Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật điện tử: Nghiên cứu đánh giá hiệu quả các phép biến đổi đa tỉ lệ và ứng dụng trong xử lý ảnh

Các phép biến đổi da tỉ lệ từ lâu đã được áp dụng rất nhiều vào trong xử lý số tín hiệunhờ các ưu điểm của chúng như: khả năng phân tích tan số tại một điểm thời gian khônggian, khả năng

TRUONG DAI HOC BACH KHOA

-Q§

#3-~-LUẬN VĂN THẠC SĨ

HV: DUONG TAN VUGVHD: PGS.TS LE TIEN THƯỜNG

TP HO CHI MINH, NAM 2013

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Tiên Thường c cà,

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Võ Trung Dũng - c2 c2 1212221221 211211211 rey

Cán bộ châm nhận xét 2: TS Hoàng Ïrang c2 nhe

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Dai học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 30 tháng 12năm 2013.

Thanh phan Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ bao gồm:

1 PGS TS LE TIEN THƯỜNG

2 TS HOANG TRANG.3 TS VÕ TRUNG DŨNG.4 TS HOANG MINH TRÍ

5 TS VO NGUYEN QUỐC BẢO

Xác nhận của Chủ Tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi

luận văn đã được sửa chửa.

CHỦ TỊCH HỘI ĐÔNG TRƯỞNG KHOA

ĐẠI HỌC QUOC GIA TP.HCM CONG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập -Tự do -Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: DƯƠNG TẤN VŨ MSHV: 12140061Ngày, tháng, năm sinh: 12/11/1988 Noi sinh: Quang Nam

Chuyén nganh: Kỹ Thuật Điện Tử Mã số: 605270

I TEN DE TÀI: NGHIÊN CỨU ĐÁNH GIÁ HIỆU QUA CÁC PHÉP BIEN ĐÔI ĐA TI LỆ VÀUNG DỤNG TRONG XỬ LÝ ANH

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Tìm hiểu, phân tích, nghiên cứu các giải thuật đa tỉ lệ (Wavelets,Ridgelets, Curvelets, Contourlets) và xem xét một cách toàn diện các công trình liên quan đến ứngdụng vào xử lý ảnh: triệt nhiễu Nhờ đó có thể đưa ra một đánh giá chính xác về các công trình liênquan, tong hợp và phát triển các ý tưởng để xây dựng phương pháp tương ứng cho việc xử lý ảnhđược tốt và phù hợp cho từng loại ảnh Tiếp theo, luận văn sẽ thực hiện mô phỏng hệ thống đượcthiết kế băng phần mềm MATLAB và so sánh kết quả với các phương pháp khác, nhăm đưa ra kếtluận, đánh giá cũng như có hướng phát triển cho các công trình nghiên cứu tiếp theo

Il NGÀY GIAO NHIỆM VU: 24/06/2013Ill NGAY HOÀN THÀNH NHIỆM VU: 22/11/2013Iv CAN BO HUONG DAN: PGS TS LE TIEN THUONG

Tp HCM, ngày thang năm 2013CAN BO HUONG DAN CHU NHIEM BO MON DAO TAO

TRUGNG KHOA KY THUAT DIEN TU

Nhiệm vụ luận văn 3 HVTH: Dương Tân Vũ

LOI CAM ON

IEEE oR

Trước tiên, tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến PGS.TS Lê Tiến

Thường vì đã cho tôi cơ hội được làm việc trong lĩnh vực xử lý ảnh, với

những hướng dan tận tình và day kinh nghiệm của thay, cũng như nhữnglời động viên, khuyến khích tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Sựtận tình của thầy vừa là nguồn động lực vừa tạo cho chúng tôi sự hamthích nghiên cứu khoa học Chúng tôi luôn trân trọng những hướng dẫn vàgol ý rât chuyên môn, sự kiên nhẫn và đặc biệt là sự thân thiện của thây.

Kế đến, tôi cũng xin được tri ân quý thay cô khoa Dién- Điện tử, đặc biệt

là Bộ môn Viễn thông đã vung dap cho chúng tôi nền tảng kiến thức dé cóthể thực hiện luận văn này

Cuối cùng, tôi xin cám ơn gia đình va bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thờigian qua.

Thành phó Hỗ Chí Minh, tháng 09 năm 2013

DƯƠNG TẤN VŨ

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THAC SĨ - 1 2 2111515151512 5121 5121111211111 1111011111211 101 re 3

LOL CẢM ON S1 1 1 1121211 1111112111111211111101211111101211111 11111 11111110121 1111 1111111111112 4MỤC LỤC 5c c1 n1 1111112111211 1111111111111111111121211111101 211111111111 21111101 2111111112111 11a 5

DANH MỤC HINH - - - 2 1 1515151515151515 5121111215 11215 111111111111 1111 1111011111011 2110 11111 re 6

ABSTRACCTT G- ST 1 121112111515 111121111111 211111111 2111111 2111111111111 1111111211111 2111111 11112111111 8TOM TAT LUẬN VĂN - 5: c1 E1 15151111115121111115 1111111 211111101 1111111211111 111111 1e 9CHUONG 0 ĐẶT VAN DE uoiceececsccscssssessssscsesssssscsssecscsvsvsecscevsssucavsvsusscsvsvsesacsvsnsasavsvsasevavesaeaseess 10CHUONG I CƠ SỞ LÝ THUYÊTT 2 + SE SE2E9EEEEEE919E5E12151511111111111111111111111 2111116 13

I Khái niệm cơ bản về xử lý ảnh - ¿5-5225 S222 2E2E 222152121211 21212121112121111211 1121.1121 1e 131 Ảnh Và piX€Ì: 5: CS S 1 1 1E 151111111111 11111111 1101012110111 2101111111101 111101 1kg 132 Ảnh màu và các hệ mầu: eeccecccccscccescsceseseecescsccscsccseseescsecscseesesescsecsesescsesscseesvssescsescseseesetscseseaes 14

3 Các loại định dạng ảnh - - c1 110921011 11199111 111911111911 ng ng 17

A, K@tuainecececcccccccccccccccssscscscscscscscscsvscsvsvsssscscsvscevsvsvescscavecsvavsvsesscavscevsvsvsvsesssscavevevasesecscstavevaneess 18II e.0121/.0i010.10 7 191 Biến đổi Wavelets c.cccccccccccccccsccscscscsssscscscscsvscssusscscscsvscsvsvevsssecscevavsvevsusesansvevsvsvavsesesssanetevaneess 19

V So sdnnh cha 78

KET LUẬN VA HUONG PHAT TRIEN DE TAL ccccccscscssssssssesesssecscscsssscscsvssssestsvssssvsvsvsssevsvesees 82

TAI LIEU THAM KHẢO 5-5-5 2S 121215151515 12111112111215 1111111111111 2111010101112 1Ẹ111101110 1 ng 84

Mục lục 5 HVTH: Dương Tan Vũ

Hình 3 Toa độ hệ thông mau RGB - 2© 2 52% SE 22123921 EE212121 11112111 212111011 11111 15

Hình 4 _ Hệ màu CMY và CMY K - - Gv 15Hình 5 Quan hệ giữa các hệ màu RGB và CMY Gv 16

Hình 6 Mat phẳng mau CyC, tại Y =O.5 2-5: Sc 221 v11 121511 21211111011110111 1111110111111 xe l6

Hình 7 Minh họa lưới dyadic với các giá tr] CHA M VA I\ << +2 E9 ng, 22

Hình 8 Hàm y(t) của biến đổi Haar 52 522222221 3921 12121211111 2111 212111111 xe 23Hình 9 Hàm y(t) của biến đổi Meyer ¿5-52 221221 x23 E9212121211111 1111211121111 1.1 cxe 23Hình 10 Ham y(t) của biến đổi Daubechies n với n=2,3,7,8 - ¿Set +e SE SE SE sEceresea 24Hình II Ví dụ về xử lý ảnh bang Wavelets: Triệt nhiễu a) ảnh gốc, b) ảnh nhiễu, c) ảnh triệt

01180101635 2ã0027777 . .1AIaA 25Hình 12 Biến đổi Ridgelet rời rạc ¿2-52 22221 2E 322121921 212111211111 0111110111011 xe 27Hình 13 Ví dụ vé lát cắt Fourier rời rac với hệ số trung bình tốt nhất - ác ccxsecsesksesesea 35Hình 14 Tập hợp tối ưu của các vector trung bình cho FRAT với kích thước p = 31 35Hình 15 Các quá trình của phép biến đổi Curvelets thé hệ thứ nhất - 5-52 555+2 38Hình 16 So đồ của phép biến đổi Curvelet First generation . - + 25225252 xxx cscxee 38Hình 17 Quá trình phân tích không gian trong mỗi băng con -+5- 5555 55s2£+x+x+cssese2 39Hình 18 Một hình được phân tách thành nhiều băng con khác nhau 5-5552 555+2 41Hình 19 Biến đổi Ridgelet là cốt lõi của biến đổi Curvelet c.cccccccssescsscsesseseseseescsesseseseesesesseees 42Hình 20 (a) Một Curvelet với bể rộng 2? và chiều dai 21” và (b) một số Curvelet ở độ giãn là 2

và những hướng khác nhaU << E2 11930 9.1900 ng ke 43

Hình 21 Curvelet ở những tỉ lệ khác nhau (a, b, c, d, e, f) trong một hướng được chỉ ra trong miền

không gian và miễn tan số với bên trái và bên phải tương ứng . : - 55+ 46Hình 22 Các Curvelet sẽ lap đầy không gian bởi những cái nêm (phan được bôi đen) ở trong

min 0 -1 47Hình 23 Wrapping Curvelet ở miền tan số bằng các cửa số hình chữ nhật như trên 47Hình 24 Các bước của quá trình biến đổi Curvelet based Wrapping - + 55s 55s5scse2 48Hình 25 M6 hình cấu trúc của phép biến đổi Contourlets c.ccccsccsesessesessssessesesesecscsesseseeessesesseees 51Hình 26 Vẽ đường cong bằng Wavelets và bằng Contourlets .c.c.cccccccscssssessssesessesssesseseseesesesseees 51

Hình 27 Bộ lọc Laplace Pyramids va bộ loc Directional Filter Bank - +<«««« «<2 52Hình 28 Quá trình phân tích ảnh - - - << s1 199301 993001 9 0 nọ ng ke 53

Hình 29 _ Bộ lọc tổng hợp tín hiệu - ¿6525221922123 322321521 1121211111 2111111111011 T1 1.1 53Hình 30 Mat phăng chia miễn tần số theo các HUONG c.cccccccsesessssessssesecscscsscsesesscscsesseseessesesseees 54

Hình 31 Bộ lọc hai kênh QUITCUTIX G55 2001010118189 1 19 9900010 ng ve 34Hinh 32 Phép toán Shearing ảnh - - - <5 6+ 3 99300199000 ke 55

Hình 33 Cấu trúc cây của DFB chia ảnh làm các hướng . 25-5 2 s22 x+xezszxcrersrxee 55Hình 34 (a) Các không gian con da tỉ lệ và da hướng được tao ra bởi cấu trúc Contourlets (b)

lưới nhúng của không gian con Wie ¬ 5

Hình 35 Biên anh khôi phục trơn hơn so với WaveÌ€fS ng ng ke 57Hình 36 Mô hình chia 4 và chia 8 hướng dùng Contourlets 5 - <5 535 +3 skE+seessske 57

Hình 37 Cấu trúc phân tích hình cây của ContOuIlet +2 + 2s 5s +x+x£*+E+EE£xrxersrkcrererxee 57Hình 38 Ví dụ về biến đổi Contourlets - - c s1 S191 S198 E111 11 1511111151112 ck2 58Hình 39 Bộ lọc không lấy mẫu băng con hai kênh on ccccesescsscsessesesesscscsscsesesecscsesseseeessesesneaes 60Hình 40 Tháp không lay mẫu con - ¿+2 %5 SE 2E S£SE£E£EEEE#EEEEEEEE921 2111252111211 11 xe 60Hình 41 Mat phăng miễn tần số được phân tích - 225252 2*+E+2E£E£E£E2ESEEEEEerxrkrrererree 61Hình 42 Băng lọc có hướng không lấy mẫu con 225252 +£+E+SE£E£E£E£E£EE£EtEeExrkcrererxee 6lHình 43 Dap ứng tan số của hai bộ lọc sau khi đã lẫy mẫu lên -2 25+ 2525552552522 61

Hình 44 Ví dụ 4 hướng miễn tan SỐ - ¿+ ¿655% SE 22123921 321212151111 2111 212111011 62

Hình 45 Contourlet không lấy mẫu CON csccescsssssssssesesscscsscsesesscscsucscsesscscsessssessscscsusscseeeeseseeneass 62Hình 46 Biến đổi DWT 2 mức - 5+ SE HH HH HH HH gàng 65Hình 47 Ngưỡng cứng và ngưỡng mỀm + +5 2 ©%+E9S£SE#EEE£E£EEEE£EEEEEE2E2E 21121 Eecerree 66Hình 48 Ảnh gốc va ảnh nhidun ccccccccscccscssssessssescssssesesscscsscsesesscscsucsssesscscscsscsesesucscsusscseeecsesesseacs 67Hình 49 Các hệ số nhiễu và hệ số ngurOng c.ecceccccscssesesssscssssesesecscsessesesscscsessesesessesesesscseseescseseeaes G7Hình 50 Ảnh nhiễu và ảnh triệt nhiễu cứng (Giap_ general) SNR=19.4 -. 25552: ó8Hình 51 Anh nhiễu và ảnh triệt nhiễu cứng (dhbk) SNR=19.6 - 22 2525522 cc££z+eczse2 68Hình 52 Anh nhiễu và ảnh triệt nhiễu cứng (cameraman) SNR=22.Ì - + << «<2 68Hình 53 Anh nhiễu và anh triệt nhiễu cứng (Barbara) SNR=18.S - cv, 68Hình 54 Các giá tri SNR của triệt nhiễu cứng ứng với các giá trị mức ngưỡng T - 69

Hình 55 Các giá trị PSNR của triệt nhiễu cứng ứng với các giá trị mức ngưỡng T 69

Hình 56 Anh nhiễu và ảnh triệt nhiễu mềm (Giap_general) SNR=19.8 - 5-5-5: 70Hình 57 Anh nhiễu và ảnh triệt nhiễu mềm (dhbk) SNIR=20.4 2-2-5 5+5 S+E+EzE+£szz s2 70Hình 58 Ảnh nhiễu và ảnh triệt nhiễu mềm (cameraman) SNI22.7 - 5s +c+s+c+zscs¿ 70Hình 59 Anh nhiễu và ảnh triệt nhiễu mềm (Barbara) SNR19.7 ¿5-55 cezvsrsrscee 70Hình 60 Các giá tri SNR của triệt nhiễu mềm ứng với các giá trị mức ngưỡng T - 71

Hình 61 Các giá tri PSNR của triệt nhiễu mềm ứng với các giá trị mức ngưỡng T 71

Hình 62 So sánh các giải thuật triệt nhiễu với ảnh 257 X 2'57 - - sksk S123 E985 2v 2512 sex 72Hình 63 Ridgelets và hiện tượng “bọc-quanh” (Wrap-around) - -«««+« sec vkssseessske 73Hình 64 Ảnh triệt nhiễu bằng Curvelets (Giap_general) SNR=22.3 2: 57< 555cc 74Hình 65 Ảnh triệt nhiễu bằng Curvelets (dhbk) SNR=20.6 ¿ 2-5 2222222 cE2Ecrkrersee 74Hình 66 Ảnh triệt nhiễu bằng Curvelets (cameraman) SNR=24.3 - -cSSSs+ssssss 74Hinh 67 Anh triệt nhiễu bang Curvelets (Barbara) SNR=21.1 cee ccccceeseseeeeesesesnsneaeeeeeeeeees 75Hình 68 Các giá tri SNR của triệt nhiễu bằng Curvelets ứng với các giá tri mức nguOng 75

Hình 69 Các giá trị PSNR của triệt nhiễu bằng Curvelets ứng với các giá trị mức ngưỡng 76

Hình 70 Anh nhiễu và ảnh triệt nhiễu sử dụng Contourlets (Giap_general) SNR=19.2 76

Hình 71 Ảnh nhiễu và ảnh triệt nhiễu sử dụng Contourlets (dhbk) SNR=22.2 - 76

Hình 72 Anh nhiễu và ảnh triệt nhiễu sử dụng Contourlets (cameraman) SNR=22 KiHình 73 Ảnh nhiễu và ảnh triệt nhiễu sử dụng Contourlets (Barbara) SNR=l/7.8 KiHình 74 Các giá trị SNR của triệt nhiễu bằng Contourlets ứng với các giá trị mức ngưỡng 77

Hình 75 Các giá trị PSNR của triệt nhiễu bằng Contourlets ứng với các giá tri mức ngưỡng 78

Hình 76 So sánh giá trị SNR, PSNR và thời gian xử lý của các giải thuật triệt nhiễu 78

Hình 77 So sánh tỉ số SNR của các giải thuật ¿6-5-5222 S223 15212113 2121511 11111211 xe 79Hình 78 So sánh tỉ số PSNR của các giải thuật ¿- 552252 221 E21 3 1212152121121 xe, 79Hình 79 So sánh khả năng xử lý đường cong của các phép biến đổi trên ảnh Giap_general: a)Wavelets ngưỡng cứng, b) Wavelets ngưỡng mềm, c) Curvelets, đ) Contourlets - 80

Danh muc hinh 7 HVTH: Duong Tan Vi

The multiscale transforms have long been applied in digital signal processing due to theiradvantages such as: the ability to analyze the frequencies at a point of time (space), theability to handle the curves Although there are many related researches, but there is noresearch to be able to evaluate and synthesize the results and effectiveness of themutiscale transforms, include Wavelets, Ridgelets, Curvelets, Contourlets in imageprocessing In this thesis, in turn the multiscale transforms and related research in imageprocessing will be researched Then getting the core elements of image processing usingmultiscale transforms, building the corresponding ideas for a good image processing andsuitable for each kind of images.

Các phép biến đổi da tỉ lệ từ lâu đã được áp dụng rất nhiều vào trong xử lý số tín hiệunhờ các ưu điểm của chúng như: khả năng phân tích tan số tại một điểm thời gian (khônggian), khả năng xử lý các đường cong Mặc dù đã có rất nhiều các công trình liên quan,

nhưng vẫn chưa có một công trình nào có khả năng đánh giá và tổng hợp các kết quả

cũng như tính hiệu quả của các phương pháp biến đổi đa tỉ lệ, bao gồm Wavelets,Ridgelets, Curvelets, Contourlets trong xử lý ảnh Trong luận văn này, tôi thực hiện việc

lần lượt nghiên cứu các phép biến đổi da tỉ lệ và các công trình liên quan trong xử lý ảnh

Nhờ đó rút ra được các yêu tố cốt lõi trong xử lý ảnh băng các phép biến đổi đa tỉ lệ, xâydựng ý tưởng tương ứng cho việc xử lý ảnh được tốt và phù hợp cho từng loại ảnh

TOM TAT LUẬN VAN

Trong những năm gan đây, cùng với su phát triển như vũ bão của khoa học công nghệ, kỹ thuật xử

lý ảnh cũng đạt được những tiễn bộ vượt bậc Trước đây phép biến đổi Fourier được sử dụng một

cách rộng rãi, nhưng nó cũng có một nhược điểm cơ bản, đó là ta không thê biết được rằng tại mộtđiểm a thì có các thành phan tần số nào Một phép biến đổi tốt hơn biến đổi Fourier phải là phép

biến đổi có day đủ tính năng của biến đổi Fourier và có khả năng xác định xem tại điểm a bất kỳ

trong ảnh có thành phân tần số nào Phép biến đổi Wavelets ra đời đã khắc phục được các nhượcđiểm của biến đổi Fourier trong phân tích tín hiệu Biến đổi Wavelets dù chỉ làm việc với các tínhiệu một chiều (liên tục hoặc rời rạc) nhưng có thể cho ta một hàm số hai biến hoặc một tập các cặpgiá trị W (a,b) minh họa các thành phan tần số khác nhau tại điểm t Tuy vậy, bién đổi waveletscũng thé hiện các hạn chế khi phân tích các đặc điểm cong tồn tại phổ biến trong ảnh Nguyên nhânlà vì các hệ số của biến đổi wavelets hai chiều chỉ chứa thông tin vi trí ở các tỉ lệ khác nhau, vàhoàn toàn không có thông tin biểu diễn hướng hay góc Nghia là các hệ số wavelets không thé xácđịnh được quan hệ thể hiện là một đoạn thăng hay đoạn cong Các giải thuật đa tỉ lệ khác làRidgelets, Curvelets và Contourlets sẽ giải quyết được van đề nay

Luận văn này sẽ tập trung vào hai van đề chính, đó là tìm hiểu, phân tích, nghiên cứu các giải thuật

da tỉ lệ (Wavelets, Ridgelets, Curvelets, Contourlets) và xem xét một cách toàn diện các công trình

liên quan đến ứng dụng vào xử lý ảnh: triệt nhiễu Nhờ đó có thể đưa ra một đánh giá chính xác vềcác công trình liên quan, tổng hợp và phát triển các ý tưởng để xây dựng phương pháp tương ứngcho việc xử lý ảnh được tốt và phù hợp cho từng loại ảnh Tiếp theo, luận văn sẽ thực hiện môphỏng hệ thống được thiết kế bằng phần mềm MATLAB và so sánh kết quả với các phương phápkhác Cuối cùng là kết luận và hướng phát triển dé tài

Tông quan đề tài 9 HVTH: Duong Tan Vi

CHUONG 0 DAT VẤN DE

Trong những năm gan đây, cùng với sự phát triển của mạng dữ liệu trên nên internet, nhu câu chia

sẻ ảnh cũng ngày càng phát triên Cùng với nhu câu đó, vân đê đặt ra là làm thê nào tìm được một

kỹ thuật xứ lý ảnh tốt, có khả năng xử lý tốt mọi loại ảnh cũng ngày càng cấp thiết.Mục dich của luận văn là trình bày một số kỹ thuật xử lý anh phổ biến hiện nay Đó là các phépbiến đổi Wavelets, Ridgelets, Curvelets, Contourlets Mỗi phép biến đổi có một ưu, nhược riêng

Trước đây, bién đổi Wavelets được giới thiệu như sự cải tiễn của biến đổi Fourier và ngày càng

được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực [10] Lý do chính là dữ liệu bién đổi Wavelets biểudiễn được thông tin trong cả miền tần số và không gian (trong khi biến đổi Fourier chi thể hiệntrong miễn tần số) nhờ vào xây dựng thông tin tần số xuất hiện ở các tỉ lệ và vị trí khác nhau[3],

[22I.

Tiêu biểu các công trình nghiên cứu ở nước ngoài về Wavelets như của tác giả Daubechies [2] hay[6] với những nền tảng chung về Wavelets Hay của tác giả J.-L.Starck [1], [5] và tác giả D.L.Donoho [23], [24], [25], [26] trình bay vé ung dung cua Wavelets vao xu ly anh Tuy vay, biến đổi

wavelets cũng thể hiện các hạn chế khi phân tích các đặc điểm cong tồn tại phổ biến trong ảnh

[17] Nguyên nhân là vì các hệ số của biến đối wavelets hai chiều chỉ chứa thông tin vị trí ở các tỉlệ khác nhau, và hoàn toàn không có thông tin biểu diễn hướng hay góc

Chính vì lý do này, một loạt các phép biến đổi khác được phát triển nhăm khắc phục nhược điểmnảy như phép biến đổi Ridgelets, Contourlets hay Curvelets Ở nước ngoài, rất nhiều nghiên cứu

đã được đưa ra dựa trên các phép biển đổi này như của tác giả J.-L Starck [4] hay Minh N Do vaMartin Vetterli [7|, [8], [9], [20], [21] hoặc [11] Còn ở Việt Nam thì một loạt các công trình

nghiên cứu của PGS.TS Lê Tiến Thường và các cộng sự trong thời gian gần đây [28], [29, [30] Một trong những phép biến đổi mới được đưa ra là Ridgelets, được giới thiệu bởi Candes và

Donoho [27], [12], [13] và họ đã chứng tỏ được khả năng xử lý có hiệu quả của giải thuật này với

các thành phan cạnh Theo sau là một loạt các nghiên cứu cua J.-L Starck [4], Minh N Do, andMartin Vetterli [9] và nhiều tác gia khác [14], [15], [16] Biến đổi này có thể trình bày một cách cóhiệu quả ba thông số: tỉ lệ, vị trí và hướng của ảnh [11] Tuy nhiên biến đổi này lại vập phải một

vấn đề, đó là bị hiện tượng “wrap-around” [9]

Một trong những phép bién đổi tiếp theo đạt duoc những thành công nhất định là phép biến đổiCurvelets với một loạt các nghiên cứu mạnh mẽ cả trong và ngoải nước Ở ngoài nước là các

nghiên cứu của các tác gia J.-L Starck [4], [19] và trong nước là các tác giả Hoàng Anh Ngọ,

Nguyễn Ngọc Hải [18] và đặc biệt là các nghiên cứu gần đây của PGS.TS Lê Tiến Thường và cáccộng sự [28], [30] đã thể hiện kha năng xử lý tốt của phép biến đổi nay, đây là một phép biến đổi

đây tiêm năng.

a) b)Hình 1 Một kết quả triệt nhiễu của nghiên cứu [I9] a) Ảnh nhiễu và b) Ảnh triệt

nhiễu sử dụng Curvelets

50 50

100 100150 150200 200

250 250

50 100 150 200 250 90 100 150 200 250Hình 2 Anh nhiễu va ảnh triệt nhiễu bằng Ridgelets bị hiện tượng “wrap-around”

trong nghiên cứu [9].

Một phép biến đổi khác là Contourlets cũng được nghiên cứu mạnh mẽ trong thời gian gần đây

Đặt van dé 11 HVTH: Duong Tân Vũ

như của các tác giả Minh N Do va Martin Vetterli [20], [21], PGS.TS Lê Tién Thường và cáccộng sự [29] Đây cũng là một phép biến đổi hứa hen trong tương lai.

Tuy nhiên từ trước đến nay vẫn chưa có một tài liệu nào có đánh giá cụ thể và so sánh khả năng xửlý ảnh của các phép bién đổi này Luận văn sẽ dùng kết quả thực nghiệm của một ứng dụng xử lý

ảnh cơ bản, đó là triệt nhiễu, để đánh giá hiệu quả xử lý của các phép biến đổi Thông số đánh giálà SNR, PSNR và hiệu ứng thị giác Đặc biệt luận văn sẽ có đánh giá khả năng xử lý đường congcủa mỗi phép biến đổi, đây là van dé mà phép biến đổi Wavelets xử lý không tốt Ngoài ra, luậnvăn còn đánh giá thời gian xử lý của mỗi phép biến đổi, qua đó thé hiện được hiệu suất tiêu tốn tài

nguyên của các phép biến đổi Thông qua các kết quả thực nghiệm thu được, luận văn sẽ có đánhgiá khả năng xử lý của mỗi phép biến đổi Điều này hứa hẹn sẽ đem lại một cái nhìn tổng quát vàgiúp người doc có đánh giá của riêng mình mỗi khi lựa chọn một phép biến đổi nào dé ứng dụng

trong xử lý ảnh.

CHUONG I CƠ SỞ LÝ THUYET

Trong những năm 80 của thế kỷ trước, biến đổi wavelets được giới thiệu như sự cải tiễn của biến

đổi Fourier và ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Lý do chính là dữ liệu biến

đổi wavelets biểu diễn được thông tin trong cả miền tần số và không gian (trong khi biến đổiFourier chỉ thể hiện trong miễn tần số) nhờ vào xây dựng thông tin tần số xuất hiện ở các tỉ lệ và vịtrí khác nhau Trong xử lý anh, khái niệm da tỉ lệ đóng góp rat nhiều vào các kỹ thuật phân rã hayphân tích ảnh như Wavelets, Ridgelets ta có thể nhận xét là các thông tin ảnh xuất hiện ở một số tỉlệ nhất định là khác nhau Nhận xét này có thê quan sát được ở lĩnh vực bản dé, trong đó một số chỉtiết chỉ xuất hiện ở tỉ lệ nhỏ, nhưng không xuất hiện ở tỉ lệ lớn và ngược lại Hoặc trong ảnh sinhhọc, chúng ta có thé khai thác và phân tích thông tin ở mức độ phân tử hay tế bào Từ nhận xét trên,ta thây kỹ thuật đa tỉ lệ rất thích hợp trong các bài toán phân tích hình ảnh ở các tỉ lệ khác nhau.Đặc biệt phương pháp dựa trên biến đổi da tỉ lệ tỏ ra rất thích hợp khi chất lượng ảnh không tốt

I Khái niệm cơ bản về xử lý ảnh.Chương này nêu lên các khái niệm cơ bản trong lĩnh vực xử lý ảnh như ảnh SỐ, pixel, hệ mau,các định dang anh, Xử ly anh hiện nay đã trở nên phổ biến, do đó các khái niệm này không quáxa lạ.

1 Ảnh và pixel:1.1 Ảnh tương tự

Một bức anh là một hàm số độ sáng hai chiều f(x,y) , trong đó (x,y) là tọa độ không giancủa anh, và giá tri f tại tọa độ (x,y) biểu thị cho giá trị độ sáng tại tọa độ đó Ta có:

0< ƒ(x,y)<œ

f(x,y) =i(x, y)r(%, y) (1.1)Trong đó i(x,y): : ham số biểu thị giá tri của nguồn sáng tác động lên cảm biến, hay nơi

thu nhận ảnh.0</(x,y)<œ

r(x,y) : hàm số biểu thi độ phản chiêu của vật thể với nguồn sáng lên cảm biến.0<r(x,y) <1: giá trị 0 nghĩa là nguồn sáng bị hap thụ hoàn toàn, trong khi giá trị 1 nghĩa

là nguôn sáng hoàn toàn xuyên qua vật đên cảm biên.

Cơ sở lý thuyết 13 HVTH: Dương Tân Vũ

1.2 Ảnh số và pixel:

Ảnh số là một bức ảnh f(x,y) được lượng tử và rời rac hóa ca về tọa độ không gian lẫn độ

sáng.

ƒ(0.0) f(0,1) ƒ(0N-11,0 Ll 1,N-1

f(xy) = /d;0) FULD I diy (12)

_/(M-I1,0) ƒ(M-I.l) ƒ(M -l,N-]).Ma trận được gọi là một bức ảnh số với kích thước MxN của bức ảnh tương tự f(x,y),

mỗi phan tử trong ma trận A được gọi là một điểm ảnh số, hay pixel Giá trị của mỗi

pixel được gọi là mức xám G của pixel đó Mức xám G thuộc khoảng thang xám [Lnin,

max | kĐể có thể số hóa một bức anh tương tự sang ảnh số, ta sẽ đặt bức ảnh tương tự f(x,y) lênmột lưới của mặt phăng tọa độ Oxy Các tọa độ lúc này sẽ được số hóa để có kích thướcMxN trong khi độ sáng sẽ được lượng tử để cho ra mức xám G

Thông thường M=2”, N=2" , G=2* và bức ảnh sẽ có dung lượng MxNxG

Cùng một bức ảnh tương tự f(x,y), khi được số hóa, thì chất lượng của bức ảnh số sẽ phụ

thuộc vào độ lớn của M,N, G Nếu khoảng cách giữa các điểm ảnh và các mức xám quá

lớn, mà giá tri M, N, G quá nhỏ thì chất lượng bức ảnh số sẽ kém và ngược lại.

2 Anh màu và các hệ màu:

Một hệ thông màu là một hệ thống mà mỗi điểm trong đó được tương ứng duy nhất với mộtmàu Các hệ thống màu khác nhau sẽ được định hướng theo phần cứng (màn hình màu hoặc

máy In) hoặc phụ thuộc vào ứng dụng.Các hệ màu cơ bản đối với xử lý ảnh là RGB, CMY/CMYK, YUV

Phần này sẽ nêu tóm lược về các hệ thống màu này

1.3 Hệ màu RGB:Hệ màu RGB là một hệ màu dựa theo tọa độ Descartes Không gian của màu là một hình

khối lập phương với ba giá trị màu là red, green và blue nam ở ba góc của hệ tọa độ vàba mau cyan, megenta và yellow năm ở ba góc khác của khối lập phương

} „ -*“#” wx |

Req #““ ` ~ Gray Scale

Yellow

Hình 3 Toa độ hệ thông màu RGB.

Màu black là cơ bản, nằm ở gốc tọa độ, còn màu White nam ở øóc Xa nhất so với gốc tọađộ Các mức xám được dé cập ở phan 1.2 thuộc đường thang nối liền giữa hai điểm blackva white.

Mỗi điểm màu khác nhau trong khối lập phương được định nghĩa băng vector từ nó đếngốc tọa độ, và là sự kết hợp của ba màu cơ bản R, G, B Các giá trị của màu R, G, B đượcchuẩn hóa giá trị trong khoảng [0.1]

Số bít dùng để biểu diễn một pixel được gọi là độ sâu của điểm ảnh (pixel depth) Gia sử

mỗi điểm thành phân R, G, B được mã hóa băng 8 bit thì ta nói hệ màu RGB có độ sâu là24 (24=8x3) Các ảnh dùng hệ màu này thường được gọi là full-color image Số lượng

mau tổng cộng là (2?) = 2”“=16777216 mau.Hệ màu RGB là hệ màu thường dùng trong màn hình màu.Hệ màu CMY/CMYK:

Hệ mau CMY sử dụng các mau Cyan, Magenta và Yellow lam ba màu cơ bản Các loại

máy in thường sử dụng hệ màu này Sự chuyển đổi giữa 2 hệ màu RGB và CMY là:

C1] Jt] PR

M |=|1|-|G (13)

rị| |il |B

Y MáHinh 4 Hé mau CMY va CMYK

Co sé ly thuyét15 HVTH: Duong Tân Vũ

Hình 5 Quan hệ giữa các hệ mau RGB va CMY

Người ta sử dụng hệ màu CMYK để tạo một hệ màu tối hơn (K biéu thị màu den)

c'|] fc] [KM'|=|M |-| K|,K =minC,M.Y (1.4)

y'| |Y|IK

1.5 Hệ mau YUV (YCbCr):

Hệ màu này được dùng dau tiên cho video hệ PAL analog, tuy nhiên bây giờ nó đượcdùng cho chuẩn CCIR 601 của video số Nó tách riêng thành phan độ sáng từ thông tin vềmàu sắc và thành phần độ sáng được mã hóa trong Y thành hai thành phần màu blue-

difference (Cb) và red-difference (Cr).

Y =0.299R +0.587G +0.114B

C,=B-Y (1.5)

C =R-YY =0.299R+ 0.5870 +0.114B

U = 0.565(B—Y) (1.6)V =0.713(R-Y)

Hinh 6 Mat phang màu C,C, tai Y=0.5

3 Các loại định dang ảnh.3.1

3.2

3.3

3.4BMP

BMP hay còn gọi là bitmap là một dạng tập tin hình ảnh phô biến Dac điểm nổi bật củađịnh dạng này là ảnh không bị nén bởi bất kỳ một thuật toán nào Do đó thông thường,

anh bitmap có dung lượng lớn hơn so với các định dạng khác.

Cau trúc của ảnh BMP gồm:

Bitmap header (14 bytes): giúp nhận dang file anh bitmap.Bitmap information (40 bytes): chứa các thông tin cơ ban về anh như số bit/pixel, kích

thước, vi trí bắt dau vùng data ảnh, v.v

Color palette: định nghĩa các màu được sử dụng trong ảnh.Bitmap data: lưu dữ liệu ảnh.

JPEG (Join Photographic Experts Group) là sự kết hợp của CCITT va ISO bắt dau từ

tháng 6 năm 1987 đến 1991 JPEG là một phương pháp nén Nhược điểm chính của

JPEG là các ảnh được nén băng thuật toán có tốn hao, thông tin có thé bị mat nhiều khihệ số nén lớn Tuy nhiên, đối với hình ảnh có chất lượng màu cao như “High color” thìviệc mat mát dữ liệu là không đáng kể File ảnh nén JPEG thường được lưu trữ dưới địnhdạng file JFIF (JPEG File Interchange Format) Gan như tất cả các camera số có thể lưuảnh dưới dạng JPEG, có hỗ trợ 8 bit mỗi màu (3 màu 24 bit tổng cộng)

JPEG 2000 là một chuẩn nén ảnh cho phép cả nén không tốn hao và nén tổn hao Phuongpháp nén ảnh ở JPEG 2000 khác so với JPEG/JFIF; nó cải thiện chất lượng ảnh và hệ sốnén, nhưng bù lại yêu cầu nhiều phép tính toán hơn JPEG 2000 cũng thêm vào các tínhnăng bị thiếu trong JPEG JPEG 2000 không phô biến như JPEG, nhưng nó được sử dụng

rất nhiều trong các chương trình chỉnh sửa phim chuyên nghiệp.Exif

Exif (Exchangeable image file format) là một chuẩn định dang file giống với định dangJFIF với sự mở rộng TIFF: nó được kết hợp trong phần mềm tạo file JPEG có trong nhiều

camera Mục đích của nó là đê ghi lại và chuân hóa việc trao đôi dữ liệu hình ảnh giữa

Cơ sở lý thuyết 17 HVTH: Dương Tân Vũ

Định dạng RAW là một trong những tùy chọn trong các máy ảnh số Định dạng nàythường sử dụng thuật toán nén ảnh không tồn hao, và tạo ra anh có dung lượng nhỏ honnhiều so với định dạng TIFF Mặc dù có một tiêu chuẩn của định dạng file raw (ISO12234-2, TIFF/EP), các định dang raw được sử dụng bởi nhiều camera không được chuẩnhóa, mỗi camera khác nhau sẽ cho một định dạng raw khác nhau

PNGPNG (Portable Network Graphics) là định dạng tập tin hình ảnh cũng có đặc điểm là nén

không tốn hao, được ra đời với mục đích tạo nên một chuẩn mực mới cho ảnh sử dụngtrong đồ họa web, cải thiện và thay thế ảnh GIE

PPM/PGM/PBM/PNM

Họ định dạng Netpbm bao gồm định dạng PPM (Portable Pixmap), PGM (Portable

Graymap) va PBM (Portable bitmap) Các định dạng này là thuần túy ASCII hoặc là tập

tin nhị phân raw với header ASCII, cung cấp các chức năng cơ bản chuyển đổi mặt phẳngđiểm ảnh (pixmap), mặt phăng độ xám (graymap) và mặt phang bit (bitmap) giữa các nên

tảng (platform) khác nhau Một vai ứng dụng xem các định dạng này một cách chung, gọilà PNM (Portable Any Map)

WEBP

Dinh dạng WebP là định dạng hình ảnh mới, sử dụng thuật toán nén tốn hao Dinh dạng

này được thiết kế bởi Google để giảm kích cỡ file nhăm mục đích tăng tốc độ load trang

web Mục đích chính của WebP là thay thé JPEG dé trở thành định dạng chính của hình

ảnh trên các trang web.4 Kết luận

Chương 1 đã cung cap một số kiến thức cơ bản về xử lý ảnh, về pixel (điểm ảnh), các hệ mau

và các định dạng ảnh khác nhau trên máy tính Đây là những kiến thức căn bản để bước vàobộ môn xử lý ảnh.

II Các phép biến đối đa tỉ lệ1 Biến đổi Wavelets

1.1 Biến đối Wavelets liên tục (CWT)

Biến đổi Wavelets liên tục (Continuous Wavelets Transform - CWT) của một hàm f(t)được bat đầu từ một hàm Wavelets mẹ (mother Wavelet) (t) Ham Wavelets mẹ y (t )có thể là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên tục nào thoả mãn các tính chất sau đây:Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàmy (t ) là bang 0 Tức là:

[w0a =0 (1.7)

Tích phân năng lượng của ham trên toàn bộ trục t là một số hữu hạn, tức là:

I Di dt <œ (18)

Điều kiện (1.8) có nghĩa là hàm yw (t ) phải là một hàm bình phương khả tích nghĩa là ham

ự (t) thuộc không gian LỄ (R) các hàm bình phương khả tích

Sau khi ham Wavelets w (t ) được lựa chon, biến đổi Wavelets liên tục của một hàm bình

phương khả tích f (t ) được tính theo công thức:

Woa.b)= Í fy" oan (1.9)

{4|

Biến đổi này là một hàm của hai tham số thực a và b Dau * ký hiệu là liên hiệp phức của y

(t) Nếu chúng ta định nghĩa một hàm y, ,(t) theo biểu thức:

Vat) = "(, (1.10)

| A2

chúng ta có thể viết được:

W(a.b)= | ƒŒ)„„(# (1.11)

Theo toán học ta gọi đây là tích vô hướng cua hai ham f (t) va ⁄„„().

Cơ sở lý thuyết 19 HVTH: Dương Tân Vũ

Với mỗi giá tri của a thì y, ,(¢) là một ban sao của 1⁄4„(7) được dịch di b đơn vị trên trục

thời gian Do đó b được gọi là tham số dịch

Đặt tham số dịch b = 0 ta thu được:

Volt) = TU) (1.13)

la] x2

điều đó cho thấy rang a là tham số tỷ lệ.Khi a >I thì ham Wavelets sẽ được trải rộng còn khi 0 < a <[ thì ham sẽ được co lại Sauđây chúng ta sẽ định nghĩa phép biến đổi ngược của biến đổi Wavelets liên tục Gọi W(@ )

là biến đổi Fourier của y (t):

Biến đổi CWT chỉ tồn tại nêu C dương và hữu hạn Do đó C được gọi là điều kiện tổn tại

của biến đổi Wavelets Cùng với hai điều kiện đã nêu ở trên, đây là điều kiện thứ 3 mà mộthàm cần phải thoả mãn để có thể được lựa chọn làm hàm Wavelets.Chúng ta có thể xembiến đổi CWT như là một ma trận hai chiều các kết quả của phép tính tích vô hướng giữa

hai ham f (t ) và yw, ,(t) Các hang cua ma trận tương ứng với các giá tri của a và các cột

tương ứng với các giá trị của b do cách tính biến đổi Wavelets theo tích vô hướng đã trình

bày ở trên:

(70).g())= [ Og Od =(ƒ0).,„„0))= | FOw,,0at (117)

1.2 Biến đôi Wavelets rời rạc (DWT)

Việc tính toán các hệ số Wavelets tại tất cả các tỉ lệ là một công việc hết sức phức tạp Nếu

tính toán như vậy sẽ tạo ra một lượng dữ liệu không 16 Dé giam thiéu cong viéc tinh toan

người ta chỉ chon ra một tập nhỏ các giá tri tỉ lệ và các vi trí dé tiễn hành tính toán Honnữa nếu việc tính toán được tiễn hành tại các tỷ lệ và các vi trí trên cơ sở luỹ thừa co số 2

thì kết quả thu được sẽ hiệu quả và chính xác hơn rat nhiều Quá trình chọn các tỷ lệ và các

vị trí để tính toán như trên tạo thành lưới nhị tố (dyadic) Một phân tích như trên hoàn toàncó thé thực hiện được nhờ biến đổi Wavelets rời rac (DWT) Do đó, việc tính toán biến đổiDWT thực chất là sự rời rac hoá biến đổi Wavelets liên tục (CWT); việc rời rac hoá đượcthực hiện với sự lựa chọn các hệ số a và b như sau:

Trong đó f(t) được cho từ công thức dau tiên ở trên Vi dụ, các hàm phân tích trực giao cho

biến đổi Fourier là sin(kwot) và cos(kWot)

1.3 Các tính chất của hàm wavelet

Tat cả chúng ta đều biết rằng biến đổi Fourier là một biến đổi đã và đang được áp dụng rộngrãi trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác nhau Biến đổi Fourier chuyên một hàm tinhiệu từ miễn thời gian sang miễn tần số Sử dụng biến đổi Fourier ta có thể biết được trongtín hiệu f (t ) có các thành phan tần số nào Tuy nhiên biến đổi Fourier có một nhược điểm

Cơ sở lý thuyết 21 HVTH: Dương Tân Vũ

cơ bản là với một tín hiệu f (t ) ta không thé biết được rằng tại một thời điểm t thì tín hiệu cócác thành phan tan số nào Một phép biến đổi tốt hơn biến đổi Fourier phải là phép biến đổi

có day du tinh nang cua biến đổi Fourier va có khả năng xác định xem tại một thời điểm t

bat kỳ trong tín hiệu f(t ) có thành phan tan số nào Phép biến đổi Wavelets ra đời đã khắc

phục được các nhược điểm của biến đổi Fourier trong phân tích tín hiệu Biến đôi Wavelets

dù chỉ làm việc với các tín hiệu một chiều (liên tục hoặc rời rạc) nhưng sau khi biến đổixong ta thu được một hàm số hai bién hoặc một tập các cặp giá trị W(a,b) minh họa cácthành phan tan số khác nhau của tín hiệu xảy ra tại thời điểm t Các giá tri W(a;,b) tạo thànhmột cột G=1, 2 , n) cho biết một thành phân tần số có trong những thời điểm t nào và cácgiá trị W(a¡,b) tạo thành hàng cho biết tại một thời điểm t của tín hiệu f(t ) có các thành phần

tân sô nào.

Hình 7 Minh họa lưới dyadic với các giá tri cuam van

Được nghiên cứu từ trước những năm 80 của thé kỷ trước và cũng đã được ứng dung trongmột số ngành khoa học và công nghệ khác nhau nhưng biến đổi Wavelets vẫn là một lĩnh

vực đang và sẽ tiếp tục được nghiên cứu và phát triển cũng như ứng dụng rộng rãi hơn nữa

Tham số b trong biến đổi Wavelets cho biết khoảng dịch của hàm Wavelets mẹ và độ phângiải các tần số khác nhau của f(t ) được minh họa bởi hệ số tỷ lệ chính là a Biến đổiWavelets ngày càng được áp dụng rộng rãi đặc biệt là trong xử lý tiếng nói, xử lý ảnh số.Tín hiệu tiếng nói là tín hiệu một chiều nhưng do đặc điểm của tiếng nói là tín hiệu khôngdừng nên việc sử dung Fourier là không đủ dé phân tích một cách đầy đủ các đặc trưng củatiếng nói Khác với tín hiệu tiếng nói, xử lý tín hiệu ảnh số là xử lý tín hiệu hai chiều và dođặc điểm của ảnh số là bao giờ cũng có tính định hướng và tính định vị Tính định hướngcủa một ảnh nghĩa là trong ảnh bao giờ cũng có một số ít các thành phan tan số nhưng các

thành phan tan số này trải rộng trên toàn bộ không gian ảnh còn tính định vị của ảnh chínhlà tinh chất biểu thi răng tại một vùng của ảnh có thể có rất nhiều thành phan tần số Ảnhbiểu thị tính định vị rõ nhất chính là ảnh có nhiều biên vùng phân tách ro rệt, tại các đườngbiên bao giờ cũng có nhiều thành phan tan số khác nhau, còn hau hết các ảnh có tông liêntục déu là những ảnh có tính định hướng.

1.4 Giới thiệu một số họ wavelet1.4.1 Biến đổi wavelets Haar

Biến đổi Haar Wavelets là biến đổi đơn giản nhất trong các phép biến đổiwavelets.Hinh vẽ 1.2 cho thấy dạng của hàm y(t) với biến đổi Haar Do tính chat đơn

giản của biến đổi Haar ma nó được ứng dụng tương đối nhiều trong nén ảnh, khi áp

dụng biến đổi này để nén ảnh thì thuật toán nén ảnh trên máy tính có một số điểm khác

với công thức toán học của biên đôi Haar:

|

Hình 8 Ham w(t) cua bién đổi Haar

1.4.2 Biến đổi wavelets Meyer

Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép biến đổiWavelets.Phép biến đổi Wavelets mang tên Meyer cũng là một phép biến đổi thôngdụng, bién đổi này có khả năng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar.Dạng của ham y(t) với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ:

Hinh 9 Ham w(t) cua bién đổi Meyer

Co sở lý thuyết 23 HVTH: Dương Tân Vũ

1.4.3 Biến đối wavelets DaubechiesGiống như Meyer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao to lớn trong việc

nghiên cứu phát triển phép bién đổi Wavelets.Bién đổi Daubechies là một trong nhữngphép biến đổi phức tạp nhất trong biến đổi Wavelets.Họ biến đổi nay được ứng dụng hếtsức rộng rãi, biển đổi Wavelets áp dung trong JPEG2000 là một biến đổi trong họ biến

đổi Wavelets Daubechies Dưới đây là một số hàm w(t) trong họ biến đổi WaveletsDaubechies (hình 8):

; i L8 Ìị | O.4

wn pB— \ fa 0F i

Các phép biến đổi Ridgelets và Curvelet đã được phát triển như là câu trả lời cho sự yếukém của biên đôi wavelets trong việc xử lý các đường cong, góc cạnh

nhiễu, c ) ảnh triệt nhiễu bằng Wavelets.

2 Biến đổi Ridgelets

Nhờ vào sự đơn giản của mình, nên bién đổi Wavelets đã được sử dụng rất nhiều trong xử lýảnh Điều này được dựa trên sự thật rằng trong miền Wavelets, gan như toàn bộ thông tin ảnhđược gói trong một số các hệ sé Tuy nhiên, Wavelets lại không thể trình bày một cách có hiệuquả các điểm dọc theo các cạnh hoặc các đường thăng Vì thế, có một vài giải thuật mới đãđược phát triển dựa trên các biến đổi hai chiều với mong đợi sẽ nâng cao chất lượng xử lý ảnh

hon là các giải thuật truyền thống.Dựa trên xu hướng này, Candes và Donoho đã giới thiệu một giải thuật mới có tên là Ridgeletsvà họ đã chứng tỏ được khả năng xử lý có hiệu quả của giải thuật này với các thành phần cạnh

Biến đổi này có thể trình bày một cách có hiệu quả ba thông số: tỉ lệ, vị trí và hướng của ảnh

2.1 Biến đối Ridgelets rời rac

Cho y là hàm thoả mãn điều kiện :

Trong đó, a>0 xác định tỉ lệ, - <b< + œ là giá tri xác định vi trí, và 0 < @< 2z xác địnhhướng.

Cho một hàm hai biến khả tích f(x), các hệ số Ridgelets được định nghĩa:

R,(a,b,Ø0) = | ƒG00,„;)4x (1.22)

R

Công thức ham Ridgelets ngược:

2% œ œ da do_ “p 1.23

Dé so sánh với biên đôi wavelets hai chiêu, xét công thức biên đôi wavelets trên hàm ƒ như

bất đăng hướng không được xét đến ở mọi cấp phân giải Trong khi đó biến đổi Ridgelets

với tham số biểu diễn độ dời và góc của đường thăng sẽ hiệu quả khi phân tích đối tượng cócực trị năm trên đường thắng

Công thức biến đổi ngược của biến đổi Ridgelets được xác định

Hình 12 Biến đổi Ridgelet rời rac

2.2 Biến đối Ridgelets liên tục:

Trước tiên ta cần có khái niệm sơ lược về biến đổi Ridgelets liên tục — Continuos RidgeletsTransform (CRT) và tìm sự kết nối của nó với biến đổi Wavelets liên tục Cho một ham hai

biến khả tích f(x), CRT trong miền RỶ có thé được định nghĩa:

RI,(a,b,Ø)= [„„„(œ)/ƒ()äk, (1.27)

Trong đó ham Ridgelets ⁄„„„(*) trong miền hai chiều được định nghĩa từ ham wavelets

trong miền một chiều y(x) như là:

Trong đó ⁄„„ứ) = a'”w(Œ—b)1a) là bién đổi Wavelets một chiều.

Biến đổi CRT xuất hiện tương tự như bién đổi CWT hai chiều ngoại trừ các hệ số điểm (bị.bs) được thay thé bởi các hệ số đường (b,0) Tóm tat, các biến đổi hai chiều trên liên quan:

Wavelets > VY scale, point-position

Ridgelets > VY scale, line-position

Ta có thé kết luận: Phân tích Wavelets rất hiệu quả trong việc trình bày các đối tượng đặctrưng bởi các điểm cá biệt, phân tích Ridgelets hiệu quả trong việc trình bày các đối tượng

đặc trưng bởi các đường Thật ra, ta có thé xem biến đổi Ridgelets như các ghép các biến

đổi Wavelets một chiêu dọc theo các đường.Trong biến đổi hai chiều, các điểm và các đường liên quan đến nhau thông qua biến đổi

Radon, nghĩa là biển đổi Wavelets và biến đổi Ridgelets thì được kết nỗi với nhau thông qua

biến đổi Radon Công thức cho biến đổi Radon là:

RA, (0,1) = [ fog, cos 0 + x, sin @ —t)dx (131)

Biến đổi Ridgelets là ứng dụng của biến đổi Wavelets một chiều trên các lát cắt của biến đổi

Radon:

RI,(a,b.0) = |„„Œ)RA,(0.0)4i (1.32)

Luu y rang thay vi thuc hién biến đổi Wavelets một chiêu, ứng dụng biến đổi Fourier một

chiêu trên t sẽ cho kêt quả trên biên đôi Fourier hai chiêu:

FỄ (€ cosØ,¿ sin đ) = Íe “RA, (O,t)dt (1.33)

R

Do chinh la thuyét lát cat-chiéu nổi tiếng và thường được sử dụng trong việc tái tạo ảnh từ

các phương pháp chiếu.2.3 Biến đối Radon hữu hạn

Như đã dé nghị từ phân trước, một biến đổi Ridgelets thời gian rời rạc có thể đạt được băng

cách sử dụng một biến đổi Radon thời gian rời rạc Việc rời rạc hóa của biến đổi Radon cóthé được xấp xỉ dựa vào công thức liên tục Tuy nhiên trong phan luận văn này, ta không sửdụng chúng như là biễn đổi ngược cho anh sé

Biến đổi Radon hữu hạn ( Finite Radon Transform — FRAT) được xác định như là tổng của

các điểm ảnh trên một tập hợp các đường — line Các đường này được định nghĩa như một

dạng hình học hữu hạn tương tự như cách mà các đường cho biến đổi Radon liên tục tronghình hoc Euclidean Kí hiệu Z,={0,1 ,p-1}, trong đó p là số nguyên tô Lưu ý là ⁄; là một

,={Œ,J): j=kitl (mod p),¡ 6€ },k eZ, (135)

L„„={,j):j<Z,„}

Trong hình hoc Euclidean, đường Lự¡ trong vùng affine Z7 là được trình bày một cách duy

nhất bởi độ dốc và hướng k ( k=p tương ứng với các đường ngang hoặc chéo hữu hạn) vàđiểm chặn | của nó Ta có thể kiểm tra răng có pˆ+p đường được định nghĩa theo cách này

và mọi đường đều chứa p điểm Thêm nữa, bat ky hai điểm phân biệt nào trong miền Z;

đều chỉ trong một đường Nghĩa là, hai đường thắng không song song chỉ cắt nhau tại một

điểm Cho một độ dốc bất kỳ, có p đường thắng song song có khả năng bao phủ hoàn toàn

LÀ 2 ~ T1Ạ,

miên Z„ Nghĩa là:

/=0

pal 1dD n[l|=—= > fli jl=0 Vk,0<k<p (1.36)

JP i, jeZ-,

Phương trình trên chỉ ra một cách rõ rang kha năng dự trữ của FRAT Trong mỗi hướng, chỉcó p-1 các hệ số FRAT độc lập Các hệ số này trong p+1 hướng với các giá trị trung bình

chiếm tổng cộng (p+1)(p-1)+I=p” các hệ số độc lập trong miền Radon hữu hạn

Trong miền analog với các trường hợp liên tục, finite back-projection (FBP) được địnhnghĩa là tổng các hệ số Radon của tất cả các đường đi qua điểm cho trước, ví dụ:

FBPii.jJ=== W su Z7 (137)

VP ker,

Co sở lý thuyết 29 HVTH: Dương Tân Vũ

Trong đó Pi; kí hiệu tập hợp các chi số của tat cả các đường đi qua điểm (ij), Chính xác

hon, ta có thé viết lại:

h,=t,D:l=j—ki (mod p),k€Z,„}+{{D.Ù)} (1.38)Công thức FBP ở trên được định nghĩa trong tính toán FRAT ngược Lưu ý rang các ma trậnbiến đổi cho FRAT va FBP hoán vị lẫn nhau Nói cách khác, các không gian con của cáchàm trung bình bằng không được định nghĩa trong 2; , thì FRAT là một khung chặt chẽ (

tight frame).Cả hai công thức biến đổi thuận va nghịch của FRAT đều đòi hỏi các phép cộng p” và cácphép nhân p” Có một cách thực hiện một cách nhanh chóng cho FRAT, ta bỏ qua các pixel

của ảnh gốc và sử dụng biểu đồ p: một cho mỗi hệ số FRAT của ảnh.Đối với mỗi tập hợp A, đặt 5, cho hàm thuộc tinh của A Sau đó, ta có thé viết các hàm co

bản cho FRAT như {p 'ồ,, :0<k< p,Ö<Ï< p} Các thuộc tính đã dé cập trước đâycủa đường thắng trong hình học Zz; :

p if k=kll=l

(ổn) = O Ứ kK=k lel (1.39)

1 if k#k'

NDo đó, góc tối thiểu giữa bất kỳ các hàm cơ bản nào của FRAT là:

Min, 1 4° “Cố,7 O;, ) = cos '(1/ P) tiếp cận đến đúng góc của p lớn (large) Do vậy ta

có thể nói Radon hữu hạn thì gân như là trực giao

2.4 Biến đối Ridgelets hữu hạn trực giao

Bây giờ với một biến đổi FRAT khả nghịch, ta có thé đạt được một biến đổi Ridgelets rờirạc khả nghịch băng cách thực hiện một biến đổi Wavelets rời rac trên mỗi vector, còn đượcgọi là một projection, (r,[0], r¿[ L] rx[p- L]) của các hệ số Radon mà tại đó hướng k là cóđịnh Kết quả có thé được gọi là biến đổi Ridgelets hữu hạn ( Finite Ridgelets Transform —FRIT) Bởi vì tính chất tuần hoàn của các hệ số FRAT cho mỗi hướng, biến đổi Waveletstuân hoàn được chọn và sẽ được giả định trong phan tiếp theo

Lưu ý rang FRAT thi dư và không trực giao Trong phan tiếp theo ta sẽ thể hiện điều nàybăng cách thực hiện biến đổi DWT một chiều trên các phép chiêu của FRAT theo một cáchđặc biệt, ta có thé loại bỏ được sự du thừa này và đạt được một phép biến đổi trực giao

Gia sử rắng DWT được thực hiện theo một bộ lọc — bank cấu trúc cây trực giao với J trạngthái, trong đó Gy và G, là các bộ lọc tổng hợp thông thấp và thông cao tương ứng Tập hopcác hàm {øi!In-2im] go” [n-2'm]}, j=l J và n,m €Z là các cơ sở trực giao của các chuỗi

Wavelets rời rac Trong đó G" là các bộ lọc tương đương ở mức j Các hàm cơ sở từ go”được gọi là các hàm tỉ lệ, các hàm khác gọi là hàm Wavelets Thong thường, bộ loc G; được

thiết kế dé thỏa mãn điều kiện băng cao, G,(z)l,-.=0 Vì thé mỗi hàm cơ sở Wavelets cótong bang không

Đối với một thiết lập cơ bản, giả sử rằng ta có một tập hợp của (p+1) biến đồi trực giao mộtchiều trên R?

(kK),

{w,, :meZ}, OSk<p (1.40)Điều kiện duy nhất cho các cơ sở này là chúng có thé được biểu diễn tương đương bởi điều

kiện lemma dưới đây.

Lemma 4.1 ( điều kiện Z): Giả sử rằng {wm, EZ} là một cơ sở trực giao cho không gianđăng hướng hữu hạn R?, các điều kiện sau là tương đương:

1 Cơ sở này chứa một hàm hang, gọi là wo2 Tất cả các hàm cơ sở khác, Wm, m=1, ,p-1 có tong bang không

Điều kiện Z được thỏa mãn cho tất cả các hàm Wavelets, hoặc cho tất cả bộ loc theo cau

trúc cây cơ bản, trong đó tat cả các nhánh băng thấp được mang di trên số lượng trạng thái

là tối đa.Trong định nghĩa của chúng ta, FRIT có thể được viết lại:

Xem xét kết qua sâu hơn của bat kỳ hai hàm cơ sở FRIT nào:

Cơ sở lý thuyết 31 HVTH: Dương Tân Vũ

(Py sPrimr) =— > Wen wien (5,,, 66), } (1.43)

ll'eZ,

Khi hai hàm cơ sở FRIT có cùng hướng, k=k’, sau đó:

(Pen? Pem) = WOT we] =d[m—m'] — 4$

Trong trường hợp này, nêu hoặc m hoặc m’ khác khong, vi dụ m0, sử dung điều kiện Z của

Các CƠ SỞ này, » wi, HH] =0, điều này ám chi (Pen Prem) =0.

leZ,

Một lưu ý cuối răng U,L, (1) = 2 đối với tất cả các hướng k Vì thể cùng với giả sử rằngw§ là một hàm hang, ta thay rang tat cả các hàm cơ sở FRIT p,, tương ứng với trungbình của ảnh dau vào, vì thé ta chỉ can giữ một trong số chúng ( tại bat kỳ hướng nào) va kýhiệu là p, Vậy là ta đã hoàn thành việc chứng minh kết quả sau

Dinh lý 4.2: Cho một tập cơ sở trực giao p + | trong miền l”(Z„): { w , mE Z,}, 0<k<p và

thỏa mãn điều kiện Z, ta có:

{,„:0<k < p,0<m< psUL{p, =1/ p}

La một cơ sở trực giao trong miễn 1,(Z*)

Nhận xét:e Nhận xét trực quan đăng sau những kết quả ké trên là mỗi mức của phân giải DWT được

ứng dụng trên FRAT, thì tat cả các thành phan dư thừa và không trực giao sẽ bị đây vào các

hệ số tỉ lệ Khi DWT được thực hiện trên tối đa các mức có thê, tất cả các hệ số tỉ lệ còn lạiở các hình chiếu khác nhau là như nhau, kết quả là ta có loại bỏ tất cả, chỉ cần giữ lại mộttrong số chúng Kết quả ta được biến đổi FRIT trực giao.

e Kết quả nói trên đã được chứng minh với những thiết lập cơ bản nơi mà những biến đổikhác nhau có thể được ứng dụng trên những hình chiếu FRAT khác nhau Điều này chophép chúng ta sử dụng các cơ sở thích nghi, như là các gói Wavelets, trên mỗi phép chiếu

một cách độc lập Thêm vào đó, bởi vì hiệu ứng “ bọc xung quanh” ( wrap around) của

FRAT, các hình chiếu của nó có thể có các thành phan tuân hoàn, do đó đối với một vàihình chiếu ta có thể sử dụng một biến đổi loại Fourier như DCT Luu ý rằng nếu ta thựchiện bién đổi Fourier một chiều trên tat cả các hình chiếu FRAT thì ta sẽ đạt được biến đổiFourier hai chiều

2.5 Bậc tôi ưu của các hệ sô Radon hữu hạnCách cơ bản nhật của định nghĩa đường trong miền Z7 là:

số đường thì liên quan đến miễn hữu hạn Z„

Xem xét phương trình sau để liên hệ giữa công thức FRAT thông thường và công thức ở

trên:

ai + bj —f= (1.47)

Nếu bz0 và theo công thức trên <> j = - b ai + bÌt, trong đó b! ký hiệu cho bội số ngược

của b trong miền hữu hạn Zp Đối với trường hợp b = 0, thi a # 0, công thức trên thành:

i=a Í

Vì vậy ta có những đăng thức sau:

L',,, =L,, đối với trường hợp b#0, a=-kb, t=bl (1.48)

L'.„„ =L,, đối với trường hợp b=0, t=al.

Cơ sở lý thuyết 33 HVTH: Dương Tân Vũ

Thêm vào đó, có thé kiểm tra một cách dé dàng răng đối với c € Z, , c#0 thi {cl : 1 € Zp}=

Zp Vì vậy đối với một vector trung bình cố định (a,b), tập hợp các đườngtp, ƒ€c Z„} chính là tập hợp các đường thắng song song p với cùng một độ dốc k,th,:Íc ZS: trong đó k = -b†a cho b 40 và k= p cho b = 0 Nói cách khác, tập hợp các

đường thăng với vector trung bình (a,b) thì tương tự tập hợp các đường có vector trung bình(na, nb), Vn=1, 2, , p-1

FRAT sử dụng phương pháp xác định đường mới:

Bậc của các hệ số FRAT rất quan trọng đối với FRIT bởi vì ta áp dụng biến đổi DWT Ichiều lên các phép chiêu FRAT Các bậc này phụ thuộc vào sự lựa chọn của các vectortrung bình (a, by) Vậy đâu là tập hợp tối ưu của các vector trung bình (p+1) cho FRAT?Trước tiên ta xem xét thuyết lát cắt chiếu rời rạc cho FRAT tổng quát:

Thuyết lát cắt chiếu ròi rac cho FRAT: Biến đổi DFT 1 chiều R„,[w] của một phép chiéuFRAT rapt] thì giống như biến đổi DFT 2 chiêu F[u,v] của ƒfij) được ước lượng dọc theolát cắt rời rạc theo hướng (a,b):

Raplw] = F[aw,bw] (1.51)

Ta có thé thay được vai trò của các vector trung bình (ay.by) trong FRAT Đối với trườnghợp các lát chiếu, các vector trung bình được chọn (a, b) cho các hướng riêng biệt điềukhiển bật các hệ số trong các lát cắt Fourier tương ứng Đối với ảnh, ta chỉ tập trung chú ýđến năng lượng tập trung ở miễn tan số thập Mặt khác, biến đổi Wavelets cũng tập trungvào miễn tan số thấp Do đó dé dam bảo răng các phép chiếu FRAT được tron (smooth), cácthành phan tần số thấp sẽ chi phối tín hiệu, thì điểm (a, b) cần được chọn dé càng gan đến

diém gôc của miên Fourier càng tot.

trên lát cat Fourier.

Sau khi tính toán tập hợp các vector trung bình, FRAT và biến đổi ngược của nó được thực

hiện với cùng một giải thuật nhanh như ở trên.

Ảnh hưởng của các bậc mới của các hệ số FRAT trên FRIT được trình bày trong hình dưới

Như ta có thé thay , với các bậc tối ưu, các ham cơ bản của FRAT kế cận trong một hướng

Cơ sở lý thuyết 35 HVTH: Dương Tân Vũ

thì gan nhau hơn do đó kết qua là các ham co bản FRIT giéng nhiều hơn các điểm bấtthường roi rac.

2.6 FRAT va FRIT xép.FRAT trong phan trước được định nghĩa với một co sở tuân hoàn trên miễn Z) Diéu nay

tương đương với việc áp dung phép biên đối lên chu kì của ảnh dau vào — f Do đó các hệ số

biên độ FRAT lớn liên quan có thê dẫn đến sự gián đoạn dọc theo biên ảnh Đề vượt qua

van dé này, ta sử dụng cách tương tự như trong biến đổi khối cosin băng cách mở rộng các

ảnh đối xứng về biên của nó

Giả sử rang p là một sô chính p>2, p là số lẻ và có thé được viết: p=2n-1 Giả sử rang mộtảnh vào kích thước n x n, flij], 0< ij <n Anh này được xếp lại đối với dòng i = 0 và j = 0để tạo ra một ảnh px pf [i j] -n < j.j <n, trong đó:

I

fli l= fl ? 7| (1.52)

Chu kỳ của fli ,/] thi đối xứng và liên tục dọc theo biên của ảnh sốc, do đó loại bỏ đượccác bước nhày không liên tục là kết quả của việc mở rộng chu kỳ của f [i, j] Áp dụng FRATlên ƒ¿, 7] được kết quả là các hệ số biến đổi p (p+1) Lưu ý dải các chỉ số pixel mới của

ảnh fli ,j] Ta có thê thay rang các hệ số FRAT của fli JI thé hiện các thuộc tinh đối

xứng nhất định , vì thé ảnh sốc có thé được tái tạo một cách hoàn hảo băng cách chỉ giữ lạin hệ số

Xem xét biến đổi DFT hai chiều của ffi, 7]:

i, HE > R,,[wlw," (1.55)

P—A<W<n

Trong do R,„|w] = ƒ[aw,bw|

Do đó đối xứng của F[u.v] mang lại:

R,„[w]= R,„I|w|l và (1.56)

R,„[w]= R„u[w] (1.57)

Từ các phương trình trên, ta có được 7, ,[t]=7, ,[|t|] hoặc mỗi phép chiêu 7, plt] là đổi xứngvới t=0, đông thời cho thấy sự trùng lặp giữa các phép chiếu Thật ra, sử dụng taaph hợp cácvector trung bình tôi ưu , ngoại trừ hai hệ số chiêu (1,0) và (0,1) ( các phép chiêu ngang vadọc), tat cả các phép chiếu đều có một phép chiếu tương ứng gidng hệt nó Băng cách lại bỏcác phép chiếu trùng lặp đó, ta được 2 + (p-2) /2= n + I phép chiêu Vì thế FRAT của

fli ,j| thi được quy định bởi các hệ s6 n (n+l) tiếp theo:

Tuy nhiên, tính chất trực giao có thé bi mat đối với FRIT gấp ( kết qua của việc áp dungDWT một chiêu trên n+1 phép chiếu của FRAT gap) Điều này gây ra một sự that rang cáchàm co sở từ cùng một hướng của FRAT gap có thé trùng với nhau Mặt khác, nêu chúng tanoi lỏng các điều kiện trực giao, sau đó bang việc xây dựng các phép chiếu FRAT gap đốixứng qua t = 0 vat = n-1/2 Điều này sẽ cho phép sử dụng các phép biến đổi Wavelets gapvới Wavelets đối xứng song trực giao

3 Biến đối Curvelets.Trong xử lý anh, các cạnh (edge) thường khó xử lý hơn các đường thăng và biên đôi Ridgeletskhông đủ hiệu quả để xử lý chúng Tuy nhiên, một cách máy móc chúng ta vẫn có thể áp dụngRidgelets theo ý tưởng: tại một tỉ lệ thích hợp, độ cong của các cạnh thì gan tương đương vớiđường thăng Đó chính là ý tưởng đâu tiên của Biến đôi Curvelet dạng thứ nhất

3.1 Biến đối Curvelet thé hệ thứ nhất

Cơ sở lý thuyết 37 HVTH: Dương Tân Vũ

Biến đổi Ridgelet chính là nên tảng của phép biến đổi Curvelet Vào năm 1999, biến đổiWavelet dị hướng Wavelet xuất hiện,có tên là Ridgelet được đề xuất bởi Candes va Donoho.Biến đổi Ridgelet là sự tối ưu trong việc đại diện các đường thăng đặc biệt Để phân tíchnhững đường đặc biệt này,một ý tưởng rât tự nhiên đưa ra là xét đến từng thành phân của

bức ảnh Sau đó sử dụng biến đổi Ridgelet dé thu được những ảnh con Kiểu biến đổi dựa

trên biến đối Ridgelet này được gọi là biến đổi Curvelet Được đề xuất lần đầu tiên bởi

Candes và Donoho vào năm 2000 Tuy nhiên những ứng dụng đầu tiên(được gọi là biến đổi

Curvelet thế hệ dau) bị giới hạn bởi vì dạng hình học của biến đổi Ridgelet vẫn chưa rõràng Về sau đã xuất hiện biến đổi Curvelet thé hệ hai don giản hơn dựa trên những ki thuậtbiến đổi ở miễn tan số Biến đổi Curvelet thế hệ hai được xem như một công cụ rât hữu hiệutrong những ứng dụng trong việc xử lí ảnh Tổng quan về phép biến đổi Curvelet về cơ bảnđược chia làm bốn giai đoạn sau

í Subband \ Smooth \f )

ae Renormalization

PartitioningI,=M,'Ä ƒDecomposition

|= >

-|p “lọ h

J

Hình 15 Các quá trình của phép biến doi Curvelets thé hệ thứ nhát.

Smooth Partitioning & Renormalization Ridgelet Analysis

Subband Decomposition > ˆ `

Coarse-ScaleWavelet

Multiresolution Analysis Relabelling |

Filterbank

I\ > Poff (k\.kạ : ky ) J (0(Kq.kạ ) : k1,Ko )

\ —> AO} —c—> ( Tg1waA;@ :!() =1⁄2|[` —O— (ơ(Q2/: : IQ = 12)

—> AM) —-— ( Tg1woA,(0:1!(Q) = 1/4)|| —O— (Qa): IQ = 1⁄4)

a =., \Unit Scale \Analh sis Af

Hình 16 So đồ của phép biến doi Curvelet First generation.

a) Phân tách không gian trong mỗi băng con:

eo) Ni

|

SmoothPartitioning¬— | —|~

| IsolationL] L1 4 HE BI

wmalization

Doesn't Matter Matters

Hình 17 Quá trình phân tích không gian trong mỗi băng con.

+) Phân tích băng con:

Ta định nghĩa một bộ lọc băng con Pp, Po (As, s>0) Đối tượng f là bộ lọc cho băng con

#'>(PBf.A.ƒf.A,ƒ ) (1.60)

Bước này sẽ chia ảnh làm nhiều lớp con với độ phân giải khác nhau Mỗi lớp sẽ chưa thôngtin chỉ tiết về các tần số khác nhau

Po: Bộ lọc thông thấp

A, A,: Bộ lọc thông dai.

Ảnh ban đâu có thể khôi phục lại từ những băng con trên:

Phân tách băng con được đơn giản bằng việc thực hiện các phép toán tích chập

Cơ sở lý thuyết 39 HVTH: Dương Tân Vũ

WKF =O" f và A,ƒ =U;,*ƒ (1.63)

Có một số liên hệ giữa biến đổi Curvelet và biến đổi Wavelet trong phan này Phân tách

băng con có thế được xấp xỉ như việc sử dụng những biến đôi Wavelet đã biết

+ Sử dụng biến đổi Wavelet, ƒ sẽ được phân tích thành các thành phân SO, D,, D2, D3 + Pof được xây dựng riêng từ So, Dị va có thé bao gồm một phân của D>, D3

+ A f được xây dựng tir D2, Dạ; ¡.Pof có đặc tinh tron(tan số thap) và có thé đại diện một cách hữu hiệu bằng cách sử dụng

những cơ sở Wavelet Nhưng có sự lẫn lộn răng những được gián đoạn anh hưởng đếnnhững lớp tần số cao A,ƒ Liệu chúng có thé được đại diện một cách hiệu quả)

Ans: Nhìn vào các mảnh vỡ của những cạnh,chúng xuất hiện như những gợn thắng vớinhau Bên cạnh đó ta sẽ phân loại những lớp này thành những thành phân nhỏ hơn để tránhnhững lỗi xảy ra

RAF ASF AS.) (1.64)

Vi du vé su phan tach bang con: