Các bài toán tối ưu thường xuất hiện trong kinh tế và kỹ thuật, chúng có nhiều ứng dụng rất rộng rãi và đa dạng. Hiện môn học “Tối ưu hóa” đang được giảng dạy ở những năm cuối cho sinh viên các ngành khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật và kinh tế ở nhiều trường Đại học và Cao đẳng. Cuốn sách “Các phương pháp tối ưu” này là tập hợp các bài giảng của tác giả về môn học này ở một số trường đại học trong nhiều năm. Các phương pháp tối ưu trình bày trong cuốn sách đã được lựa chọn, chúng là các phương pháp tối ưu tiêu biểu và tính toán có hiệu quả trên máy tính. Mỗi phương pháp được trình bày ý tưởng cơ bản, thuật toán chi tiết, ví dụ giải bằng số và các bài tập, không quá đi sâu chứng minh đầy đủ về mặt toán học, như vậy sẽ phù hợp hơn đối với sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế. Phần thuật toán chi tiết của các phương pháp được trình bày để các lập trình viên có thể chuyển dễ dàng sang chương trình bằng Pascal, C, FoxPro, Basic hay Java. Đối tượng của cuốn sách là các bạn sinh viên, kỹ sư thuộc các ngành khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật và kinh tế, học sinh các lớp chuyên tin học.
Qui hoạch tuyến tính dạng đặc biệt
Phân rã khi miền G không bị chặn - 3.3 Xác định phương án tựa xuất phát -cs 3.4 Qui hoạch tuyến tính có cau trúc khối §4 Thuật toán điểm trong Karmarkar . - 4.1 Vài nét lịch sử phát triỂn -.-:-ccccccccsccc¿ 4.2 Nội dung phương pháp Karmarkar - 4.3 So sánh với phương pháp đơn hình §5 Qui hoạch tuyến tính nhiều mục tiêu
Trong mục này ta sẽ cải tiến bài toán (3.5) cho trường hợp tập hợp G xác định bởi (3.3)-(3.4) là một khúc lồi đa diện
(không bị chặn) Theo định lý biểu diễn với mỗi điểm X € Œ có thể viết dưới dạng
Trong bài viết này, chúng ta xem xét đồ thị G với các đỉnh X„ từ 1 đến N và các véc tơ cạnh vô hạn X„ từ N+1 đến N Do X không phải là tổ hợp lồi của các X„, chúng ta sử dụng ký hiệu é„ để biểu diễn điều này.
Như vậy bài toán (3.5) dẫn tới bài toán (3.7):
Tương tự như trường hợp trước ta lập bài toán (3.6) và ước lượng các cột của bài toán (3.7) được tính theo công thức
Vì G không bị chặn, việc giải bài toán (3.6) có thể kết thúc với hai khả năng: Trường hợp 1 là tìm được lời giải cho bài toán (3.7), hoặc yêu cầu đưa vào cơ sở kế tiếp véc tơ P„ với chỉ số < Nj.
Giá sử lời giải bài toán (3.6) là định X„~, ta có
LẠA(X,) Š LA(Xằ+), yv=1, ,M suy ra
Thật vậy, giả sử cạnh vơ hạn X„ xuất phát từ X,ò Nếu LẠ(X,) > 0 thì
TA(X„s + uy) = La(X,0) + pLa(X,) > 00, (ps > 00), điều này mâu thuẫn với tính giải được của bài toán (3.7)
Do dộ theo phuong phỏp đơn hỡnh cỏc vộc tợ P„, > ẹ) sẽ không được đưa vào cơ sở
Kết luận rằng nếu A„ = 0, bài toán (3.7) có thể được giải quyết Đơn hình cuối cùng cung cấp các thành phần của phương án tối ưu, với mỗi thành phần tương ứng với một véc tơ cét P trong bài toán (3.7) Véc tơ P„ được sinh ra từ một đỉnh tối ưu hoặc phương pháp tối ưu hóa.
X, cua bài toán (3.6) Dùng định lý 3.1 ta tìm được lời giải của bài toán xuất phát
Nếu A„- < 0 thì đưa vào cơ sở mới véc tơ P„- ứng với định X„-:
Py = (4 1 ): ok = (C, X„-) e Trường hợp 2 Đòi hỏi tiếp tục quá trình giải bài toán (3.7) đồng thời cần đưa vào cơ sở kế tiếp vộc tơ P„, > ẹh
Khi giải bài toán phụ (3.6), nếu xảy ra trường hợp A‘) < 0 với một j nào đó và các thành phần khai triển của véc tơ điều kiện tương ứng z;; < 0, ta giả sử rằng các véc tơ cơ sở của phương án tựa ứng với bảng đơn hình là p-véc tơ đầu tiên của bài toán (3.6), trong đó p là hạng của hệ ràng buộc (3.3).
Xét véc tơ là một cạnh kề phát xuất từ X„o:
Theo cách xây dựng X„: AŒ)X„, = 0 và X„ >0 Do đó J
X =X„s + uX, với u > 0 bất kỳ là phương án của bài toán (3.6), suy ra X„ là phương một cạnh vô han cua tap Idi da diện G
Như vậy ứng với cạnh vô hạn X„:
Ay = —La(X_) + ep = —La(X,) = AM < 0
Theo phương pháp đơn hình ta cần phải đưa vào cơ sở mới của bài toán (3.7) véc tơ
P,= (4 a oy = (C, X,) ứng với cạnh X„ của Œ Như vậy khi giải bài toán (3.6) gặp trường hợp 2 thì quá trình giải bài toán (3.7) tiếp tục
3.3 Xác định phương án tựa xuất phát
Phương án tựa xuất phát của bài toán (3.7) được xác định dễ dàng khi tất cả các ràng buộc ban đầu được trình bày dưới dạng bất đẳng thức < và ỉ0), ứŒ) >0 Các ràng buộc của bài toán (3.7) có dạng cụ thể.
Khi 46 tap G cé mét dinh la Xo = N ;0)€ R“, Định này tương ứng với véc tơ điều kiện của bai t toán (3.9) là
"-(9)-()-(Y) Đưa m biến bù z¿ (¿ = 1, ,zm) vào hệ (3.9) thì ta nhận được m+1 véc tơ cơ sở của bài toán (3.7)
(PoP Pm =| ii ic ifs
Các biến cơ sở ứng với phương án tựa xuất phát là
1, 0), 0, , Tn m thành cuối chớnh là ỉ0) Nghịch đảo ma trận cơ sở là
Để giải bài toán ban đầu (3.1)-(3.4) dưới dạng chính tắc, cần áp dụng các phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát trong quy hoạch tuyến tính, bao gồm cả phương pháp đánh thuế.
3.4 Quy hoạch tuyến tính có cấu trúc khối
Phương pháp phân rã có thể áp dụng rất hữu hiệu khi AO) có cấu trúc đường chéo khối Xét bài toán
AMX = BY t=1, ,8 (3.12) X>0,t=1, ,8 (3.13) trong đó CŒ), XM € Rm, AO 13 ma tran c& mm x n¿, AM la ma tran cO m, X ny, BO € R™, BO E R™ m | AM | AM Po A my AQ) my A@®)
Ms AG) hy :/ PA Ns
Tập hợp G là tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện (3.12)-(3.13) Mỗi điểm trong G có thể được biểu diễn dưới dạng re (EU XO, sO), MOY BO GSH, pangs Nt ” U v=1, trong đó XẾ? là các đỉnh và véc tơ hướng các cạnh vô hạn của tập hợp G.
Seep E1, f1 sụn ey) = 1 néu xk định cua G:, v =1, NM), el) = 0 néu xy ) tng vi canh v6 han cua Gy, v = No
Bài toán xuất phát (3.10)-(3.13) sinh ra bài toán
Các ràng buộc (3.15}-(3.16) có thể viết lại thành
Véc tơ đơn vị e¿ có chiều dài 1 tại vị trí t, trong khi véc tơ s có các thành phần đều bằng 1 Định lý 3.3 chỉ ra rằng lời giải tối ưu của bài toán (3.14)-(3.17) xác định phương án tối ưu cho bài toán xuất phát (3.10)-(3.13) Giả sử Zÿ là lời giải tối ưu cho bài toán (3.14)-(3.17), khi đó xt) S2 z9 X49, với t từ 1 đến 8, sẽ tạo thành phương án tối ưu cho bài toán xuất phát.
Chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu việc giải bài toán (3.14)-(3.17) bằng phương pháp đơn hình cai biên Trong mỗi bước lặp của phương pháp này, việc xác định véc tơ m+s chiều là rất cần thiết.
A đối với cơ sở của phương án tựa Véc tơ Â chia thành hai nhóm
(KY, PO) + (KR, Me) = (KY, PO) + ON = đ(9,
Bài toán phụ (3.6) được chia thành s bài toán phụ sau: L(x) = (c,xt 9) = tơi) ~ KPA, X (ty cac
Ta hãy tính các ước lượng A{? của bài toán (3.14)-(3.17):
A = (ẹ Pý) ~ sỹ) = (RI, PS?) +e — of
Mặt khác giá trị hàm mục tiêu bài toán (3.18) trên các đỉnh
“hay phương vô hạn XẾ? cho bởi
T(Xỹ)) = (CO, Xf) — (RM AY), X19) =
= of) = (AM, PAM) = el) — AW,
Quá trình giải bài toán (3.18) có thể kết thúc bằng hai khả năng Trường hợp 1, nếu bài toán (3.18) được giải, phương án tựa tối ưu sẽ tạo ra véc tơ điều kiện P2 với đánh giá ACD nhỏ nhất.
Trong trường hợp 2, hàm mục tiêu bài toán (3.18) không bị chặn trên tập G¿, dẫn đến sự xuất hiện của véc tơ hướng của cạnh vô hạn x) trong tập G; Véc tơ này tạo ra véc tơ điều kiện PY có đánh giá.
Nếu min{A?| ¢=1, ,s} =0 (3.19), thì phương án đang xem xét trong bài toán (3.14)-(3.17) là tối ưu, vì ước lượng của tất cả các véc tơ điều kiện đều không âm Rõ ràng, (3.19) có thể xảy ra nếu việc giải mỗi bài toán (3.18) đều kết thúc bằng trường hợp 1.
Nếu (3.19) không xảy ra thì quá trình giải bài toán (3.14)- (3.17) cần phải tiếp tục Véc tơ đưa vào cơ sở nên lấy là PY tương ứng với k = Fatt A) = minf{A®? t= 1, 2.053}:
Các thành phần của véc tơ P xác định theo công thức se _ ( PÉ Afxe
Py =| Ev Ck om ]=| Ey €k ứ
Hệ số tương ứng hàm mục tiêu là af!) = (0%), x),
Tất cả các tính toán tiếp theo được tiến hành theo phương pháp đơn hình cai biên a , 2
94 THUAT TOAN DIEM TRONG KARMARKAR
4.1 Vài nét lịch sử phát triển
Phương pháp đơn hình, được Dantzig giới thiệu vào năm 1947, đã trở thành công cụ phổ biến trong giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính Qua nhiều năm kinh nghiệm, người ta đã đưa ra giả thuyết rằng số bước lặp của phương pháp này tỉ lệ thuận với số biến của bài toán, trong khi số phép toán ở mỗi bước lặp tỉ lệ với tích của số biến và số ràng buộc chính Nếu giả thuyết này đúng, thuật toán đơn hình sẽ có thời gian giải bài toán theo đa thức Tuy nhiên, vào năm 1972, Klee và Minty đã trình bày một bài toán quy hoạch tuyến tính đặc biệt, cho thấy rằng thời gian giải của nó tỉ lệ với 2^n/2 - 1, từ đó khẳng định rằng thuật toán đơn hình không phải là thuật toán đa thức Tiếp theo, Jeroslow đã chỉ ra rằng với mỗi quy tắc chọn cột và dòng quay, có thể xây dựng một bài toán mà thời gian giải tỉ lệ với hàm mũ của n.
- toán như thế chưa từng gặp trong thực tiễn, song không có gì bảo đảm sẽ không gặp phải bài toán như vậy
Vào giữa những năm 1980, một phương pháp mới trong giải quyết quy hoạch tuyến tính đã được giới thiệu, dựa trên nghiên cứu về các thuật toán điểm trong Mặc dù các thuật toán này đã được đề xuất từ những năm 1950, nhưng chúng không đạt được hiệu quả như phương pháp đơn hình Tuy nhiên, vào năm 1979, Khachian đã chứng minh rằng việc sử dụng thuật toán điểm trong thích hợp có thể giải quyết bài toán quy hoạch tuyến tính trong thời gian đa thức, điều này đã khơi dậy sự quan tâm trở lại đối với các phương pháp điểm trong.
Phương pháp điểm trong được xem là một lựa chọn nhanh chóng hơn so với phương pháp đi theo cạnh trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa, mặc dù chưa có bằng chứng cụ thể nào chứng minh điều này Nhiều người sử dụng phần mềm quy hoạch tuyến tính vẫn quen thuộc với thuật toán đơn hình theo cạnh Một trong những thành công nổi bật của phương pháp điểm trong là thuật toán Karmarkar do N Karmarkar phát triển vào năm 1984 Mặc dù khác biệt về cơ bản, cả thuật toán Karmarkar và thuật toán đơn hình đều là các thuật toán lặp, bắt đầu từ một phương án chấp nhận được và tiến đến một phương án tốt hơn qua từng bước lặp, cho đến khi đạt được phương án tối ưu.
Qui hoạch nhiều mục tiêu có ưu tiên - 65 Đài LẬP sázt19006160160601E0G19E0E1E14A4153535363143838SIX411EEES14G1S1348813388 71
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét các mục tiêu với mức độ ưu tiên khác nhau Tình huống này xảy ra khi một hoặc một số mục tiêu rõ ràng có tầm quan trọng lớn hơn so với các mục tiêu khác.
Để đạt được hiệu quả tối đa, cần tập trung vào việc hoàn thành các mục tiêu ưu tiên cấp 1 trước Sau khi giải quyết xong các mục tiêu này, chúng ta sẽ tiếp tục xem xét và thực hiện các mục tiêu ưu tiên cấp 2, và sau đó là cấp 3 Việc phân chia mục tiêu thành các cấp độ ưu tiên giúp quản lý thời gian và nguồn lực một cách hợp lý.
Khi xem xét các mục tiêu cùng cấp, việc ưu tiên và phương pháp thực hiện tương tự như đã đề cập trước đó Có thể phân loại mục tiêu thành ba dạng mức khác nhau, bao gồm một hoặc hai phía Nếu cần thiết, có thể áp dụng các hệ số phạt cho những độ lệch khỏi mức mục tiêu đã quy định Kỹ thuật biến phụ được sử dụng để chuyển đổi bài toán nhiều mục tiêu thành dạng quy hoạch tuyến tính.
Có hai phương pháp chính để giải quyết các bài toán quy hoạch nhiều mục tiêu có ưu tiên: phương pháp tuần tự và phương pháp trực tiếp Bài viết này sẽ phân tích hai phương pháp này thông qua việc giải quyết một bài toán cụ thể.
Chủ xí nghiệp không hài lòng với việc tăng lực lượng lao động lên hơn 20% (833/4.000) và quyết định xem xét lại cách đặt bài toán Việc tăng số lao động sẽ gây ra nhiều khó khăn cho xí nghiệp, do đó, mục tiêu hàng đầu là tránh tăng lao động Bên cạnh đó, chủ xí nghiệp cũng nhận thức rằng việc đầu tư cho sản xuất sản phẩm mới vượt quá 55 triệu là một thách thức lớn, vì vậy, tránh đầu tư quá mức này cũng cần được xem xét kỹ lưỡng.
Dựa trên những suy nghĩ đó, chủ xí nghiệp đã xác định hai mục tiêu hàng đầu với ưu tiên số 1, trong khi hai mục tiêu còn lại là duy trì lợi nhuận trên 125 triệu và giữ số lao động không dưới 4.000 người được xếp vào ưu tiên cấp 2 Với sự phân chia ưu tiên này, các hệ số phạt được nêu trong Bảng 5.2, trong đó AM đại diện cho một số dương lớn hơn bất kỳ số nào cần so sánh.
Bảng 5.2 Số liệu cho bài toán qui hoạch nhiều mục tiêu có ưu tiên
Mức ưu tiên | A |BIC | Mức mục tiêu Hệ số phạt
Phương pháp tuần tự giải bài toán quy hoạch nhiều mục tiêu bao gồm việc giải một chuỗi các bài toán quy hoạch tuyến tính Trong giai đoạn đầu tiên, chỉ các mục tiêu có mức ưu tiên 1 được đưa vào mô hình quy hoạch tuyến tính, sau đó áp dụng phương pháp đơn hình để tìm lời giải Nếu lời giải (phương án tối ưu) là duy nhất, quá trình giải sẽ dừng lại mà không cần xem xét các mục tiêu còn lại.
Nếu có nhiều lời giải tương ứng với giá trị tối ưu ƒ*, ta sẽ chuyển sang giai đoạn hai và đưa vào mô hình các mục tiêu ưu tiên 2 Khi ƒ* = 0, mọi biến phụ biểu thị độ lệch giữa các mục tiêu ưu tiên 1 và mức mục tiêu tương ứng phải bằng 0, cho thấy tất cả các mục tiêu đều đạt được Trong trường hợp này, các biến phụ có thể loại bỏ khỏi mô hình giai đoạn hai, và các ràng buộc đẳng thức sẽ được thay thế bằng các ràng buộc cho các mục tiêu ưu tiên 1 Nếu ƒ* > 0, ta sẽ thêm vào mô hình các mục tiêu ưu tiên 2 và cần bổ sung ràng buộc phản ánh giá trị hàm mục tiêu của giai đoạn 1 bằng ƒ*, giúp loại trừ các số hạng liên quan tới mục tiêu ưu tiên 1 Sau khi giải theo thuật toán đơn hình, nếu mô hình có nhiều lời giải, ta sẽ tiếp tục lặp lại quá trình cho các mục tiêu ưu tiên thấp hơn.
Trong giai đoạn thứ nhất, chỉ có hai mục tiêu với mức ưu tiên 1 được đưa vào các hệ số phạt, như thể hiện trong bảng 5.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng được xác định là j 2w + 3w‡ — min với các điều kiện cụ thể.
Để thuận tiện cho việc so sánh, mô hình này thiết lập 4 mục tiêu với mức ưu tiên đồng đều, trong đó các chỉ số của các biến phụ vẫn được giữ nguyên như trước.
Phương pháp đơn hình cho thấy lời giải của bài toán này là ‡ = 0 và ' = 0 với ƒ* = 0, do tồn tại các phương án (#, #a, #3) thỏa mãn các hệ thức đã được đề cập.
Từ nay, hai mục tiêu ưu tiên hàng đầu sẽ được sử dụng như các ràng buộc, yêu cầu yp và ‡ phải bằng không, dẫn đến việc loại bỏ các biến này khỏi mô hình.
Sau khi loại bo yf, y‡ và thêm vào các mục tiêu có mức ưu tiên 2, mô hình qui hoạch tuyến tính ở giai đoạn 2 có dạng ð; +4; —— mịn với điều kiện
Dùng phương pháp đơn hình giải bài toán này, ta nhận được lời giai duy nhất: z¡ = 5,22 = Ú,z¿ = 3,75, 0,y; =8,75,yy =O va ys =O voi f* = 43,75
Do lời giải là duy nhất, quá trình giải kết thúc với (21, 22, 23) = (5 0 3, 7ð) là phương án tối ưu cho toàn bộ bài toán Lời giải này đáp ứng đầy đủ hai mục tiêu ưu tiên 1 và một trong hai mục tiêu ưu tiên 2, đồng thời gần đạt mục tiêu ưu tiên 2 còn lại (lợi nhuận > 125) với thiếu sót 8,75 Phương pháp trực tiếp được áp dụng trong quá trình này.
Phương pháp trực tiếp giải quyết bài toán nhiều mục tiêu khác biệt so với phương pháp tuần tự, bởi vì nó chỉ yêu cầu giải một mô hình quy hoạch tuyến tính duy nhất Điều này giúp giảm thiểu số lần sử dụng phương pháp đơn hình, mang lại hiệu quả cao hơn trong quá trình tìm kiếm lời giải.
Theo phương pháp này, tất cả các mục tiêu được đưa vào mô hình đồng thời, nhưng các hệ số phạt được nhân với các nhân tử khác nhau; trong đó, mức ưu tiên càng cao thì nhân tử M tương ứng càng lớn.
