toán kinh tế bài toán quy hoạch tuyến tính

@ Các ấn đều không âm.. Dạng chuẩn của bài toán QHTT Bài toán QHTT đựng chuẩn là bài toán QHTT dạng chính tắc: tu do thir k k =1,2,....m_, con các an không cơ bản bằng 0, ta được một phư

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC LUAT THANH PHO HO CHI MINH

KHOA QUAN TRI

TOAN KINH TE BAI TOAN QUY HOACH TUYEN TINH

LGP: QUAN TRI KINH DOANH 47B GVHD: TRAN THI BAO TRAM TRINH BAY: NGUYEN NGOC KHA TU

MSSV: 2253401010154

Thành phố Hỗ Chí Minh, ngày 20 tháng 5Š năm 2024

BAI TOAN QUY HOACH TUYEN TINH 1 PHAN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.1 Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán QHTT đạng tông quát với n ấn là bài toán có dạng:

(1) f |x]=c,x,+C,x,+ +¢,x, max (min) (2) ;,X, +0, Xợ +4, x, 6

(3)x,|>0<0tuy y|,ï=1,2, ,n

Trong đó: @® (1) là hàm mục tiêụ @ (2) là hệ ràng buộc chính

@ Mỗi phương án x thỏa (1), nghĩa là tại đó hàm mục tiêu đạt giá tị nhỏ nhất (lớn nhất) trên

tập các phương án được gọi là một phương án tối ưu (PATU) của bài toán @® Giái một bài toán QHTT là đi tìm một phương án tối ưu của nó hoặc chỉ ra rằng bài toán

vô nghiệm, nghĩa là bài toán không có PATỤ 1.2 Dạng chính tắc của bài toán QHTT

(1]ƒ[x]=€¡x¡+€¿x;+ +€„x„ > max(min)

[2)a,,x, +4, x;+ +d,xX„=b,,i=1,2, ,m

(3)x,20,i=1,2, ,0

Nhan xét: Bài toán QHTT dạng chính tắc là bài toán QHTT dạng tổng quát trong đó:

@ Các ràng buộc chính đều là phương trình @ Các ấn đều không âm

1.3 Dạng chuẩn của bài toán QHTT

Bài toán QHTT đựng chuẩn là bài toán QHTT dạng chính tắc:

tu do thir k (k =1,2, m_), con các an không cơ bản bằng 0, ta được một phương án cơ

bản của bài toán Ta gọi đây là phương án cơ bản ban đầu của bài toán

2 BIEN DOI DANG BAI TOAN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

2.1 Dạng tổng quát về dạng chính tắc

Ta có thê biến đổi bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc bằng các bước sau: $ Bước I: Kiểm tra hệ ràng buộc chính:

1) Nếu có ràng buộc chính dạngđ;; X¡†đ;;x;+ +đ, x„ < P¡thì ta cộng vào về trái ràng buộc đó

ấn phụx,.,, nghĩa là ta thay ràng buộcd; x,+đ,;x;+ +d,x„<b/rong bài toán bằng ràng buộcđ;¡ x,+đ,2x;+ +d,x„=b,,

2) Nếu có ràng buộc chính dạngđ;; x¡† đ;;X;+ +đ, X„> ¿thì ta trừ vào về trái ràng buộc đó

ấn phụ X„„ , nghĩa là ta thay ràng buộcđ;; X;+đ;,,x;+ +đ; x, 2 Ditrong bai toan bang rang buộcđ;¡ x,+đ,2x;+ +d,x„=b,,

Chủ ý: Các ân phụ là các ân không âm và hệ số của các ẩn phụ đó trong hàm 1mmục tiêu là 0 Bước 2: Kiêm tra điều kiện dâu của ân số:

1) Nếu có ânX;Ô thì ta thực hiện phép đổi ân số X;=—x,' với X; >0

2) Nếu có Ân X;có dấu tùy ý thì ta thực hiện phép đổi ấn sốx,= x; — X; '' với x;, x;''>Ũ

$ Chủ ý: Khi tìm được PATU của bài toán dạng chỉnh tắc ta chỉ cần tính gid trị của các ẩn ban dau va bỏ đi các ẩn phụ thì sẽ được PATU của bài toán dạng tổng quát đã cho

Ví dụ: Biến đối bài toán sau về dạng chính tắc:

(1) f [x]=2.x,-4x,—x, 46x, > min

Đổi biến x¿=—x;' với x;'>Ũ

Doi bien x,=x,—X3'' VOIX; ,x3''20

Ta dua bai toan vé dang chinh tac:

(1)ƒÍxÌ=3x,—2x;+2,5(x;—x;) — max

2114 xi #6; +B|Xi—x; l>x,=07xi*|Xs—x;]~xs=302x,—3x;'—5 Íx;—x¿]=—25

(3)x¡>0,x;>0, x;>0, x;>0, x¿>0,x;>0

2.2 Dạng chính tắc về dạng chuẩn Từ bài toán dang chính tắc ta có thê xây dựng bài toán dang chuẩn như sau:

1) Khi gặp hệ số tự do Ð,<0 ta đổi dau hai về của ràng buộc thứ ¡

2) Khi ma trận hệ số ràng buộc A không chứa cột đơn vị thứ k là #,, ta đưa vào an gia

X„.„>Ũ và cộng thêm ân giảX,„„„ vào về trái phương trình ràng buộc thứ k để được phương trình ràng buộc mới: đự¡X¡#đ,;X;+ + đụ, X„+ X„„„— Dị

3) Ham muc tiêu mớ rộng ƒ (x) được xây dựng từ hàm mục tiêu ban đầu như sau:

@ DĐói với bài toán min: ƒ Íx)=ƒÍx|+M:,

@ Dói với bài toán max: ƒÍx)=ƒ(x]— Mỏ,

Trong đó MI là đại lượng rất lớn, lớn hơn bất kì số nào cho trước Vị dụ 1: Biến đổi bài toán QHTT sau về dang chuẩn:

(1) f [x)=3x,+2x,+2x,+x,+Mx,+Mx, > min [2){4 x, -6x, +5 x,+x,=507 x, +X,+X,=02 x, +3x,—-5 x,+xX,=—25

3 Vi DU VÈ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Giá sử yêu cầu tối thiêu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90s, 130g, 10g Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong lg thức ăn A, B, C và giá mua 1kg thức ăn mỗi loại được cho trong bang sau:

Dé dap ứng được nhu cầu dinh dưỡng tối thiểu mỗi ngày thì tổng khối lượng các chất dinh dưỡng có trong thức ăn cần mua không thể nhỏ hơn các nhu câu tối thiểu mỗi ngày về các chất đinh dưỡng đó nên ta có các điêu kiện:

4, PHUONG PHAP DON HINH

4.1 Phương pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn

4.1.1 Thuật toán bài toán Min: Bước 1: Chuyên bài toán về dạng chuẩn

xy Cy 1 0 Fmt) địy đụ b, Xo Cy 0 1 G51) địy Don, b,

x, C, 0 0 đ (m1) ay ap b,

Bước 2: Lập bảng đơn hình đầu tiên

Trong đó: fg=>, œb, & A=}, CGC} i=l ¡=1

4 Bước 3: Kiểm tra tính tối ưu

@® Nếu 4/<0Y j thì phương án đang xét là tối ưu và giá trị hàm mục tiêu là ƒÍx)=fo @ éu 34/>0 mà a,< vị thì bài toán không có phương án tối ưu

Nếu cá hai trường hợp trên không xảy ra thì chuyển sang bước 4

s% Bước 4: Tìm biên đưa vào Xét các Aj>0, Néu Av=max Aj thi x„ được chọn đưa vào Khi đó cột v gọi là cột chủ yếu s% Bước 5: Tìm biên đưa ra

Tính À;=b,Íđ,, ứng với các đ„>0 Nếu A,=minA thi x, la biến đưa ra.Hhàng r gọi là hàng chủ yếu, phần tử đ„ là phần tử trục xoay

* Bước 6: Biến đối bảng như sau

1 Thay, bằng , và C,bằng €, Các biến cơ bản khác và hệ số tương ứng để nguyên 2 Chia hang chu yéu (hang r) cho phan tử trục xoay đ,„;chúng ta được hàng r mới và được

gọi là

3 Muốn có

(i#r), —4,nhan rồi cộng 4 Muốn có chúng ta hàng vào hàng Chú ý: Hàng cuối

(g6m f va Aj)

Ta nhận thấy 4¿>0 và chi cé 4,,>0 nén dua X, vao bang va loai X; khỏi bảng và thanh bang don hinh thir hai

Ta nhan thay 4,>0 va nhung cac 4;,>0 nén bai toan khéng c6 PATU

4.1.2 Thuật toán bài toán Max:

So với bài toán Mi, bài toán Max có các thay đổi sau:

1) G bước 3: Kiểm tra tính tối ưu

@ Phương án tối ưu khi 4,>0V,

@ Niu

toan án tối

34,<0 mà a,<OV,thi bài không có phương ưu

Tìm biến đưa vào

đưa vào là biến có

nhỏ nhất

Trong bảng trên ta thấy A,>0,V,=1, ,6 nên bài toán có PATU là xo=(32,0,30,0,0,36) và

d 3866085 hinh 1y |2 [1| 6 |0|-2|-9 | 0 [32 ta ae

Dùng biến 2lol 2 lilil(lo lao giả đưa bài toán

dang chinh *3 (3) tac về dang

theo như đã trinh bay

Tài liệu tham kháo

Gray Swan (2011, 06 21) Các phương pháp giải bài toán qui hoạch tuyến tính

Retrieved from TaiLieu.vn: https://tailieu.vn/doc/cac-phuong-phap-giai-bai-

toan-qui-hoach-tuyen-tinh-681688.html Lê Ngọc Hùng (2010, 11 15) quy hoạch tuyến tính Retrieved from ViOLET:

https://baigiang.violet.vn/present/quy-hoach-tuyen-tinh-4355786.html

Nguyễn Cảnh (2011) Quy hoạch tuyến tinh Retrieved from Nhà xuất bản Đại hoc Quốc gia TP Hồ Chí Minh.