Lý Thuyết Phần Tử Hữu Hạn Tập 2 (NXB Quân Đội 2002) - Nguyễn Quốc Bảo, 283 Trang.pdf

Lý Thuyết Phần Tử Hữu Hạn Tập 2 (NXB Quân Đội 2002) - Nguyễn Quốc Bảo, 283 Trang.pdfLý Thuyết Phần Tử Hữu Hạn Tập 2 (NXB Quân Đội 2002) - Nguyễn Quốc Bảo, 283 Trang.pdf

weer ee lure LUU HAN NOIB O> o>

PHAN TO HOU HAN

các chuyên ngành Cơ và Xây dựng Công trình)

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUẦN SỰ

"TS NGUYEN QUOC BAO (CHU BIEN)

TS TRAN NHAT DUNG

NHÀ XUẤT BẢN MONG BẠN ĐỌC GÓP Ý KIẾN, PHÊ BÌNH

Chỉ đạo nội dung:

BAN CHỈ ĐẠO NGHIÊN CỨU, BIÊN SOẠN, HOÀN THIỆN HỆ THỐNG TÀI LIỆU HUẤN LUYỆN, GIÁO TRÌNH, GIÁO KHOA, HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

Trưởng ban: Thiếu tướng, PGS-TS Nguyễn Đức Luyện

Phó trưởng ban: Đại tá, PGS-TS Phạm Huy Chương

Thư ký: Thượng tá, Th.S Nguyễn Văn Thàng

Biên soạn:

Chủ biên: TS Nguyễn Quốc Bảo Tham gia biên soạn: TS Trần Nhất Dũng

Quyết định ban hành Số: 1374/QĐÐ-HV

Ngày 10 tháng 8 năm 2000

355 - 355.7

1412 - 2000

QĐND - 2001

LY THUYET PHAN TUHOU HAN

MUC LUC

Trang

Chương 8 : Bài toán phẳng 9

LY THUYET PHAN TUHOU HAN

12.3 Chương trình nguồn PASSFEM 204

xe

LLY THUYET PHAN TOROS HAN)

LOI NOI DAU

Phương pháp phần tứ hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp tính đã được

hình thành và phát triển trong vòng vài chục năm trở lại đây, nhưng do yêu cầu

tính toán của một bài toán thực tế thường đòi hỏi một khối lượng tính toán rất

lớn, do vậy việc ứng dụng PP PTHH trước đây gặp không ít khó khăn Chi cho đến khi có sự xuất hiện của các máy tính cá nhân (PC) cùng với những tiến bộ to lớn của công nghệ tin học trong những năm gần đây mới thật sự cho pháp phương pháp tính này được ứng dụng một cách phổ biến và rộng rái Cùng với

việc tính giải các đại lượng cơ học của kết cấu như Biến dạng; Ứng suất; Chuyển

vi PP PTHH còn là cơ sở của lĩnh vực mô phỏng hoá trong các bài toán thiết

kế Thông qua sự phát triển của kỹ thuật đồ hoa trên máy tính người ta có thể mô phỏng hoá các hoạt động của kết cấu; giả định vô số các phương án tính toán để

từ đó chọn lựa giải pháp tối tru Điều này cho pháp giảm chỉ phí và thời gian thực hiện các thí nghiệm theo phương pháp truyền thống

Hiện nay cùng với sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật máy tính đã trở thành một bộ phận quen thuộc và không thể thiếu trong các hoạt động nghiên cứu cũng như

ứng dụng thực tiên Theo đó cũng ngày càng xuất hiện nhiều hơn các chương trình tính toán sử dụng PP PTHH với phạm vị ứng dụng ngày càng phong phú và

‘da dang : tính toán kết cấu; tính toán nhiệt; điện từ; mô phỏng; tối ưu hoá v.v Đối với thực tế ở Việt nam PP PTHH cũng đã từng được nghiên cứu và

ứng dụng khoảng 15 đến 20 năm trở lại đây với số lượng người tham gia nghiên

cứu ngày càng tăng nhanh, phạm vì ứng dụng ngày cang phong phú thêm

Để đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu PP PTHH - nắm bắt các khía cạnh,

cốt lõi của nó theo một trình tự LOGIC và tạo điều kiện cho các đọc giả có thể

7

LY THUYET PHAN TUHUU HAN

vận dụng nó để lập trình tìm lời giải cho một bài toán cụ thể, tập thể tác giả

chúng tôi đã cố gắng tìm hiểu và biên soạn tài liệu này Để tài liệu có thể đến

được tay bạn đọc chúng tôi đã tham khảo nhiều tài liệu của các tác giả nốt tiếng

nhu R.L Taylor, E.L.Wilson, K.Bathe, S.Timoshenko, O.C.Zienkiewicz v.v và

cuối cùng đã chon cách trình bày nội dung sdch theo tai liéu: Finite Element

Analysis - Theory And Programming cia tac gid C.S Krishnamoorthy Sach

này được biên soạn chủ yếu phục vụ các đối tượng nghiên cứu có trình độ đại học

và trên đại học ( nghiên cứu sinh, học viên cao học .), thuộc khối Kỹ thuật công

trình và Cơ kỹ thuật - Là các đôi tượng đã được trang bị tốt các kiến thức về lý thuyết ma trận, về đại số tuyên tính và tin học đại cương Đây là một cuốn sách

được trình bày theo kiểu giáo trình với các điễn giải lý thuyết cô đọng và dễ hiểu,

có phần ví dụ mình hoa và giải thuật để người đọc có thể vận dụng

Sách được trình bày với tổng số 13 chương xuất bản thành 2 tập

Táp 1 : gồm 7 chương trong đó 5 chương đầu dành cho việc nghiên cứu các lý thuyết chung của PP PTHH Chương 6 là cẩu trúc và giải thuật của một chương trình tính mình hoạ Chương 7 trình bày các lý thuyết tính giải

bài toán thanh phẳng (2D) và thanh không gian (3D)

Tập 2 : gôm 5 chương trình bày các dạng bài toán điển hình của PP PTHH

: bài toán phẳng; bài toán 3 chiêu tổng quát; bài toán tấm; bài toán vỏ; w.y và cuối cùng là phần mã nguồn của toàn bộ chương trình tính theo các lý thuyết đã trình bày trong các chương trước

Tuy nhiên do kiến thức còn hạn chế, thời gian biên soạn ngắn chắc chắn trong lần xuất bản đầu tiên này không thể tránh khỏi các sai sót đáng tiếc, xin được thông cảm và rất mong nhận được các ý kiến đóng góp xây dựng của các đọc giả gan xa

CÁC TÁC GIÁ

cũng đã dẫn ra phần tử tam giác biến dạng không đổi (tam giác 3 nút), phần

tử chữ nhật 4 nút nhằm phân tích các loại kết cấu phẳng này Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại ngắn gọn các phần tử đã trình bày trên, đồng thời dẫn ra công thức phần tử hữu hạn cho các phần tử tam giác bậc cao và phần tử đồng tham số

Các bước xây dựng công thức phần tử hữu hạn để phân tích bài toán ứng suất

phẳng và biến dạng phẳng có thể được mở rộng dễ dàng để phân tích bài toán

vật thể đối xứng chịu tải trọng đối xứng Điều đó được minh hoạ qua các

bước xây dựng tính chất phần tử cho phần tử đồng tham số 4 nút Ngoài những nội dung cơ bản bàn về xây dựng tính chất phần tử để giải các bài toán

phẳng, trong chương này còn để cập đến kiểm định Patch và phần tử bê tông

cốt thép Kết quả phân tích lý thuyết được thể hiện lập trình trong hai chương

trình con Chương trình con CST cho phần tử tam giác phẳng 3 nút và chương trình con PSQR4 cho phần tử tứ giác đồng tham số 4 nút Cả hai chương trình con trên đều được đưa vào trong thư viện phần tử của PASSFEM

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HAN

8.1 Cac phồn †ủ tam gidc

Các phần tử tam giác có ưu điểm là đơn giản trong quá trình xây dựng tính chất phần tử và thể hiện trong lập trình Về sử dụng, loại phần tử này cũng tỏ

ra thích hợp khi nghiên cứu các vùng tập trung ứng suất và các bài toán có biên phức tạp Dưới đây ta xét hai loại phần tử tam giác là tam giác biến dạng

không đối và tam giác biến dạng tuyến tính

8.1.1 Tam giác biến dạng không đổi (CST)

Trên hình 8.1 minh hoạ phần tử tam giác 3 nút Đặt mặt phẳng phần tử vào hệ

trục Đềcác tổng quát 0xy Phần tử có 3 nút, mỗi nút có hai thông số chuyển

vị Chuyển vị u đọc trục x và chuyển vị v đọc trục y Hàm đáng của phần tử trong hệ toạ độ tự nhiên đã được dẫn ra theo công thức (3.39) Tính chất phầm

tử cũng nhận được theo các công thức (3.85), (3.90) và (3.105) trong chương

3 Do hàm dáng được xây dựng từ nội suy tuyến tính chuyển vị của điểm bất

kỳ trong phần tử theo toạ độ nên biến dạng và ứng suất là không đổi trong

toàn phần tử và phần tử tam giác 3 nút còn được gọi là phần tử tam giác biến dang khong đối Đây là phần tử đơn giản nhất trong xây dựng tính chất phần

tử cũng như trong thể hiện lập trình

8.1.2 Phần tử tam giác biến dạng tuyến tính ( LST)

tử tam giác biến đạng tuyến tính là phần tử tam giác 6 nút, 3 nút chính đặt tại

3 đỉnh của tam giác và 3 nút phụ đặt tại 3 điểm giữa của 3 cạnh như chỉ ra

trên hình 8.2 Chuyển vị tại mỗi điểm bất kỳ trong phần tử được xấp xi bac hai theo toạ độ Từ xấp xi trên dẫn ra được hàm dáng theo các công thức (3.46) và (3.47)

LY THUYET PHAN TỬ HỮU HẠN

Việc tính ma trận độ cứng theo công thức (3.97a) cho phần tử tam giác biến dạng tuyến tính khá phức tạp nên ít được sử dụng Trong thực hành thường sử

dụng phương pháp do Felippa đề xuất

Tư tưởng thủ tục của Felippa cũng khá đơn giản Biến dạng tại mỗi điểm trong phần tử được biểu diễn như các thành phần đạo hàm của chuyển vị theo

các phươ;g trình Côsi Như vậy nếu các thông số chuyển vị được nội suy bậc

hai theo toạ độ thì biến dạng tại mỗi điểm tương ứng sẽ có quan hệ bậc nhất

với toa độ Để nội suy bậc hai cho chuyển vị ta cần 6 nút, để nội suy bậc nhất

cho biến dạng ta chỉ cần 3 nút là đủ Trên cơ sở lập luận này, Felippa đặt vấn

để nội suy biến dạng và ứng suất tại mỗi điểm trong phần tử theo các thông

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

số tương ứng tại 3 nút chính Đặt biểu thức nội suy cho biến dạng và ứng suất dưới dạng:

Trong hai công thức trên chỉ số n chỉ các thông số tại nút Nếu vật liệu là

đồng nhất và đẳng hướng trong toàn phần tử thì hai hàm dáng [N,] va [No] sé

đồng nhất với nhau Mặt khác như đã biết trong chương 3, các giá trị biến

đạng tại nút có thể biểu diễn thông qua các thông số chuyển vị nút nhờ ma trận chuyển vị nút - biến dạng [B,] theo công thức (3.9)

Ứng suất tại mỗi điểm biểu diễn qua biến dạng, như đã biết qua ma trận vật

Với các quan hệ trên, năng lượng biến dang trong phần tử có thể biểu diễn như sau:

=Ÿ[[,e† eMr=1t,Ƒ [J[IX.ƑIN.lE,M— &5a

Thay (8.2) và (8.3) vào ta được:

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

(3.97a) [chương 3] do hàm dưới dấu tích phân là đơn giản hơn

Quan hệ chuyển vị nút-biến dạng đối với phần tử LST được dẫn ra tương tự

như đối với phần tử CST ở mục (3.6) Quan hệ này có thể biểu diễn như sau:

Véc tơ biến dạng nút bao gồm 9 thành phần là:

{en}! = [esr €x2 xs Đợi Eụ Eựa Tợi Thọ Yaya (8.9)

[2.1 [0] |

[5„] [5,.|

' 3b, —b, —b, 4b, 0 4b, Trong đó: lB„]=2~|~5 3b, —b, 4b, 4b, 0 (8.11a)

Véc tơ ứng suất nút cũng bao gồm 9 thành phần: |

Chuong 8 -Bai todn phdng 13

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

{o,}" = [ox Ox2 O73 Oy Oy2 Oy3 Txyt Txy2 Txy3] (8.12)

Trong trường hợp vật liệu là đồng nhất trên toàn phần tử, biến thiên tuyến tính của biến dạng và ứng suất tại mỗi điểm trong phần tử có thể nội suy theo hàm nội suy dạng ma trận sau:

Giá trị tại nút của ma trận vật liệu [C„] có thể tính như sau:

OFF [7] Ci, [7] Ci; [7]

C3, [7 | C3, [7 | C3; [7 |

Trong đó [I] là ma trận đơn vị kích thước 3 x 3

Trong trường hợp chiểu day phần tử là không đổi và có giá trị h Tích phân khối tính ma trận [D] trong công thức (8.6b) có thể chuyển về tích phân diện

và công thức tính ma trận [D] có thể tính theo trình tự sau:

Ip]= [[[,Íx,Ï Iw, kế =».[[ [N,Ƒ [N, ]¿4

=| [o] [D,] bị lø] [o) [,]

Trong dé : [p,]=4.{f {N,N,} 44 | (8.15b)

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Sử dụng công thức (3.24), ta có kết quả tích phân tính ma tran [D,]:

Ah 211

I 1 2

Đến đây các ma trận thành phần trong biểu thức tính ma trận độ cứng [k„]

theo công thức (8.6a) là hoàn toàn xác định Thủ tục tính ma trận độ cứng

phần tử [k„] chỉ còn là nhân liên tiếp 4 ma trận:

[k„] = [B,]’.[D].[C,].[B,]

Ma trận [B„] được tính bằng cách thay các giá trị của [B„¡] và [B„¿] tit (8.11a)

và (8.11b) vào (8.10) Ma trận [C,] được tính theo (8.14) Dé tính ma trận

[DỊ], trước hết ta tính ma tran [D,] theo (8.16) sau đó thay vào (8.15a) Cuối

cùng nhân liên tiếp 4 ma trận trên để tính [km]

Hình 8.3 - Tính véc tơ tải nút cho phần tử LST

Xét phần tt LST chịu lực diện tác dụng lên cạnh chứa các nút 1-4-2 theo phương trục x như minh hoạ trên hình 8.3 Biến thiên của tải trọng giả sử là

bậc hai và được xấp xỉ bằng hàm nội suy sâu :

=a

LY THUYET PHAN TY HUU HAN

Trong ví dụ minh hoạ này, áp lực diện chỉ tác dụng theo hướng truc x, nghia

là thành phan {Qy} = 0 Ki hiéu Px là lực trên một đơn vị đài ta có:

{Q.} =Í[N';]p,dS - (8.19)

Tích phân điện trên chuyển thành tích phân đường lấy dọc theo cạnh 3, cạnh

chứa các nút (1-4-2) của tam giác Ta có:

Ta có nhận xét 1a doc theo canh 3 nay: L,=0; L,=1-L,

Và dSx = - lạdL¡ Thay các biểu thức trên vào công thức (8.20) ta có :

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Sau khi tích phân ta được:

1,

Q,; ] 2 Px Q„; 5 ~ 2 I Px

Phan tử chữ nhật thường được sử dụng trong phân tích ứng suất các bài toán

có biên thẳng như các bài toán dạng đầm, tấm Ưu điểm cơ bản của phần tử

này là tính đơn giản trong quá trình xây dựng tính chất phần tử cũng như khi

thể hiện trong lập trình Cũng có thể coi việc xem xét phần tử này như quá

trình chuẩn bị kiến thức để xem xét các phần tử phức tạp hơn Dưới đây ta xét

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Phần tử chữ nhật như minh hoạ trên hình 8.4 có 4 nút Phần tử này có thể sử

dụng trong nhiều bài toán khác nhau Khi được dùng để nghiên cứu các bài

toán ứng suất phẳng và biến dạng phẳng có thể kí hiệu phần tử này là PSR4

Hé toa độ tự nhiên của phần tử được chọn theo công thức (3.48) Trong hệ trục tự nhiên xác định này, hàm dáng cho phần tử được cho bằng công thức

(3.52) và (3.53) Như đã trình bày trong mục 4.2, các công thức này có thể

Theo các thành phần hàm dáng đã cho trên, chuyển vị doc theo mỗi cạnh sẽ

biến thiên tuyến tính và chuyển vị trong phần tử biến thiên song tuyến tính

Để xây dựng tính chất phần tử cần phải sử dụng mối liên hệ đạo hàm của hàm

f bat ky trong hai bétoa độ tự nhiên và để các tổng quát (8.24)

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Trong trường hợp phần tử có chiều dày không đổi và mọi thông só biến dạng

và ứng suất không thay đổi theo chiều dày phần tử, tích phân khối tính ma

trận độ cứng được chuyển về tích phân diện :

[k] = h.jÍ[B]T[C][B] dA Thay dA =a.bdrds taco:

8.2.2 Tinh véc tơ tai nut :

Véc tơ tải nút tính cho các thành phần lực diện tác dụng trên các cạnh của

phần tử có thể tính theo các biểu thức tổng quát đã trình bày trong mục 8.1

cho phần tử LST Hình 8.5 minh hoạ phần tử chữ nhật chịu lực diện biến thiên tuyến tính riêng trên cạnh 2.3 với cường độ trên đơn vị đài p,; và p„; tại các nút 2 và 3 tương uns

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Tại mỗi điểm bất kỳ trên cạnh 2.3 , cường độ lực điện có thể biểu điễn theo

hàm nội suy như sau : |

một nút như chỉ ra trên hình (8.6) Kết quả ta được phần tử chữ nhật 8 nút kí

hiệu PSR8 Hàm dáng cho biến thiên chuyển vị của phần tử này được cho

theo công thức (3.59) và (3.60) Xếp véc tơ chuyển vị nút theo thứ tự nút, với

nút lần lượt theo các thông số chuyển vị uy, (¡ = l + 8), ta có hàm dáng và

quan hệ chuyển vị nút - chuyển vị:

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Trong đó mỗi thành phần của hàm dáng N,(¡ = 1 + 8) được xác định theo công

thức (3.59a) Ma trận [B] trong quan hệ chuyển vị nút - biến dạng

{e} = [B].{d}

được tính theo các đạo hàm hàm dáng:

ON, 0 ON, 0 ON, 0 ON, 0

Trong trường hợp phần tử có chiều dày h không đổi, ma trận độ cứng phần tử

được tính theo công thức chung:

k]=aa[” [ IBŸ [c]pka

Tích phân trên được tính theo thủ tục cầu phương Gauss đã được trình bày

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

8.3 Phần tử đồng tham số

Như đã trình bày trong chương 4, phần tử đồng tham số được sử dụng rộng rãi

trong thực hành do tính chất tổng quát của phần tử trong cách tiếp cận và tính thuận lợi trong tổ chức lập trình Về sử dụng, phần tử đồng tham số đặc biệt thuận lợi để phân tích các bài toán có biên phức tạp Dưới đây dẫn ra hai phần

tử đồng tham số PSQ4 và PSQ8 cho phân tích bài toán phẳng

8.3.1 Phần tử đồng tham số 4 nút PSQ4

Với phần tử này, lý thuyết tiếp cận và thủ tục cầu phương Gauss tính ma trận

độ cứng [k„] đã được trình bày trong chương 4 Cả hai nội dung trên đều

thích hợp với lập trình nên không cần bàn thêm nữa Trong mục này ta Xét

thêm cách xác định véc tơ tải nút {Q,,} sinh ra do các lực diện tác dụng lên

Hình 8.7 - Phần tử đồng tham số P$@4 Hình 8.8 - Tính véc tơ tải nút

cho phan tit PSQ4

Giả sử phần tử chịu tải biến thiên tuyến tính như trên hình 8.8 Canh chịu tải

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

1—r 0 ltr 0 ta

Ps\ gy} 2 2 ĐA (8.34)

ỳ

Do tải trọng chỉ tác dụng trên cạnh 1-2, hàm dáng cho biến thiên chuyển vị

đọc theo cạnh này nhận được từ biểu thức tổng quát bằng cách cho s =-1

trong phương trình (8.23a) và( 8.23b) Như vậy :

Trong trường hợp nay [N*] va {p} duoc tinh ldn lượt theo các công thức (8.35)

và (8.34) tương ứng Nếu chiều dày phần tử tại điểm r bất kỳ được kí hiệu là

h'r, ds = hr.dl Trong đó dì là vi phân chiều dài Có thể chỉ ra là:

trong đó J 1a chiéu dai canh 1.2

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Bằng phép đổi biến trên, tích phân (3.18) chuyển thành :

+1

{0}= [[N*Ï (p\,„.ai 1 (8.39)

Tích phân trên là tích phân đường, sau khi thay tất cả các thành phần từ các

công thức (8.32) (8.35) và (8.38), tích phân trên có thể tính tường minh Tuy

nhiên ngay cả trong trường hợp này, để tiện lợi lập trình vẫn nên sử dụng tích

phân số Thủ tục tích phân số được trình bày ngắn gọn theo các bước sau

Sử dụng cầu phương Gauss trong mục 4.2.1 Ta có :

Thay các giá trị r, , r vào phương trình (8.34) và (8.35), tinh {Q} theo (8.40)

va (8.41) Thủ tục tính theo công thức (8.42a)

©}=

Kết quả tính cho biểu thức (8.42b) dưới đây:

0.1]

Q,, O.:

1 - 1l-— 0

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

8.3.2 Phần tử đồng tham số 8 nút P§Q8

Phân tích các bài toán biến dạng hay ứng suất phẳng có biên cong, nên sử

dụng các phần tử cũng có biên cong để xấp xỉ tốt hơn Phần tử đồng tham số

8 nút như minh hoa trên hình (8.9) là phần tử bậc cao hơn và có biến thiên

bậc hai của chuyển vị dọc theo biên

Khái niệm phần tử đồng tham số đã được trình bày trong chương 4 Trong đó

chúng ta đã thấy một phần tử chữ nhật 8 nút trong hệ trục tổng quát có thể

chuyển thành phần tử hình vuông có cạnh đơn vị trong hệ trục tự nhiên Ta

thường gọi phép biến đổi trên là phép chiếu hình học từ một hình phức tạp về một hình đơn giản hơn Tương tự, bây giờ ta sử ñụng hàm đáng cho theo công

Các thành phần N,({ = 1, 8) được định nghĩa theo công thức (3.9a).„ dell

Chương 8 -Bài toán phẳng — ` ếố

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Tương tự, biến thiên chuyển vị cũng được mô tả bằng cùng một hàm dáng :

| 0N,0 N,0N,0N,0N,0N,0N,0 N,

v

(8.43b) Trong đó :

{d}”=[U, vị u; V; U¿ V¿ U¿ V¿ U; Vs Ug Ve Uy V7 Ug Vs]

là véc tơ các thành phần chuyển vị nút

Các thành phần hàm dáng N,(i =l+ 8) được xác đinh theo công thức (3.59a)

Ma trận độ cứng phần tử được tính bằng cầu phương Gauss như đã trình bày

trong chương Á4

8.4 Mô hình chuyển vị không tương thích :

Trong phân tích phần tử hữu hạn, độ chính xác của lời giải có thể đạt được

bằng cách tăng số lượng phần tử ( chia mịn hơn),-hoặc là bằng cách sử dụng các phần tử bậc cao tiệm cận tốt hơn về vật lí Tuy nhiên cả hai phương pháp

trên đều đẫn tới tăng thời gian tính và đòi hỏi dung lượng bộ nhớ của máy

lớn Làm thế nào để đạt được độ chính xác cần thiết mà không đòi hỏi quá

nhiều về thời gian tính và dung lượng bộ nhớ? Một hướng suy nghĩ khác đã

được Willson phát triển là khả năng sử dụng mode chuyển vị không tương

thích Chúng ta sẽ khảo sát nội dung này thông qua phần tử PSQ4

8.4.1 Nguồn gốc sai số

Một trong các nguyên nhân dẫn đến sai số khi sử dụng phần tử đồng tham số

4 nút PSQ4 là ở chỗ phần tử này không thể mô tả gradien ứng suất Hàm

chuyển vị được cho theo công thức (3.52) là không đầy đủ do không chứa các

thành phần bậc hai trong biểu thức hàm dáng Vì vậy hàm chuyển vị này

không có khả năng mô tả trạng thái uốn của hệ Điều đó được minh hoạ rõ

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

ràng khi xét phần tt chit nhat don gian chiu u6n nhu trén hinh 8.10 Dat géc

toa độ tại tâm phần tử, các thành phần ứng suất theo lý thuyết uốn cơ ban

a « š

Trong đó : E - môduyn đàn hồi

y - Khoảng cách từ điểm tính đến trục trung hoà

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Tich phan phuong trinh (8.45a) ta được : u= = +g,(y)

Do chuyển vị theo hướng z tại gốc bằng không, phương trình trên biến đổi

Trong d6 C 1a hang s6 Gia tri cla C dugc tinh tir diéu kién 14 chuyén vi tai 4

góc của phần tử bằng không Nghĩa là C thoả mãn:

LY THUYET PHAN TY HOU HAN

u= a, xy

a

Rõ ràng là phần tử tứ giác 4 nút tổng quát chỉ chứa số hạng đầu trong công

thức (8.49), theo giả thiết xấp xỉ chuyển vị của phần tử Số hạng thứ hai của

(8.49) bị bỏ qua Đó chính là nguyên nhân dẫn đến sai số tính toán khi phần

tử chịu uốn Để có thể mô tả trạng thái uốn chính xác hơn, Willson đã đưa ra

phần tử tứ giác có bổ xung các mode chuyển vị phụ Đối với phần tử tứ giác

tổng quát, Willson đặt xấp xỉ chuyển vị dạng:

u= Nu, + N,u,+N,u,+N ju, + Pa, +P,a, (8.50) v=N,v,+N,v,+N,v,+N,v,+Pa,+P,a,

Trong dé: P, = (i-r’?) va P, = (1-s’)

Điểm cần lưu ý là các hàm p¡ và p; được chọn sao cho chúng phải triệt tiêu

tại 4 nút để duy trì tính tương thích của chuyển vị tại các nút này và để bảo

đảm cùng sai số khi xét biến dang uốn Biên độ chuyển vị œ; là các bậc tự do

phụ, do đó kích thước ma trận độ cứng sẽ là (12 x 12) Tuy nhiên nếu năng

lượng biến dạng bên trong phần tử là cực tiểu đối với các œ; thì 4 phương

trình bổ xung nhằm tính các ơ; này sẽ được khử ra khỏi ma trận độ cứng và

kích thước ma trận độ cứng trở lại kích thước 8.8 ban đầu Thủ tục này tương

tự như thủ tục qui rút tĩnh đã xét ở trên

Chúng ta đã xét phần tử tứ giác không tương thích PSQ4 Tuy nhiên độ chính

xác đạt được còn phụ thuộc cách rời rạc phần tử Nếu phần tử được chọn là

chữ nhật thì sẽ đạt được kết quả tốt như đã khảo sát trên

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

-8.4.2 Phần tử tứ giác không tương thích PSQ16

Khi bổ xung các mođe không tương thích vào phần tử tứ giác 4 nút, các thông

số chuyển vị u và v đã được cho theo công thức (8.50), còn các toa độ tổng quát được mô tả theo biểu thức sau :

x= Nix; + N2X, + N3X3 + N4X4

y = Niyi + Noy2 + mays + mga (8.51)

Viết lại phương trình (8.50) dang

PP, 0 0

Trong đó : [P]= F |

0 PP,

Khi đó véc tơ biến dạng được cho bởi công thức :

{e} = [B]{dq} + [P'] {a} (8.53)

Trong đó [P'] mô tả vi phân đối với các toạ độ tổng quát x,y

Như đã biết, năng lượng biến dạng trong phần tử được cho bởi công thức:

»=4 [[[,bỲ Iclewr

Thay phương trình (8.53) vào biểu thức năng lượng biến dạng trên ta có :

„=2 [[[,|ke.Ÿ lBŸ +te} [PƑ ]€l<lBla)+[r]elwr

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Vì không có ngoại lực tương ứng với các thành phần chuyển vị phu {a},

phương trình cân bằng trên có thể tách thành:

Trong đó {Q„} là véc tơ lực nút, {d„} — chuyén vi nut [k,,] 1d ma tran do cứng tương ứng với các thành phân chuyển vị {dạ},[k¿„] là ma trận độ cứng

tương ứng với các chuyển vị phụ {a} va [Koga] = [Kog]’

Trong số ba tiêu chuẩn hội tụ đã xét trong mục 3.3 chương 3, hai tiêu chuẩn

đầu đã thoả mãn cho phần tử đang xét Bây giờ ta xét điều kiện mô tả trạng thái biến dạng không đổi của hà

Giả sử {đ°„} là véc tơ chuyển vị cho trạng thái biến dạng không đổi Dưới

điều kiện này, véc tơ chuyển vị bổ xung {œ} phải bằng không để sao cho các

mode tương thích không phải là tích cực Phương trình thứ hai của (8.55) có

thể biểu diễn như sau:

Để thoả mãn phương trình trên khi {œ} = {0} thì thành phần thứ nhất

[k„al{d°„} = {0} Từ công thức (8.54) ta có

lk 1= [ff [PT Icha} (8.57)

Thay vao phuong trinh trén ta dugc :

{lf PT icllele: yr = 0} (8.58)

Bây giờ [C] 1a hang sé va [B]{d°,} = {e°,] cũng là hằng số (theo giả thiết

trạng thái biến dạng không đổi) Như vậy phương trình (8.58) được đơn giản

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

— JJ[ PTav=l0l nga [ff [PT av = [oF (8.59)

Với bài toán hai chiều, phương trình (8.59) trở thành:

Để bảo đảm phương trình (8.63) đồng nhất bằng không giá trị của các thành

phần đạo hàm Gx Ox Oy 2} Wr Ds Op Os tại các điểm cầu phương Gauss phải được

lấy bằng hằng số và bằng giá trị tại tâm phần tử Như vậy do Ire = i sds = 0)

LY.THUYET PHAN TU HOU HAN

Để tính véc tơ biến dang {e} theo công thức tổng quát (4.10), ta cần tính các

đạo hàm của u và v theo các toạ độ tự nhiên r và s :

và {d}'= {Uy Vị Uz Vz Uy V3 Ug Vg OA, Az Oy Œa } (8.65)

Khi thay các giá trị từ phương trình (8.65) vào (4.10) để nhận ma trận [B], ta cần lưu ý là các hệ số của ma trận Jacobian nghịch đảo JÏ;¡ tương ứng với mỗi

thành phần chuyển vị nút phải được tính theo công thức (4.72) tại mỗi điểm

Gauss bất kỳ, còn mỗi thành phần J”, tương ứng với các mode không tương

thích phải được tính tại tâm phần tử như đã cho trong công thức (8.64a)

Ma trận [B] được tính theo công thức (8.66)

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Phép kiểm định Patch do lrons đẻ xuất là phép kiểm tra đơn giản tính chất

đúng đắn của quá trình xây dựng tính chất phần tử cũng như quá trình xây

dựng chương trình con tính tính chất phần tử Nội dung phép kiếm định

“Patch” như sau

Chọn kết cấu đơn giản, chọn tải trọng sao cho biến dạng trong kết cấu là

không đổi Chia kết cấu thành một số nhỏ tối thiểu các phần tử mà ta cần

kiểm tra tính chất đúng đắn của quá trình xây dựng và lập trình tính chất phần

tử Cách chia sao cho có ít nhất một nút nằm bên trong kết cấu Sau đó ta đặt

các tải trọng lên nút trên biên tương ứng với trạng thái biến dạng không đổi,

đồng thời đặt lên kết kấu đủ các liên kết trên biên để kết cấu không thể dịch chuyển như một vật rắn tuyệt đối Một kết cấu kiểm định như vậy được gọi là

một Patch Thực hiện tính kết cấu cho Pafch theo mô hình PTHH đã rời rac

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Nếu biến dang trong các phần tử là như nhau, thì ta nói phần tử đã qua được

kiểm dinh Patch

Bạn đọc có thể thực kiém dinh Patch qua các bài tập thực hành, tuy nhiên

hoàn toàn có thể sử dụng phép kiểm định trên cho các loại phần tử tấm, vỏ,

vật khối 3 chiều

Kiểm định Patch do Irons đề suất, về sau cơ sở cơ học và toán học của phép

kiểm định này đã được phát triển khá mạnh, cho tới nay, phép kiểm định

Patch đạt được các vai tro sau:

1) Kiểm định patch được coi là điều kiện cần và đủ để hội tụ

2) Kiểm tra tính chất đúng đắn của quá trình xây dựng và lập trình tính

phụ thuộc nhiều vào khoảng cách của cốt thép và định hướng của cốt thép

trong kết cấu Điều đó, trong nhiều trường hợp dẫn tới lưới phần tử hữu hạn

đặc biệt dày Về phương diện thực hành tính toán, nếu một lưới quá dày mà chỉ cho kết quả với cùng độ chính xác với một lưới khác thưa hơn thì bao giờ cũng phải ưu tiên sử dụng lưới thưa để tiết kiệm thời gian và bộ nhớ của máy

tính Với kết cấu bê tông cốt thép, muốn sử dụng lưới thưa để đạt được độ

chính xác xấp xi lưới dày hơn thì việc rời rạc phải không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các cốt thép Trong các chuyên khảo chương [11,12] da dé

LY THUYET PHAN TU’ HOU HAN

| cập tới phương pháp rời rạc kết cấu bê tông cốt thép độc lập với khoảng cách cốt thép này Kết quả dẫn tới chương trình kinh tế hơn về phương diện tính toán do giảm được số lượng nút và phần tử mà vẫn giữ được độ chính xác mong muốn Trong mục này trình bày phần tử bê tông cốt thép, bằng phần tử này cho phép rời rác kết cấu độc lập với khoảng cách và định hướng của cốt thép

Hình 8.11 - Phan tif bê tông cốt thép

Tổng thế năng trong phần tử được tính như sau:

Trong d6: U, - Thế năng biến dạng của bê tông

U, - Thế năng biến dạng của thép

W - Thế năng của ngoại lực Theo mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH, tổng thế năng trên được

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Trong đó: [C,] - ma trận vật liệu cho bê tông trong giai đoạn dan hồi

Đối với bê tông, ma trận độ cứng [k,| được tính theo công thức (4.15) với

đạng sau:

(x ]=[k]= n| ÍIsï [c, [B]J\ards (8.70) |

~1 -1

Đối với cốt thép, ma trận độ cứng [k,] được tính như tổng độ cứng của n

thanh cốt thép trong phần tử Như vậy

=>] `

wà k,} = [Í[,BƑIE.lBbr

Trong đó [C,]; là ma trận vật liệu của thanh cốt thép thứ i1, trong đó môdun

(8.71b)

đàn hồi có thể thay đổi để tính tới phân chiếm chỗ của thép trong bê tông

Tích phân khối tính ma trận độ cứng của cốt thép được chuyển về tích phân

đường Như minh hoa trên hình (8.11) ta có:

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Trong đó A, là diện tích tiết diện cốt thép có đường kính đơn vị

8.7 Phồn †ủ đối xúng trục |

Kết cấu đối xứng trục hay vật thể tròn xoay chịu tải trọng đối xứng là loại kết cấu rất thường gặp trong thực tế Ví dụ điển hình cho loại kết cấu này là vỏ trụ dày chịu áp lực hướng tâm đối xứng Do tính đối xứng trục của hình học

và tải trọng nên ta chỉ cần xét đến hai thành phần chuyển vị là chuyển vị theo

hướng bán kính (hướng trục x) và chuyển vị theo hướng đọc trục (hướng trục

y) Vì vậy bài toán 3 chiều của vật thể tròn xoay qui về được bài toán hai chiểu đã xét trong mục trước Điểm khác nhau giữa bài toán phẳng và bài toán đối xứng trục là ở chỗ trong kết cấu đối xứng trục phải xét đến thành

phần biến dang sạ khác không do chuyển vị hướng tâm khác không sinh ra

Hình 8.12 - Vật thể tròn xoay và phần tử khối đối xứng trục

8.7.1 Phần tử tròn xoay chịu tải đối xứng

Xét vật thể tròn xoay được rời rạc thành các phần tử đối xứng trục đồng tham

số 4 nút, như minh hoa trên hình 8.12 Phần tử tròn xoay có dạng vành

LY THUYET PHAN TU HOU HAN

khuyên với tiết điện không đổi Mỗi nút của phần tử xác định một đường tròn

đồng tâm trên trục ÿy

Gọi u là chuyển vị dọc trục hướng tâm x, gọi v là chuyển vị theo hướng đọc

trục y Do tải trọng được giả thiết là đối xứng, nên thành phần chuyển vị theo

hướng chu vi 9 bằng không mọi nơi Chọn phần tử đồng tham số 4 nút P§Q4,

các thành phần chuyển vị được xác định theo công thức (8.23)

Quan hệ giữa biến dạng và ứng suất trong trường hợp chịu tải đối xứng đã

được cho theo công thức (2.25)

Trong đó E và ụ lần lượt là môđun đàn hồi và hệ số Polsson của vật liệu Mặt

khác theo lý thuyết đàn hồi, quan hệ chuyển vị biến dạng vẫn được tính theo

công thức (2.24) Như vậy :

LY THUYET PHAN TỬ HỮU HẠN

Để nhận ma trận độ cứng cho phần tử đồng tham số, như thường lệ ta cần xác

định mối quan hệ giữa các thành phần dao ham trong hệ trục X-y và hệ trục tự nhién fs Quan hé trên được đơn giản từ công thức 4.8 như sau:

Ou/ Ox Ou/ Oy

Ov/ Ox \=

Ov/ Oy

iu Trong d6 J°

0 Ji, Si, Of Ov/ or (8.76)

0 Jj, J„ 0||29⁄Øs

0 0 1 u

¡¡ là các phần tử của ma trận Jacobian [J] nghịch đảo và đã được

cho theo các công thức (4.6) và (4.7) Thế phương trình (8.76) và (4.12) vào

(8.75) ta nhận được các công thức tổng quát tính biến dạng :