Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật trắc địa: Đánh giá các mô hình số địa hình được xây dựng thông qua các thuật toán lưới tam giác không đều

DTM dạng lưới tam giác với các điểm dữ liệu được đặt tại các điểm đặc trưng của địa hình ngày càng được sử dụng rộng rãi, vì không cần tăng mật độ điểm dữ liệu như ở trường hợp mô hình d

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐÀO MẠNH DŨNG

ĐỀ TÀI: ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ HÌNH SỐ ĐỊA HÌNH ĐƯỢC XÂY DỰNG THÔNG QUA CÁC THUẬT

TOÁN LƯỚI TAM GIÁC KHÔNG ĐỀU

LUẬN VĂN CAO HỌC

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT TRẮC ĐỊA

NĂM 2002

MỞ ĐẦU

Ngày nay cùng với sự ứng dụng rộng rãi công nghệ tin học trong thành lập bản đồ số, mô hình số địa hình (DTM) và các ứng dụng của nó đóng một vai trò quan trọng trong việc nội suy vẽ đường đồng mức cho bản đồ địa hình Mô hình số địa hình còn được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến địa hình phục vụ cho công tác thiết kế, quy hoạch các công trình xây dựng Mô hình số địa hình là một thành phần của hệ thống thông tin địa lý (GIS) Trong GIS mô hình số địa hình được sử dụng để phân tích các chức năng địa hình phục vụ cho nhiều lĩnh vực dân sự và quân sự

DTM thường được xây dựng dưới dạng lưới đều đặn hoặc dạng lưới tam giác không đều (TIN) Cấu trúc của dạng lưới đều đặn đơn giản nên việc lưu trữ dữ liệu đơn giản Nhược điểm của DTM dạng này là phải dùng lưới có phân khoảng nhỏ với nhiều điểm dữ liệu thì mới có thể mô hình hoá được vùng địa hình phức tạp DTM dạng lưới tam giác với các điểm dữ liệu được đặt tại các điểm đặc trưng của địa hình ngày càng được sử dụng rộng rãi, vì không cần tăng mật độ điểm dữ liệu như ở trường hợp mô hình dạng lưới mà vẫn mô hình hoá được vùng địa hình phức tạp Nhược điểm của phương pháp lưới tam giác là chiếm nhiều bộ nhớ và thời gian máy tính, nhưng vấn đề đó đã được vượt qua

Đã có nhiều công trình nghiên cứu đánh giá mô hình số địa hình nhưng chủ yếu liên quan đến mô hình dạng lưới đều đặn Mô hình dạng lưới tam giác (TIN) ngày càng trở nên thông dụng Ơû thành phố Hồ Chí Minh nhiều đơn vị khảo sát, thiết kế sử dụng nhiều phần mềm nước ngoài xây dựng DTM dạng TIN, nhưng những nghiên cứu đánh giá về mô hình dạng này còn ít Vì vậy, chúng tôi mong muốn đi sâu tìm hiểu đánh giá chúng, nhất là khả năng ứng dụng để thành lập bản đồ địa hình

Mục tiêu thứ nhất của đề tài này là tìm hiểu cơ sở toán học xây dựng mô hình TIN và kiểm tra tính đúng đắn của các phần mềm mô hình hoá địa hình thông qua TIN, khi xem phạm vi bề mặt địa hình trong mỗi tam giác là phẳng nghiêng

Chỉ có cơ sở toán học vững chắc và tạo ra một chương trình hỗ trợ để kiểm tra các phần mềm khác nhau thì lúc đó mới có thể kiến nghị nên sử dụng phần mềm nào dựa trên tính đúng đắn cũng như ưu nhược điểm của chúng

Mục tiêu thứ hai được đặt ra là xây dựng một chương trình tính toán để nội suy độ cao cho các điểm đã biết toạ độ mặt phẳng theo một số phương pháp khác nhau để khảo sát đánh giá các mô hình số được xây

dựng sử dụng các phương pháp nội suy khác nhau (có thể để xây dựng các nút lưới hoặc vẽ đường đồng mức)

Mục tiêu thứ ba là trên cơ sở xây dựng mô hình chuẩn bề mặt thực địa một vùng có thể dùng để khảo sát các mô hình TIN cũng như lưới đều đặn để từ đó theo tiêu chuẩn độ chính xác lập bản đồ địa hình mà đưa ra các kiến nghị khác nhau

CHƯƠNG I KHÁI NIỆM VỀ ĐỊA HÌNH VÀ CÁC ĐẶC ĐIỂM VỀ ĐỊA HÌNH

I.1 Một số dạng địa hình và cách biểu diễn trên bản đồ I.1.1 Giới thiệu chung

Bề mặt trái đất có những chỗ bằng phẳng , lồi lõm , cao , thấp khác nhau người ta gọi chung là địa hình Địa hình sẵn có được thiên nhiên tạo nên, nó đặc trưng và xác định trạng thái bề mặt của một khu vực đất đai nào đó

Thông thường , sự cấu tạo các loại địa hình rất phức tạp, cho nên việc nghiên cứu địa hình cũng rất khó khăn Chúng ta phải nghiên cứu địa hình bằng cách phân chia ra các dạng cơ bản

Để dễ dàng khi xem xét và nghiên cứu, người ta thường biểu diễn địa hình bằng các đường đồng mức Khi không vẽ được đường đồng mức, người ta ghi trên mặt bằng các độ cao của các điểm đo đạc được bố trí ở những vị trí đặc trưng của địa hình Ngoài ra, người ta còn dùng các ký hiệu quy định khác như vách đất , khe nứt v.v…để biểu diễn dáng đất trên bản đồ

Đường đồng mức là đường cong nối những điểm có cùng độ cao Đường đồng mức được quy ước là hình chiếu trên mặt bằng của giao tuyến tạo thành bởi bề mặt thực địa với mặt phẳng nằm ngang Hiệu số độ cao giữa hai đường đồng mức liên tiếp nhau gọi là khoảng cao đều của dường đồng mức hay bước của đường đồng mức Giá trị của khoảng cao đều được quy định trong quy phạm thành lập bản đồ , phụ thuộc vào tỷ lệ bản đồ, mục đích thành lập bản đồ và đặc điểm của địa hình, ngoài ra còn được lưu ý tới độ chính xác đo đạc các điểm độ cao

Tùy thuộc vào dạng địa hình các đường đồng mức có hình dáng khác nhau Sau đây là một số dạng địa hình cơ bản

I.1.2 Sườn dốc:

Phần địa hình nghiêng so với mặt phẳng một góc nào đó gọi là sườn dốc Độ nghiêng càng lớn thì khoảng cách giữa các đường đồng mức càng nhỏ , và ngược lại

Sườn dốc có thể nghiêng một góc không đổi so với mặt bằng, khi đó các đường đồng mức chiếu xuống mặt bằng thành các đường song song cách đều nhau Sườn dốc như vậy gọi là sườn dốc nghiêng đều (hình I.1 a)

Hình I.1

Ngoài sườn dốc nghiêng đều còn có sườn dốc lồi theo hướng dốc, đặc trưng bởi các đường đồng mức dần sát vào nhau theo hướng hạ thấp xuống của sườn dốc (hình I.1 b)

Sườn dốc lõm theo hướng dốc được biểu diễn trên hình I.1 c Hình chiếu trên mặt bằng cho hình ảnh giống với hình ảnh ngược của sườn dốc lồi

Những ví dụ trên chưa bao hàm hết tất cả những khả năng xảy ra ở thực địa Còn có những trường hợp khác, thường gặp nhất là sườn dốc luôn thay đổi độ nghiêng theo hướng đường đồng mức

I.1.3 Sống núi

Sống núi là dạng địa hình lồi tạo thành khi các sườn dốc tạo ra dạng địa hình này quay hướng dốc theo các hướng ngược nhau Hình I.2 biểu diễn sự tạo thành sống núi do hai sườn dốc Nối các điểm giao nhau của các đường bình độ có cùng độ cao của hai sườn dốc, chúng ta nhận được một đường mà từ đó tất cả các điểm trên hai sườn dốc theo hướng của đường có độ dốc lớn nhất đều nằm bên dưới nó Chúng ta gọi đường đó là đường phân thủy (đường nét đứt trên hình I.2)

Hình dáng của đường phân thủy có thể rất đa dạng, phụ thuộc vào loại sườn dốc tạo nên sống núi Đường phân thủy có thể lồi, lõm, thẳng hoặc uốn cong theo hướng một hoặc hai sườn dốc Phụ thuộc vào độ lớn của góc mà hai sườn dốc cắt nhau mà đường phân thủy thể hiện ít rõ ràng hay rõ ràng hơn Hình I.2b biểu diễn sống núi rộng tạo nên do hai sườn dốc lồi nghiêng đều

Hình I.2

Trong trường hợp này đường phân thủy không rõ ràng và có dạng đường thẳng (đường nét đứt)

Hình I.5 Đường nối những điểm giao nhau của các đường bình độ có cùng độ cao của hai sườn dốc được gọi là đường tụ thủy Nó là vị trí của những điểm nằm thấp nhất giữa các sườn dốc tạo thành địa hình lõm, đồng thời là đường dốc nhất của vùng lõm Các đường của khe cắt đường tụ thủy dưới một góc vuông và tại đó hướng đi của đường bình độ thay đổi

I.1.6 Yên ngựa:

Yên ngựa là chỗ thấp nhất giữa hai đường sống núi nhô cao (hình

I.6)

a) b)

Hình I.6 Hình I.6b biểu diễn yên ngựa không đều được đặc trưng bởi sự phân bố không đều của đường sống núi và khe núi

I.1.7 Lòng chảo:

Lòng chảo là vùng địa hình trũng khép kín Phụ thuộc vào hình dáng của lòng chảo mà có thể có vài đường tụ thủy hướng tới điểm thấp nhất hoặc đôi khi đường tụ thủy khó xác định Lòng chảo được đặc trưng bởi hình chiếu xuống mặt bằng là những đường đồng mức khép kín mà khoảng cách giữa các đường đồng mức bằng nhau hoặc thay đổi phụ thuộc vào độ nghiêng của sườn dốc

Hình I.7 Nhìn vào hình dáng đường bình độ không ghi độ cao, khó có thể xác định được là gò hay lòng chảo Để dễ đọc thường người ta vẽ thêm nét chỉ dốc

I.1.8 Rãnh nước chảy:

Rãnh nước chảy là vùng trũng không lớn trên sườn dốc có đường tụ thủy với xu hướng trùng với đường có độ dốc lớn nhất của sườn dốc

Hình I.8 Đường tụ thủy vẽ thành góc nhọn, còn hướng của nó phần lớn vuông góc với đường đồng mức

I.1.9 Khe sói mòn Dưới ảnh hưởng của nước chảy trên sườn dốc và phụ thuộc vào loại đất của nền móng, dòng nước ngày càng khóet sâu tạo thành dạng địa hình có độ sâu khác nhau, thành rãnh rõ ràng và tạo thành sườn dốc ít dựng đứng hay dựng đứng

Hình I.9 Hình I.9a biểu diễn khe sói mòn có độ nghiêng ở mức có thể biểu diễn bằng đường đồng mức được, trái lại ở hình I.9b biểu diễn khe sói mòn có đáy tương đối rộng, phẳng, nhưng có vách rất dựng đứng phải dùng ký hiệu vách đất đá mới biểu diễn được

I.2 Một số tính toán cơ bản về địa hình

Trên bản đồ địa hình có vẽ các đường đồng mức và dựa vào đó người ta thực hiện một số tính toán liên quan đến địa hình

I.2.1 Xác định độ dốc

Theo hình vẽ I.10 hai điểm A,B nằm trên hai đường đồng mức kề nhau Độ dốc theo hướng AB tính theo công thức

(I.1) h : là khoảng cao đều của các đường đồng mức

l : là khoảng cách giữa hai đường đồng mức trên bản đồ

M: là mẫu số tỷ lệ bản đồ Ở ngoài thực địa có thể xác định độ dốc bằng cách đo chênh cao h giữa hai điểm A&B Khi đó:

Hình I.10

I.2.2 Tính độ cao của điểm:

Tìm độ cao của điểm X (hình I.10) biết độ cao của điểm A là HA , của điểm B là HB và ba điểm A,X,B thẳng hàng, X nằm khoảng giữa hai

điểm A,B Độ cao điểm X tính theo công thức:

lhHllHHHHX = A + B − A .1= A + 1 = A +.1.

(I.3)

I.2.3 Vẽ mặt cắt

Mx

htg

i

l=

A

BX

l1

+

ABAB

SHHtgI = α = −

Hình I.11 Hướng AB cho trước trên bản đồ Kẻ đường AB cắt các đường bình độ tại các điểm 1,2,3,4,5,6,7… Để vẽ mặt cắt ta kẻ hệ tọa độ vuông góc Tỷ lệ trục ngang thường lấy bằng tỷ lệ bản đồ, còn tỷ lệ trục đứng lớn hơn tỷ lệ trục ngang nhiều lần Chọn trên trục ngang một điểm làm điểm A Từ điểm A đặt các đoạn từ A đến 1,2,3, , B tương ứng với khoảng cách đo trên bản đồ Tại các điểm nói trên theo chiều đứng đặt khoảng cách bằng độ cao ghi trên bản đồ tại các điểm đó theo tỷ lệ trục đứng, rồi nối lại ta được hình vẽ mặt cắt địa hình từ A đến B

I.2.3 Tính thể tích:

Việc tính thể tích các lớp đất đá hoặc dung tích hồ chứa nước thường được tính gần đúng bằng cách lấy trung bình diện tích mặt trên và mặt dưới nhân với chiều cao được thể tích một lớp Diện tích các mặt trên và dưới tính theo giới hạn của các đường đồng mức trên và dưới, còn chiều cao lấy bằng khoảng cao đều của đường đồng mức Lớp trên cùng hoặc dưới cùng tính theo công thức thể tích chỏm cầu Cộng thể tích của tất cả các lớp được giá trị cần tính

I.3 Phân tích các đặc điểm địa hình

Khi quy hoạch mặt bằng tổng thể và các công trình xây dựng thường phải nghiên cứu phân tích các đặc điểm địa hình

Địa hình được phân ra : bằng phẳng, trung bình, phức tạp Địa hình bằng phẳng khác với địa hình dốc thoải là không có những chỏm đất cao, hố trũng sâu

Địa hình trung bình là địa hình có thể có những đồi đất cao và mương xói không lớn lắm

Địa hình phức tạp đặc trưng bằng các mái dốc lớn và bề mặt gồ ghề bị chia cắt nhiều mảnh

Sự sắp xếp các đường đồng mức thiên nhiên trên mặt bằng cho phép chúng ta phân biệt được hình dáng và mức độ phức tạp của địa hình gồm đỉnh núi, sống núi, yên ngựa, khe, suối, thung lũng

Để xây dựng các công trình người ta thường cân nhắc lựa chọn địa hình, nghiên cứu các giải pháp hợp lý nhất Trong đa số các trường hợp tốt nhất là nên giữ lại địa hình thiên nhiên hoặc cố gắng bố trí các công trình xây dựng trên những khu vực đất đai thuận lợi

Trên đây là những dạng địa hình cơ bản và các phép tính độ cao,vẽ mặt cắt, tính khối lượng đất đá dựa trên bản đồ địa hình theo các phương pháp cổ điển được trình bày trong rất nhiều tài liệu trắc địa – bản đồ phổ thông

Tuy vậy các kiến thức này sẽ giúp chúng ta hình dung ra việc thành lập bản đồ số như thế nào và cách khai thác nó ra sao

CHƯƠNG II MÔ HÌNH SỐ ĐỊA HÌNH: II.1 Khái niệm về mô hình số địa hình

Mô hình số địa hình (DTM) là một bảng có thứ tự các con số mà nó biểu diễn sự phân bố không gian các đặc tính địa hình

Thường là một hệ thống tọa độ phẳng X,Y và độ cao địa hình Z Các đặc tính khác với độ cao có tính chất biến thiên liên tục trên mặt hai chiều cũng có thể được dùng để định nghĩa chiều thứ ba

Dữ liệu được tổ chức như là một ma trận các tọa độ X,Y,Z hoặc như là phương trình của bề mặt được định nghĩa bởi đa thức hoặc chuỗi Fourier

Một hệ thống DTM bao gồm các thành phần : - Thu thập dữ liệu

- Tiền xử lý dữ liệu - Lưu giữ và quản lý dữ liệu - Sử dụng dữ liệu

Dữ liệu DTM có thể được thu thập từ những bản đồ hiện có, từ mô hình lập thể đo vẽ ảnh, từ đo đạc trực tiếp mặt đất hoăc từ những hệ khác như hệ thống định vị GPS, v.v

Thông thường tiền xử lý dữ liệu đòi hỏi sắp xếp lại dữ liệu DTM trong những dạng thích hợp Trong đó bao gồm một số bước khác nhau :

- Biên tập dữ liệu - Chuyển đổi định dạng - Chuyển tọa độ

- Nội suy dữ liệu Mô hình số địa hình thường là một thành phần của hệ thống thông tin địa lý (GIS) Một trong những đặc tính của GIS là nó có số lượng lớn dữ liệu Vì vậy phải được tổ chức để lưu giữ và phục hồi một cách hiệu quả

DTM được ứng dụng rất rộng rãi trong đó có thể kể ra một số ứng dụng cần đến mô hình số độ cao như :

- Lưu trữ dữ liệu về độ cao cho các bản đồ địa hình trong cơ sở dữ liệu quốc gia

- Thiết kế giao thông, công trình dân dụng và công nghiệp hoặc quân sự

- Công tác qui hoạch liên quan đến chiều cao - Giải các bài toán về xói mòn, địa mạo

- Tích hợp với các dữ liệu khác để giải các bài toán khác nhau như bài toán về sinh thái

Mô hình số độ cao có thể cho ra một số sản phẩm như : - Hiển thị bề mặt, tính toán độ dốc, độ lồi,độ lõm và hình thái - Tính thể tích khối địa hình

- Tính tầm nhìn - Vẽ bản đồ đường đồng mức - Tạo mặt cắt

- Phân tích mạng sông suối, vùng trũng V.V

II.2 Các dạng mô hình số địa hình

Sự biến thiên của độ cao bề mặt trái đất được mô hình hóa theo nhiều cách Thường dùng phương pháp tìm một bề mặt toán học để xấp xỉ dữ liệu độ cao hoặc phương pháp lưới điểm

II.2.1 Phương pháp xấp xỉ bằng bề mặt toán học:

Khi nghiên cứu một quá trình biến thiên trong không gian dựa trên cơ sở một tập số liệu mẫu rời rạc, người ta phải xấp xỉ được quá trình đó bằng các hàm hoặc các quá trình đã biết Phương pháp xấp xỉ này cho phép dự đoán các thông tin tại các vị trí không lấy mẫu còn được gọi là phép nội suy Để nghiên cứu thông tin một cách chi tiết người ta luôn phải tìm cách phân tích thông tin thành hai thành phần riêng biệt mang tính khu vực và mang tính cục bộ, và xem như đó là hai thành phần độc lập Thành phần thông tin mang tính khu vực sẽ phụ thuộc vào tập mẫu và không gian

trên phạm vi toàn khu vực, gọi là Trend Phương pháp phân tích quá trình

thành các thành phần: một thành phần mang các thông tin có tính khu vực, một thành phần mang thông tin có tính thay đổi cục bộ gọi là phương pháp

phân tích Trend

Phương pháp xấp xỉ bề mặt được xây dựng cho từng phân vùng dữ liệu của tập dữ liệu quan trắc địa hình Tại mỗi phân vùng này có một bề mặt Sau đó các bề mặt này được ráp nối lại Trong quá trình ráp nối, người ta có thủ thuật làm trơn vùng tiếp giáp

Phương pháp toán học này mang lại chất lượng rất cao, bề mặt rất trơn Do vậy, nó sẽ rất có tác dụng khi được áp dụng cho các dữ liệu có bản chất biến thiên trơn Để đạt được bề mặt này người ta sử dụng các phương pháp nội suy sau:

- Đa thức - Chuỗi Furrier

♦ Xu thế bề mặt dùng đa thức thường được định nghĩa như là hàm của các

tọa độ địa lý của các điểm quan trắc được xây dựng để bình phương các độ

lệch từ trend là nhỏ nhất Trường hợp phân tích trend với hai biến độc lập

là hai tọa độ vuông góc x1, x2 , hàm tuyến tính có dạng

y=b0+b1x1+b2x2 (II.1) Bởi vì phương trình có ba ẩn số là các hằng số b , ba phương trình thường là cần thiết để giải các ẩn số Cộng hai vế sau khi nhân với 1, x1 và x2 nhận được

Σy = b0.n+b1Σx1+b2Σx2

Σx1y = b0Σx1+b1Σx12+b2Σx1x2 (II.2) Σx2y = b0Σx2+b1Σx1x2+b2Σx22

Giải hệ phương trình sẽ nhận được các hệ số của trend bề mặt tuyến

tính phù hợp nhất theo tiêu chuẩn số bình phương nhỏ nhất

Trend bề mặt có thể không là mặt phẳng và có thể phức tạp vô cùng Thêm vào đó, thường không biết trước hàm số của trend nên là thế nào Để xấp xỉ tốt bề mặt người ta dùng đa thức mở rộng của trend bề mặt

tuyến tính Đa thức vô cùng linh hoạt, và nếu mở rộng tới bậc đủ cao, có thể thích hợp với những bề mặt rất phức tạp Tuy nhiên lưu ý rằng các hàm

đa thức được dùng để phân tích trend chỉ là vấn đề thuận tiện, và sự sử

dụng chúng không báo cho biết hiệu quả nhân quả của việc xử lý bề mặt

Sự mở rộng phương trình II.1 cho trend bề mặt bậc hai là

y=b0+b1x1+b2x2+b3x12+b4x22+b5x1x2 (II.3) Lưu ý rằng phương trình gồm có các số hạng là bình phương của hai tọa độ x1 , x2 và số hạng tích trực tiếp x1x2 Sự mở rộng của phương trình

trend bề mặt ngay cả tới số mũ cao hơn cũng tương đối dễ hiểu Mỗi biến

địa lý được nâng lên mũ cao hơn tạo ra hai biến mới, rồi tích trực tiếp thích hợp của hai tọa độ được tính để cho những biến mới khác Ví dụ:

y=b0+b1x1+b2x2+b3x12+b4x22+b5x1x2+b6x13+b7x23+b8x12x2+b9x1x22 (II.4)

là trend bề mặt bậc ba Các hệ số bậc nhất là b1 và b2 Các hệ số b3, b4 và b5 là bậc hai bởi vì các biến trong các số hạng đó là dạng x3= (x1x2) , x4= (x2x2) và x5= (x1x2) Đó là, những biến là tích hai biến ban đầu nhân với nhau Tương tự , b6,b7,b8 và b9 là các hệ số bậc ba, cũng như các biến trong những số hạng đó là kết quả của nhân ba biến ban đầu với nhau, đó là:

x6=(x1x1x1), x7=(x2x2x2), x8=(x1x1x2) và x9= (x1x2x2)

♦ Xu thế bề mặt dùng chuỗi Fourier là một sự lựa chọn khác để

mô hình hóa bề mặt Chuỗi fourier kép được dùng rộng rãi nhất Bề mặt phức tạp được xem xét là tổng của hai tập tương tác của các dạng sóng hình sin hai chiều, mỗi dạng bao gồm nhiều hàm điều hòa của các biên độ và các góc pha khác nhau Ở ví dụ đơn giản nhất, tất cả các hàm điều hòa trong một hướng có biên độ bằng không, và chỉ một hàm điều hòa trong hướng khác có biên độ lớn hơn không, kết quả cho bề mặt tương tự tấm tôn

lợp nhà dợn sóng (hình II.1 a)

Bề mặt phức tạp hơn có thể được tạo ra bởi hàm điều hòa đơn trong một hướng và hàm điều hòa đơn trong hướng khác Nếu hai sóng có cùng biên độ và bước sóng, thì mẫu bề mặt giống thùng các tông khuôn trứng (hình II.1 b)

Hình II.1 Các bề mặt phức tạp được biểu diễn ở hình II.1c Rõ ràng rằng những bề mặt phức tạp có thể được tạo với chuỗi Fourier kép

a)

b)

c)

Nếu các bước sóng cơ bản trong hai hướng vuông góc với nhau ngắn hơn các kích thước vùng ánh xạ, bề mặt Fourier sẽ lặp lại với vùng ánh xạ Thông thường bước sóng cơ bản được chọn dài hơn chiều dài ánh xạ, vì thế sự lặp không xảy ra Chọn hai bước sóng cơ bản λ1 và λ2 , và vị trí ban đầu chuỗi hai chiều thường là tùy ý

Về bản chất , mô hình được dùng cho phân tích Fourier kép giống như được dùng cho phân tích trend bề mặt Các biến ánh xạ Yịj được xem là hàm của trend tuyến tính trong các giá trị trung bình Yịj ngang qua vùng ánh xạ, thành phần khu vực và thành phần cục bộ được pha trộn với sai số phân bố ngẫu nhiên Phân tích Fourier hữu ích nhất ở nơi thành phần khu vực gồm các thành phần tuần hoàn

Chuỗi Fourier kép có dạng

2j21

i10

mn2

j21

i10

mnij

Xm2sinXn2cosX

m2cosXn2cosY

λπλ

πβ

+λ

πλ

πα

=∞

=∞

=∞

2j21

i10

mn2

j21

i10

mn

Xm2sinXn2sinX

m2cosXn2sin

λπλ

πδ

+λ

πλ

πγ

=∞

=∞

=∞

Biểu thức chuỗi Fourier kép có thể đơn giản hóa bằng cách viết tắt các số hạng Đó là:

2j2*

m1

i1n

Xm2cosC

Xn2cosC

λπ=

λπ=

2j2*

m1

i1n

Xm2sinS

Xn2sinS

λπ=

λπ=

Phương trình II.5 có thể được viết lại như là

*mnmn*mnmn*mnmn*m0

nmn

=∞

Nếu chuỗi Fourier kép được viết lại bằng cách này, nó có thể được mở rộng thành hệ các phương trình chuẩn để giải các hệ số chưa biết bằng cách tương tự như các phương trình trend bề mặt Tuy nhiên, bởi vì phương

trình gồm các hệ số có chỉ số kép và tích của hai chuỗi điều hòa nhập vào mỗi số hạng, cho nên phương trình phức tạp ngay cả trong cách viết tắt Ma trận tổng và tích là ma trận [A] trong phương trình:

[A].[β] = [C] Trong đó [β] là các hệ số chưa biết và ma trận [C] bao gồm tổng của tích trực tiếp giữa Y và các hàm điều hòa khác nhau Ma trận ẩn số [β] có thể tìm được bằng cách nghịch đảo và nhân ma trận :

[β] = [A]-1.[C] Ma trận tổng và tích trực tiếp được phát triển bằng cách khai triển chuỗi Fourier tới số hạng mong muốn, là n trong hướng X1 và m trong hướng X2 Các hàng và các cột của ma trận tổng có dạng:

coco* c1co* c3s1* snsm*

coco* Σ( coco* )2 Σcoco*c1co* Σcoco*c3s1* Σcoco*snsm*

c1co* Σ c1co* coco* Σ( c1co* )2 Σc1co*c3s1* Σc1co*snsm*

c3s1* Σc3s1*coco* Σc3s1*c1co* Σ( c3s1* )2 Σc3s1*snsm*

snsm* Σ snsm*coco* Σ snsm*c1co* Σ snsm*c3s1* Σ(snsm*)2

α10 ΣYc1co*

× β31 = ΣYc3s1* (II.7)

δnm ΣYsnsm*

0 cos* sin* 1

c1c0* c1c1* C1s1* c1c2* C1s2* c1c3* C1s3* c1c4* c1s4*

Cos 1 sin s1c0* s1c2* S1s1* s1c2* S1s2* s1c3* S1s3* s1c4* s1s4*

c2c0* c2c1* C2s1* c2c2* C2s2* c2c3* C2s3* c2c4* c2s4*

Cos 2 sin s2c0* s2c1* S2s1* s2c2* S2s2* s2c3* S2s3* s2c4* s2s4*

c3c0* c3c1* C3s1* c3c2* C3s2* c3c3* C3s3* c3c4* c3s4*

Cos 3 sin s3c0* s3c1* S3s1* s3c2* S3s2* s3c3* S3s3* s3c4* s3s4*

c4c0* c4c1* C4s1* c4c2* C4s2* c4c3* C4s3* c4c4* c4s4*

Cos 4 sin s4c0* s4c1* S4s1* s4c2* S4s2* s4c3* S4s3* s4c4* S4s4*

↓ m Hình II.2

Nếu nhiều hàm điều hòa được tính phương trình ma trận trở thành cực lớn, bởi vì bốn hệ số phải được tính cho mỗi hàm điều hòa Ví dụ, nếu năm hàm điều hòa được tính trong cả hai hướng sẽ phải tính khoảng một trăm hệ số

Lưu ý , rằng sin00=0 , nếu n hoặc m bằng không, các số hạng

1

1

2sin

λ

n

Xns =

22

sẽ bằng không Vì thế , tất cả các số hạng có sin của hàm điều hòa thứ zero bằng không , và một hàng và một cột của ma trận tổng và tích trực tiếp biến mất Các số hạng bằng không được bỏ trống ở hình II.2 Cũng vậy, c0 và c0* bằng một, bởi vì cos00 = 1 Điều này làm đơn giản biểu thức của hàng và cột của ma trận mà có những số hạng đó Ở trong hình II.2 khối không chỉ có một số hạng , mà nó tạo ra mặt phẳng nằm ngang tại giá trị của hệ số của nó Khối một gồm tám số hạng mà nó biểu diễn những bề mặt của những bước sóng cơ bản Khối không và khối một chung nhau biểu diễn các hệ số của trend bề mặt điều hòa thứ nhất Khối hai gồm mười sáu số hạng thêm vào mà biểu diễn bề mặt điều hòa thứ hai có bước sóng bằng một nửa bước sóng cơ bản Bề mặt điều hòa đầy đủ thứ hai được hợp thành từ các hệ số của khối không, một và hai Mỗi bề mặt kế tiếp được xây dựng bằng cách cộng thêm các số hạng trong khối tiếp theo

Phân tích Fourier kép thường được áp dụng cho các lớp vấn đề tương tự với những trường hợp mà trend bề mặt đa thức được dùng để giải quyết Dữ liệu bản đồ xếp đặt không đều đặn được trùng khớp với bề mặt bởi hàm nội suy đặt nền tảng trên các tọa độ địa lý của các điểm dữ liệu Biểu diễn dạng tổng quát của các hàm nội suy được dùng để tách tính thay đổi của dữ liệu thành hai thành phần : trend khu vực được biểu diễn bằng hàm số và những phần dư cục bộ được biểu diễn bằng đôï lệch Chuỗi Fourier có thể là hàm nội suy thích hợp hơn chuỗi đa thức bậc cao, nếu dữ liệu có vẻ gồm các thành phần không gian lặp đi lặp lại Khi không cần làm khớp chính xác dữ liệu thì chỉ cần một số hữu hạn các hàm điều hòa là đủ cho sự phân tích Dữ liệu trong trend bề mặt thường ở dạng bố trí không đều đặn, vì thế cần tính các hệ số Fourier bằng cách giải hệ phương trình chuẩn II.7 Vì kích thước rất lớn của ma trận cần phải xử lý , cho nên khi dùng máy tính nhỏ chỉ tính được chuỗi có ít hàm điều hòa Ví dụ , như thấy ở hình II.2 cần giải 49 hệ số khi chuỗi chỉ có ba hàm điều hòa Ma trận nghịch đảo để tìm các hệ số đó gồm 2450 số hạng Những hạn chế gây ra không chỉ bởi khả năng bộ nhớ của máy tính, mà còn bởi sai số làm tròn có thể càng lúc càng rắc rối khi nghịch đảo ma trận rất lớn

II.2.2 Mô hình lưới điểm

Mô hình lưới điểm là mô hình số độ cao dựa trên tập hợp các điểm độ cao Có hai loại mô hình thông dụng, đó là ma trân độ cao và lưới tam giác

ƒ Mô hình ma trận độ cao

Mô hình ma trận độ cao là mô hình số độ cao, mà nó lưu lại độ cao tại vị trí các nút của lưới hình chữ nhật đều đặn(lưới ô vuông là dạng thông dụng nhất) Dữ liệu độ cao này có thể thu đưọc bằng nhiều phương pháp khác nhau Nó được sử dụng rộng rãi ,ví dụ, trong đo lưới thủy chuẩn vùng đất xây dựng bởi những nhà trắc địa và trong sự thu thập dữ liệu mặt cắt địa hình khi xử lý ảnh hàng không trên máy đo vẽ ảnh lập thể , đặc biệt khi dùng máy vẽ giải tích dưới sự điều khiển bán tự động hoặc tự động của máy tính

Khuyết điểm của phương pháp dựa trên lưới đều đặn là sự phân bố các điểm dữ liệu không liên hệ tới các điểm đặc trưng của thực địa Nếu các điểm dữ liệu lấy mẫu được chỉ đạo trên cơ sở của lưới đều đặn, thì mật độ phải khá cao để vẽ chính xác hình dáng những đặc trưng thực địa nhỏ nhất có mặt trên vùng được mô hình hóa

Một giải pháp khắc phục khuyết điểm trên là áp dụng việc lấy mẫu liên tiến Giải pháp này dễ áp dụng khi xử lý đo vẽ ảnh được kiểm soát bằng máy tính Mật độ lấy mẫu thay đổi trong những phần khác nhau của mô hình phù hợp với sự lồi lõm cục bộ của bề mặt thực địa Bắt đầu với một lưới cạnh dài (độ phân giải thấp) bao phủ trên toàn bộ bề mặt của mô hình Máy tính nối trực tiếp với dụng cụ đo vẽ ảnh và trên cơ sở phân tích độ cao và độ dốc thực địa sẽ quyết định mật độ lấy mẫu liên tiến Dựa trên kết quả phân tích thực địa, lưới cơ sở đầu tiên được tăng mật độ bằng cách chia đôi kích thước ô lưới trong vùng giới hạn nào đó Việc đo các điểm độ cao tại vùng có mật độ liên tiến được tiến hành dưới sự điều khiển của máy tính chỉ ở những vùng được chỉ định trước Dựa trên cơ sở phân tích dữ liệu lần hai, mật độ tăng lên của các điểm có thể được chỉ ra cho những vùng nhỏ hơn Thông thường lặp ba lần là có khả năng đạt được dữ liệu thực địa cần thiết để xây dựng được mô hình vừa ý

Hình II.3 Bằng cách này kỹ thuật lấy mẫu liên tiến cố gắng tối ưu hóa tự động hoặc bán tự động liên quan giữa độ chính xác yêu cầu, mật độ lấy mẫu và các đặc trưng của thực địa

Khi thu thập dữ liệu trực tiếp ngoài thực địa bằng máy toàn đạc thông thường hoặc toàn đạc điện tử, phải đặt mia hoặc gương phản xạ tại những điểm độ cao đặc trưng như đỉnh núi, dọc theo sống núi, những chỗ lõm hoặc yên ngựa v.v Nếu xây dựng mô hình theo dạng lưới đều đặn dùng những điểm riêng biệt được đặt ngẫu nhiên như thế, thì phải phải thực hiện việc nội suy để chuyển đổi dữ liệu đo cho lưới kích thước đều đặn thích hợp Các phương pháp nội suy khác nhau được áp dụng cho lưới ngẫu nhiên có đặc tính phân biệt là khoảng xác định của hàm nội suy Người ta phân biệt ba phương pháp nội suy :

- Phương pháp điểm - Phương pháp toàn cục - Phương pháp mảnh

Hình II.5

Những phương pháp nội suy điểm đòi hỏi phải nội suy những giá trị

độ cao tại những mắt lưới cụ thể từ những điểm độ cao được đo đặt ngẫu nhiên gần nó Mỗi điểm nút trên lưới được xác định độc lập với nút khác, và bề mặt liên tục có thể được tạo ra qua tất cả các mắt lưới

Hầu như tất cả các thuật toán được dùng để xác định độ cao của mỗi mắt lưới riêng biệt đều dựa trên việc tìm kiếm tập những điểm lân cận gần nhất, kèm theo lấy trọng số độ cao của chúng bằng một hàm số nào đó của khoảng cách tương ứng tính từ vị trí mắt lưới Những cách tìm kiếm các điểm lân cận khác nhau được minh họa ở hình II.5

Việc tìm kiếm những điểm lân cận gần nhất có thể dùng kỹ thuật tìm kiếm vùng đơn (hình II.5a), ở đó các điểm dữ liệu được chọn trong vòng tròn bán kính cho trước, hoặc một hộp có kích thước cho trước để xác định giá trị độ cao cho mắt lưới Một kỹ thuật khác cũng có thể được dùng là chọn n điểm gần nhất, trong đó n được người dùng chỉ định nhưng thông thường trong khoảng 6 đến 10 điểm (hìnhII.5b) Vì hai phương pháp này không yêu cầu kiểm tra sự phân bố của các điểm được dùng nội suy cho điểm mắt lưới, một phương pháp nữa khác biệt hơn nhiều được đưa ra là tìm các điểm gần nhất được phân khu, trong đó vùng gần điểm mắt lưới được chia thành các khu bằng nhau, thường là bốn hoặc tám khu, với hai hoặc bốn điểm gần nhất được tìm cho mỗi khu (hình II.5c)

Những phương pháp nội suy toàn cục đòi hỏi phải làm khớp bề mặt

đơn ba chiều được định nghĩa bởi đa thức bậc cao qua tất cả các điểm độ cao địa hình được đo ở những nơi ngẫu nhiên có mặt trong mô hình Từ đó bề mặt toàn cục này được xác định, và những hệ số của đa thức được xác định, vì thế những giá trị độ cao của mỗi mắt lưới có thể được nội suy Các

Điểm được nội suyĐiểm tìm thấyĐiểm loại bỏ

(c)

khó khăn có thể tăng lên khi dùng đa thức bậc cao với nhiều số hạng và tập dữ liệu dùng để tạo mô hình lớn Thêm vào, tính chất dao động không tiên đoán được do đa thức bậc cao gây ra có thể tạo nên những giá trị nội suy tồi cho các điểm mắt lưới

Những phương pháp nội suy mảnh nằm trung gian giữa phương pháp

điểm và phương pháp toàn cục Toàn bộ vùng được tạo mô hình được chia thành một loạt mảnh có kích thước bằng nhau Hình dáng của mỗi mảnh là dạng đều đặn, hình vuông hoặc hình chữ nhật Những hàm số toán học hoàn toàn riêng biệt được tạo ra để xây dựng mô hình bề mặt cho mỗi mảnh Những tập riêng rẽ các tham số phù hợp được tính cho mỗi mảnh riêng biệt

Có hai phương pháp nội suy mảnh khác nhau : - Phương pháp mảnh ghép chính xác (hình II.6a) có thể được định nghĩa trong đó mỗi mảnh tiếp giáp chính xác với mảnh bên cạnh Giữa những mảnh như thế có thể tạo ra những sự gián đoạn đột ngột để lộ ra rõ ràng dọc theo những mối nối của chúng sau khi vẽ xong đường đồng mức

- Phương pháp mảnh chồng phủ (hình II.6b) là một sự lựa chọn khác, trong trường hợp mà sẽ có những điểm nằm trong vùng gối phủ sẽ được dùng trong tính toán các tham số cho mỗi mảnh

Những ưu điểm của phương pháp mảnh so với phương pháp toàn cục là dùng đa thức bậc thấp cũng đủ để miêu tả mỗi mảnh, như vậy số ẩn số cần giải phương trình cho mỗi mảnh ít, đồng thời dùng phương pháp số bình phương nhỏ nhất để giải Một khi đã giải được các ẩn số dể dàng tính được giá trị các mắt lưới bằng sự thay thế ngược trong các hàm số hoặc phương trình miêu tả mảnh

Tuy nhiên, cũng có một số nhược điểm của phương pháp mảnh là nó cần tổ chức dữ liệu và xử lý nhiều hơn phương pháp điểm và phương pháp toàn cục

Hình II.6 Mặt khác sự chia nhỏ mô hình bề mặt cần được đưa ra thận trọng nếu dữ liệu được phân bố tồi về phía các góc của mảnh, vì nó ảnh hưởng đến các tham số được tính toán và độ chính xác của các giá trị độ cao tính cho các mắt lưới

Các đa thức được dùng phổ biến đểû biểu diễn bề mặt địa hình trong những phương pháp toàn cục và phân mảnh được trình bày ở bảng sau

Bảng II.1 Các số hạng riêng biệt Bậc của số hạng Số số hạng z = ao

+a1x+a2y +a3x2+a4y2+a5xy +a6x3+a7y3+a8x2y+a9xy2

+a10x4+a11y4+a12x3y+a13x2y2+a14x3

+a15x5+

Không Một Hai Ba Bốn Năm

1 2 3 4 5 6 Trong đó z là độ cao của điểm riêng biệt i , xi và yi là tọa độ vuông góc của điểm i và a0, a1, a2 là những hệ số của đa thức Một phương trình như thế có thể được lập cho mỗi điểm riêng biệt i với tọa độ xi,yi,zi xuất hiện trong mô hình bề mặt thực địa

Các giá trị x,y và z đã biết của các điểm đo có mặt trong toàn bộ tập dữ liệu hoặc trong mảnh Vì vậy các giá trị của các hệ số a1,a2,a3 có thể xác định được từ tập các phương trình thích hợp đã được lập cho mỗi điểm dữ liệu Một khi các giá trị của các hệ số a1,a2,a3 đã được xác định, thì với tọa độ x,y đã biết của mắt lưới bất kỳ có thể tính được độ cao liên hệ

Một số dạng bề mặt đơn giản tiêu biểu được dùng cho các mảnh mô hình :

- Đa thức bậc hai 4 số hạng (bilinear) z = a0+a1x+a2y+a3xy (II.8) - Đa thức bậc hai kép 9 số hạng (biquadratic)

z = a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2+a6x2y+a7xy2+a8x2y2 (II.9) - Đa thức bậc ba kép 16 số hạng (bicubic)

z = a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2+a6x2y+a7xy2+a8x2y2+a9x3+a10y3

+a11x3y+a12xy3+a13x3y3+a14x3y2+a15x2y3 (II.10)

ƒ Mô hình lưới tam giác(Triangular Irregular Net work-TIN)

Phương pháp này được dùng ngày càng tăng trong mô hình hóa địa hình Mô hình được tạo thành từ một mạng lưới các tam giác liên thông với nhau, không cắt nhau, không chứa nhau, có đỉnh tại các điểm quan trắc độ cao địa hình Không giống như ma trận độ cao, TIN có khả năng lưu giữ thông tin về các biến đổi phức tạp của địa hình như vách dốc,địa hình lởm chởm Dùng các tam giác dễ dàng đưa ra những liên hệ với các đường gãy, đường biên

Ban đầu phương pháp lưới tam giác bị trì trệ từ một thực tế là khó để đảm bảo rằng lưới tam giác tương tự sẽ được tạo ra từ tập đơn các điểm dữ liệu đo được đặt ở những vị trí ngẫu nhiên, không đặt thành vấn đề lưới tam giác được xây dựng bắt đầu từ điểm nào Thêm vào, lưới tam giác tự động thường chiếm thời gian quá cao để thực hiện trên máy tính Tuy nhiên , các vấn đề đó đã được vượt qua, vì thế, mô hình hóa địa hình trên cơ sở lưới tam giác hiện nay trở nên phổ biến Bất kỳ phương pháp nào dựa trên cơ sở lưới tam giác cũng nên cố gắng để tạo ra tập duy nhất các tam giác mà là những tam giác gần đều nếu có thể được và với những chiều dài cạnh nhỏ nhất

Có hai thuât toán chính được dùng để thi hành những điều kiện tất yếu này là phương pháp lưới tam giác Delaunay và thuật toán xoay bức xạ Các phương pháp này sẽ được trình bày chi tiết ở chương sau

II.3 Mô hình số địa hình trong hệ thống thông tin địa lý

Lịch sử phát triển của việc ứng dụng máy tính trong các công việc về bản đồ chỉ ra rằng , đã phát triển song song tự động hóa công tác thu thập dữ liệu, phân tích dữ liệu, biểu diễn nhiều lĩnh vực rộng lớn Các lĩnh vực đó là: địa chính, giao thông ,địa chất, qui hoạch Do đó có nhiều công việc trùng nhau và có nhiều công việc phải phối hợp từ nhiều ngành được giải quyết bằng một hệ thống chung, liên kết nhiều dạng xử lý số

liệu không gian Thưc tế chỉ ra rằng cần phải phát triển một tập các công cụ để thu thập, lưu trữ, tìm kiếm, biến đổi và hiển thị các dữ liệu không gian từ thế giới thực nhằm phục vụ thực hiện mục đích cụ thể Tập các

công cụ kể trên được gọi là hệ thống thông tin đia lý (GIS) Đó là hệ thống

thể hiện các đối tượng từ thế giới thực thông qua :

- Vị trí của đối tượng thông qua một hệ tọa độ; - Các thuộc tính của chúng mà không phụ thuộc vào vị trí; - Các quan hệ không gian giữa các đối tượng (quan hệ topo) Cấu trúc của một hệ thống thông tin địa lý được biểu diễn ở hình II.7, được xác định bởi bốn phụ hệ dưới một lớp các ứng dụng:

- Phụ hệ nhập dữ liệu - Phụ hệ quản trị dữ liệu - Phụ hệ phântích dữ liệu - Phụ hệ đầu ra của dữ liệu Lớp các ứng dụng chính là các bài toán mà hệ thống phải giải Lớp ứng dụng có thể là một số trong các ứng dụng sau :

- Quản lý đất đai - Quản lý tài nguyên - Quy hoạch đô thị - Điều hành giao thông - Các bài toán địa hình - Mô hình mặt đất - v.v

Hình II.7 Các công cụ máy tính làm việc với dữ liệu của các hiện tượng tự nhiên trên bề mặt của trái đất được biết đến với cái tên là hệ thống thông tin không gian, có thể làm việc với đủ loại thông tin như bản đồ, ảnh hàng không, ảnh viễn thám Qúa trình thu thập dữ liệu được tiến hành qua các

Lớp các ứng dụng Phụ hệ phân tích dữ liệu Phụ hệ phân tích dữ liệu

Phụ hệ đầu ra của dữ liệu Phụ hệ nhập

dữliệu

CSDL

giai đoạn : quan sát, khái quát hóa, chuyển dạng về thông tin có thể lưu trữ

trong một nơi gọi là cơ sở dữ liệu Cơ sở dữ liệu là nơi cất giữ vật lý các

thông tin và điều hành các thông tin đó Trong cơ sở dữ liệu các thông tin thường không được sử dụng trực tiếp mà phải thông qua một hệ thống các công cụ truy xuất, tái tạo lại đối tượng thế giới thực mà người dùng quan tâm

Dữ liệu địa lý là các dữ liệu số mô tả các đối tượng trong thế giới thực Không giống như các dạng dữ liệu thông dụng khác, dữ liệu địa lý phức tạp hơn, nó bao gồm các thông tin về vị trí, các quan hệ topo và các thuộc tính phi không gian Mô hình dữ liệu địa lý bao gồm bốn thành phần sau:

- Mã khóa - Định vị - Thành phần phi không gian - Thành phần không gian

Mã khóa là mã số duy nhất cho thực thể, đặc trưng duy nhất cho thực

thể, để phân biệt thực thể này với thực thể khác

Định vị xác định vị trí thực tế của thực thể trên thực tế Thông

thường người ta dùng các hệ tọa độ để xác định tọa độ cho thực thể

Thành phần phi không gian là thành phần chứa đựng các số liệu về

thuộc tính của thực thể Các thuộc tính này có thể là định lượng hoặc định tính

Thành phần không gian phản ánh hình dáng bên ngoài của thực thể

Để chuyển vào máy tính người ta cấu trúc hình dạng đó theo một trong hai cách: raster hoặc vector

Trong cấu trúc raster, thực thể không gian được biểu diễn thông qua

các ô (cell) hoặc ô ảnh (pixel) của một lưới các ô Trong máy tính lưới ô này được lưu trữ dưới dạng ma trận, trong đó mỗi ô là giao điểm của một hàng và một cột trong ma trận

Trong cấu trúc vector, thực thể không gian được biểu diễn thông qua

các phần tử cơ bản là điểm, đường, vùng và các quan hệ topo (khoảng cách, tính liên thông, tính kề nhau ) giữa các đối tượng với nhau

Mô hình số độ cao là một nội dung của hệ thống thông tin địa lý Mọi biểu diễn số của dữ liệu độ cao bề mặt địa hình gọi là mô hình số độ cao, được biết dưới tên DEM (Digital Elevation Model) Thuật ngữ mô hình số địa hình DTM (Digital Terrain Model) cũng được sử dụng.DTM được sử dụng chung cho bất kỳ dữ liệu thuộc tính Z nào có tính chất biến thiên liên tục trên mặt hai chiều

Các dữ liệu của mô hình số độ cao được thu thập từ nhiều nguồn khác nhau và đưa vào cơ sở dữ liệu của hệ thống thông tin địa lý Hệ thống thông tin địa lý cho phép:

- Nhập dữ liệu - Lưu trữ dữ liệu, truy cập và hỏi đáp - Chuyển đổi dữ liệu, phân tích và mô hình hóa - Báo cáo dữ liệu

Mô hình số độ cao được ứng dụng rất rộng rãi trong các bài toán địa hình và nó có thể cho ra các sản phẩm như sau:

• Hiển thị bề mặt, tính toán độ dốc, độ lồi, độ lõm và hình thái • Tính thể tích khối địa hình

• Tính tầm nhìn • Vẽ bản đồ contour • Lập bản đồ bóng địa hình • Phân tích mạng sông suối, vùng trũng Qua chương này chúng tôi tổng hợp các phương pháp toán học biểu diễn độ cao mặt đất mà từ trước đến nay vẫn được áp dụng đối với lưới điều hòa và đặc biệt là nội suy độ cao các điểm bề mặt theo các phương trình khác nhau, nhằm làm cơ sở để phất triển các chương sau

CHƯƠNG III CÁC MÔ HÌNH SỐ ĐỊA HÌNH XÂY DỰNG TRÊN CƠ SỞ LƯỚI

TAM GIÁC KHÔNG ĐỀU (TIN) III.1 Lưới tam giác Delaunay xây dựng theo thuật toán vùng Thiessen

Đi cùng với lưới tam giác Delaunay là đa giác Thiessen , mà định nghĩa hình học là vùng ảnh hưởng xung quanh một điểm Vùng Thiessen được xây dựng theo cách mà những đường bao của vùng cách đều nhau từ điểm lân cận, sao cho mỗi vị trí nội trong một vùng gần với điểm quan sát nó chứa hơn bất kỳ điểm nào khác Điều này được làm bằng cách xây dựng một loạt đường trung trực trên mỗi tam giác được tạo ra xung quanh một điểm cụ thể Chúng giao nhau tại đỉnh Thiessen Đa giác được định nghĩa như vậy là đa giác Thiessen Hình vẽ của chúng ở đầu ra của đồ họa máy tính giống như những “viên đá lát” Những điểm bao quanh điểm dữ liệu cụ thể ( ví dụ điểm o ) được biết như là những điểm lân cận Thiessen

Đa giác Thiessen

6

3

45

Hình III.1 Trước khi bắt đầu xây dựng lưới tam giác bước mở đầu là định nghĩa tập các điểm biên (nhân tạo) để tạo chu vi xung quanh rìa của vùng tập dữ liệu Điều này cần thiết để tạo ra một khung cho mô hình địa hình và một tập các tam giác biên mà cho phép các đường đồng mức được ngoại suy bên ngoài vùng của tập dữ liệu Một khi những điểm biên này ( mà có thể có các giá trị tùy ý) được định nghĩa và được đưa thêm vào tập dữ liệu, toàn bộ vùng có thể được xây dựng lưới tam giác, bắt đầu với một cặp các điểm biên nhân tạo đưọc biết như là những những điểm lân cận đã biết ban đầu (A và B nằm ở góc dưới bên trái của vùng được minh họa ở hình III.1)

Việc tìm kiếm điểm lân cận tiếp theo được làm bằng cách xây dựng vòng tròn với đáy AB như là đường kính và tìm kiếm phía bên phải (theo chiều kim đồng hồ) để tìm ra bất cứ điểm nào rơi vào vòng tròn này (hình

III.2) việc tìm kiếm này có thể thực hiện khá nhanh bằng máy tính

Hình III.2 Nếu không có điểm dữ liệu nằm trong vòng tròn, thì vòng tròn được tăng diện tích có thể gấp đôi vùng của vòng tròn ban đầu, với AB bây giờ là một dây cung của vòng tròn lớn hơn (hình III.2)

Bất cứ điểm dữ liệu nào nằm trong vòng tròn mới đều được kiểm tra để tìm ra điểm nào thích hợp với tập tiêu chuẩn lân cận Thiessen gần nhất

Một khi nhận được kết quả , việc tìm kiếm điểm lân cận tiếp theo được tiếp tục sang bên phải (theo chiều kim đồng hồ), và như vậy đến khi

Điểm lân cận đã biết

Điểm xoayA

B

.5

.14.

điểm biên tiếp theo được tìm ra Những tam giác được tạo thành hình dáng như thế sẽ tạo thành khung sườn Quy trình xây dựng lưới tam giác được tiếp tục, mỗi điểm trong khung sườn được dùng như là điểm khởi đầu cho việc tìm kiếm cho tập tiếp theo của lân cận Thiessen Điều này được tiếp tục một cách hệ thống đến khi các lân cận cho tất cả các điểm tồn tại trong tập dữ liệu được tìm thấy và các tam giác tương ứng được tạo hình dáng

Hình III.3

III.2 Lưới tam giác xây dựng theo thuật toán xoay bức xạ

Thuật toán xoay bức xạ là phương pháp khác với lưới tam giác Delaunay Dữ liệu nhập ở dạng các điểm với tọa độ x, y và z được đặt ở vị trí ngẫu nhiên Các điểm được bố trí thông thường ở đỉnh núi, sống núi, và các đường gãy v.v Điểm nằm ở gần tâm dữ liệu nhất được chọn như là điểm khởi đầu cho lưới tam giác Từ điểm trung tâm này khoảng cách và góc phương vị tới tất cả các điểm khác trong tập dữ liệu được tính và các điểm được sắp xếp theo thứ tự tăng dần góc phương vị

Một khi điều này được thực hiện, đường bức xạ tới mỗi điểm được thiết lập và tam giác dài nhỏ được tạo ra bằng cách nối đường thẳng giữa điểm mới và điểm trước đó (hình III.4)

Nếu hai điểm có cùng góc phương vị, vậy thì chúng được dùng để tạo thành một cặp các tam giác ở mỗi phía của cạnh chung Bởi vì mỗi điểm được truy cập, nó được bổ xung vào mép mắt xích tạo ra đường biên khác của mạng tam giác Một khi sự xoay ban đầu hoàn tất, những phần lõm được tạo bởi lưới tam giác xoay bức xạ ban đầu phải được lấp đầy bằng những tam giác mới Mỗi điểm hoặc nút trên mép biên được kết nối và so sánh với hai nút kế tiếp trên mép và kiểm tra để xem liệu có tam giác bên trong có thể được tạo ra hay không Nếu có thì tam giác mới được bổ xung vào cơ sở dữ liệu, và nút thứ hai ở bên trong được loại khỏi danh sách các điểm biên bên ngoài Sau khi qui trình được hoàn tất, mép biên bao gồm các điểm hoặc các nút tạo thành cạnh lồi của mô hình địa hình (xem đường bao bên ngoài hình III.5)

Hình III.5 Như có thể thấy ở hình III.5 tất cả các điểm dữ liệu bây giờ được tạo thành lưới tam giác với các tam giác không chồng lên nhau Tuy nhiên

hình dáng và sự kết nối còn xa với sự mong muốn Để tối ưu hóa những hình dáng mỗi tam giác bây giờ lại được kiểm tra với những tam giác lân cận

Tứ giác được tạo ra bằng một cặp tam giác Điều này được kiểm tra bằng cách tính hai khoảng cách của các cặp điểm nút đối nhau Nếu khoảng cách giữa hai điểm nối thành cạnh chung của hai tam giác lớn hơn khoảng cách giữa hai nút còn lại thì chỉ số tam giác được thay đổi và các mục chọn của cơ sở dữ liệu được cập nhật Qui trình này được lặp lại với sự đi qua liên tiếp qua cơ sở dữ liệu cho đến khi đi qua toàn bộ cơ sở dữ liệu mà không tạo ra được sự thay đổi nào nữa (hình III.6)

Hình III.6

III.3 Nội suy vẽ đường đồng mức từ dữ liệu lưới tam giác

Có hai lựa chọn chính cho việc vẽ đường đồng mức với các điểm dữ liệu độ cao được tạo lưới tam giác được đặt ở vị trí ngẫu nhiên:

(a) các đường đồng mức được nội suy tuyến tính đơn (b) dùng một vài dạng hàm số tạo những đường đồng mức được làm

trơn Ở phương pháp lưới đều đặn khó khăn tiềm tàng với tính đa trị liên quan tới hướng mà các đường đồng mức đi qua Với một ô vuông trên hình III.7 với độ cao các đỉnh ô vuông là 0, 20, 0, 20 sẽ có các phương án đường đồng mức số 10 đi qua như sau :

a) b) c)

Hình III.7 Đường đồng mức phương án c hình III.7 là không thể xảy ra vì đường đồng mức số10 cắt nhau Với phương án a hình III.7 có thể xảy ra đối với đường đồng mức số 10, nhưng không thể xảy ra đối với đường đồng mức 20 Tương tự đường đồng mức số 0 không thể xảy ra đối với phương án tại hình III.7 b

Để khắc phục các khó khăn nêu trên nhiều phần mềm không nội suy đơn giản tuyến tính từ các ô riêng biệt mà thay vào đó là nội suy đường đồng mức dựa trên hàm toán học phù hợp Một trong những dạng hàm toán học này là đa thức bậc ba kép Để làm điều này một mảnh vá bề mặt địa hình được tạo thành từ tối thiểu 16 điểm mắt lưới (hay 9 ô vuông tế bào) như hình III.8 Trước tiên xác định các hệ số a0, a1, a2, của phương trình II.10 Trên cơ sở các hêï số vừa xác định dựa vào hàm II.10 xác định độ cao các điểm nút của ô vuông tế bào con, sau đó đường đồng mức được nội suy tuyến tính trong các ô vuông tế bào con

10

020

20

0

020

2010

10

2020

a) b) c)

Hình III.8 Rõ ràng trong trường hợp phân chia thành các tế bào con sự thay đổi hướng đột ngột của đường đồng mức giữa các tế bào ô vuông cơ sở được giải quyết và đường đồng mức có dạng mềm mại hơn Để đường đồng mức có dạng mềm mại hơn nữa lại có thể chia các tế bào con thành bốn tam giác mà đỉnh chung nằm nơi giao điểm hai đường chéo (hình III.9) và dĩ nhiên độ cao của chúng được xác định theo II.10

Hình III.9 Đối với mạng lưới tam giác việc vẽ đường đồng mức thường bắt đầu tại các tam giác biên Mỗi tam giác là một tế bào bề mặt địa hình Dùng nội suy tuyến tính, tất cả các điểm mà đường đồng mức đi vào dọc theo chu vi được xác định vị trí và các điểm đi ra tương ứng được tìm thấy trên một cạnh trong hai cạnh của mỗi tam giác biên Như vậy điểm ra của đường đồng mức đối với tế bào tam giác này sẽ là điểm vào tế bào tam giác khác cùng chung cạnh với tam giác trước (hình III.10)

Đi vào Đi ra

Hình III.10 Trong tài liệu [1] trang 126 nói rằng :”Giống như với phương pháp dựa trên cơ sở lưới đều đặn, vậy thì trong phương pháp dựa trên lưới tam

giác, vùng một tam giác riêng biệt có thể được chia nhỏ thành những tam giác nhỏ hơn để khắc phục khó khăn của những vector dài với những thay đổi bất ngờ về hướng tại cạnh chung giữa hai tam giác kề nhau Những giá trị tại các đỉnh của mỗi tam giác nhỏ được tính ra bằng nội suy tuyến tính đơn Vậy thì những điểm cắt được xác định cho mỗi đường đồng mức dọc theo các cạnh của mỗi tam giác nhỏ Nối những điểm cắt cho ra đường đồng mức cần tạo, hơn nữa nó trông trơn hơn vì nó bao gồm một loạt những vector ngắn, thay vì những vector dài nối qua toàn bộ tam giác Rõ ràng những quyết định vẽ đường đồng mức trong bất cứ tam giác nhỏ nào cũng được đơn giản hóa tới việc chọn giữa hai cạnh của tam giác như thế tương phản với ba cạnh có thể có trong các cell lưới đều đặn.” Theo suy luận chúng tôi nhận thấy nếu dùng một tam giác tế bào chia thành các tam giác tế bào con và dựa trên nội suy tuyến tính đơn giản từ các đỉnh tế bào cơ sở cho độ cao các đỉnh tam giác con thì kết quả đường đồng mức lúc phân chia thành các tam giác tế bào con giống y hệt như dạng nguyên thuỷ của tế bào cơ sở

Hình III.11 Ta hãy lấy hình III.11 để minh hoạ Giả sử ba đỉnh tam giác A, B, C có độ cao tương ứng là 0, 10, 20m từ tam giác này ta nội suy tyến tính đường đồng mức cho kết quả như hình III.11 a Bây giờ chia tam giác cơ sở thành bốn tam giác nhỏ mà đỉnh nằm giữa các cạnh tam giác ban đầu (hình III.11 b) Rõ ràng không có sự khác biệt nào về đường đồng mức trong hai trường hợp trên

Theo quan điểm của chúng tôi thì chỉ khi các đỉnh của tam giác con được nội suy với đa thức bậc cao sử dụng các điểm độ cao của các đỉnh tam giác khác xung quanh tam giác ABC thì lúc đó đường đồng mức thiết lập qua hai trường hợp trên mới có sự khác biệt nhau

III.4 Làm trơn các đường đồng mức

Nói chung có hai phương pháp hiện được sử dụng để làm trơn các đường đồøng mức Phương pháp thứ nhất đơn giản nhất, thông dụng nhất, nhanh nhất là làm trơn mỗi đường đồng mức độc lập với những đường còn lại Sự làm trơn cong các đường đồng mức có thể đạt được bằng cách dùng

B(10)

C(20) 0A(0)

10

2010

15

F(15)D(5)

E(10)

một loạt các hàm spline bậc ba hoặc các đa thức thích hợp qua chuỗi các điểm nội suy cắt dọc theo các biên tam giác Trong các vùng có các đường đồng mức rất gần nhau như trong những vùng dốc đứng, các đường đồng mức được làm trơn có thể cắt nhau nếu qui trình này được áp dụng

Hình III.12 Phương pháp khác thay thế là làm khớp một số dạng mảnh ba chiều cho mỗi tam giác, như thế đảm bảo sự chuyển tiếp trơn từ một tam giác tới tam giác tiếp theo, thay vì có một loạt các mặt tam giác phẳng với những thay đổi đột ngột về hướng của các đường đồng mức giữa các mặt dọc theo những cạnh chung của các tam giác gần kề Điều này đòi hỏi tạo ra “mảnh đa giác” dùng điểm trung tâm và các điểm lân cận Thiessen của nó (hình III.13) Mảnh đa giác có hình dạng giống hình đa giác trung tâm gồm nhiều tam giác có một đỉnh chung

Không có khó khăn trong việc tạo ra mảnh đa giác, nhưng nó sẽ có hình dạng không đều (vì không có lưới đều đặn), do vậy các điểm dữ liệu sẽ có sự sắp xếp hơi nan giải Các khoảng cách từ điểm trung tâm tất cả không bằng nhau và hàm làm khớp bề mặt mảnh có thể là hàm nội suy được tính trọng số nghịch đảo với khoảng cách Như vậy, bề mặt đa thức bậc thấp có trọng số nghịch đảo khoảng cách có thể được khớp với các điểm dữ liệu đặt ở vị trí ngẫu nhiên ở trong mảnh

Có hai phép nội suy mảnh được quan tâm là phép nội suy có chừng mực 9 hệ số dựa trên đa thức bậc năm mà thông thường phải đòi hỏi 21 hệ số của Birkhoff-Mansfield(1974) và phép nội suy bậc năm của Akima(1978)

Phương pháp làm trơn đường có thể ít tôn trọng dữ liệu nguồn, còn phương pháp làm trơn mảnh phức tạp và tốn nhiều thời gian, hơn nữa thường gây nhiễu trong các đường đồng mức

Albert H.J Christensen(Photogrammetric Engineering & Remote Sensing Vol.67,No.4,April 2001,pp.511-517) đề nghị thuật toán Eclectic dung hoà cả hai phương pháp trên bằng cách ghép nối đơn giản các cung parabolas bậc hai cho hình dáng đẹp mắt và vẫn tôn trọng dữ liệu nguồn (hình III.14)

Ở hình III.14a biểu diễn hai tam giác P1P2P3 và P1P3P4 Trọng tâm của chúng là C1, C2 và các đường trung tuyến được vẽ bằng nét đứt Đường đồng mức được vẽ bằng nét đậm với các đỉnh V1, V2, V3 nằm trên cạnh của hai tam giác đó và cắt hai đường trung tuyến C1P3 và C2P3 tại H1 và H2 Giải pháp gồm hai bước rất đơn giản Trước tiên xác định hai điểm J1

và J2 nằm giữa hai đoạn V2H1 và V2H2 (hình III.14b) Tiếp theo xác định điểm K nằm giữa đoạn J1J2 Bây giờ coi J1 là giao điểm của hai tiếp tuyến với đường cong parabola bậc hai Tiếp theo nội suy các điểm trên cung parabola giữa H1 và K với số lượng đủ lớn để biểu diễn cung với một mức độ làm trơn được yêu cầu Bằng cách tương tự làm trơn nửa thứ hai giữa K và H2 Để nội suy các điểm trên cung parabola các tiếp tuyến được chia thành n khoảng bằng nhau và tạo thành những tiếp tuyến mới của parabola Trên hình III.14b các tiếp tuyến cắt nhau tạo thành các đoạn thẳng Điểm giữa của các đoạn thẳng này là các điểm parabola được nội suy Hình III.15 là kết quả làm trơn bằng hàm spline bậc ba (a), (b), phép làm trơn mảnh bậc năm (c)và làm trơn bằng thuật toán Electic (d)

a) b)

Hình III.14

Hình III.15