một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh cấp trung học phổ thông khi giải phương trình vô tỉ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC HOÀNG THỊ TRANG MỘT SỐ KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ TRANG

MỘT SỐ KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ TRANG

MỘT SỐ KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: TS La Đức Minh

HÀ NỘI - 2023

i

LỜI CAM ĐOAN

Công trình nghiên cứu này do riêng mình tôi tự tìm hiểu và biên soạn Các kết quả nghiên cứu đều chính xác và trung thực Công trình này chưa được công bố ở bất kì công trình nào khác

Hà Nội, ngày 24 tháng 3 năm 2023

Tác giả luận văn

Hoàng Thị Trang

ii

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất với Tiến sĩ La Đức Minh, người thầy đã luôn nhiệt tình hỗ trợ và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Lãnh đạo phòng Đào tạo Sau Đại học và các thầy cô Khoa Sư phạm của Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội đã luôn tận tâm, tận tình với các học viên trong quá trình học tập, nghiên cứu đề trong suốt thời gian hơn hai năm được học tập tại Trường

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán của Trường Trung học phổ thông Bình Minh, huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bình đã tạo điều kiện trong quá trình thực nghiệm sư phạm được tiến hành và diễn ra thành công tốt đẹp

Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người thân đã luôn ủng hộ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn

Tác giả đã cố gắng rất nhiều trong việc tìm tòi và nghiên cứu để hoàn thiện luận văn, tuy nhiên sẽ còn nhiều thiếu sót cần được quý thầy cô góp ý để tác giả sửa chữa cho hoàn thiện hơn Tác giả rất mong nhận được những ý kiến quý báu của quý thầy cô và các bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 24 tháng 3 năm 2023

Tác giả luận văn

Hoàng Thị Trang

iii

MỤC LỤC

Trang Trang bìa phụ

Lời cam đoan ……… i

Lời cảm ơn ………ii

4 Đối tượng, phạm vi và khách thể nghiên cứu ………4

5 Giả thuyết nghiên cứu ………4

6 Phương pháp nghiên cứu ……… 4

7 Cấu trúc của luận văn ………5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU… ……….……… 6

1.1 Tổng quan về tình hình nghiên cứu 6

1.1.1 Tình hình các nước trên thế giới ………….……….….6

1.1.2 Tình hình trong nước ……… 7

1.2 Dạy học giải bài tập toán 7

1.2.1 Vai trò của bài tập toán 7

1.2.2 Chức năng của bài tập toán 11

1.2.3 Dạy học giải bài tập toán ở trường Trung học phổ thông 12

1.2.3.1 Vấn đề lựa chọn các bài tập toán 12

1.2.3.2 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán 13

1.2.3.3 Hướng dẫn học sinh giải bài tập toán 13

1.3 Quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của học sinh trong một số phương pháp dạy học 13

iv 1.3.1 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết hành vi 13 1.3.2 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết kiến tạo 14 1.3.3 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết tình huống 14 1.4 Những khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh cấp Trung học phổ thông khi giải phương trình vô tỉ 14 1.4.1 Một số khó khăn của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình vô tỉ 14 1.4.1.1 Khó khăn khi tìm điều kiện xác định của phương trình vô tỉ 14 1.4.1.2 Khó khăn do học sinh chưa phân biệt được các phương pháp giải phương trình vô tỉ 17 1.4.1.3 Khó khăn do khả năng dự đoán và liên tưởng trong giải phương trình vô tỉ 19 1.4.1.4 Khó khăn khi giải các hệ phương trình hệ quả của phương trình vô tỉ ban đầu 21

1.4.2 Sai lầm thường gặp của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình

vô tỉ 24 1.4.2.1 Sai lầm do học sinh bị thiếu hoặc quên điều kiện xác định 24 1.4.2.2 Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp riêng 28 1.4.2.3 Sai lầm do không nắm vững kiến thức biến đổi tương đương 31 1.5 Thực trạng khắc phục một số khó khăn và sai lầm thường gặp cho học sinh khi dạy học giải phương trình vô tỉ ở trường Trung học phổ thông ………… 37 1.5.1 Thực trạng tình hình giảng dạy của giáo viên 37 1.5.2 Thực trạng tình hình học tập của học sinh 36 1.6 Kết luận chương 1 40

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 41

v 2.1 Định hướng xây dựng một số biện pháp khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ cho học sinh Trung học phổ thông

2.2.2 Biện pháp 2: Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức nền cho học sinh 50

2.2.2.1 Dạy học khái niệm ……… 52

3.2.2 Nội dung thực nghiệm……… ……….78

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm ……… 84

3.3.1 Phân tích định tính ……….84

3.3.2 Phân tích định lượng ……… 84

vi 3.4 Kết luận chương 3 ……….…88

KẾT LUẬN ……… ……….89 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………… ……… 90 PHỤ LỤC

1

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Theo Luật Giáo dục của nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã công bố năm 2019 về mục tiêu giáo dục là hướng con người Việt Nam đến phát triển toàn diện mọi mặt để có các phẩm chất tốt đẹp về đạo đức, tri thức, văn hóa, sức khỏe, thẩm mỹ và nâng cao năng lực và ý thức công dân; có lòng yêu nước, tinh thần dân tộc, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, phát huy tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân, nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và hội nhập quốc tế Nghị quyết 29 của Đảng cộng sản Việt Nam khóa XI cũng đã nêu rõ [2]: “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Chuyển hướng từ việc giáo dục học sinh bằng phương thức trang bị các kiến sang hướng phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực cho người học

Để đạt được các mục tiêu trên, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã triển khai các kế hoạch về đổi mới giáo dục đặc biệt là nhấn mạnh vào đổi mới phương pháp dạy học Theo nghiên cứu của nhiều nhà toán học, giáo dục học, tâm lý học thì việc đổi mới phương pháp dạy học cần được thực hiện theo định hướng hoạt động hóa người học, cách khác là tổ chức, định hướng cho người học bằng các phương pháp học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

Ở trường phổ thông, hoạt động toán học bao gồm việc dạy toán Đối với mỗi người học có thể xem việc giải toán là một hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Dạy học giải Toán là một hoạt động quan trọng trong dạy học

toán ở trường phổ thông Các bài toán là phương tiện hiệu quả để giúp học sinh

nắm vững các kiến thức, phát triển tư duy, hình thành các kĩ năng và kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải toán là giúp cho mỗi giáo viên và học sinh thực hiện tốt các mục đích khác của dạy và học toán Tuy nhiên khi trong quá trình giải toán, học sinh thường gặp không ít những khó khăn và mắc

2 phải những sai lầm dẫn đến những yếu kém nhất định Một trong số những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó của học sinh là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức trong việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ dạy học toán cũng như áp dụng những phương pháp dạy học phù hợp trong các tiết dạy Vì vậy nhiều học sinh gặp phải tình trạng các khó khăn sai lầm này nối tiếp các khó khăn sai lầm khác Hơn nữa, bản thân học sinh sau nhiều lần gặp những khó khăn và sai lầm trong giải toán thường có tâm lý tự ti, chán nản, mất lòng tin và hứng thú trong việc học toán

Trong chương trình Toán cấp Trung học phổ thông, các dạng toán về phương trình vô tỉ chiếm vị trí hết sức quan trọng, nó xuyên suốt cả ba năm học và thường xuất hiện hầu hết trong các bài kiểm tra, các kỳ thi học kỳ chất lượng cuối học kì, thi học sinh giỏi và thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức về số học còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất như cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Vì vậy, việc dạy và học toán nói chung và chuyên đề phương trình vô tỉ nói riêng là vấn đề được rất nhiều giáo viên dạy Toán quan tâm Phương trình vô tỉ là một nội dung khá trừu tượng, đòi hỏi ở học sinh tính sáng tạo cao, có khả năng rèn luyện kỹ năng lập luận, óc suy nghĩ phán đoán, tư duy logic Do vậy, thực tiễn trong quá trình dạy học chuyên đề giải phương trình vô tỉ, giáo viên thấy được học sinh còn mắc phải một số khó khăn và sai lầm về kiến thức và phương pháp toán học Một trong những nguyên nhân quan trọng dẫn tới là do đa phần giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức trong việc phát hiện, tìm ra nguyên nhân và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán cho học sinh để từ đó các em học sinh mắc phải những nhận thức sai lầm Do vậy, việc tìm ra nguyên nhân và những biện pháp hạn chế, sửa chữa kịp thời các sai lầm này sẽ giúp cho các em học sinh rèn luyện được năng lực giải toán đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học toán trong các trường phổ thông nói chung

3 Việc khắc phục những khó khăn và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong việc lĩnh hội các môn học và môn Toán nói riêng là một hoạt động rất quan trọng Do vậy một số nhà nghiên cứu đã cho rằng “Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình” theo G.Polya hay “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” theo A.A.Stoliar phát biểu Ngoài ra, A.A.Stoliar cũng đồng ý với việc: “Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa, khắc phục sai lầm”… Nguyên tắc để khắc phục khó khăn và sửa chữa sai lầm cho học sinh khi giải toán thì cần phải tạo động cơ học tập khắc phục, sửa chữa các khó khăn, sai lầm Học sinh thấy được việc khắc phục và sửa chữa khó khăn, sai lầm là một nhu cầu cần phải được tham gia như một chủ thể một cách tự nguyện, say mê, hào hứng Việc hướng dẫn cho học sinh xây dựng ý thức hoàn thiện vốn tri thức mình đang có và coi đó là cơ sở cho quá trình lĩnh hội các kiến thức mới Hơn nữa các nguyên tắc phải tập trung vào phong trào hoạt động, rèn luyện các kỹ năng học tập của học sinh Việc sử dụng các phương pháp sư phạm nhằm giúp học sinh khắc phục và sửa chữa các sai lầm khi giải toán, giáo viên cần phải lưu ý đảm bảo các phương châm đó là tính kịp thời, tính chính xác và tính giáo dục Ba phương châm này sẽ hỗ trợ, bổ sung cho nhau làm cho các biện pháp thực hiện đúng mục đích và kết quả mong muốn

Xuất phát từ nhu cầu bản thân trong việc học tập, giảng dạy và tự nghiên cứu các vấn đề dạy học, tự rèn luyện và nâng cao kĩ năng, nghiệp vụ sư phạm

nên tôi lựa chọn đề tài “Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh cấp Trung học phổ thông khi giải phương trình vô tỉ" làm đề tài nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số khó khăn, sai lầm thường gặp ở học sinh cấp Trung học phổ thông khi giải phương trình vô tỉ từ đó đề xuất một số biện pháp sư phạm giúp học sinh khắc phục và sửa chữa những khó khăn và sai lầm này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Nghiên cứu cơ sở lý luận về tình huống dạy học giải toán, rèn luyện kỹ năng giải toán, quan điểm khắc phục và sửa chữa một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải toán trong một số phương pháp dạy học tích cực

Phân tích những khó khăn và sai lầm mà học sinh cấp Trung học phổ thông thường gặp khi giải phương trình vô tỉ và điều tra, tìm hiểu thực trạng, nguyên nhân để khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp cho học sinh

Nghiên cứu xác định các định hướng và đề xuất một số biện pháp nhằm khắc phục và sửa chữa những khó khăn và sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ cho học sinh cấp Trung học phổ thông

Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp được đề xuất

4 Đối tượng, phạm vi và khách thể nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu: Một số khó khăn, sai lầm thường gặp ở học sinh

cấp Trung học phổ thông khi giải phương trình vô tỉ

4.2 Phạm vi nghiên cứu: Phát hiện và khắc phục một số khó khăn, sai lầm

thường gặp ở học sinh cấp Trung học phổ thông khi giải phương trình vô tỉ

4.3 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán cho học sinh cấp

Trung học phổ thông chủ đề phương trình vô tỉ

5 Giả thuyết khoa học

Cần thiết làm sáng tỏ một số khó khăn, sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ của học sinh cấp Trung học phổ thông và có thể đề xuất

những biện pháp sư phạm phù hợp để khắc phục nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu và nghiên cứu tài liệu về các

vấn đề liên quan đến chủ đề phương trình vô tỉ

6.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều tra

theo các hình thức: Dạy thử nghiệm, dự giờ, phỏng vấn trực tiếp và các biện pháp khác

5

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm và đối

chứng tại một số lớp học cụ thể ở trường Trung học phổ thông trên địa bàn tỉnh Ninh Bình để kiểm tra, xem xét và đánh giá mức độ khả thi, hiệu quả của các biện pháp được nêu ra Kết quả thực nghiệm sư phạm được xử lý bằng phương pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục

6.4 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình thực

nghiệm sư phạm

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận của luận văn, nội dung chính được trình bày trong ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Chương 2 Một số biện pháp sư phạm khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ cho học sinh cấp Trung học phổ thông

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

6

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Tổng quan về tình hình nghiên cứu

1.1.1 Tình hình các nước trên thế giới

Việc nghiên cứu những khó khăn và sai lầm phổ biến của học sinh trong quá trình dạy học Toán ở trường phổ thông đã có nhiều tác giả ở các quốc gia nghiên cứu, các nghiên cứu trên đều tập trung vào hai hướng chính:

- Hướng thứ nhất: Tìm hiểu khó khăn và sai lầm của học sinh, tìm hiểu nguyên nhân và đề xuất các biện pháp để giúp học sinh khắc phục, sửa chữa các khó khăn và sai lầm đó Một trong những tác giả nổi bật cho hướng nghiên cứu này là A.A Stoliar khi nói về việc xử lí với các sai lầm của học sinh trong quá trình dạy học đã nói: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” [7]

- Hướng thứ hai: Tìm hiểu các khó khăn và sai lầm của học sinh trước khi lĩnh hội kiến thức mới và thiết kế các tình huống học tập sẽ giúp học sinh vượt qua khó khăn, sai lầm này và nắm vững các tri thức mới Tiêu biểu cho hướng nghiên cứu này đó là các nhà nghiên cứu về quá trình dạy học theo quan điểm kiến tạo hoặc một trong các đại diện tiêu biểu khác đó chính là G Polya, ông nói “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”; B.V.Gờn Hedencô đã nêu ra năm phẩm chất của tư duy Toán học thì đã có tới ba phẩm chất liên quan tới việc tránh sai lầm khi giải Toán [6]

+ Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy sự thiếu các mắt xích cần thiết của chứng minh

+ Có thói quen lý giải logic một cách đầy đủ + Sự chính xác của suy luận

Các tác phẩm trên là những tác phẩm điển hình nên bật lên cho người đọc các kiến thức, các kĩ năng cơ bản để giúp học sinh khắc phục những sai lầm khi

7 giải Toán như lấy sai lầm để giúp học sinh tìm ra nguyên nhân và cách khắc phục, lấy sai lầm để giúp học sinh phát huy phẩm chất tư duy toán học, …

1.1.2 Tình hình trong nước

Việt Nam cũng là một trong các nước quan tâm rất nhiều đến việc nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải toán vì đó là mối quan tâm hàng đầu của các nước trên thế giới Nhiều tác giả trong nước đã có những nghiên cứu về những khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình dạy học Toán ở trường phổ thông như:

+ Cuốn sách “Những sai lầm phổ biến trong giải Toán phổ thông”, “Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán” của tác giả Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn

+ Cuốn sách “Sai lầm phổ biến khi giải Toán” của tác giả Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất và Phan Thanh Quang

+ Cuốn sách “Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học Đại số - Giải tích ở trường phổ thông”, của tác giả Nguyễn Văn Thuận (chủ biên) và Nguyễn Hữu Hậu

Ngoài ra còn rất nhiều tác giả nổi tiếng khác cũng rất quan tâm đến chủ đề này Tuy nhiên, trong các tài liệu các tác giả chủ yếu đi theo hướng phân hóa nhận dạng rồi phân tích những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong quá trình dạy học Toán, tuy nhiên phạm vi nghiên cứu của các tác giả đều trải trong toàn bộ chương trình môn Toán ở trường phổ thông chứ chưa tập trung vào nghiên cứu kỹ từng nội dung cụ thể Do vậy đối với nội dung phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng, khó và dễ mắc sai lầm khi làm bài nên tôi

chọn đề tài “Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh cấp Trung học phổ thông khi giải phương trình vô tỉ" nhằm góp phần giúp các giáo viên,

học sinh có thêm nguồn tài liệu tham khảo hữu ích nội dung này trong quá trình giảng dạy

1.2 Dạy học giải bài tập toán

1.2.1 Vai trò của bài tập toán

8 Để giúp các em học sinh hình thành và lĩnh hội được trọn vẹn các kiến thức mà mục tiêu bài học đặt ra thì không thể thiếu những bài tập toán Do vậy mà các nhà nghiên cứu đã tìm ra được các lý lẽ để minh chứng cho tầm quan trọng khi giải bài tập trong quá trình dạy và học môn Toán Một trong số đó phải kể tới là G.Polya, ông cho rằng [6]: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” Hay theo Bách khoa tri thức phổ thông cũng định nghĩa [1]: “Khái niệm bài toán hiểu là một công việc hoàn thành được nhờ những phương thức đã biết trong những điều kiện cho trước”

Chúng ta cần phải phân biệt được giữa bài tập và bài toán Để giải được các bài tập toán học sinh chỉ cần máy móc áp dụng các kiến thức, quy tắc đã học vào để thực hiện Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi vận dụng giữa các kiến thức phù hợp để vận dụng và việc áp dụng các kiến thức đó để xử lý các tình huống trong bài, vì các kiến thức đó không trực tiếp giúp ta có được đáp án cuối cùng Do vậy để sử dụng được những kiến thức đã biết cần phải kết hợp, biến đổi và làm cho chúng thích hợp với yêu cầu mà bài toán đặt ra

Trong sách giáo khoa hiện hành hiện nay, sau mỗi học xong phần lý thuyết sẽ chia thành ba phần: thực hành, bài tập, bài toán được trình bày tách biệt lập với nhau, trong đó các bài toán thực tiễn là chủ đạo

Hoạt động toán học chủ đạo khi học toán là giải được các bài tập toán tương ứng với nội dung kiến thức mà giáo viên truyền đạt Để học tốt môn toán trước tiên học sinh cần phải giải tốt các bài tập toán, mà điều này đòi hỏi học sinh cần phải tư duy, có óc phê phán, có tính độc lập và sáng tạo cao để tìm ra được các phương pháp, cách giải thích hợp Do vậy, việc tổ chức ứng dụng các phương pháp dạy học hiệu quả sẽ góp phần quyết định chất lượng học tập môn toán của học sinh

Học sinh khi giải mỗi bài toán họ sẽ học được những kỹ năng để xử lý các tình huống có vấn đề khác nhau, phân biệt được các tình huống, lựa chọn

9 được hướng đi phù hợp để giải quyết vấn đề Khi làm toán, người học được huy động tối đa về khả năng tư duy, phân tích, tổng hợp, các kiến thức Từ đó các thao tác thực hành trở nên nhanh nhạy hơn hay nói cách khác là kỹ năng giải toán là yếu tố quan trọng giúp học sinh rèn luyện tư duy

Trong quá trình dạy học, việc dạy học giải bài tập nói chung thường diễn ra theo các bước chủ yếu: hệ thống lại các kiến thức đã học được để áp dụng cho tiết dạy, nêu các phương pháp giúp học sinh áp dụng vào giải các dạng bài tập, đưa ra hệ thống các bài tập theo từng dạng để học sinh vận dụng và luyện tập, cuối cùng là củng cố lại các kiến thức đó một lần nữa

Khâu giải các bài tập là khâu vô cùng quan trọng trong việc truyền đạt và tiếp thu kiến thức toán Qua việc giải các bài tập toán, học sinh hình thành được kỹ năng tổng hợp được các kiến thức mà giáo viên truyền đạt cho Trong đó có các nội dung về bài học, cách nhận biết các dạng bài để tìm ra phương pháp giải phù hợp, nắm vững các kiến thức về định nghĩa, quy tắc, định lý, Từ đó cố gắng hơn nữa để nâng cao năng lực của bản thân, biến những thứ khó khăn trở nên đơn giản hơn

Để giúp học sinh lĩnh hội được các tri thức, kiến thức và phát huy được hết các khả năng, năng lực của mình trong việc ứng dụng toán học vào thực tiễn Việc giải bài tập trong quá trình tiếp thu kiến thức toán học giúp học sinh thực hiện được mục đích của bài học, là cầu nối tri thức gần hơn với học sinh Ngoài ra các bài tập toán còn có vai trò về phương diện mục đích, phương diện nội dung và phương diện phương pháp trong quá trình dạy học cho học sinh

- Về mặt mục đích dạy học: Mỗi bài toán đều ẩn chứa các hàm ý mà giáo

viên muốn truyền đạt tới học sinh hướng đến việc thực hiện các mục tiêu, mục đích dạy học môn toán khác nhau, ví dụ như:

+ Bài toán được giao sẽ giúp học sinh hình thành, củng cố được kiến thức, kỹ năng và một số năng lực khác để từ đó có thể ứng dụng toán học ở những trường hợp, thời điểm khác nhau của quá trình học tập

10 + Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các năng lực như tư duy loogic, năng lực tự học thông qua các hoạt động cá nhân, năng lực giao tiếp và hợp tác thông qua trao đổi với bạn bè và hoạt động nhóm, năng lực giải quyết vấn đề,

+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới theo định hướng phát triển hiện nay mà Bộ Giáo dục đề ra với toàn ngành

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện giúp giáo viên

lồng ghép những nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lí thuyết để giúp học sinh ghi nhớ sâu hơn

- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là một trong những phương

pháp dạy học tối ưu giúp học sinh kiến tạo những kiến thức đã học trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Việc khai thác tốt bài tập góp phần giúp cho việc tổ chức giờ học cho học sinh hiệu quả bên cạnh đó góp phần nâng cao tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh

Trong các tiết dạy, mỗi bài tập mà giáo viên giao đều mang các hàm ý, ý nghĩa khác nhau để truyền đạt đến cho học sinh Về phương pháp dạy học: Việc dạy học giải toán giúp đảm bảo trình tự các bước dạy, tạo động cơ, củng cố nội dung kiến thức mới mới, kiểm tra, đánh giá mức độ đạt được các mục tiêu dạy học đặt ra Đặc biệt về mặt kiểm tra đánh giá, các bài tập là cơ sở giúp cho việc đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả năng, năng lực và trình độ phát triển, tiến bộ của học cũng như mức độ hiệu quả của quá trình giảng dạy của giáo viên đến với học sinh như thế nào để từ đó điều chỉnh sao cho phù hợp nhất Bài tập toán một phương pháp mà giáo viên thường áp dụng trong dạy học, nó giữ một vị trí đặc biệt quan trọng để hoàn thành nhiệm vụ của các tiết dạy trong các giờ học Toán ở trường phổ thông Ngoài ra, việc giải bài tập toán còn có công dụng như:

11 - Củng cố các kiến thức đã học, ôn tập và hệ thống lại các kiến thức đó một cách dễ hiểu và khoa học để khi giải quyết bài toán, học sinh phải nhớ lại được cần áp dụng kiến thức đã học nào để giải quyết, biết đào sâu mọi khía cạnh của bài toán để áp dụng các kiến thức sao cho phù hợp Tất cả những thao tác đó góp phần giúp học sinh củng cố sâu hơn và dần dần nâng cao tri thức cho học sinh

- Việc giải toán là một trong các cách để giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo, bồi dưỡng cho học sinh một số phương pháp nghiên cứu khoa học thông qua việc giải bài tập toán Bên cạnh đó nó còn là một cách hiệu quả giúp học sinh nâng cao tính tự giác trong học tập và rèn luyện Trong khi giải bài tập toán, học sinh phải tư duy rồi phân tích và lập luận, để từ đó tìm ra được đáp án cho các bài tập Chính những lần như vậy lại góp phần nâng cao khả năng tư duy để giúp học sinh ngày càng phát triển

- Phát huy tối đa các kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, đời sống từ đó có tác dụng giáo dục cho học sinh về phẩm chất đạo đức, rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục khó khăn, tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn Toán nói riêng và học tập nói chung

- Giúp việc đánh giá kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh được thuận lợi dễ dàng hơn

Như vậy, bài tập toán có những vai trò to lớn về cả về mặt giáo dục và giáo dưỡng Vì thế khi giải bài tập toán, mục đích không chỉ là giúp học sinh tìm ra đáp số của bài toán mà học sinh nắm vững cách giải bài toán, nắm vững được các kiến thức đã học, đồng thời còn giúp học sinh rèn luyện các năng lực phẩm chất của tư duy, vận dụng một cách thuần thục, linh hoạt sáng tạo trong công việc, đời sống

1.2.2 Chức năng của bài tập toán

12 Dạy học giải bài tập toán là một trong các bước quan trọng để thực hiện tốt các mục tiêu dạy học Đây là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông Đối với học sinh, giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học nhằm giúp thực hiện tốt các chức năng dạy học, giáo dục, chức năng phát triển, chức năng trí tuệ và chức năng kiểm tra đánh giá

- Chức năng dạy học: Việc giải bài tập toán giúp cho học sinh hình thành, củng cố những tri thức đã học, rèn luyện các kỹ năng, kỹ xảo, những vấn đề về lý thuyết hay phương pháp dạy học ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: Việc giải bài tập toán giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, qua đó tạo động lực, hứng thú học tập, sáng tạo, cho học sinh Giúp các em có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Chức năng phát triển: Để giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, đặc biệt là rèn luyện các thao tác tư duy, khả năng lập luận sáng tạo, hình thành phẩm chất tư duy khoa học thì không thể bỏ qua bước yêu cầu học sinh giải các bài tập toán

- Chức năng kiểm tra đánh giá: Bài tập toán được cho ở các mức độ khác nhau do vậy việc học sinh giải được các bài tập ở mức độ nào, cách học sinh giải ra sao sẽ giúp giáo viên biết được mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng, năng lực của từng học sinh như thế nào

1.2.3.1 Vấn đề lựa chọn các bài tập toán

Bài tập đưa ra cho học sinh cần đi từ mức độ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp hay nói cách khác giáo viên lựa chọn các dạng bài tương ứng với thiết kế ma trận và đề kiểm tra theo Thông tư 27/2020/TT – Bộ Giáo dục và Đào tạo bao gồm ba mức độ là nhận biết, thông hiểu, vận dụng để giúp giáo viên phân loại đánh giá được năng lực học tập của từng học sinh trong quá trình giảng dạy Mỗi bài tập được giáo viên lựa chọn giảng dạy cho học sinh phải được liên

13 kết với nhau trong hệ thống để góp phần nào đó vào việc hoàn chỉnh kiến thức cho học sinh Mục đích của hệ thống hóa các bài tập là giúp học sinh nắm chắc được các phương pháp giải của từng dạng bài tập

1.2.3.2 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

Trong quá trình dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng rất quan trọng, việc rèn luyện các thao tác tư duy, lập luận là một yếu tố không thể thiếu trong dạy học Toán Do vậy, G.Polya đã đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán [7]

- Bước 1: Tìm hiểu rõ bài toán - Bước 2: Xây dựng chương trình giải - Bước 3: Thực hiện giải toán

- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải đã tìm được

1.2.3.3 Hướng dẫn học sinh giải bài tập toán

Một số kiểu hướng dẫn giải bài tập tùy theo mục đích sư phạm của việc giải bài tập gồm:

- Hướng dẫn theo mẫu: giáo viên sẽ đưa ra các ví dụ và yêu cầu học sinh làm các bài tập tương tự

- Hướng dẫn tìm tòi: giáo viên có thể vẽ sơ đồ tư duy, sơ đồ cây đưa ra các hướng giải quyết bài toán và yêu cầu học sinh tìm tòi các cách để có được lời giải phù hợp và làm các bài tập tương tự

- Hướng dẫn khái quát chương trình hóa: giáo viên yêu cầu học sinh tự tổng hợp các dữ liệu bài toán đã cho, từ đó tìm tòi phương pháp, cách giải thích hợp

1.3 Quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của học sinh trong quá trình dạy học

1.3.1 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết hành vi

Thuyết hành vi quan niệm rằng: khó khăn và sai lầm của học sinh là một hiện tượng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh, nếu gặp thì cần khắc phục Trong dạy học một số nhà giáo dục cũng cho rằng nếu

14 như trong quá trình dạy học giáo viên quá chú trọng tới những sai lầm của học sinh sẽ làm ảnh hưởng xấu tới việc tiếp thu bài giảng của học sinh Đặc biệt một số ý kiến còn phản bác việc không đưa những lời giải sai để cho học sinh tránh tiếp thu thêm cả những kiến thức sai lầm đó Trong quá trình tiếp thu kiến thức vì những lý do như mơ hồ, không nắm vững các kiến thức hoặc bị hổng kiến thức đã khiến cho những sai lầm trong quá trình làm bài xảy ra Thuyết hành vi còn cho rằng một số nguyên nhân dẫn đến sai lầm có thể còn do giáo viên trình bày chưa chính xác hoặc dạy quá nhanh để học sinh chưa kịp tiếp thu các kiến thức mà giáo viên truyền đạt cho

Để phù hợp với quan điểm về thuyết hành vi trong quá trình dạy học giáo viên cần chia nhỏ mục tiêu dạy học thành các mục tiêu nhỏ để giúp học sinh lĩnh hội các kiến thức đã học một cách dần dần từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm sai lầm nào Làm sao để các sai lầm không xảy ra nhưng nếu có xảy ra thì sẽ ôn tập và củng cố lại kiến thức đó cho học sinh

Ví dụ sai lầm phổ biến cho học sinh khi giải phương trình vô tỉ là quên điều kiện xác định Nguyên nhân là do học sinh quên kiến thức trong căn thức phải không âm hoặc mẫu thức phải khác không Khi đó để hạn chế sai lầm giáo viên phải nhắc lại các kiến thức, đưa ra các ví dụ, bài tập để học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức này khi giải bài tập

1.3.2 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết kiến tạo

Thuyết kiến tạo quan điểm rằng: “sai lầm không đơn giải do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của một kiến thức trước đây đã từng có hữu ích và đem lại thành công, nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa Trong hoạt động của giáo viên cũng như của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần hình thành nên nghĩa của kiến thức lĩnh hội được”

Quan điểm sai lầm của học sinh về bản chất đó là tri thức sẵn có Nó tồn tại trong ý thức của học sinh trước bài học, quan điểm sai lầm có nguồn gốc

15 khác nhau Đối với quan niệm sai lầm này, nếu giáo viên có thái độ bác bỏ, áp đặt sẽ khó giúp học sinh sửa đổi Dạy học theo quan điểm kiến tạo rất coi trọng việc xem xét các quan điểm sai lầm đang còn tồn tại ở mỗi học sinh, dùng chúng làm cơ sở để thiết kế các kế hoạch dạy học, trong đó quá trình dạy học được xem là sự tranh luận giữa các ý kiến xung khắc Học sinh sẽ phải tự bộc lộ các quan điểm sai lầm và tự giác thay thế hoặc bổ sung bằng những kiến thức mới

Ngoài chỉ ra nguồn gốc căn bản của sai lầm, thuyết Kiến tạo cũng xét đến các nguyên nhân khác nhau như hạn chế về tâm lí, về nhận thức của chủ thể, Theo thuyết này thì sai lầm thực sự đóng vai trò quan trọng cho học tập Đặc biệt, vì nó là hậu quả của những chướng ngại hình thành từ kiến thức cũ Vấn đề không phải là phòng tránh sai lầm mà chủ động tổ chức cho học sinh gặp sai lầm và sửa chữa nó Quan điểm này giúp cho việc tiếp thu kiến thức của học sinh một cách có ý thức Nó giúp cho việc kích thích quá trình phân tích cho học sinh những tri thức cũ thông qua những sai lầm mà học sinh mắc phải Bên cạnh đó việc đặt ra những bài toán có chứa sai lầm giúp học sinh phá huỷ triệt để những sai lầm một cách có hệ thống trong quá trình lĩnh hội tri thức mới

1.3.3 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết tình huống

Theo thuyết tình huống cho rằng: Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề dựa trên tình huống có vấn đề trong dạy học Xét về mặt khách quan, các tình huống dạy học được hình thành trong quá trình dạy học Khi học sinh gặp phải những khó khăn hay mắc sai lầm là xuất hiện các tình huống có vấn đề Xét về mặt chủ quan thì tình huống dạy học giúp học sinh có sự tương tác giữa các bài toán có vấn đề để thông qua đó đúc kết được những kiến thức cần nắm vững Khó khăn của học sinh tạo ra do còn mơ hồ về mặt kiến thức, sai lầm của học sinh tạo ra mâu thuẫn và mâu thuẫn này chính là động lực thúc đẩy quá trình nhận thức của học sinh

16 Ví dụ khi giáo viên đưa ra một tình huống về lời giải của một bạn nào đó khi giải phương trình vô tỉ Yêu cầu học sinh phân tích lời giải đó đúng hay sai, nếu sai hãy sửa lại cho đúng Như vậy, khi gặp tình huống đó học sinh phải giải lại bài toán, tìm ra những chi tiết sai, nguyên nhân dẫn đến lỗi sai đó Từ đó đúc kết ra những kinh nghiệm cho bản thân khi gặp dạng toán tương tự

Như vậy, có thể khẳng định rằng, việc nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh để từ đó tìm ra các phương pháp giảng dạy phù hợp là một việc làm rất cần thiết Bởi vì, nếu ta hình dung được, lường trước được những khó khăn và sai lầm thì ta sẽ có cách để phòng tránh, ngăn ngừa, còn nếu không chúng ta rất dễ rơi vào tình trạng “khó khăn, sai lầm này nối tiếp khó khăn sai lầm khác” và từ đó hạn chế đến chất lượng giáo dục

1.4 Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh cấp Trung học phổ thông khi giải phương trình vô tỉ

1.4.1 Một số khó khăn của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình vô tỉ

1.4.1.1 Khó khăn trong việc tìm điều kiện xác định

Điều kiện xác định là bước làm quan trọng nhất để quyết định các nghiệm của tìm được có phải là nghiệm chính xác của phương trình hay không

Điều kiện xác định thường được làm ở bước đầu tiên khi giải phương trình vô tỉ như để căn thức có nghĩa hay mẫu số của phân số khác 0 Bên cạnh đó trong quá trình biến đổi tương đương, hay đặt các ẩn phụ cần thêm các kiều kiện khác

Ví dụ 1.1 Giải phương trình:

2 3 0

x− x+ =Ở ví dụ này có nhiều học sinh khi làm chỉ tìm được điều kiện cho căn thức có nghĩa là 3

2

x −

và kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa

mãn là x =3 và x = −1 Tuy nhiên nếu thay lại cả hai nghiệm vào phương trình

17 ban đầu ta thấy chỉ có nghiệm x =3 thỏa mãn Do vậy khi biến đổi tương đương

học sinh cần chú ý thêm điều kiện hai vế phải luôn dương tức là x 0 thì mới

có bước bình phương hai vế Lời giải đúng như sau:

2 2 3 0

2 33202 3

32



  + =

 

2

02 3 0

x

 

− − =

0133

xxxx

 = −

 = =Vậy phương trình có nghiệm: x =3

Ví dụ 1.2 Giải phương trình:

x + x − x+ = x+Nhìn chung ví dụ này không quá phức tạp Nhưng nếu ta chuyển vế căn thức sang một bên và luỹ thừa hai vế của phương trình Tuy nhiên nếu ta làm theo cách đó thì phương trình sau khi biến đổi sẽ có dạng bậc 4 và rất khó để tìm được nghiệm Nếu chú ý kỹ ta sẽ thấy biểu thức trong căn và ngoài căn đều chứa các đơn thức đồng dạng Do vậy để giải được phương trình này ta chỉ cần

Điều kiện: (− ;1 4;+)

5 4

t= x − x+ ; t 0 Ta được: t2 + − = t 6 0

2

tt

= −  =

Đối chiếu với điều kiện, ta được: t =2 (thoả mãn) Suy ra x=0;x =5

1.4.1.2 Khó khăn do học sinh chưa phân biệt được các phương pháp giải phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ được cho ở dạng rất ngắn ngọn Tuy nhiên do có rất nhiều phương pháp giải khác nhau, có những phương trình giải được bằng nhiều phương pháp, nhưng cũng có những phương trình chỉ giải được bằng một phương pháp Do vậy đối với một số học sinh việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp còn gặp nhiều khó khăn

Ví dụ 1.3 Giải phương trình:

23 x =3x −14x+ 14

Cách 1:

Điều kiện: x 0Ta có: 3 x =3x2 −14x+ 14

 



 

4

xxxx

 =

 =

=  =

Vậy phương trình có hai nghiệm x =1 và x =4Nhận xét: Ví dụ trên có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau như sử dụng hàm số đồng biến, nghịch biến hay lũy thừa hai vế của phương trình, … nhưng khi ta so sánh hai cách giải ta sẽ thấy việc sử dụng hàm số đồng biến, nghịch biến sẽ giúp ta tính toán đơn giản hơn là đi tìm nghiệm của phương trình bậc bốn sau khi đã bình phương hai vế của phương trình

20 Như vậy, ta có thể thấy việc nắm vững các phương pháp giải phương trình vô tỉ rất quan trọng, góp phần giúp học sinh lựa chọn phương pháp giải tối ưu nhất cho bài toán và tìm được nghiệm của các phương trình dễ dàng hơn

1.4.1.3 Khó khăn do khả năng dự đoán và liên tưởng trong giải phương trình vô tỉ

Thực tế trong quá trình dạy học, có không ít các giáo viên trong quá trình giảng dạy mà không đặt ra những tình huống để học sinh tư duy, dự đoán các tình huống Lý do là sẽ tốn rất nhiều thời gian nếu để cho học sinh dự đoán trong khi thời lượng mỗi tiết dạy có hạn Tuy nhiên, việc cho học sinh dự đoán, tự tìm tòi, mò mẫm khám phá tri thức có thể sẽ mất nhiều thời gian nhưng nó sẽ là cơ sở để giúp học sinh phát triển tư duy độc lập cũng như năng lực của học sinh trong những tình huống giải toán khác mà học sinh gặp phải

Ví dụ 1.4 Giải phương trình:

(2x+1) 2+ 4x +4x+4 +3x 2+ 9x +3 =0Ở ví dụ này, nếu học sinh không phán đoán được hai biểu thức trong ngoặc tương đương nhau để suy về hàm đồng biến thì rất khó để tìm được lời giải chính xác cho bài toán nhưng nếu tìm được thì việc giải quyết bài toán này lại trở lên dễ dàng

21 Có

22

Điều kiện: x 0Xét hàm số: ( ) 2

f x =x + + −xx− x+Khi đó:

22 Phương trình có nhiều nhất hai nghiệm Ta thấy x=0;x=1 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x=0;x=1

1.4.1.4 Khó khăn khi giải các hệ phương trình hệ quả của phương trình vô tỉ ban đầu

Có rất nhiều bài toán giải phương trình vô tỉ học sinh áp dụng phương pháp quy về hệ phương trình như phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa về hệ phương trình đối xứng hay phương pháp đặt k ẩn phụ quy về hệ phương trình Do đó có không ít học sinh gặp khó khăn sau khi quy về được hệ phương trình xong lại không biết phải làm thế nào để giải tiếp hệ phương trình đó

Ví dụ 1.6 Giải phương trình: x+ =1 x2 +4x+ 5Lời giải:

Điều kiện: x  −1 Sau khi biến đổi ta được:

22 1 4 5

y+ =2 (x+2)2 + 1  + = +y 1 (x 2)2 (2)

23 Từ (1) và (2) ta có:

22

Sau đó từ (1) và (2) ta suy ra x+ +  nên ta được y 5 0 x= y thay vào hệ vô nghiệm nên phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1.7 Giải phương trình:

3 7x+ −1 x − − +x 8 x −8x− = 1 2Lời giải:

Ta có: 3 7x+ −1 3 x2 − − +x 8 3 x2 −8x− = 1 2

 3 7x+ + − + + +1 3 x2 x 8 3 x2 −8x− = 1 2

Đặt:

323

23

7 1

88 1

− − =

 + + =abc 2 (1)

Mặt khác: 333

8

a +b +c =Ta được:

24 3 3 32

8

abc

+ + =

+ + =

Khi giải tới bước này, nhiều học sinh cảm thấy rất lúng túng vì giải một phương trình một ẩn đã khó rồi, bài toán này lại quy về giải hệ hai phương trình mà có những ba ẩn Do đó việc liên hệ các phương pháp giải của các dạng toán cùng chuyên đề lại với nhau là rất cần thiết

Tới đây ta chỉ cần biến đổi lũy thừa bậc ba phương trình thứ nhất nên ta sẽ được phương trình tương đương như sau:

 = −

233

xxxx

xxxxx



 = =Vậy phương trình có bốn nghiệm là: x=0;x= −1;x=1;x=9

+ Phân tích sai lầm: Khi giải phương trình có chứa căn thức, học sinh quên

bước tìm điều kiện xác định để căn thức có nghĩa, bên cạnh đó khi lũy thừa hai

vế cần có điều kiện để vế còn lại cũng luôn dương

+ Lời giải đúng: Điều kiện:

1

73



 − + = + +

 − 

− − =

26

1233

xxxx

 − = −

 = =

Ví dụ 1.9 Giải phương trình:

22

5 5 05 3 5

25 3 5

=

+ Phân tích sai lầm: Khi giải phương trình trên học sinh mắc phải hai sai lầm

Một là học sinh chưa tìm điều kiện xác định cho phương trình đó Đối với các phương trình có chứa căn thức và phân thức thì cần điều kiện là biểu thức trong căn phải có nghĩa và mẫu thức khác 0 Hai là khi lũy thừa hai vế học sinh quên mất điều kiện để vế còn lại cũng dương tuy nghiệm tìm được đều thỏa mãn nhưng phải chăng chỉ là sự may mắn

27 + Lời giải đúng:

 − 

 − 



5 3 525 3 5

2

xx

=

=

x− x − x+ =

28

x

xxx

− =

= =

 =+ Phân tích sai lầm: Phương trình trên có chứa biểu thức có dấu căn Vì vậy, tìm điều kiện xác định cho căn thức là bước đầu tiên cần làm Việc quên đi kiều kiện của phương trình sẽ làm cho các nghiệm tìm được chưa chính xác

x

xxx

=  − − =

− 

=  =



Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= 2;x=5 Kết luận: Sau khi quan sát học sinh giải các bài tập này ta thấy rằng sai lầm mà học sinh mắc phải rất nhiều đó là thiếu điều kiện xác định cho phương trình Vì vậy, giáo viên cần khắc sâu chú ý cho học sinh rằng: "Khi giải một dạng phương trình nào đó, điều đầu tiên các em cần lưu ý là xác định xem, phương trình đó thuộc loại phương trình gì, ứng với loại đó thì điều kiện xác định của chúng là gì?" Ví dụ, phương trình có chứa căn thức mà biểu thức dưới dấu căn có chứa

29 ẩn, thì điều kiện là biểu thức đó phải không âm và các phương trình có phân thức mà mẫu thức của phân thức phải khác 0 Nếu học sinh bỏ qua bước tìm điều kiện xác định, chỉ chăm chăm vào giải phương trình ngay sẽ dẫn đến không loại đi nghiệm ngoại lai hoặc bỏ sót nghiệm như các ví dụ trên thì sẽ dẫn đến kết quả không được như ý Do đó, bước tìm điều kiện xác định là vô cùng quan trọng và cần được giáo viên hướng dẫn kỹ cho học sinh"

1.4.2.2 Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp riêng

Khi giải các bài tập có liên quan đến việc phân chia trường hợp không ít học sinh mắc phải các sai lầm và lúng túng khi giải Ở góc độ tổng quát thì việc phân chia trường hợp trong quá trình giải phương trình vô tỉ vô cùng phong phú và đa dạng, nó không theo một khuôn mẫu cố định nào Do đó, khi thực hiện học sinh gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải rất nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để phân chia trường hợp

Ví dụ 1.11 Giải phương trình:

x+ x − −x = +x - Học sinh thường mắc phải sai lầm:

2 11 0

xx

xx

 + =

  − =

 + 

30

2 113

xxx

 − =   −

 =- Nguyên nhân dẫn tới sai lầm là: Phương trình có x = −1 là một nghiệm thỏa mãn, nghĩa là cách giải trên đã bỏ qua mất nghiệm x = −1

2 11

x

xx

xx

+ =

 + − = +

 + 

= − − = 

 −

12 1113

xxxxx

= −  − =

 −

= −  =



Ví dụ 1.12 Giải phương trình:

22

31

22

42

x

xxx

 − =

 − − =

= = −

 =- Nguyên nhân: Với nghiệm x =2 thì khi ta thay vào căn thức 3

1

xx

−+ sẽ thấy vô nghĩa do biểu

thức trong căn nhỏ hơn 0, nên x =2 không phải là nghiệm của phương trình - Lời giải đúng:

22

32 2

0; 3 7 01

 + − = 

 +

23

423

0; 3 7 01

xxxx

x

 = = −  =

 −

 +

4

xx

=  = −

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x= −4;x=3

1.4.2.3 Sai lầm do học sinh không nắm vững kiến thức về biến đổi tương đương

Ví dụ 1.13 Giải phương trình:

2x− = − 3 x 2Điều kiện: 3

6 7 03 23 2

xx

 = + 

= −

Cách trình bày lời giải trên có hai vấn đề học sinh mắc sai lầm: