửa nhóm 1 † Mẹ của trường định: giá, Định lý 123 đã đước viết thành một phần của bản thảo 3] và hiện đang được phản ben, Teng en, Dinh ý 1 30 được hát biể tổn qất hơi thành lý L2 1 và hồ quả 4

Chương 2

Vành chia định giá và các ví dụ 2.1 Vành chia định giá

thoi mãn ba đền kiến san đấy với mọi z.ụ €

(i) v(x) = 00 khi và chỉ khi z = 0

(4) sứ: +) > nữn (sữ),x0))

(8i) vízg) = v(z) + vi)

“Từ định nghĩa trên, ta để đồng có các tính chất sau

Nhận xét 2.1.2

1 Từ điều kiên ii) trong dink ghia tren, khả nghịch của D, ta được đồ

) = —ny) với moi r € D® m ánh » tiên nhóm nhân D* gồm cấu nhóm vw: DX > T Do dé,

2 Bồn chh tx = (a) ain) ts fa)» milo 9) ()

Do đó, nêu 0(y) > 0(z) thì 0(z) > s{z +) và t(z +} I{£(z),t(w)} = vz),

xu vàn Ty) ula) Tung, mn oe) > eg) th ole +9) = ey, Do ae

sứ +) n{r(z),r(y)} nếu s2) Z (0) Dinh nghĩa 2.1.8 Tương ứng với hàm định giá trong Dinh nghĩa 2 1, ta có định

1 Tập giá trị Ứp là nhóm con của Ï theo tính chất đồng cầu øz ĐY > P

2 Vành định giá Vp la vanh con eta D That vậy, hiển nhiên Vp # @ do 0, by a9 ta ¥ thie Vo, ta 8 oe - Dị % mints) on) > 0 vv (es) v(2) + v(y) 20, do a6 2—y € Vp và

Dinh Ig 2.1.5 Tip hop Mp It ideal t61 " van vn của vành định giá ly và vành thương D = Vp/Mp là vành chia

hing mink, Hib shit Mp C Vo WA My # @ do 0 Mp Ly sy € Mp 4) $0

© Mp € Vp tue §, ta 06 v(ry) (2) + v{y) > 0 do v(x) > 0 va v(y) > 0, Sus tay ge € Mp Vy Ma la eal ca Vo Goi Vj ham nan ia Vp

cg ih Vf = IS Phụ) = 0) Tha wy ly 6 V5 tw St c6

w(a) = v(x!) = 0 Vậy V7 C ier € Dh = 0} Lấy z € Ð tuỳ ý thoa v(z)

Tà có bím =O nén x € Vp, suy ra x la phin từ khả nghịch của Vp nên

1 e Vp Vay fr € Dio O} C VB Vay Vp = {2 € Dlo(2) = 0} = Vo/Mo

Te chng minh Mp1 ideal dl dy nt cn Vp, Gi a tn tl deal J Mp thoả mãn Mp C Ƒ C Vp Tachting mink f = Vp, That vay, vi Mp 4 Iva Mp CIC Vp nem tn tv € (Vo Mode Dove eVb/Mo pay 1S ip V1 ele

Veer Ueda en Stet dota Vp Gd Hn tie Tôi đại J Z Mỹ của Vọ, khi đó tồn tại 7 € Vo/Mp OJ Do j € Vp/AMp, m7 khả nghịch trong

Vp, do đồ j”' € Vụ, Vid ta ideal cia Vo vi j € J nên 1 € Ở,s tạ Vp C J, Vậy J ~ Voy man thn vi JT del th đại của 7 lấy + V tuy

Mo Ib eal el dy elt ele Vo, Do 6 Vp 1 ành đa phương sa D À Share

2.2 Vi dy vanh chia dinh giá

Vi du 2.2.1 Chudi Laurent xodn (twisted Laurent series) Cho A Ja mot vanh chin va 6 một Lự đẳng cầu của 4 Khi đó, vành chuối Laurent xodn A((2;4)) li mot tap hợp gồm các chuối hình thức

Tiếp theo, ta sẽ tính tâm Z(D) của D Mot chuỗi Sas 2 € D nim trong tam cia

D nu va chi néu n6 giao hoán với z và moi phẫn tử của A, DDE Ata ob:

Nhu vậy, ta có thể mỡ tả Z(Đ) dưới dạng tập hợp như sau

ZIp)= [me " +e) ims death

Cu thé, trường thăng dư của Z(Đ) là trường con của Z{4) cổ định đối với ơ,

Z[P] = Z(A)"

Đông cầu Ø(D) : 8 — Ant(Z(4)/Z(A)7) biên 1 thành ela)

‘Vi du 2.2.2 Chudi Laurent lip (iterated Laurent series) Cho A TA mot vành chia vi ø là một tự đẳng cầu của A Tà có thể lap cách xây đựng chuỗi Lauueat: Nến z là một tự đẳng cấu của A((z;ø)J thì ta có thể xây dựng

4 là một vành chỉa và ơ là một tự đẳng cầu của 4

“Chứng mình, Lấy 4€ A((z,ø)) tuỳ š, ta chứng mình bốn khẳng định sau:

1, Ai (4) > 0 đà s2(2(4)) > 0 Gói là số nguyễn dướng tuỳ Ý nguyễn tổ cùng nhau với đặc số của 4, khi đó m1 Z 0 (L là kế hiệu cho phần tử đơn vì của 4) XXết ảnh xã ø¿ Q =3 A với phép cho ảnh ổ rà (p)(g

3 Néwd #0 tha v,(r(d)) ~ 02(4).92(7(3)) Thất vậy, lấy đ 7 0 tầy

s ta cổ 9Á)16(r)) (r9) = ty (r)9) + (r9)

0 Do da v4(d).e(7()

4 u(r(2)) = 1 Ly n € N thy ý Chon d € A((x;@)) sao cho rd) = z*, khí đồ 9244) sẽ theo ý 2, Mặt khác, trý 3 ta có n = veld) var{x), suv ta v4(7(2)})n với mọi số tự nhiên n Do đồ (z(z)) = s1 Lại cổ (2) = 1 > 0 nên ve(7(x)) 2 0

‘theo ¥ 1, suy ra 0[r{z)) — L

TW ý 3 và ÿ 4, ta có v,(7(0) = tụí4) với mol d € A((x:0)) a sản, ta xen Z2] tập hợp được trừng bị quan bệ thứ tự từ điển phải

Dinb ly 2.2.4 Cho z là một tr đẳng cấu cite A((2;0)) Goi B la vank chia B =

E Khi đó xét hàm số:

Way! E> BU foo}

cược dịnh nghĩa hài phép cho ảnh biến 0 than vi biến mỗi tổng s = Ÿ thự! t, #0

vy là hàm định giá trên E, được gi là

1 02,(5) = se Khi và đủ Khí s= 0 theo định nghĩa vy

2 suy (si£ 8) > min (0,y(9),ạy (x9) Thật vậy, nếu =F, ta có

ay (8-481) & (ve (dy + ah) A) & (amin (vs (ds) (4)) 8)

Do đó

Tái có ty (tb7£ (đ)) — ve (da) + ty (độ theo Bồ đề 3

ty (+ 9) = (+ (tert) kt) = (veld) A) + (welt)-t)

Cho Ð là dụ số chịa hữu hạn chiên trên tm AC i Nrdy © D > là nh xà chuẩn

rút gọn Nhóm Whitehead K,(D) va nhém Whitehead rút gơn SK¡(D] của D lần lượt

được định nghĩa như sau

K\(D) = D*/[D",D"] và SK((PỊ = P/|P*,P thay vigt gon Ia D*/D! va D/D, trong 6 DO ta nhóm con của Ð báo gầm tắt cả

các phần từ cổ chuẩn rút sọn bảng 1 và (D*,D*] hay D7 là nhóm sinh bởi các giao hoán từ nhân của D, nghĩa là

tác phần tử xoắn

tử xoắn của Œ Với G Ta nhóm giao hoán thi z(G) gồm đúng tắt cả e G Với vành chia Ð hữu hạn chiều trên tâm K, nhém zuẩn của whim Whitehead,

ký hiệu là TR;(D) được định nghĩa

TP) =7 (Ki(P))

Do K;(D) là nhóm giao hoán nén TK,(D) la tap hap gém tất cả các phần tử xoấn cia Ky(D),

Tịnh nghĩa 3.1.1 Cho E là trường với hàm định gis Henselian v vi D là đi số chỉa được của F và chan(F) ——* TP) z T

Định nghĩ: Cho £ là trường với bàm định giá Honselian ø và D là đại số chia tạm F Kd ‘uD cg glade sd chi tn meh oe ti Fd 2(D) la mb rong h dude cita F và char(F) f ind(D}

sé trường hợp đặc biết cho dạ số chân định giá D trên tâm CÍ Hi nói về

đổ diện [DF theo tinh lý Oyesei (rang 74), hốu D la dal hin dh hữu hạn chiêu tiến tâm £ thủ

D:F]—qF(P: To Tel,

trong để ạ = dhu(Õ) và k € N (quy túc * = 1 nếu cha(Ð) = 0), Từ đố, la có

định nghĩa một số vành chia định giá đặc biệt dựa trõn các số chiều [D : F], [D : F

la :Fz

Định nghĩa 3 10 F là trường với bàn định giá Honselin z với tập dick Pv

hà dại số cịa Lâm Khi đồ Ð dược gọi

đại số chia định giá hữu hạn tôn Lâm! còn một số tính chất được

si ng dể Thân) "mình đnh lý thông dc Vic chứng minh các kết quã này sĩ đụng nhiều kiếp thức về đại số đơn tâm, tích ten-xơ và nhiều kiến thức chuyên sâu khác

Do đó, chúng tôi xin được phép liệt ké lai để tiện cho người đọc mà không nõu chứng: ninh đầy đủ trong khoá luận

Bổ đà 345 (l2 Lemma Dã, trang 164) Clo D là dự sổ địa lâm E và ÿ trưởng mồ rộng của Ƒ với |ý F|~ Khi đá nên ø € D và a®1.€ (Đi LỆ tì a! € D

đo đâu tô (4) =e) > 0, muy È S Ũ họng T do đ thế Sp > 0 và [CC

Chi ý ring néu chaeF = p > Othi char = p Néu char = 0 thi charF bing 0 hose

ạ với p]à số nguyên tố Do đồ, ta có cấp đặc số (charF,chatF) € {(0,0), (0,p), (0.2)}

suy va 2=0 trong F Vay p = chaxF

Một mình họa cho Hệ quả 3.22 về trưng dinh gts Henssian £ với z(1+ Mr) #1

“được thể hiện trong ví lu san

Vi du 8.2.4, Vai mỗi số tự nhiền n vi s6 nguyên tổ p, La có ánh xa

Hệ quả 3.2.5 Cho F là trường với hàm định giá Henselian v va D là đại số chia

| thôn mãn G(D*, D*| là nhóm xoắn với cắp của mọi phần từ không quá n Kiana Ne

Ching minh Gii sit phin ching CO (1+ Me) 1 Khi đó, tồn tại 0 Z a © Mp thoa man (1-+.a)" € [D, DỊ Do đó

1= Nrdp((1 + a)") = (1+ a),

“Theo Bỏ đề 32.1, ta.66 char(F)|n, mau thuẫn với tính thuần manh trên tâm của D Cho F là trường với hàm định giỉ Henselan 0 và D là dại số chủn thuần mạnh trên tâm Ƒ vải eg(D) = n Giỉ sử C là nhâm con của D" chứa [D, D thỏa mãn G/ID*, D' là nhóm xoắn Nêu G/(D”, D*] không chứa phần tử cắp char(F) GOL Mp) =

ng min, Gi sĩ phân chứng G (11 My) ế 1 Khi 4 tôn t0 ý nE Me thn man (1a) € [D*, D*] vi m € 2 nào đó Do đó

1— Nrdp((1+ )= (ay

với w= deg(ĐJ Theo Bổ 8 $2.1, ta o6 char(P)jmn Và D ta dai sé chia thu manh

‘én tam, ta 06 char(F)[m, suy 1a G/{D*, Ð*] chữa phân tử có cấp char(F), mâu thuẫn vổi giá thiết

Một tính chất quan trong cho trường inh gia Henselian Ƒ là bổ để Honsel

Định lý 3.2.7 (Bổ dé Hensel) Cho trường định giá (F,e) Khi đá bổn mệnh đề

am đấy tương dương nhau

1 (E.t) là trường định giá Honselan

# BÉ đề Hee vô mỗi ƒ € 5|] œ€ Mạ tha màn x0) > 2:0), tê di

be Vp thn man ƒ) = 0 va v(a—b) > v(F"(a))

3 Voi méi f € Ve(X] wee ụ thỏa mãn ƒ(3 be Vệ sao cho j(0

tà Ƒ() 40 trong F, tổn tại

4 Ni đn thú gồ dụng X" + ẤT + ạụ aẤ T + — 3 có nghiệm trang ` 9 Wh € NMp vi mi

"Từ bổ đỡ Honsel, ta có một bổ để quan trọng cho nhóm 1 † Af:

"Bồ để 3.8.8 Cho P là trường với hàm định gid Henselian v Néu (chan(F),n) = 1 thì (1+ Mp}?=1+

Ching in Hiển nhiên (1 + My)" C 1 + Mẹ Ta chứng mình (1 + Me) © (4 Me) € 1+ Mp tity ý Xót đã thức

Chương 4

Định lý thặng dư cho vành chia định giá

4.1 Định lý thặng dư cho nhóm SK;(D) Cho D Ya dai s6 chia hữu hạn chiều tiên tâm P Theo Draxl (([5, trang 125])), Vin minh SK)(D) là tầm thường trong trường hợp È là trường số p-adic San đó, năm 1950, Wang Shianghaw thưa ra kết quả Lượng tự cho trường hợp E là trường số dại

số Từ những kết quả này, nhiễn nhà toàn học tìn rằng SK; tọi trường hợp trong suốt một thời gian dài Việc tìm mot dai sb chia sao cho nhóm ( D) là tầm thường trong WWbilheal thự gọn của nó không tâm thường không dược gi quyết và được gọi là bai toa Tannaka-Astin, Nam 1975, vĩ dụ dầu tiên vẻ dại số chia tiên tâm với nhóm giá Sau đó, Ershow đã thành công tính toán nhóm SK; cho đại số chia định giá trên môi

= Nrdpjp(2) = Nedpye (6") = (1 + m)",