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The Project Gutenberg EBook of RandwertaufgabenbeiSystemenvonlinearenpartiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: RandwertaufgabenbeiSystemenvonlinearenpartiellen Differentialgleichungen erster Ordnung Author: Wallie Abraham Hurwitz Release Date: August 2, 2010 [EBook #33330] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMENVONLINEARENPARTIELLEN *** Produced by Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) anmerkungen der korrekturleser Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs Collection zur Verf ¨ ugung gestellt. Kleinere typographische Korrekturen und ¨ Anderungen der Formatierung wurden stillschweigend vorgenommen. Diese PDF-Datei wurde f ¨ ur die Anzeige auf einem Bildschirm optimiert, kann bei Bedarf aber leicht f ¨ ur den Druck angepasst werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes. RandwertaufgabenbeiSystemenvonlinearenpartiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Wallie Abraham Hurwitz. RandwertaufgabenbeiSystemenvonlinearenpartiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Inaugural-Dissertation zur Erlangung der Doktorw ¨ urde der hohen philosophischen Fakult ¨ at der Georg-August-Universit ¨ at zu G ¨ o t t i n g e n vorgelegt von Wallie Abraham Hurwitz aus Joplin, Missouri, V. St. A. G ¨ ottingen 1910. Druck der Dieterichschen Universit ¨ ats-Buchdruckerei (W. Fr. K a es tn e r). Tag der m ¨ undlichen Pr ¨ ufung: 13. Juli 1910. Referent: Herr Geh. Reg Rat Prof. Dr. H i l b e r t. Meinen lieben Eltern. Inhaltsverzeichnis. Seite Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Erstes Kapitel. Die Normalformen der Gleichungssysteme. § 1. Die charakteristische Differentialform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 § 2. Die Normalformen der Gleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Zweites Kapitel. Das elliptische System. § 3. Hilfsmittel zur Theorie des elliptischen Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 § 4. L ¨ osung der Randwertaufgabe f ¨ ur das elliptische System. . . . . . . . . . . . . . 52 Drittes Kapitel. Das hyperbolische System. § 5. L ¨ osung der Randwertaufgabe f ¨ ur das hyperbolische System. . . . . . . . . . . . 61 Viertes Kapitel. Das parabolische System. § 6. Hilfsmittel zur Theorie des parabolischen Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . 67 § 7. L ¨ osung der Randwertaufgabe f ¨ ur das parabolische System. . . . . . . . . . . . . 86 — 6 — Einleitung. Bei Untersuchungen allgemeinen Charakters ¨ uber lineare partielle Differentialglei- chungen sind zwei Problemstellungen von besonderer Wichtigkeit. Die A n f a n g s we r t - a u f g a b e oder das C a u c hy s c h e P r o b l e m versucht, eine L ¨ osung durch Angabe ihrer Werte und der Werte gewisser Ableitungen auf einer Kurve zu bestimmen; dabei werden alle vorkommenden Funktionen in einer k l e i n e n Nachbarschaft der Kurve, sowie die Kurve selbst und die vorgeschriebenen Werte in einer kleinen Nachbar- schaft eines Punktes als analytisch vorausgesetzt; und die L ¨ osung wird als analytische Funktion in einer eventuell noch k l e i n e r n Nachbarschaft gesucht: das Problem ist hervorragend als analytisches Problem im kleinen zu bezeichnen 1 ). Dagegen fordert die R a n d we r t a u f g a b e oder das D i r i ch l e t s c h e P r o b l e m von den gegebenen und gesuchten Funktionen nur Stetigkeit und die Existenz und Stetigkeit einer geringen Anzahl von Ableitungen, schreibt die Werte a u f e i n e m g a n z e n vo r g e g e b e n e n K u r ve n s t ¨ u ck vor, und sucht die L ¨ osung i n e i n e m g a n z e n v o r g e g e b e n e n G e b i e t; das Problem ist ein nicht-analytisches Problem i m g r o ß e n. Um die Zulas- sung einer gr ¨ oßeren Nachbarschaft auszugleichen, muß sich eine Randwertaufgabe in der Regel begn ¨ ugen, weniger Anforderungen als die Anfangswertaufgabe beim Vorschreiben der Werte l ¨ angs der Kurve zu machen. F ¨ ur einzelne Gleichungen, sowie f ¨ ur Gleichungssysteme l ¨ aßt sich das Cauchysche Pro- blem durch die Majorantenmethode erledigen; dagegen geschieht gew ¨ ohnlich die L ¨ osung des Dirichletschen Problems erst durch ¨ Uberlegungen von schwierigerem Charakter. Diese Ueberlegungen sind bis jetzt, wie Sommerfeld in seinem Bericht ¨ uber R a n d w e r t a u f - g a b e n b e i pa r t i e l l e n D i ff e r e n t i a l g l e i chu n g e n besonders erw ¨ ahnt 2 ), nur 1 ) Die Einschr ¨ ankung auf ein kleines Gebiet ist manchmal teilweise durch das Prinzip der analyti- schen Fortsetzung oder andere Methoden zu beseitigen; doch tritt hier sogleich die Notwendigkeit von Eindeutigkeitstheoremen und damit verwandten S ¨ atzen ein, welche das Problem aus dem wirklichen Rahmen des Cauchyschen Problems ausschließen. 2 ) Encyklop ¨ adie der Mathematischen Wissenschaften Bd. 2, S. 506. — 7 — f ¨ ur einzelne Differentialgleichungen durchgef ¨ uhrt, und zwar meistenteils f ¨ ur Gleichungen zweiter Ordnung; noch nicht aber f ¨ ur Gleichungssysteme. In den letzten Jahren haben die Betrachtungen f ¨ ur Gleichungen zweiter Ordnung in den verschiedenen F ¨ allen, wel- che notwendig vorkommen, durch die Methode der Integralgleichungen eine einheitliche Gestalt angenommen. Die Anregung zu solchen Problemstellungen ist von der Physik ausgegangen; aus den Theorien des Potentials, der schwingenden Saite und der W ¨ armeleitung sind die Hilfsmit- tel entstanden, welche zur L ¨ osung vonRandwertaufgabenbei allgemeinern D i ff e r e n t i - a l g l e i ch u n g e n z w e i t e r O r d nu n g beigetragen haben. Von rein mathematischem Standpunkt aus erscheint es gewissermaßen n ¨ aher liegend, zun ¨ achst Systeme von D i f- f e r e nt i a l g l e i c hu n g e n er s t e r Or d n u n g zu studieren. F ¨ ur gew ¨ ohnliche Differen- tialgleichungen hat B ˆo ch e r von diesem Gesichtspunkte aus die Theorie vonSystemen gew ¨ ohnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen untersucht 1 ). Die vorliegende Arbeit, welche auf Anregung von Herrn Geheimrat Hilbert entstand, soll f ¨ ur partielle Differentialgleichungen einen ersten Schritt in derselben Rich- tung machen, indem f ¨ ur Systeme erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen und zwei unabh ¨ angigen Variablen die Randwertaufgabe gel ¨ ost wird. Als naturgem ¨ aße Metho- de bietet sich auch hier die Methode der Integralgleichungen dar und wird mit Erfolg angewandt. Im ersten Kapitel wird eine Klassifikation solcher Systeme gemacht und eine Reduk- tion auf Normalformen erreicht. Nach Aussonderung gewisser, von unserm Standpunkte aus trivialer F ¨ alle bleiben drei Hauptformen zu untersuchen, welche den Gegenstand des zweiten, dritten und vierten Kapitels bilden. Es ist nicht beabsichtigt worden, die Schwie- rigkeiten dadurch zu erh ¨ ohen, daß m ¨ oglichst große Allgemeinheit den in Betracht kom- menden Funktionen erteilt wird; sondern der Zweck ist vielmehr gewesen, unter genauer Angabe der Voraussetzungen hinreichende Bedingungen f ¨ ur die L ¨ osung des Problems zu geben. 1 ) Transactions of the American Mathematical Society, Bd. 3 (1902), S. 196–215. — 8 — Erstes Kapitel. Die Normalformen der Gleichungssysteme. § 1. Die charakteristische Differentialform. Bei Untersuchungen ¨ uber einzelne partielle Differentialgleichungen im allgemeinen und die linearen Gleichungen insbesondere ist stets der Begriff der sogenannten charak- teristischen Kurven von großer Bedeutung. Diesen Begriff wollen wir zun ¨ achst in diesem Paragraphen auf Systeme vonlinearenpartiellen Differentialgleichungen erster Ordnung ausdehnen und einige Folgen daraus herleiten. Da es sich hier nur um formale Fragen handelt, wollen wir einfach annehmen, alle vorkommenden Funktionen seien analytisch. I. Wir betrachten das System von Differentialgleichungen: 1) λ p (u) ≡ n q=1 a pq ∂u q ∂x + n q=1 b pq ∂u q ∂y + n q=1 c pq u q = 0 [q = 1, 2 . . . n] Hierbei sind a pq , b pq , c pq gegebene, in einem vorgeschriebenen Bereich der xy-Ebene re- gul ¨ are Funktionen von x, y. Es sei gegeben ein vorl ¨ aufig willk ¨ urliches System von Funktionen u 1 (x, y), u 2 (x, y), . . . u n (x, y). Geometrisch entspricht jeder Funktion u q (x, y) eine Fl ¨ ache im xy-Raume, deren Gleichung z = u q (x, y) ist. Es sei ferner eine willk ¨ urliche Kurvenschar in der xy-Ebene derart gegeben, daß durch jeden Punkt des Bereiches eine und nur eine Kurve der Schar hindurchgeht. Damit ist jedem Punkte (x, y) eine Richtung — die Tangentialrichtung durch den Punkt — zugeordnet, die durch das Verh ¨ altnis dx : dy bestimmt ist. Dem Punkte (x, y) entspricht auch auf jeder der n-Fl ¨ achen ein Punkt (x, y, u q ), und der Richtung dx : dy eine Richtung dx : dy : du q , wobei die neuen Gr ¨ oßen u q , du q durch die Gleichungen u q = u q (x, y), du q = ∂u q (x, y) ∂x dx + ∂u q (x, y) ∂y dy [...]... S , dessen Bogenl¨nge, von einem festen Punkt auf S gemessen, a ∂f (s) ∂f (s) resp ∂x ∂y u s w die Ableitung in der x- resp y -Richtung u s w im Punkte s auf S Die Buchstaben n, ν bedeuten immer die Richtungen der inneren Normalen in den Punkten s, σ von S Bei Funktionen f (ξη, xy) die von zwei Punkten (ξη), (xy) abh¨ngig sind, gebrauchen a wir auch, falls ein Punkt oder die beiden Punkte auf S liegen,... Reihe von vorbereitenden Hilfss¨tzen betrachtet a werden, die zur L¨sung der Randwertaufgabe bei dem elliptischen System erforderlich o sind Einige S¨tze aus der Potentialtheorie werden ohne Beweise angegeben; bei andern, a die neu sind, werden diejenigen Teile der Beweise, welche auf rein potentialtheoretischen Methoden beruhen, ziemlich kurz angedeutet werden 1 ) I Es sei Ω ein geschlossenes, von einer... Gleichungen 2) eventuell doch gel¨st werden k¨nnen, selbst wenn δ = 0, o o hat kein Interesse f¨r uns; in der Tat werden wir die Methode, mittels welcher die Beu — 10 — dingung 3) hergeleitet wurde, nicht weiter ber¨cksichtigen, sondern f¨r die folgenden u u Entwicklungen nur die Form δ selbst betrachten II Zum Zwecke der Klassifikationen von Gleichungssystemen ist es notwendig, gewisse Arten von Transformationen... irgend zweier Punkte o von Ω ; dann enth¨lt ein Kreis vom Radius M um irgend einen Punkt von Ω den ganzen a Bereich Ω im Innern Zwecks Beweises der zweiten Behauptung unseres Satzes f¨hren u wir wieder Polarkoordinaten ein, und zwar, ausf¨hrlich geschrieben, mittels der Formeln: u x = ξ1 + r cos ϑ, y = η1 + r sin ϑ, wobei r, ξ2 = ξ1 + cos α, η2 = η1 + sin α, ihre fr¨heren Bedeutungen beibehalten Wir finden... wird die Gleichung der Charakteristiken dX dY = 0, sodaß die Koeffizienten von 1) den Bedingungen gen¨gen m¨ssen: u u b11 b12 a a = 11 12 = 0 b21 b22 a21 a22 b a a11 b12 + 11 12 = 0 b21 a22 a21 b22 Die letzte Bedingung sagt aus, daß die Summe zweier Determinanten von Null verschieden ist; dann ist wenigstens eine dieser Determinanten von Null verschieden; wir nehmen an, ohne Einschr¨nkung der Allgemeinheit,... gew¨hnliches o Differentialgleichungssystem gel¨st werden, wobei x als die unabh¨ngige Variable, y als o a Parameter betrachtet sind 1 ) Die Ausf¨hrungen dieses Absatzes sind m¨glichst kurz gemacht; es ist keine Rede davon, strenu o ge Aufl¨sungsmethoden f¨r die betrachteten Systeme anzugeben, da diese außerhalb des Gebiets der o u vorliegenden Arbeit fallen — 28 — Ta b e l l e d e r N o r m a l f o r... willk¨rliche Funktion; ist C(x, y) ≡ 0, so ist o u die erste Gleichung bei willk¨rlicher Wahl von v f¨r u l¨sbar Im zweiten Falle kommen u u o gar keine Ableitungen vor; die Gleichungen besitzen dann und nur dann L¨sungen, wenn o die Determinante A(x, y) B(x, y) C(x, y) D(x, y) verschwindet — 30 — X Nur folgende Formen sind also als Systeme von allgemeinem Charakter zu bezeichnen: ∂u + ∂v = A(x, y)u... reelle Wurzeln der Gleichung δ = 0; wir haben also z w e i Richtungen, die von den charakteristischen Kurven durch P angenommen werden k¨nnen Wir sagen, P ist ein h y p e r b o l i s c h e r o P u n k t von 1), oder 1) ist ein h y p e r b o l i s c h e s S y s t e m in P Ist pr − q 2 = 0, aber wenigstens eine der Gr¨ßen p, q , r von Null verschieden in o einem Punkte P , so gibt es in P e i n e (doppelte)... existiert Wir nennen P einen p a r a b o l i s c h e n P u n k t von 1), und 1) ein p a r a b o l i s c h e s S y s t e m in P Ist schließlich p = q = r = 0 in P , so verschwindet jeder Koeffizient von δ in P , daher ist j e d e Richtung durch P eine charakteristische Richtung In diesem Falle heißt P ein s i n g u l a r e r P u n k t von 1) und wir nennen 1) ein s i n g u l a r e s S y s t e m in P... b11 = 0 Die letzten beiden Gleichungen, zusammen mit der Bedingung f¨r die M¨glichkeit der u o ersten vier, besagen, daß jede zweireihige Determinante aus der Matrix 5) a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22 M= (die nicht mit der Matrix der Koeffizienten von 1) in ihrer vorkommenden Reihenfolge zu verwechseln ist) verschwinden muß Einen Punkt P , f¨r welchen alle zweireihigen u Determinanten von 5) verschwinden, . optimiert, kann bei Bedarf aber leicht f ¨ ur den Druck angepasst werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes. Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiellen Differentialgleichungen. Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung Author: Wallie Abraham Hurwitz Release. The Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz This