Phương pháp phần tử hữu hạn tóm tắt lý thuyết và bài tập

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Cao Văn Vui PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH - 2019 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Phần tử chịu biến dạng dọc trục Tóm tắt lý thuyết Bài tập 7 Chương Phần tử dàn phẳng Tóm tắt lý thuyết Bài tập 71 71 76 Chương Phần tử dầm chịu uốn Tóm tắt lý thuyết Bài tập 130 130 135 Chương Phần tử khung Tóm tắt lý thuyết Bài tập 251 251 258 TÀI LIỆU THAM KHẢO 350 LỜI NÓI ĐẦU Phương pháp phần tử hữu hạn mơn học chương trình đào tạo bậc đại học Đây môn học trước môn Phần tử hữu hạn nâng cao chương trình cao học Do đó, sách biên soạn nhằm mục đích giúp học sinh viên đạt kết cao học tập Đồng thời, sách tài liệu giúp học viên cao học ôn lại kiến thức môn Phương pháp phần tử hữu hạn trước học môn Phương pháp phần tử hữu hạn nâng cao Ngồi ra, sách cịn nhằm mục đích giúp người đọc nắm kỹ phương pháp phần tử hữu hạn để sử dụng tính tốn sản xuất thực tế nghiên cứu kết cấu Cuốn sách gồm chương Chương trình bày phần tử chịu biến dạng dọc trục Chương trình bày phần tử dàn phẳng Chương phần tử dầm chịu uốn Chương phần tử khung Các chương trình bày theo trình tự chung sau Trước hết phần lý thuyết trình bày tóm tắt cách ngắn gọn, nhằm mục đích sử dụng trực tiếp vào việc giải tập Tiếp theo tập trình bày cách chi tiết nhằm giúp người học nắm vững kiến thức môn học Đặc biệt, riêng chương (phần tử dầm chịu uốn) chương (phần tử khung) có kèm theo phần giải SAP2000 với số liệu cụ thể Phần kết SAP2000 trình bày sách giúp sinh viên bước đầu áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho toán đơn giản Kết từ SAP2000 so sánh với kết tính tay cách giúp người học tự kiểm tra kết cách độc lập để hạn chế sai sót có Sử dụng SAP2000 cho tốn đơn giản cách học phần mềm tính tốn SAP2000 có hiệu quả, giúp người học thực tính tốn phức tạp phần mềm ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn Đây lần xuất nên tài liệu khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp ý độc giả để tài liệu hoàn thiện Địa liên hệ: TS Cao Văn Vui, Bộ môn Sức bền & Kết cấu, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 268 Lý Thường Kiệt, Phường 14, Quận 10, TP Hồ Chí Minh Điện thoại: +(84) 968 563 014, Email: cvvui@hcmut.edu.vn Tác giả PHẦN TỬ THANH CHỊU BIẾN DẠNG DỌC TRỤC Chương PHẦN TỬ THANH CHỊU BIẾN DẠNG DỌC TRỤC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Xét phần tử chịu tải phân bố dọc trục p(x) Hình 1.1 Thanh có chiều dài L, diện tích mặt cắt ngang A, mô đun đàn hồi E Thanh bị biến dạng dọc trục tác dụng tải trọng Thanh có bậc tự chuyển vị dọc trục u1 u2 nút nút Tại vị trí có tọa độ x, có chuyển vị dọc trục tương ứng ux u1 ux u2 p(x) x L Hình 1.1 Phần tử biến dạng dọc trục Chuyển vị tọa độ x là: u x  u  x   a1  a2 x Hay: ue  x    N qe Trong đó: q1  u1     q2 e u2 e qe     N   1   x  L x L   ; D  E  x      x  ;     x  ;     x CHƯƠNG Ma trận tính biến dạng: d   N       dx   L 1 L   B      N    Ma trận cứng phần tử:  K e    B T  D   B  dV Ve  21 11 1   22  L  1 EA  1 E  1 1 Adx    L L L  1     đó, A diện tích mặt cắt ngang phần tử Vectơ tải phần tử:  Do lực phân bố dọc trục p(x):  x L  p x dx    x  L  L L 1  0 Pe    N T  p  x  dx     Trường hợp: p(x) = p = const L p L  x pL 1 dx   pe     L  x  1 p=const pL 2 L pL Hình 1.2 Phần tử có lực phân bố dọc trục  Do nhiệt độ L L T Pe    B   D   dV   0  1  1 E  T  Adx  EA T     L1 1 PHẦN TỬ THANH CHỊU BIẾN DẠNG DỌC TRỤC T P1 L P2 Hình 1.3 Phần tử chịu thay đổi nhiệt độ BÀI TẬP Bài tập 1.1 Cho ABC có liên kết ngàm hai điểm A C, chịu lực tác dụng điểm B với độ lớn P = qL chịu lực phân bố q Hình 1.4a Thanh có độ cứng khơng đổi EA Tìm: a) Chuyển vị B b) Phản lực A C c) Vẽ biểu đồ lực dọc a) b) Hình 1.4 Sơ đồ kết cấu sơ đồ kết cấu rời rạc hóa Giải: a) Chuyển vị B - Tiến hành rời rạc hóa phần tử, đánh số phần tử, nút phần tử Hình 4b CHƯƠNG 10 - Thiết lập ma trận số phần tử sau áp đặt điều kiện biên:  1 b  1  - Thiết lập ma trận độ cứng phần tử  K e cho  Phần tử 1:  K 1  EA  1 L  1   Phần tử 2:  K 2  EA  1 L  1  - Tiến hành ghép nối ma trận độ cứng phần tử  K e để xây dựng ma trận độ cứng tổng thể  K  : 1 0 1 3EA  EA   K   1  1   K   L L   1 0 0 - Thiết lập vectơ tải phần tử  Pe cho thanh:  Phần tử 1:  Ra 0   P  qL  Pe    Phần tử 2:  2qL 1   Pe     2qL  R  C   PHẦN TỬ THANH CHỊU BIẾN DẠNG DỌC TRỤC 11 - Tiến hành ghép nối vectơ tải phần tử  Pe để xây dựng vectơ tải tổng thể  P :  RA  P   2qL   P  2qL qL  R  C  - Ta có hệ phương trình:  K q  P  3EA q1  2qL 2L - Giải hệ phương trình, ta nhận nghiệm q1 chuyển vị nút B: q1  qL2 EA b) Phản lực A D - Xác định lực dọc thanh:  Phần tử 1:  N1  EA. B .q1  EA    L   1   qL2   qL  L   EA   Phần tử 2:  N  EA. B  q2  EA    2L  qL2     EA    qL  2L      - Phản lực điểm A C (Dấu – thể cho chiều phản lực ngược với chiều chọn)  Phản lực điểm A RA   N1   qL CHƯƠNG 12  Phản lực điểm D RD  3qL  RA   qL c) Biểu đồ lực dọc N Hình 1.5 Biểu đồ lực dọc N Bài tập 1.2 Cho ABC có liên kết ngàm hai điểm A C, chịu lực tác dụng điểm B với độ lớn P = qL chịu lực phân bố q Hình 1.6a Thanh có độ cứng đoạn AB 2EA, đoạn BC EA Tìm: a) Chuyển vị B b) Phản lực A C c) Vẽ biểu đồ lực dọc PHẦN TỬ THANH CHỊU BIẾN DẠNG DỌC TRỤC a) 13 b) Hình 1.6 Sơ đồ kết cấu sơ đồ kết cấu rời rạc hóa Giải a) Chuyển vị điểm B - Tiến hành rời rạc hóa phần tử, đánh số phần tử, nút phần tử Hình 1.6b - Thiết lập ma trận số phần tử sau áp đặt điều kiện biên: 0  b  1  - Thiết lập ma trận độ cứng phần tử  K e cho  Phần tử 1:  K 1  EA  1 L  1  CHƯƠNG 336 - Biểu đồ mô men M = M0 + Mq + Mp 28 22 17 26 M 2.5 x 24 qL2 Hình 4.56 Biểu đồ mơ men M khung - Biểu đồ lực dọc Q = Q0 + Qq + Qp 78 30 - 102 51 - Q x 24 qL Hình 4.57 Biểu đồ lực dọc Q khung - So sánh kết nhận với kết nhận từ phần mềm SAP2000 Với thông số L = m, q = kN/m P = kN PHẦN TỬ KHUNG 337 Hình 4.58 Mơ hình kết cấu phần mềm SAP2000 Hình 4.59 Biểu đồ mơ men M khung nhận từ phần mềm SAP2000 CHƯƠNG 338 Hình 4.60 Biểu đồ lực dọc Q khung nhận từ phần mềm SAP2000 c) Chuyển vị đứng góc xoay vị trí BC Chuyển vị đứng: L  v  x     N qe 2  [ N ]  [ N1 N2 N3 N4 ] L  N1  x       2  L L 1  N2  x    1     L   4  L  N3  x      2  L L 1  N4  x          L   4  PHẦN TỬ KHUNG 339 Suy ra: L  v  x     N q1 2  1  2 L      L   qL4     8 384 EI 3 qL    48 EI  Góc xoay: dv  L  x     N 'qe dx  2 [ N ']  [ N '1 N '2 N '3 N '4 ] L 2L 3L2 3 3  N '1  x       2    2 L L 2L  2L 4L L 2L  L2 1  N '2  x        2 2L  L2  L 2L 3L2 3  N '3  x      2    2  2L 4L L L L L 2L 3L2 1  N '4  x       2 2L 4L2  Suy ra: dv  L  x     N 'q1 dx  2  3   2L 1 2L       1  qL3     192 EI 3 qL    48 EI  CHƯƠNG 340 Bài 4.10 Cho hệ khung có độ cứng chịu lực Hình 4.61 Bỏ qua ảnh hưởng lực dọc lực cắt chuyển vị L B P=2qL P=qL 2qL2 EI C 2EI q 2EI A D L L Hình 4.61 Sơ đồ kết cấu tải trọng Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, xác định: a) Chuyển vị nút b) Vẽ biểu đồ nội lực cho hệ khung c) Xác định chuyển vị đứng chuyển vị xoay điểm đặt lực tập trung Giải a) Xác định chuyển vị nút - Rời rạc hóa kết cấu, kết hợp với điều kiện biên Hình 4.62 0 q1 2 q2 3 0 0 0 Hình 4.62 Sơ đồ nút, phần tử bậc tự PHẦN TỬ KHUNG 341 - Xây dựng ma trận số phần tử b: 0 0 0  b   0 0  (3 x 6)  0 0  c2 s2 cs EF/l 90 2EI/L 0 EI/2L 90 2EI/L Phần tử Nút i Nút j (1) (2) (3) - Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể EI 10   K *   K    K    K     L  10  22 - Xây dựng véc tơ tải tổng thể: P   P '  P '  P ' *  21  qL2 /  qL2 /        qL2 /12  qL2 /  2 13qL /  - Ta có hệ phương trình:   q  K * q  P*  EI 10         L  10  q2  13qL2 /    - Giải hệ phương trình, ta nhận hai nghiệm q1 , q2 góc xoay nút 3:  13 qL3 q1    594 EI  65 qL3  q   297 EI CHƯƠNG 342 - Vectơ chuyển vị nút phần tử:  Phần tử 1:         3  qL q1    EI        13   594   Phần tử 2:           13  qL3  594  q   2   EI          65   297   Phần tử 3:         3  qL q3    EI        65   297  PHẦN TỬ KHUNG 343 b) Vẽ biểu đồ nội lực cho hệ - Mô men uốn phần tử:  Phần tử 1: c = 0; s = 2 EI  L 4 L M 1     6 L L2 L         6 L 2 L2      L L2       13 qL3     594 EI   26   297  qL     52  qL2   297   Phần tử 2: c = 1; s =  6  L  4  L    M 2    L    L   L 2 EI        13 qL3     594 EI           65 qL3     297 EI   52    297 qL     247 qL2   594   2L  6  L  2  L      2L   CHƯƠNG 344  Phần tử 3: c = 0; s = 2 EI  L 4 L  M 2     6 L L2 L         6 L 2 L2      L L2       65 qL3     297 EI   260   297 qL     520 qL2   297  - Biểu đồ mô men M = M0 + Mq + Mp 126.25 544.75 126.25 110 49.25 61.25 48.25 117.625 235.25 Hình 4.63 Biểu đồ mơ men M khung M x 297 qL2 PHẦN TỬ KHUNG 345 - Biểu đồ lực dọc Q = Q0 + Qq + Qp 236.25 + - 928.5 60.75 - 375 + 219 Q x 297 qL + 631.5 Hình 4.64 Biểu đồ lực dọc Q khung - So sánh kết nhận với kết nhận từ phần mềm SAP2000 Với thông số L = m, q = kN/m P = kN Hình 4.65 Mơ hình kết cấu phần mềm SAP2000 CHƯƠNG 346 Hình 4.66 Biểu đồ mơ men M khung nhận từ phần mềm SAP2000 Hình 4.67 Biểu đồ lực dọc Q khung nhận từ phần mềm SAP2000 c) Chuyển vị đứng góc xoay điểm đặt lực tập trung - Phần tử (1)  Chuyển vị đứng: L  v  x     N qe 2  [ N ]  [ N1 N N3 N ] L  N1  x       2  PHẦN TỬ KHUNG 347 L L 1  N2  x    1     L   4  L  N3  x      2  L L 1  N4  x          L   4  Suy L  v  x     N q1 2  1  2 L       L 13 qL4    8 4752 EI 3 13 qL    594 EI   Góc xoay: dv  L  x     N 'qe dx  2 [ N ']  [ N '1 N '2 N '3 N '4 ] L 2L 3L2 3 3  N '1  x            2 2L 4L L 2L 2L  L 2L  L2 1  N '2  x        2 2L  L2  L 2L 3L2 3  N '3  x          2 2L 4L L 2L 2L  L 2L 3L2 1  N '4  x       2 2L 4L  Suy CHƯƠNG 348 dv  L  x     N 'q1 dx  2  3   2L       1  13 qL3      2376 EI 3 13 qL    594 EI  1 2L - Phần tử (2) Chuyển vị đứng: v  x  L    N qe [ N ]  [ N1 N2 N3 N ] 1 N1  x  L    2   2  23  1  N  x  L   L 1    L 2  (2)   1 N3  x  L   2  (2) (2)  1  N4  x  L   L     L   (2)    Suy ra: v  x  L    N q1 1  2  Góc xoay L    3  13 qL  L   594 EI  13 qL4     4 216 EI   65 qL3     297 EI  PHẦN TỬ KHUNG 349 dv  x  L    N 'qe dx [ N ']  [ N '1 N '2 N '1  x  L     N '3 2L (2 L)2 N '4 ]  2 3L2 (2 L)3  6 3   L 8L L L  L2 N '2  x  L       1    (2 L) (2 L) 4 N '3  x  L    N '4  x  L    2L (2 L)2  2 3L2 (2 L)3  3   2L 4L 4L 2L 3L2 1   (2 L) (2 L)2 Suy ra: dv  x  L    N 'q1 dx  3   4L 1 4L    3  13 qL  1  594 EI  13 qL3      264 EI   65 qL3     297 EI  350 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Chu Quốc Thắng, Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa Học Kỹ Thuật, 1997 [2] S S Rao, The finite element method in engineering, Fifth edition, Elsevier, 2011 [3] O C Zienkiewicz, R.L Taylor, The finite element method, Volumn 1: The basis, Fifth edition, McGraw-Hill, 2000 [4] J N Reddy, An introduction to the finite element method, 2nd edition, McGraw-Hill, 1993 [5] Đỗ Kiến Quốc, Giáo trình Đàn hồi ứng dụng, NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM, 2010 [6] S Timoshenko, J N Goodier, Theory of elasticity, McGraw-Hill, 1951 [7] I M Smith, D V Griffiths, Programming the finite element method, Second edition, John Wiley & Sons, 1988 ... ĐẦU Chương Phần tử chịu biến dạng dọc trục Tóm tắt lý thuyết Bài tập 7 Chương Phần tử dàn phẳng Tóm tắt lý thuyết Bài tập 71 71 76 Chương Phần tử dầm chịu uốn Tóm tắt lý thuyết Bài tập 130 130... Phần tử khung Tóm tắt lý thuyết Bài tập 251 251 258 TÀI LIỆU THAM KHẢO 350 LỜI NÓI ĐẦU Phương pháp phần tử hữu hạn mơn học chương trình đào tạo bậc đại học Đây môn học trước môn Phần tử hữu hạn. .. sinh viên đạt kết cao học tập Đồng thời, sách tài liệu giúp học viên cao học ôn lại kiến thức môn Phương pháp phần tử hữu hạn trước học môn Phương pháp phần tử hữu hạn nâng cao Ngồi ra, sách