Phương trình sai phân và các bài toán mô hình hóa

Phương trình sai phân và các bài toán mô hình hóa Phương trình sai phân và các bài toán mô hình hóa Phương trình sai phân và các bài toán mô hình hóa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THỊ HẢI DIỆP

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN MÔ HÌNH HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THỊ HẢI DIỆP

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN MÔ HÌNH HÓA

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 8460101.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN TRỌNG HIẾU

Hà Nội – Năm 2023

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này của tác giả được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Nguyễn Trọng Hiếu – Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội

Lời đầu tiên tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến người thầy dạy và cũng là người thầy hướng dẫn – Tiến sĩ Nguyễn Trọng Hiếu Thầy đã dành nhiều thời gian để chỉ bảo, hướng dẫn tác giả với sự nhiệt tình, chu đáo, sâu sắc, đầy kinh nghiệm trong học tập và trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất các cả thầy cô giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập cao học

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của tất cả mọi người đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn của mình

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2022

Tác giả

1

MỤC LỤC

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN MÔ HÌNH HÓA

MỞ ĐẦU 4

Chương 1 Kiến thức Phương trình sai phân 6

1.1 Các khái niệm cơ bản 6

1.1.1 Dãy số 6

1.1.2 Sai phân 6

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 7

1.2.1 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính 8

1.2.2 Nghiệm tổng quát xn 9

1.2.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng *nx 11

1.3 Một số phương trình sai phân tuyến tính đơn giản 15

1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 15

1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 20

1.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng 28

CHƯƠNG 2 CÁC BÀI TOÁN MÔ HÌNH HÓA 30

2.1 Phương trình sai phân trong giải toán phổ thông 30

2.1.1 Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy và tìm giới hạn của dãy số 30

2.1.2 Bài toán tính tổng 32

2.1.3 Bài toán số học 32

2.1.4 Bất đằng thức 34

2.1.5 Bài toán tích phân 35

2.1.6 Bài toán đa thức 35

2.2 Các bài toán mô hình hóa 36

2.2.1 Mô hình gửi tiết kiệm với lãi suất kép 37

2.2.2 Mô hình hoàn trả khoản vay vốn 39

2.2.3 Mô hình Cobweb 40

2.2.4 Mô hình thu nhập quốc dân 44

2.2.5 Mô hình liên quan đến dãy Fibonacci 45

2.2.6 Mô hình loài côn trùng 48

2.2.7 Mô hình phát triển số lượng loài 50

2.2.8 Các mô hình thực tiễn khác 52

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

MỞ ĐẦU

Trong thực tiễn, có rất nhiều vấn đề khoa học, kỹ thuật mà việc nghiên cứu, tìm hiểu nó dẫn đến bài toán giải phương trình sai phân Phương trình sai phân được nghiên cứu rộng rãi trong toán học thuần túy và ứng dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, sinh học, kinh tế, …

Phương trình sai phân thường xuất hiện khi người ta mô tả những hiện tượng biến đổi, tiến hóa quan sát được trong tự nhiên, nó xuất phát từ việc xác định mối quan hệ thiết lập bởi một bên là đại lượng độc lập (được biểu diễn bởi hàm số, ví dụ

( )

f x ) với bên còn lại là sự biến thiên của đại lượng ấy Đối với các hàm số thông thường, nghiệm của phương trình là một giá trị số (có thể là số thực hoặc số phức, …) Còn đối với phương trình sai phân mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa được biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra Thông thường nó sẽ là một họ các phương trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó Hàm này sẽ được xác định chính xác khi có thêm điều kiện xác định ban đầu hoặc điều kiện biên

Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán để mô tả về một hệ thống Mô hình toán được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ: vật lý, sinh học, và kĩ thuật điện tử) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như kinh tế, xã hội học và khoa học chính trị) Các nhà khoa học có thể dùng mô hình toán học để nghiên cứu các vấn đề trong thực tiễn Các mô hình đưa ra mô tả các vấn đề đời thực mà chúng có thể biểu thị dưới dạng phương trình toán học, trong đó có phương trình sai phân Vì vậy việc nghiên cứu các mô hình toán trong lý thuyết phương trình sai phân là vấn đề được rất nhiều nhà toán học quan tâm Có thể kể đến như mô hình tăng trưởng dân số, mô hình thu nhập quốc dân, mô hình dãy số Fibonacci, … Các mô hình phương trình sai phân cũng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kĩ thuật, vật lí, sinh học, …Ngoài ra việc mô hình hóa các bài toán bằng phương trình sai phân còn cả sử dụng cho giảng dạy ở phổ thông và đại

học Điều đó nhằm minh họa cho các ứng dụng của toán học nói chung và phương trình sai phân nói riêng

Với các lí do trên và mong muốn tìn hiểu sâu hơn về các ứng dụng của phương trình sai phân cùng với sự gợi ý của TS Nguyễn Trọng Hiếu tôi chọn đề tài “Phương trình sai phân và các bài toán mô hình hóa” cho luận văn tốt nghiệp của mình

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu phương trình sai phân và một số mô hình trong thực tiễn Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng, có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán và những đối tượng quan tâm Để đạt được mục tiêu đó trong luận văn này, tôi trình bày các kiến thức cơ sở của phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân và một số mô hình toán sử dụng phương trình sai phân Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương

Chương một trình bày các kiến thức phương trình sai phân được ứng dụng trong chương sau

Phần 1: Các kiến thức cơ bản về định nghĩa dãy số, sai phân và tính chất Phần 2: Trình bày các kiến thức về khái niệm phương trình sai phân tuyến tính, nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính, nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, các phương pháp tìm nghiệm

Phần 3: Giới thiệu một số phương trình sai phân tuyến tính đơn giản như phương trình sai phân tuyến tính cấp 1,2 thuần nhất, không thuần nhất Và các phương pháp giải dẫn đến các công thức nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính

Phần 4: Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng Chương hai trình bày các ứng dụng của phương trình sai phân ở phổ thông và các mô hình thực tiễn dẫn đến phương trình sai phân đã nghiên cứu ở chương trước

Chương 1 Kiến thức Phương trình sai phân 1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Dãy số Khái niệm 1.1.1

Cho hàm số x: → (hay x:  → ) xác định bởi xn =x n( )

Mỗi hàm số x xác định trên tập (hay tập ) được gọi là một dãy số vô hạn, gọi tắt là dãy số Kí hiệu dãy số là  xn hay x n( ) Như vậy ta có thể xem dãy số là một

hàm của đối số tự nhiên n

Dãy số x n( )xác định trên tập có dạng khai triển là: x x0, , ,1 xn, 

Sai phân cấp 3 của hàm xn là3xn =  ( 2xn)= 2xn+1− 2xn = xn+3−2xn+2

kC

=−

Tính chất 1.1.5 Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số

0( 1)

Tính chất 1.1.6 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính

Tính chất 1.1.7 Sai phân cấp k của đa thức bậc m là

+) Đa thức bậc m k− nếu k m +) Hằng số nếu k =m

Trong đó, xn là sai phân cấp 0 của xn; kxn là sai phân cấp k của xn, cấp lớn nhất

của các sai phân (ở đây bằng k), là cấp của phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 1.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một hệ thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau:

L x =a x + +a x + − + +a x = f (1.2.2) Trong đó, Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn, xác định trên lưới có

bước lưới h; a a0, , ,1 a ak( 0 0,ak 0)là các hằng số hoặc các hàm số của n , đươc

gọi là các hệ số của phương trình sai phân; fn là một hàm số của n , được gọi là vế

phải; xnlà giá trị cần tìm, được gọi là ẩn

Phương trình (1.2.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k (bậc k ), vì

để tính được tất cả các giá trị xn, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn, rồi tính các giá trị còn lại của xn theo công thức truy hồi (1.2.2)

Định nghĩa 1.2.3 Nếu f n 0 thì (1.2.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Nếu f  0 thì (1.2.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất nNếu f n 0 và a a0, , ,1 ak là các hằng số, a0 0,ak 0 thì (1.2.2) trở thành

h nn kn kknL x =a x + +a x+ − + +a x = (1.2.3) Và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với các hệ số hằng

1.2.1 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính

Hàm số xn biến n , thỏa mãn (1.2.2) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân

tuyến tính (1.2.2) Hàm số xn phụ thuộc k tham số, thỏa mãn (1.2.3), được gọi là nghiệm tổng quát của

(1.2.3), nếu mọi tập giá trị ban đầu x x0, , ,1 xk−1 ta đều xác định được duy nhất các

tham số C C1, 2, ,Ck để nghiệm xntrở thành nghiệm riêng của (1.2.3), tức là vừa thỏa mãn (1.2.3), vừa thỏa mãn x0 =x x0, 1= x1, ,xk−1=xk−1

Định lí 1.2.4 Nghiệm tổng quát xn của (1.2.2) bằng tổng xnvà x , với *nx là một n*

nghiệm riêng bất kì của (1.2.2)

Chứng minh

Thật vậy, giả sử x x là 2 nghiệm của phương trình (1.2.2), tức làn, *n

*,

Bây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm xncủa (1.2.3) và nghiệm x của (1.2.2) Vì n*

phương trình thuần nhất (1.2.3) luôn có nghiệm x =n 0, nên để tìm nghiệm tổng quát, ta tìm xn của (1.2.3) dưới dạng xn =Cn,C 0,  Thay 0 n

n

x =C vào (1.2.3) và ước lược cho Cn 0 ta được

10 k 1 k 0

L =a  +a − + +a = (1.2.4) Phương trình (1.2.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.2.3) (cũng được xem là phương trình đặc trưng của (1.2.2)) Nghiệm xncủa (1.2.3) và nghiệm x của *n

(1.2.2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm  của (1.2.4)

Trường hợp 1 Nếu (1.2.4) có k nghiệm thực khác nhau là  1, 2, ,k thì nghiệm tổng quát xncủa (1.2.3) có dạng 1 1 2 2

1

Trường hợp 2 Nếu (1.2.4) có nghiệm thực j bội s và các nghiệm i phân biệt thì nghiệm tổng quát xncủa (1.2.3) có dạng

Ví dụ 1.2.8 Tìm nghiệm tổng quátxn của phương trình sai phân thuần nhất sau đây

3 7 2 12 1 12 0

x+ − x + + x + − x =

Lời giải

Xét phương trình đặc trưng 32

 −  + − = Có các nghiệm 1=2(kép), 2 3

 = , khi đó nghiệm tổng quát của phương trình là ( 12 )

+) Nếu có nghiệm  =1 bội s, thì xn* =n Q nsm( ), m

Ví dụ 1.2.10 Tìm nghiệm riêng x của phương trình sai phân sau *n

1 2

x + − x =n

Lời giải

Xét phương trình đặc trưng − =2 0 có nghiệm =2 khác 1 Do đó xn* =an b+ (vì

nf =n là đa thức bậc 1, nên nghiệm riêng cũng bậc 1) Để tìm a và b, ta thay

b

 ==

+) Nếu (4) có nghiệm  = bội s, thì *

n

x có dạng xn*=n Q nsm( )n Trong đó Q nm( )

là đa thức của n cùng bậc với fn

Ví dụ 1.2.12 Tìm nghiệm riêng x của phương trình sai phân sau *n

1 2 3n

Lời giải

Xét phương trình đặc trưng − =2 0 có nghiệm =2 khác 3 Nên nghiệm riêng x *n

có dạng xn* =(an b+ )3n (vì P nm( )=n là đa thức bậc 1) Để tìm a và b, ta thay x vào *n

phương trình sai phân, rồi đồng nhất hệ số: () 1

6

aa

b

 ==

1.2.3.3 Trường hợp fn =cosnx+sinnx; , là các hằng số

Trong trường hợp này nghiệm riêng *

Thay x vào phương trình *n

 −  + +  = −

Ví dụ 1.2.15 Tìm nghiệm riêng x của phương trình sai phân sau *n

+) Nghiệm riêng

1*

.2n

n

x =a (Vì nghiệm  =3 khác 2 và ( ) 1

mP n = là đa thức bậc 0) Thay vào phương trình sai phân ứng với

2 2n

n

f = Ta được 1

.2n 3 .2n 2n 2n 2n 1

a + − a =  −a =  = − Nên ta có a

2*

2n

n

Vậy nghiệm riêng x ứng với n* fn bằng xn*= − − − n 1 2n

1.3 Một số phương trình sai phân tuyến tính đơn giản 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một

+) Nếu a b q, , là các hàm của n thì (1.3.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến

tính cấp một với hệ số biến thiên

1.3.1.1 Nghiệm tổng quát xn của phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất

nn

x = x + Trong đó xxn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính

cấp một thuần nhất, x là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp một *n

nn

1.3.1.3 Nghiệm riêng x của phương trình sai phân tuyến tính cấp một không *n

thuần nhất + Nếu fn là đa thức bậc m của n: fn =P n mm( ), 

Ví dụ 1.3.4 Giải phương trình sai phân sau xn+1−15xn = −14n+1 (1.3.4), x0 =3

Ví dụ 1.3.5 Giải phương trình sai phân sau xn+1=xn+2 (1.3.5),nx0 =2

n

x =n n− ; Và xn =C xn= C +

(

n n 1)− Mà ta có x0 =  + =  =2 C 0 2 C 2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là xn =n n( − + =1) 2 n2− + n 2

+ Nếu fn =  n( ,  0)

Ví dụ 1.3.6 Giải phương trình sai phân sau xn+1=2xn+3 (1.3.6),nx0 = 4

Ví dụ 1.3.7 Giải phương trình sai phân sau xn+1=5xn+5n+1 (1.3.7),x0 = 11

+ Nếu fn =cosnx+sinnx;2+2 0,xk,k Khi đó, *

Xét phương trình đặc trưng 1 0

2− = có nghiệm 1

2= nên nghiệm tổng quát

n

.2

BB

 =

22.2n

2, 2.2n

+) Nghiệm riêng

1*

.2n

n

x = A n (Vì nghiệm = = và 2 ( ) 2

mP n = là đa thức bậc 0) Thay vào phương trình sai phân ứng với

.2n

n

x =n Do đó nghiệm riêng x ứng với n* fn bằng xn*= − −n2 2n− +3 n.2n.Và xn =C.2nxn = 2

n

−2n 3 n.2nC.2n

− − + + Mà ta có x0 =  − + + =1 0 3 0 C 1 =C 4 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là xn = − −n2 2n− +3 n.2n+4.2n = − −n2 2n− + +3 (n 4).2n

1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Định nghĩa 1.3.10

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng

Hay xn+2 = pxn+1+qxn+ f qn, 0.

Trong đó xn là hàm của đối số nguyên n gọi là ẩn; fn là hàm số của n

+) Nếu a b c p q, , ; , là các hằng số thì (1.3.10) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

+) Nếu a b c p q, , ; , là các hàm số của n thì (1.3.10) gọi là phương trình sai phân tuyến

tính cấp hai với hệ số biến thiên

+) Nếu f n 0 thì (1.3.10) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất axn+2+bxn+1+cxn =0 Hay xn+2 = pxn+1+qxn (1.3.11) +) Nếu f  0 thì (1.3.10) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không n

thuần nhất

1.3.2.1 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng

Nghiệm tổng quát của (1.3.10) có dạng xn = xn + , trong đó x*nxn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.3.11) và x là một nghiệm riêng *n

Vậy nghiệm của phương trình x = + −n 1 ( 9)n

Ví dụ 1.3.12 Giải phương trình sai phân thuần nhất cấp 2 sau đây



Lời giải

  Vậy nghiệm của phương trình xn = +(1 3n).4n

Ví dụ 1.3.13 Giải phương trình sai phân thuần nhất cấp 2 sau đây

,1

Ví dụ 1.3.14 Giải phương trình sai phân sau:

Xét phương trình đặc trưng 2

2 −5+ =2 0 có nghiệm 1 2 1

2,

2 =  = Nên ta có

nghiệm tổng quát của phương trình là 1

2

nn

n

+    Và nghiệm riêng của phương trình có dạng: *2

nx =an +bn c+ Thay nghiệm riêng vào phương trình sai phân ta được 2

Vậy nghiệm của phương trình xn =n2 +2n

Ví dụ 1.3.15 Giải phương trình sai phân sau:

ab

=  =

 Do đó nghiệm riêng là

*2

nx =n Nên nghiệm tổng quát của phương trình

*2

.( 5)n

nnnx = x +x =n + +A B − Với x0 =2,x1 = −3 ta được 2

+ =

 + − = −

11

AB

=  =

 Vậy nghiệm của phương trình

2

1 ( 5)n

nx =n + + −

Ví dụ 1.3.16 Giải phương trình sai phân sau: xn+2−2xn+1+ =xn 2,x0 =1,x1=2

nx =an Thay nghiệm riêng vào phương trình sai phân ta được

a n+ − a n+ +an = Rút gọn ta được 2a=  =2 a 1 Do đó nghiệm riêng là x*n =n2 Nên nghiệm tổng quát của phương trình xn =xn+x*n =n2+ +A Bn

Vậy nghiệm của phương trình xn =n2+1

+ Nếu fn =P nk( ) n( 0), trong đó P nk( ) là đa thức bậc k của n; k

Ví dụ 1.3.17 Tìm nghiệm riêng của phương trình sau

2 8 1 7 (1.3.17).n

x + + x + + x =n e

Lời giải

Vậy nghiệm riêng x*n =n.5n

Ví dụ 1.3.19 Tìm nghiệm riêng của phương trình sau

32 4 1 4 2n (1.3.19)

22212322( 2) 2n 4 ( 1) 2n 4 2n 2n 4 ( 4 4).2n 8 ( 2

21).2n+4an 2n =8.2n 8 2an =8.2n  = Vậy nghiệm riêng a 1 *2

.2n

nx =n

+ Nếu fn =P nm( )cosn Q n+ l( )sinn trong đó P n Q nm( ), l( ) là các đa thức bậc m,

Xét phương trình đặc trưng 2

4

16 5, 2 n

+) Nghiệm riêng

1*

n

x ứng với

1

nf có dạng

1*

n

x =an+b (Vì

1

nf có bậc là 1) Thay vào phương trình sai phân ứng với f =6n−5 Ta được a n( + + −2) b 7a n( + +1) b