Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Theo dõi và đánh giá lực căng cáp sử dụng tần số dao động và phương pháp phân tích độ nhạy

2 Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh mô hình PTHH sử dụng phương pháp phan tích độ nhạy cho dây cáp dựa vào sự thay đối các đặc trưng dao động, nhằm mục đích đưa ra phương pháp đánh giá lực

ĐẠI HỌC QUOC GIA TP HO CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYEN TRUNG THÀNH

THEO DOI VÀ ĐÁNH GIÁ LỰC CANG CAP SU DUNG TAN SO DAO

DONG VA PHUONG PHAP PHAN TICH DO NHAY

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dan dung và công nghiệp

Mã số ngành: 60 5820

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HO CHI MINH, tháng 02 năm 2014

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐẠI HỌC QUOC GIA TP HO CHI MINH

NGUYEN TRUNG THANH

Cán bộ hướng dan khoa học:Cán bộ hướng dẫn : TS Hỗ Đức Duy

Cán bộ cham nhận xét 1: PGS TS Nguyễn Thời Trung

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS Nguyễn Sỹ Lâm

Thanh phân Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 TS Lê Văn Phước Nhân

2 PGS TS Nguyễn Thời Trung3 TS Nguyễn Sỹ Lâm

4 TS Hồ Đức Duy

5.PGS TS Bùi Công Thanh

CHỦ TỊCH HỘI ĐÔNG TRƯỞNG KHOA

KY THUẬT XÂY DUNG

ĐẠI HỌC QUOC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên Tác giả NGUYEN TRUNG THÀNH MSHV: 11211019

Ngày, tháng, năm sinh: 28/11/1986 Nơi sinh: Hà Nội

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp Mã số: 605820I TÊN DE TÀI: THEO DOI VÀ ĐÁNH GIÁ LỰC CANG CAP SỬ DUNG TAN

SO DAO DONG VA PHƯƠNG PHAP PHAN TÍCH DO NHẠYIl NHIEM VU VA NOI DUNG

1 Xây dựng mô hình PTHH ban đầu dây cáp bang phan mềm SAP2000

2 Phân tích dao động ta có các tan sô ft, f› f Băng phương pháp phân tích độnhạy, ta sẽ hiệu chỉnh mô hình PTHH gân đúng với ket quả thực nghiệm f, ~ f 3 Từ mô hình PTHH đại diện cho dây cap, sự biên thiên của lực căng cap va độ

cứng dây cáp theo tân sô dao động được đánh giá.

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 21/01/2013IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VU: 21/12/2013Vv HO VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DAN: TS HO ĐỨC DUY

Tp HCM, ngày tháng năm 20

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN BAN QUAN LY CHUYEN NGÀNH

(Ho tén va chit ky) (Ho tén va chit ky)

HO DUC DUY

TRUONG KHOA KY THUAT XAY DUNG

(Họ tên và chữ ky)

LOI CAM ONLuận văn thạc sĩ xây dựng công trình dân dung va công nghiệp nam trong hệthống bài luận cuối khóa nhăm trang bị cho học viên cao học khả năng tự nghiêncứu, biết cách giải quyết những vấn đề cụ thể đặt ra trong thực tế xây dựng Đó là

trách nhiệm và niêm tự hao của moi học viên cao học.

Dé hoàn thành luận văn này, ngoài sự cô găng và no lực của bản than, tôi đã nhậnđược sự giúp đỡ nhiêu tu tập thé và các cá nhân Tôi xin ghi nhận va tỏ lòng biệt on

tới tập thể và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó.Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Hồ Đức Duy, người đã đưara gợi ý dau tiên để hình thành nên ý tưởng của dé tài, góp ý cho tôi rất nhiều vềcách nhận định đúng đắn trong những van dé nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thay Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng,trường Daihọc Bách Khoa Tp.HCM đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tôi Đó cũng lànhững kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp

của tôi sau này.

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bảnthân, tuy nhiên không thé không có những thiếu sót Kính mong quý Thay Cô chidẫn thêm để tôi bố sung những kiến thức và hoàn thiện ban thân mình hơn

Xin trân trọng cảm ơn.

Tp HCM, ngày 18 thángl] năm 2013

NGUYEN TRUNG THÀNH

TOM TAT LUẬN VĂN THẠC SĨLuận văn trình bảy phương pháp theo dõi và đánh giá lực căng cáp sử dụng tầnsố dao động và phương pháp phân tích độ nhạy Từ mục tiêu của luận văn, các nội

dung sau được thực hiện:

1) mô phỏng dây cáp bằng mô hình PTHH Với cách mô hình bang phan tử cáp, độcứng phi tuyến của cáp do lực căng đã được xét đến

2) Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh mô hình PTHH sử dụng phương pháp phan

tích độ nhạy cho dây cáp dựa vào sự thay đối các đặc trưng dao động, nhằm mục

đích đưa ra phương pháp đánh giá lực căng cáp.

3) Kết quả mô phỏng băng phần mềm SAP2000 và được so sánh với kết quả thựcnghiệm đã được công bố Từ đó lực căng cáp được nhận dạng thông qua phương

pháp hiệu chỉnh mô hỉnh PTHH.

4) Đánh giá sự biến thiên của lực căng cáp va độ cứng dây dây cáp theo tan số dao

động.

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dan của

TS Hồ Đức Duy.Các kết quả trong luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên

cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình.

Tp HCM, ngày 18 tháng II năm 2013

NGUYEN TRUNG THÀNH

MỤC LỤCNHIỆM VỤ LUẬN VĂN THAC SĨ - .-c52- 2c 222 sà: iLỜI CẢM 0) Seen iiTOM TAT LUẬN VĂN THẠC SĨ - CC C2 S122 S11 SH sàn iiiLOI CAM DOAN 0 cece ccccccceccceccceu cece cccuuccsuueceeesceueceueseueeseueeseaeatees iv

MỤC LUC occ ccc cc ceccceeccceeccsee ecu essusseeeeeuesseeseseteesetaeseeaeseeness V

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ c0 1 1n n SH HH hài viiDANH MỤC CAC BANG BIỀU - -L C22111 2112251 ren ixMOT SO KY HIỆU VIET TẮT c1 2111212 nghi xi

CHUONG 1 TONG QUAN - - C00122 2 n1 xi |

1.4 Cau trúc luận văn -.-. cccc CC C20000 0n ng ng ng ng ng nh nh nr sr ra 4

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYÉT - C21112 62.1 Đặc tính dây cáp và ứng dụng - 6

2.2 Lý thuyết tính toán lực căng cáp từ tần số dao động [8] II

2.2.1 Phương trình cơ bản ccSSSS2 Ăn se 11

2.2.2 Công thức gan đúng - - c2 2 2122212111223 xee 132.2.3 Công thức gan đúng cho cáp với độ võng lớn - - - 17

2.2.4 Công thức thực hành tính toán lực căng cáp - 21

2.3 Phương pháp độ nhạy dé hiệu chỉnh mô hình phan tử hữu hạn 232.3.1 Hệ nhiều bậc tự do - sự trực giao của các dạng riêng [4]| 252.3.2 Phân tích độ nhạy kết cấu theo các dạng dao động riêng [4] 272.3.3 Phân tích độ nhạy kết cầu bai toán tinh học và động lực học tong quat [4] 292.3.4 Phân tích độ nhạy kết cau theo phương pháp phan tử hữu han [4] 33

2.3.5 Hệ thống chương trình nhận diện nhiều giai đoạn [6] 38CHƯƠNG 3 THIET LẬP BÀI TOÁN c2 2222 S‡se2 42

3.1 Bài toán 1: Cầu dây văng Hwamyung Hàn Quốc - . <- 42nh 7 nh sa all 42

XI od ca Ce | ằ.š.Ẽằốằ 453.1.3 Tính toán lực căng cáp cccnnnn HH eee nh hà 533.1.4 Đánh giá lực căng cáp - -ccQn eee e ee neeee nàn 53

3.2 Bài toán 2: Cầu dây văng Phú Mỹ, Việt Nam .- c2 55kh §:aađiadđiaddaaaiaaiẳiẳiẳảdaaaa 55

3.2.2 Phân tích CĐ EEE EEE EEE EEE EEE EEE nh nhớ 563.2.3 Tính toan lực căng cáp - SH nh nh 623.2.4 Đánh giá lực căng cáp - cọ HH SH nh nhe 62

CHƯƠNG 4 KET LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ - - 5 5c c2 csà 64

4.1 Kết luận cece eee eee eee cn 1515111511112 x 1kg 644.2 Kiến nghị - Q01 TS HH SH HT ng HT ng TT HT nh net 65TÀI LIEU THAM KHAO 0 0.0 cccccccccccccececucecesececeteceetneeeesucusesesens 66

Hình 1.1Hình 1.2Hình 2.1Hình 2.2Hình 2.3Hình 2.4Hình 2.5Hình 2.6Hình 2.7Hình 2.8Hình 2.9Hình 2.10Hình 2.11Hình 3.1Hình 3.2Hình 3.3Hình 3.4Hình 3.5Hình 3.6Hình 3.7Hình 3.8Hình 3.9Hình 3.10Hình 3.11Hình 3.12Hình 3.13

VII

DANH MỤC CÁC HINH VE

Thiết bị do lực căng cáp Model Quick Balance |

Do dao động dây cáp qua cảm biến dao động 2

Ô 1e 0v.) JHư4iiaẳâaẳa5 EE EEE EES 6Cap trong cầu dây Vang 00 cece cece eecesseeeceeeceusceueesaeeseceueeeas 9Cap trong sàn dự ứng lực -. -cc< <<: 9Cáp trong nha công nghiỆp -. 10

Cáp giang trụ anfen .-ccc-c 112111121111 1111111 na 10Góc nghiêng và đặc tính của cáp - 11

Nghiệm chính xác và gan đúng 7, với Š - - << 15

Nghiệm chính xác và gan đúng 9, với Š . -¿ 17

Mối liên hệ giữa ọ„ VOID [Ñ]| .-c c2 ccSĂSnSSsssse 20Mỗi liên hệ giữa lực căng cáp T và tần số tự nhiên f [8] - 21

So đồ hệ thống nhận dạng nhiều giai đoạn - - 4]

Cau dây văng Hwamyung . - cà, 42Đặc trưng hình học cầu dây văng Hwamyung [7] - 43

Bộ phận neo Cap enna tenes ene eee nea 43Cảm biến đo dao động dây cap - -c 2c ccc << <c 44Mô hình PTHH dây cáp C4 - -. - <<: 45Mode 1 mô hình PTHH dây cap C4 46

Mode 2 mô hình PTHH dây cap C 4 46

Biểu đồ độ nhạy của 6 thông số mô hình hiệu chỉnh 47

Biểu đồ thé hiện sai số hội tụ tần số tự nhiên - - -: - 49

Biểu đồ sự thay đổi T, qua các vòng lặp -: 50

Biểu đồ sự thay đổi E qua các vòng lặp -. -‹- 50

Biểu đồ sự thay đổi kạ; qua các vòng lặp ‹ -: 51

Biéu đồ sự thay đổi k,z qua các vòng lặp .‹ - 51

Hình 3.14 Biểu đồ sự thay đổi kạz qua các vòng lặp - ‹ -52Hình 3.15 Biểu đồ sự thay đổi k,¡ qua các vòng lặp -: 52Hình 3.16 Biểu đồ sự biến thiên của lực căng cáp và mô đun đàn hồi theo tan số

dao 6 (0) 1 Qnn ĐH HS x, 54

Hình 3.17 Cầu dây văng Phú Mỹ, - cece cece nh xài 55

Hình 3.18 Mô hình PTHH dây cáp I 15 -.- 57Hình 3.19 Mode 1 mô hình PTHH dây cap 1 IŠ 57Hình 3.20 Mode 2 mô hình PTHH dây cáp 115 58

Hình 3.21 Biểu đồ độ nhạy của 6 thông số mô hình hiệu chỉnh 5ÐHình 3.22 Biểu đồ thể hiện sai số hội tụ tần số tự nhiên ÓÖHình 3.23 Biểu đồ sự thay doi T, qua các vòng lặp - - 61Hinh 3.24 Biểu đồ sự thay đối E qua các vòng lp 0 cc cece cee ee eee 61Hinh 3.25 Biểu đồ sự biến thiên của lực căng cáp và mô đun đàn hồi theo tan số

dao động -.-cQ QQQQ ng HH HH nh nh 63

Bang 2.1Bang 3.1Bang 3.2Bang 3.3Bang 3.4Bang 3.5Bang 3.5Bang 3.6

Bang 3.7Bang 3.8Bang 3.9

1X

DANH MUC CAC BANG BIEU

Tính toán các tham số của tần số tự nhiên -:-:-: 18

Thông số kỹ thuật của dây cáp C4 cầu dây văng Hwamyung 44

Tan số dao động tự nhiên và lực căng của cáp - 44

Gia trị độ nhạy của 6 thông số mô hình hiệu chỉnh - 47

Tan số tự nhiên trong quá trình lặp hiệu chỉnh mô hình dây cáp C4 48

Sự thay đối của các thông số qua các lần lặp - 49

Sự thay đối của các thông số qua các lần lặp - 49

Sự biến thiên lực căng cáp và mô đun đàn hồi theo tần số dao00100007 54

Thông số kỹ thuật dây cáp số 115 trong cầu dây văng Phú Mỹ 56

Kết quả tan số dao động tự nhiên và lực căng cáp thiết kế 5ÓGia trị độ nhạy của 6 thông số mô hình hiệu chỉnh 58

Bang 3.10 Tần số tự nhiên trong quá trình hiệu chỉnh mô hình dây cáp 115 60

Bảng 3.11 Sự thay đổi của các thông số qua các lần lặp 60Bảng 3.12 Sự biến thiên lực căng cáp và mô đun đàn hồi theo tần số dao

MOT SO KY HIEU VIET TATChữ viết tắt

BTCT Bê tông cốt thépPTHH Phân tử hữu hạnHDPE Vỏ làm bằng Polyethylene mật độ caoPSS Hệ thống tao song song

PWS Hệ thống sợi song songNE Số thông số kết cầuM Số mode của mô hình

Ma trận và vec tơM

CKF(t,b)

Vector chuyên vị của hệVector gia tốc của hệMa trận độ nhạy

Ma trận thông số thay đổi phân đoạn giữa các mô hìnhMa trận thông số thay đổi phân đoạn các giá trị riêng

Ký hiệu

XI

Mô đun đàn hồi của vật liệu

Lực căng cápGóc nghiêng dây cápChiều đài dây cáp

Ti số độ võng dây cápTần số góc của hệ

Trọng lượng riêng dây cáp

CHƯƠNG 1 TÔNG QUAN

1.1 Giới thiệu chung

Trong một số kết cau xây dựng, cáp đóng vai trò kết cau chịu lực quan trọng.Khả năng chịu lực của cáp cường độ cao tốt hơn nhiều so với thép sử dụng trong kếtcau thép thông thường Cường độ tới han của các sợi cáp kéo nguội đường kính 5-7mm có thé dat tới 1600 MPa, trong khi thép thông thường chỉ đạt tới cường độ tớihạn 350-500 MPa Do đó việc tính toán lực căng cáp dựa vào tần số dao động đang

là hướng nghiên cứu đang được quan tâm.

Trên thế giới và ở Việt Nam, nhiều phương pháp kỹ thuật khác nhau đã được sửdụng để đánh giá lực căng trong dây cáp trong quá trình thi công cũng như khaithác Có thé kế đến các phương pháp điển hình như kiểm tra áp lực trong kích thủylực, sử dụng đầu đo lực, quan trắc biến dạng, xác định độ dan dài của đường captrong quá trình lắp đặt và căng kéo (hình 1.1) Các phương pháp này mặc dù việcmô tả là rất đơn giản tuy nhiên ứng dụng thực tế thường khó đạt hiệu quả mongmuốn về mặt giá thành, tính chính xác cũng như khả năng áp dụng

Hình 1.1 Thiết bị đo lực căng cáp Model Quick Balance

Tuy nhiên có một phương pháp đơn giản, nhanh chóng và không quá đắt tiền làphương pháp ứng dụng lý thuyết dây rung băng cách xác định lực căng trong dâyvăng thông qua tần số dao động riêng, trọng lượng riêng đơn vi va chiều dài thực tếcủa bó cáp (hình 1.2) Phương pháp này đã được ứng dụng rất thành công và thểhiện tính hiệu quả trên thế giới cho các cầu dây văng [8].

Đề ứng dụng được lý thuyết dây rung trong tính toán lực căng trong dây cáp vớiđộ chính xác cao nhất, kết quả đo đạc phải đảm bảo sự tuyến tính giữa các modedao động va tần số dao động riêng Đề đạt được điều này, cần một số giả thuyết như

sau:

> Mémen uốn trong cáp phải được coi là nhỏ và có thé bỏ qua.> Không có các chuyền vị tương đối giữa đầu neo và cáp tại vị trí neo cap.> Cáp có độ dan dai nhỏ Các biến dạng của mode đối xứng không làm tăng lực

căng trong cap.

Vì vậy việc xác định tần số dao động riêng từ mô hình phan tử hữu hạn (PTHH)chính xác là cần thiết cho việc phát hiện các hư hong, theo dõi sự làm việc va kiểmsoát kết cầu Tuy nhiên, đối với các kết cấu phức tạp, không phải dé dang để tạo racác mô hình PTHH chính xác dé có thé theo dõi sự làm việc Do đó tồn tại một vandé quan trong là làm thé nào dé hiệu chỉnh mô hình PTHH để việc phân tích số cácthông số kết cau phù hợp với kết quả thực nghiệm.

1.2 Tổng quan nghiên cứu1.2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Kỹ thuật hiệu chỉnh mô hình PTHH đã được phát triển cùng với những nghiêncứu đã được công bố trên thé giới

Zhang, Q.W., Chang, C.C and Chang, T.Y.P (2000) bài báo này trình bày quy

trình hiệu chỉnh một mô hình PTHH áp dụng đối với các kết cau phức tạp bang cáchsử dụng phương pháp độ nhạy Mục tiêu của việc hiệu chỉnh mô hình là nhằm giảmchênh lệch giữa giá trị tính toán và giá trị đo được của tần số [35]

Wu, J.R and Li, Q.S (2004) trình bày phương thức hiệu chỉnh mô hình PTHH

dựa vào độ nhạy trị riêng được áp dụng cho mô hình tòa tháp truyền hình Nam Kinh

cao 310m dựa vào phép đo độ rung trong môi trường xung quanh [32].

Jaishi, B and Ren, W.X (2005) đưa ra một kỹ thuật hiệu chỉnh mô hình phan tửhữu hạn cho kết cầu thực sử dụng kết quả thí nghiệm dao động chịu ảnh hưởng của

mô trường xung quanh [9].

Yang, Y.B and Chen, Y.J (2009) đề xuất một phương pháp trực tiếp cho việchiệu chỉnh ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của mô hình kết cấu, như vậy cóthé mô phỏng chính xác các tần số đo cho kết cau [34]

Ho Duc-Duy, Jeong-Tae Kim, Norris Stubbs and Woo-Sun Park (2012) đưa ra

một phương pháp đánh giá lực ứng suất trước trong một dim BTCT ứng suất trướcbăng cách sử dụng các đặc trưng dao động và phương pháp nhận dạng Phươngpháp này sử dụng thuật toán độ nhạy để hiệu chỉnh các thông số trong mô hình

PTHH [6].

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Phương pháp hiệu chỉnh mô hình PTHH khá ít nghiên cứu trong nước đề cậpđến Tuy nhiên, những nghiên cứu sau đây đã dé cập đến những van dé quan trọng

trong luận văn:Châu Khắc Anh Sơn (2005) Phân tích độ nhạy bài toán điều khiến kết cấu [4]

Lê Văn Nam Phân tích tính toán điều chỉnh nội lực cầu đây văng [14].Lê Văn Nam (2005) Nghiên cứu các trạng thái làm việc của phần tử dây mềm ứngdụng cho mô hình phan tử cáp trong cau dây văng [15]

Nguyễn Hữu Thuần (2005) Tính toán & thiết kế cầu treo dây văng [20]

1.3 Mục tiêu nghiên cứuXây dựng phương pháp hiệu chỉnh mồ hình PTHH sử dụng phương pháp phân

tích độ nhạy cho dây cáp dựa vào sự thay đối các đặc trưng dao động, nhằm mụcđích đưa ra phương pháp đánh giá lực căng cáp Nội dung cụ thé bao gồm:

> Thiết lập biểu thức mối quan hệ lực căng cáp và tần số đao động tự nhiên dây

> Tính toán lực căng cáp T, từ tần số tự nhiên f,, so sánh với kết quả thực nghiệmT Đánh giá sự biến thiên của lực căng cáp và mô dun đàn hồi của dây cáp theo

Chương 2 trình bày các đặc tính của cáp và ứng dụng của nó, lý thuyết tính toánlực căng cáp từ tần số dao động, Phương pháp độ nhạy để hiệu chỉnh mô hình

PTHH.

Chương 3 trình bày hai ví dụ là cầu Hwamyung ở Hàn Quốc và cầu Phú Mỹ ở

Việt Nam được mô phỏng bằng phần mềm SAP2000, sau đó được hiệu chỉnh nhờ

phương pháp phân tích độ nhạy Kết quả số sẽ được so sánh với kết qua thựcnghiệm đã được công bố

Chương 4 đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiếnnghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích

nghiên cứu của đê tài.

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LY THUYET

2.1 Dac tính cúa dây cáp và ứng dung

Dây cáp được chế tạo từ thép có độ cứng cao, hình dáng và chức năng rất đa

dạng.Các loại cáp dùng cho dây văng là thanh thép song song, sợi song song, faosong song, tao xoán và lõi cáp.

Các tao cáp lớn được mạ nhúng hoặc sơn bảo vệ Trong những năm 70, một

công nghệ mới được phát triển sử dụng các sợi (thông thường có đường kính 7 mm)

hoặc các tao (đường kính 15 mm) song song, được bơm vita xi măng xen kẽ, boc

trong lớp vỏ làm bằng Polyethylene mật độ cao (HDPE) Giải pháp này cũng tồntại một số nhược điểm: đôi khi cho sức kháng mỏi của dây khá thấp, và chủ yếu làcác van dé đứt gãy do ăn mòn Vita xi măng đôi khi được thay thé băng sáp dau (vidụ như ở các cầu Tampico và cau Iroise), hoặc với một số trường hợp khác thì bangnhựa epoxy (tao bọc nhựa epoxy, vi dụ như cau qua sông Ibi và Kiso) Tuy nhiênhiện nay đã phát triển hai hệ thống hiện đại cạnh tranh trực tiếp với nhau

Hệ thống thứ nhất đưa ra đầu tiên bởi công ty Freyssinet từ cuối những năm1980, theo đó các dây cáp chế tạo từ các tao song song được bảo vệ độc lập: tao 7soi, tat cả các sợi được mạ kẽm nhúng nóng và được kéo trước, với lớp bọc ngoàibang HDPE Các tao 15 mm bọc bởi một ống nhựa bao ngoài, chủ yếu vì các lý doliên quan đến khí động học Giải pháp này được gọi là hệ thống tao song song(Parallel Strand System - PSS), trong thực tế có thé tồn tại cùng với một số cải tiến

khác.

Trong hệ thống thứ hai, được gọi là hệ thống sợi song song (Parallel WireSystem — PWS), dây cáp được cau tao tir cdc soi ma kém song song (các sợi có thểđược xoăn nhẹ dé giữ 6n định), được bảo vệ bởi một lớp HDPE dày bao ngoài Giảipháp này được dé ra từ hệ thống BBR Hi-Am phát minh trước đây đã lâu

Ở phương Tây: Châu Âu và Mỹ, thực tế tất cả các dây cáp chế tạo gần đây đềuthuộc hệ thống PSS, còn hệ thông PWS được phát triển rất mạnh ở Nhật Bản vaTrung Quốc

Các loại cap hiện đại đều được bọc trong vỏ (hay đặt trong ống), được xử lý về

hình dạng để làm giảm nguy cơ dao động dây do tác nhân mưa và gió Dây cáp loạiPSS tuân theo các tiêu chuẩn hiện hành — Kiến nghị của Pháp (CIP), kiến nghị fibvà kiến nghị của Mỹ (PTT) đều có khả năng chống ăn mòn tốt Tuyệt đối khôngđược tôn tại lỗ rỗng trong tao đơn Các sợi thép được bảo vệ băng hai lớp bảo vệ hỗtrợ lẫn nhau: lớp mạ nhúng nóng và lớp vỏ bằng HPDE Toàn bộ khoảng rỗng giữacác sợi cáp, khoảng rỗng giữa các sợi cáp và ông HDPE đều được lấp day bangsáp dau dé tránh nước chảy vào bên trong tao cáp thông qua những kẽ hở ở lớp vỏ

HDPE.

Tiêu chuẩn này bắt nguồn từ một yêu cau trong khoảng 1989 - 1990 đối với dâyvăng của cầu Normandie Khi cho rằng các lỗ rỗng giữa các sợi thép có thể sẽ dẫnnước vào trong dây trong trường hợp xuất hiện khe hở trong vỏ HDPE hoặc do bấtkỳ nguyên nhân nào đó Công ty Freyssinet (Pierre Jartoux) đã phát triển một kỹthuật cho phép lap day lỗ rỗng băng sáp dau, và các chỉ dẫn kỹ thuật tương ứng đãliên tục được đưa vào trong các tiêu chuẩn của Pháp và quốc tế (fib và PTD

Với những dây cáp PWS, trong đó khoảng trống giữa các sợi thép và khoảngtrống giữa các sợi thép với lớp vỏ HDPE không được lấp đây toàn bộ, không có hailớp bảo vệ chồng ăn mòn hỗ trợ nhau, các khe hở trong lớp bọc ngoài có thé dẫnnước chảy vào bên trong dây và tan công sợi thép tại bat kỳ một điểm nào Dây cáploại PWS do công ty BBR, công ty Nippon Steel và công ty Kobe Steel sản xuất đãsử dụng loại neo cải tiến từ neo Hi-Am do công ty BBR phát triển trước đây Đây làloại neo rất tốt, có khả năng chịu được sự thay đối ứng suất dọc trục lớn.

Tuy nhiên, dây cáp loại PSS sẽ chịu mỏi tốt hơn khi có sự thay đối về góc neo.Trong dây cáp loại PSS, các tao cáp uốn độc lập với nhau Do ma sát giữa các sợicáp ( mỗi sợi có đường kính 5.3 mm) nên ứng suất uốn cực đại trong mỗi sợi cáp cógiá trị bằng với ứng suất uốn xuất hiện trong một sợi lẻ có đường kính khoảng 10

mm.

Trong dây cáp loại PWS, tại vị trí các sợi cáp luồn vào lỗ neo, các sợi cáp songsong phan nao làm việc như một thanh đặc có đường kính lớn Luong thay đổi ứngsuất do uốn cáp lớn hơn so với cáp văng loại PSS, ma sát sinh ra giữa các sợi cáp cóthể gây ra các hiệu ứng mỏi, do hậu quả của việc bị ăn mòn

Cáp sẽ đem lại tính kinh tế cho công trình vì cho phép kết cau thanh mảnh vànhẹ hon, điều rất cần cho các cầu nhịp lớn như cau dây văng, các kết cầu ứng lựctrước, giang trong các kết cau thép nhà công nghiệp

Hình 2.3 Cáp trong sàn dự ứng lực

Phương pháp ứng dụng lý thuyết dây rung bằng cách xác định lực căng trongdây văng thông qua tan số dao động riêng thường được sử dụng vì tính đơn giản vànhanh chóng Tan số tự nhiên của cáp không chỉ phụ thuộc vào lực căng cáp mà cònphụ thuộc vào độ cứng chịu uốn, tỉ số độ võng nhịp dây cáp, dộ nghiêng dây cáp, và

các ảnh hưởng tông hợp được xem xét có ảnh hưởng tới việc tính toán lực căng cáp

Công thức thực hành tính toan đã được đề cập trong bài viết của Shinke et al.(1980) Lực căng cáp có thê dễ dàng được tính toán từ công thức tông hợp sử dụngtan số tự nhiên của dây cáp, nó được áp dụng rộng rãi ở Nhật Tuy nhiên việc ápdụng công thức có giới hạn nhất định và không cho kết quả chính xác khi cáp không

đủ độ mảnh hay không kéo căng đủ Tham số không thứ nguyên ¿ = VT /EI1 với T,

EI và | là lực căng cáp, độ cứng kháng uốn và chiều dài dây cáp, tương ứng với

phạm vi ap dụng công thức € > 3 và € > 10 cho dạng dao động mode 1 va mode 2tương ứng.

Hình 2.6 Góc nghiêng và đặc tính của cáp

Hình 2.6 cho thay mô hình dây cáp nghiêng, tọa độ được thé hiện như tronghình, gối đỡ bên trái là gốc tọa độ O, ngoài ra Ô va 1 là góc nghiêng và chiều dai day

cáp Các giả định sau đây được thực hiện trong phân tích:

Ti số độ võng nhịp là rất nhỏ ö=s/lo <<1 Cáp chỉ đao động trong mặt phẳng xy,

và chuyên vị của nó theo phương x là không đáng ké (U<<y)

Đặc trưng hình học của cáp là một parabol bậc hai Phương trình chuyển vi theo

trong hinh , h(t) là hàm lực căng cap gây bởi dao động, w là trọng lượng dây cáp

trên một đơn vị chiều dài và g là gia tốc trọng trường

4d

y= xl x)l (2.2)Trong đó d là độ võng của dây cáp trong hệ toa độ xy Thế (2.2) vào (2.1) ta

divx) dv) 2w-T =0

d7qữ) 2 Xi —TP +Ø“q(Œ)Đ (x)=0 (2.7)

Với su ra đời của thông số o phương trình (2.7) là phương trình dao động tự do

với một bậc tự do duy nhất, 2 là tần số góc của hệ Nghiệm tông quát của (2.6) là:

0 (x)= A, sinh(Øx)+ A, cosh(Bx)+ A, sin(x)+ A, cos(x) (2.8)

Aap yr-Gr Ø#=Œ'+y)'+c (2.9a,b)

Với € =T!2EI và 7ˆ = w@” ! gEIGiả thiết cáp được neo chặt ở 2 đầu, phương trình dao động tự do thu được:

2(al)(B)[1- cos(al) cosh(Z1)] +| (Bl li (z) | sin(1) sinh(/đ1) = 0 (2.10)

thứ nguyên 7,

n„=#1 (2.13)

oon J8

tn = AV, (2.14)Với f= ø/2n và f,` là tần số tự nhiên lý thuyết thứ n của một chuỗi (Humar,1990, pp 689-690) Bang cách thay thé các công thức này vào phương trình (2.11),

_ ễ Ge Ì

œŒÌl=——,|,ll+ —]|al ễ (2.15)

(2.12), ta được:

_ ễ Ge )

fl =—,|, {i+} ——| +1al ễ (2.16)

Bằng cách thay thế các phương trình này vào (2.10) ta được biểu thức:

2n77!, (I —cos al cosh {1 ) + €sinalsinh Zl =0 (2.17)Du phương trình (2.17) là một phương trình siêu việt, nghiém 7, cho bởi giá tri

É có thé thu được bằng phương pháp lặp chang hạn như phương pháp Raphson (Humar, 1990, trang 342-344) Cac giá tri ban dau lap di lap lai tinh toan

Newton-duoc dua ra boi (2.18) - (2.21)

Với (2.18), (2.19) là công thức gần đúng cho mode 1, (2.20), (2.21) là dành chomode 2 Các công thức gần đúng thu được sẽ được dé cập trong phan sau

Trong trường hợp nghiệm của phương trình (2.17) § lớn, giá tri 7, gần như bang1 và có thé được diễn ta bang 1+A Bang cách thay thế 1+A vào (2.17), và áp dụngmối liên hệ 2øzz /¿<<l và sinhBl=coshBl >>1, phương trình (2.21) được thànhlập sau khi hiệu chỉnh hệ số để hạn chế tối đa sự khác biệt giữa lý thuyết và nghiệmxấp xỉ

Trong trường hợp § tương đối nhỏ, giá tri ;, gần như giá trị của dầm chịu kéo

đọc trục Ta có phương trình (2.19) bằng cách sử dụng độ cứng chống uốn tĩnhtương đương EP = El(I+š§”/4m?) cho dầm chịu kéo doc trục và cũng có thê bằngcách điều chỉnh hệ so theo cách nói trên.

Hình 2.7 cho thấy sự so sánh giữa nghiệm chính xác và nghiệm gần đúng củaphương trình (2.17) Các nghiệm gần đúng gần trùng với nghiệm chính xác với saisố 0.4% Khi š nhỏ, nghiệm của phương trình (2.17) ;;, tăng lên nhanh chóng, và ratkhó để có nghiệm chính xác Do đó phương trình này là không thích hợp cho cácmiền giá trị © nhỏ Khi € nhỏ đặc tính của cáp sẽ giỗng như dam, và ta có tham số

Nh 1.71.61.51.41.31.21.11.0

1 10 100 É 1000Hình 2.7 Nghiệm chính xác va gần đúng 77, với €Khi lực căng cáp tiến gần đến 0 (€=0) , ọ„ trở thành 1, bang cách thay thế các

phương trình này vào (2.11), (2.12) al, Bl sẽ trở thành:

_é 28 ]

al=—=,|,|1+| —¢@, | -1v2 J ế (2.24)

ễ 2a :

Thay thé vào (2.10) ta có phương trình dao động tư do không thứ nguyên

2ø, (1—cos al cosh Ø!)+ & sin ad sinh đ! =0 (2.26)

Nghiệm ọ„ cho bởi § có thé thu được từ phương pháp Newton-Raphson Các

nghiệm gần đúng của (2.26) có thể thu được như sau:

£

Ø =l|I+Š—:(0<¿ <8)

42 (2.27)Ø, = JL+Š :(0<£ <I8)

85 (2.28)

3.00

Pn 5 80 ⁄

2.60 WA2.40 :

Exact «oc Approx

Hình 2.8 Nghiệm chính xác và gan đúng ø, với €(2.27) và (2.28) là nghiệm gần đúng cho mode 1 và mode 2 Phương trình(2.27) (2.28) thu được băng cách sử dụng độ cứng uốn tĩnh tương đương cho đầm

chịu kéo dọc trục va bang cách điều chỉnh hệ số dé làm giam sai số giữa nghiệm lýthuyết và nghiệm gần đúng Hình 2.8 cho thấy sự so sánh giữa nghiệm gần đúng vànghiệm chính xác của phương trình (2.26) Các nghiệm gần đúng có sự tương đồngkhá tốt với nghiệm chính xác với sai số 0.4% trong miền 0< š < 8 đối với mode 1 và0< š < 18 đối với mode 2

Khi dây cáp rất dài, khó có thể kích thích nó dao động ở mode 1 hay mode 2, dođó các mode bậc cao thường chiếm ưu thế, và ta cần tìm nghiệm gần đúng cho các

mode bậc cao Trong trường hợp này € có gia tri lớn và nó được coi như € >200 Dođó nghiệm gần đúng như (2.20) có thé được sử dụng với độ chính xác là:

ễn, =—°><:(š = 200)

c—22 (2.29)2.2.3 Công thức gần đúng cho cáp với độ võng lớn

Khi một dây cáp có độ võng tương đối lớn, ta cần phải kiểm tra tính chính xácvà khả năng áp dụng các nghiệm gan đúng nhất là đối với dang dao động dau tiên.Irvine va Caughey (1974) đã đưa ra công thức tính tần số tự nhiên của cáp có độvõng tương đối lớn có xét tới lực căng cáp phát sinh do dao động như sau (độ cứng

uôn của cáp không được đưa vào tính).

À =n7 (n=1,2 ) cho dang dao động phan xứng

À= nghiệm của A= tan 4 =I, cho dang dao động đối xứng (2.31)

wl

Những phương trình này cho thay ở dạng dao động phan xứng sự co giãn của

dây cáp không xảy ra, cáp chi thay đổi hình dang và các nghiệm trùng với mộtchuỗi Ở dạng dao động đối xứng ảnh hưởng của sự co giãn của dây cáp xuất hiện

đáng kế và lực căng cáp phát sinh do dao động là không thé bỏ qua Tan số tựnhiên của chế độ đối xứng được xác định bởi tham số không thứ nguyên T,, đó là

ảnh hưởng của chiều dài, độ võng, trọng lượng, độ cứng, và góc nghiêng của dây

cáp Để kiểm tra những đặc điểm này cho một cáp với độ cứng uốn, việc tính toántham số được thực hiện bởi các phương pháp phần tử hữu hạn có tính đến ảnhhưởng của độ cứng uốn của cáp, và kết quả được thực hiện trong bảng 2.1 (Shinke

€=20.0 T'=1.00 I-=I1.175

Trong bang 2.1 I = JT và É là hang số (I” =1, € =20), chiều dài, ti lệ độ võng,

và góc nghiêng dây cáp rất da dạng Trong bảng này như đã đề cập trước đó 7, là tỉsố tần số tự nhiên cho những chuỗi Các tham số mới 9, thé hiện ti số tần số tựnhiên của cáp cho dầm chịu kéo dọc trục Bảng 2.1 cho thay những đặc điểm sau

Các nghiệm gan đúng cho dang dao động phan xứng 7, va ø, được áp dụng cho

các loại cáp với độ võng và độ nghiêng bất kỳ Ngoài ra các nghiệm của dạng dao

động đối xứng 7,va ¡, các miền áp dụng được quyết định bởi thông số I’ và &

Ta có thông số mới L' bao gồm cả I’ và §

Từ hình 2.10 cho thay đối với dạng dao động đầu tiên, trong miền Ï'<3, anhhưởng của độ võng dây cáp và lực căng cáp phát sinh lớn Giá trị lực căng cáp rấtnhạy đối với sự biến thiên tần số tự nhiên đầu tiên Điều này có nghĩa là sai số nhỏ

của tân số tự nhiên cũng gây ra sai số lớn với lực căng cáp Mặt khác đối với dạng

dao động bậc hai, trong miền này, những ảnh hưởng của độ võng cáp và lực căng

cáp phát sinh là nhỏ không đáng ké va giá trị của lực căng cáp không quá nhạy với

sự biến thiên của tần số tự nhiên thứ hai (Ï[<3 hình 2.10) Vì vậy đối với miễn màảnh hưởng của độ võng cáp là lớn, cụ thé các giá trị của I nhỏ, ta mong muốndùng dang dao động thứ hai dé tính toán lực căng cáp Ta cũng cần thiết lập mộtmiễn giới hạn cho việc áp dung công thức cho các dạng dao động dau tiên, trongnghiên cứu này miễn áp dụng là | 23, vì trong miền nay anh hưởng của độ võng và

độ nghiêng của cáp là không đáng kê ngay cả với dạng dao động dau tiên Từ đó ta

đưa ra miền áp dụng tần số dao động tự nhiên trong việc sử dụng công thức thực

hành tính toán lực căng cáp.

390

200 |kN 300 +

Ir > 3.0]250 +

2.2.4 Công thức thực hành tính toán lực căng cápTrước tiên, các thông sô € va I được tính toán từ thuộc tính cáp và điêu kiện

thiết kế Khi I lớn hơn 3, dang dao động đầu tiên được sử dụng Khi I nhỏ hơn 3,

dạng dao động thứ hai được sử dụng.Trường hợp sử dụng tân sô tự nhiên của mode đâu tiên (cáp với độ ching dunhỏ Ì >3)

Aw 2 :

T=— iL 1—2.20— P (#2 7 <] | (17<#Z)— 0.550} — ;A7<

Aw 2T =—(flP (7)

Aw 2T =—(f]P (AZ)

C C

; ; (2.35)

| (£)0.865—11.6| — | |:(6<#<17)| ⁄ | (2.36)| S)|O.828—10.5| — | |;(0< <6)

, fi (2.37)Trường hop sử dung tan số tự nhiên của mode thứ 2 (cáp với độ ching tươngđối lớn [`<3)

C (2.40)T=“(## losea-sso(C] fo <£<17)

Với f,, f›, f, là tần số tự nhiên do được của mode 1, mode 2, mode nc=Í(Eig)(WI') F= vJWI(128EA' cos’ @) [(0.31£ +0.5)/(0.31£ -0.5)

EA là độ cứng của cap, ồ là tỉ số độ võng của cáp trong mặt phang x-y, và 0 là

góc nghiêng của dây cáp.

Công thức thực hành trùng với các nghiệm chính xác của công thức lý thuyết

đao động dây cáp với sai số 0.4% , và lực căng cáp có thé được tính toán trực tiếp từ

tần số tự nhiên.Mặc dù có thé rút ra được công thức thực hành cho các dạng dao động bậc caotrong miễn € < 200, nhưng š hiếm khi nhỏ hơn 200 khi dây cáp rất dài Ngoài ra sẽrất phức tạp để tạo công thức thực hành cho dạng dao động bậc cao trong miền é<200, do không thể tránh khỏi việc chia nhỏ các miền áp dụng công thức tùy thuộcvào giá trị của Š và n ( số dạng đao động) Trường hợp š >200, phương trình (2.41)có thé được áp dung cho bat kỳ giá trị của € và n

2.3 Phương pháp độ nhạy để hiệu chỉnh mô hình phần tử hữu hạn

Mục đích của việc phân tích độ nhạy là nhằm thu được lượng thông tin vé suphụ thuộc của các trạng thái phan ứng của kết cau (chuyên vị, nội lực, tần số riêng,dạng dao động riêng) đối với sự biến thiên của các tham số vật lý của hệ (như độcứng, khối lượng riêng của vật liệu, tiết diện các phan tử, các hệ số đàn hôi, độ daycủa các phan tử tam)

Các loại thông tin này rất cần thiết cho việc phân tích phản ứng tĩnh hoặc độnglực của kết cầu nhăm vào nhiều mục đích khác nhau:

> Có sự nhận định và đánh giá tốt hơn về ảnh hưởng của kết cầu đối với cácthay đối hoặc bố sung cho một kết cầu đang tôn tại

> Thu được các hướng lựa chon tốt hơn cho các cập nhật (nâng cấp, gia cường)động lực hoặc tĩnh, cho các mô hình thực nghiệm cũng như các mô hình sô.

> Thu được các hướng lựa chọn cho việc tối ưu hoá (tính hoặc động lực) củakết cầu bằng các phương pháp quy hoạch toán học hoặc tiêu chuẩn tối ưu.> Thu được hướng lựa chon tốt hơn cho việc điều khiển kết cẫu

Tính toán tối ưu kết cau theo lý thuyết phân tích độ nhạy là một phương phápđiều chỉnh kết cầu dựa vào độ nhạy cảm sao cho việc sử dụng vật liệu có hiệu quảnhất mà vẫn thoả mãn các yêu cầu thiết kế Nội dung phương pháp là sự kết hợp cácbài toán phân tích phản ứng, phân tích độ nhạy cảm và cơ cầu điều chỉnh hệ kết cau.Ứng với từng bài toán và loại phần tử nhất định, biến quan tâm và biến thiết kếđược chọn lựa một cách hợp lý sao cho đạt kết quả như mong muốn

> Biến quan tâm: Là đại lượng vật lý đặc trưng cho trạng thái phan ứng của hệkết cầu mà ta cần quan tâm khi hệ chịu tác động tải trọng Các biến trạng tháicần quan tâm có thể là:

Chuyển vị của nút thứ I : Chuyển vị tại điểm này có thể vượt giới hạn chophép cần điều chỉnh lai

Nội lực của phân tử thứ j: Nội lực hoặc ứng suất phần tử được quan tâm saocho đạt giới hạn bên và 6n định

Tan số riêng thứ k của hệ: Tan số riêng được quan tâm sao cho có thé làm

lệch đi một giá tri nào đó.

> Biến thiết kế: Là các tham số vật lý của hệ, có thể thay đổi trong quá trìnhthiết kế để hệ đạt trạng thái tối ưu, và được xem như là các biến số Các biếnthiết kế có thé là: kích thước tiết diện, độ cứng tiết diện, khối lượng riêng vậtliệu, các hệ số đàn hồi, toa độ nút của các phan tử

Tùy thuộc bài toán, các biến thiết kế được chọn sao cho thích hop với yéu cầudo bài toán đặt ra Dựa vào thuộc tính các phân tử, biến thiết kế thường được thể

hiện như sau:

Đối với phan tử thanh, biến thiết kế có thé là diện tích tiết diện Aj , i=1 m củacác phan tu thanh (truss element)

Đối với phan tử khung, biến thiết kế có thé là mômen quán tinh I; j¡=1 m của cácphên tử khung (frame element)

> Mô phỏng kết cấu: Theo phương pháp phan tử hữu hạn Chia lưới và rời rachóa hệ kết câu theo các điểm nút Chọn lựa các loại phan tử va mồ phỏngđiều kiện biên.

> Mô phỏng vật liệu, tải trọng và phân tích kết câu: Mục đích của giai đoạn

này là tìm trạng thái phản ứng của hệ.

> Chon biến quan tâm và biến thiết kế: Dựa vào kết quả phân tích kết cau củabước 2 sẽ định ra một số các đại lượng phản ứng của hệ cần quan tâm(chuyển vi, ứng suất, tần số riêng ) và các biến thiết kế cần điều chỉnh.> Phân tích độ nhạy cam kết câu: Mục đích là dé tìm thông tin ảnh hưởng của

các biến quan tâm khi các biến thiết kế thay đối.> Điều chỉnh kết câu: Đều chỉnh các biến thiết kế nhạy cảm nhất (theo một

trình tự nhất định) để hệ đạt trạng thái tối ưu hoặc trạng thái hợp lý có théchấp nhận được

Quá trình như thế có thé điều chỉnh đồng thời nhiều biến thiết kế dé dat đượctiêu chuẩn tối ưu mà không phải lặp lại nhiều lần Đối với bài toán có nhiều biếnquan tâm (tối ưu đa mục tiêu), ứng với mỗi bién quan tâm là một bài toán điềuchỉnh tối ưu và quá trình có thể thực hiện lặp cho đến khi hệ đạt trạng thái tối ưu

2.3.1 Hệ nhiều bậc tự do - sự trực giao của các dạng riêng [4]Phương trình chuyển động của một hệ kết cầu n bậc tự do, ứng với dao động tựdo (không lực ngoai) có thé mô ta dang ma trận:

MxŒ)+Cxứ)+Kxứ) =0 (242)

đef(=œ M+K)=0 (245)

Phương trình (2.45) là một phương trình đa thức theo ø và được gọi là phương

trình đặc trưng của hệ Nghiệm của phương trình đặc trưng là các tần số riêng (tầnsố dao động tự do) của hệ Một khi xác định được các tần số riêng này, thay vàophương trình (2.44) ta có thé xác định được các dạng dao động riêng (các vectorriêng) của hệ Mỗi dạng dao động ứng với mỗi tần số riêng, vì hệ phương trình(2.44) là một hệ thuần nhất, nên không có lời giải duy nhất theo vector riêng u, màlập thành một không gian vector n chiều Các vector riêng sai khác một hăng số;Nói cách khác, các dạng dao động riêng của kết cau là bat kỳ theo biên độ mà chỉ cótỷ số của các dạng là duy nhất

Với tần số riêng œ, và dạng riêng tương ứng u, thỏa hệ phương trình (2.44),

thay vào hệ (2.44) ta được:

œMu_, =Ku, (2.46)Tương tự với tần số riêng ø, và dạng riêng tương ứng u, ta có:

œ.Mu = Ku, (2.47)Nhân hệ thức (2.46) với u! (chuyển vị của u,) và hệ thức (2.47) với u;, ta

được:

œˆu Mu, =u Ku, (248)œu,.Mu =u) Ku, (2.49)Voi luu y rang ma trận M đối xung, lay chuyén vị hai về của hệ thức (2.49) va

trừ vào hệ thức (2.48), ta được:

G — ø; }uy Mu, =0 (2.50)Với hai tần số riêng khác nhau, ta thu được:

u Mu =0 (2.51)

Với các tính toán tương tự ta có:

u Ku, =0 (2.52)Các hệ thức (2.51) và (2.52) chính là các phát biểu về tính trực giao của cácdạng dao động riêng tương ứng với các ma trận khối lượng và ma trận độ cứng củahệ Các tính chất trực giao này còn được gọi là trực giao theo trọng số, ngoài tínhchất trực giao theo nghĩa tích vô hướng thông thường trong không gian vector của

các vecfor riêng.

Nếu r=s thì giá trị của (2.51) hoặc (2.52) là một hăng số:

u.Mu =TM,, (2.53)u Ku, =X,

Và do đó, từ hệ thức (2.49) khi r=s , ta thu được quan hệ:

K=SUKL2, 4 (2.55)

M= SUML,

c=l

Trong bước đầu đơn giản này, ta giả thiệt răng môi phân tử chứa một biên là

tham số vật lý mà ta đang quan tâm (biến thiết kế):

Ku +øÝMu =0 (2.58)Lay đạo hàm phương trình (2.58) theo tham số b, ta được:

2

Ob, Ob, Ob, Ob,

Nhân hai về phương trình (2.59) với x, » do tinh chất trực giao của các dạng

riêng, và dựa vào các phương trình (2.55) và các ký hiệu (2.57) ta thu được:

> Đạo hàm này chỉ phụ thuộc vào dạng riêng tương ứng.

> Tăng độ cứng sẽ dẫn đến tăng độ lớn tần số riêng, trong khi sự tăng khốilượng sẽ dẫn đến giảm tan số

Các ma trận phần tử ở (2.57) dễ dàng tính được, và do đó việc tính toán các độnhạy cảm tần số theo công thức (2.60) chỉ cần các tính toán rất đơn giản trong quátrình tính toán bằng phương pháp phân tử hữu hạn Tuy nhiên, độ nhạy cảm của các

dang dao động riêng không đơn giản trong tính toán Vì các vector riêng lập thành

một cơ sở của không gian, nên ta có thể khai triển vector độ nhạy cảm của một dạng

riêng này theo các dạng riêng khác:

ou

h— 2.61

2p LM, (2.61)