Đạo hàm và một số mở rộng Ứng dụng của Đạo hàm trong các bài toán phổ thông

Đạo hàm và một số mở rộng Ứng dụng của Đạo hàm trong các bài toán phổ thông Đạo hàm và một số mở rộng Ứng dụng của Đạo hàm trong các bài toán phổ thông

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

BÀI TOÁN DẪN TỚI KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

Bài toán tìm vận tốc tức thời

Giả sử chất điểm M chuyển động trên một đường thẳng Phương trình vị trí của M theo thời gian là s=s t( ).

Tại thời điểm t 0 vị trí của chất điểm M : s 0 =s t( ) 0 Tại thời điểm t vị trí của chất điểm M : s=s t( ) Khi đó trong khoảng thời gian t 0 đến t, chất điểm M di chuyển được quãng đường là

Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t−t 0 là

Nếu t−t 0 càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của chất điểm tại thời điểm t 0 Từ đó người ta xem giới hạn của tỉ số 0

− khi t dần đến t 0 là vận tốc tức thời tại thời điểm t 0 của chất điểm, kí hiệu là v t( ) 0

Giá trị v t( ) 0 gọi là đạo hàm của hàm số s=s t( ).

Ví dụ 1.1: Một quả tennis rơi tự do từ một đỉnh tháp cao 450m a Tính vận tốc quả bóng sau 5 giây b Tính vận tốc quả bóng khi chạm đất

Tính vận tốc quả bóng khi t=5 và khi quả bóng chạm đất, vì vậy ta tìm vận tốc tại một thời điểm t=a Sử dụng phương trình chuyển động

= → + a Vận tốc sau 5 giây là (5)v =(9,8).(5)Im s/ b Vì tháp cao 450m nên quả bóng sẽ chạm đất vào thời điểm t 1 khi s t( ) 1 E0, khi đó

Do đó vận tốc quả bóng khi chạm đất là

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng ( ; )a b và x 0 ( ; )a b nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

− thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y= f x( ) tại điểm x 0 và kí hiệu là f x( ) 0 (hoặc y x( ) 0 ) tức là

Phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa Đặt:  = −x x x 0 (x được gọi là số gia của đối số tại điểm x 0

 = − = +  − (y được gọi là số gia tương ứng của hàm số) Khi đó biểu thức định nghĩa được viết thành

Ví dụ 1.2: Tính đạo hàm của hàm số 1

Gọi x là số gia của đối số tại x 0 =2 Ta có

Nếu hàm số có đạo hàm tại x 0 ta nói rằng hàm số khả vi tại x 0 Nếu hàm số khả vi tại mọi điểm x( ; )a b thì ta nói rằng hàm số khả vi trong khoảng ( ; ).a b

Giả sử hàm số y = ( )f x có đạo hàm trên ( ; ).a b Biến mỗi x( ; )a b thành ( ) f x , khi đó, ta gọi hàm số f: ( ;a b) → R là đạo hàm của hàm số y = ( )f x trên khoảng ( ; )a b và kí hiệu là y hay f x( ).

Ví dụ 1.3: Tính đạo hàm của hàm số ( )f x =sin x Lời giải:

( ) ( ) sin 2 lim lim cos cos

+  − =   + Vậy f x( )=cos x Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm của hàm số ( )f x =e x

−  nên f x( )=e x Điều kiện cần để hàm số khả vi tại điểm x 0 Định lý 1.1 :

Nếu hàm số y= f x( ) khả vi tại x =x 0 thì nó liên tục tại x 0

Vì ( )f x khả vi tại x 0 nên:

Chú ý 1.1: Điều ngược lại của Định lý 1.1 có thể sai vì có những hàm liên tục tại một điểm nhưng không khả vi tại điểm đó Ví dụ hàm số ( ) | |f x = x liên tục tại 0 vì

→ = → = nhưng hàm số ( )f x =| |x không khả vi tại 0 do

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM

Cho hai hàm số ( ), ( )f x g x xác định trên khoảng ( ; ),a b cùng có đạo hàm

Xét hàm số h x( )= f x( )+g x x( ), ( ; ).a b So sánh

Ta có: h x'( ) 0 = f x( ) 0 +g x( ) 0 , tức là đạo hàm tại điểm x 0 của tổng hai hàm số thì bằng tổng các đạo hàm tại điểm x 0 của hai hàm số đó

Tương tự, ta cũng có các quy tắc tính đạo hàm sau:

Giả sử ( )f x và ( )g x là các hàm số khả vi tại điểm x( , )a b khi đó

(iii) ( ( ))k f x =k f x ( ), với k là một hằng số bất kỳ;

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

Định lý 1.2: (Không chứng minh)

Nếu hàm số g là hàm khả vi tại x và hàm f là hàm khả vi tại g x thì ( ) hàm hợp y x( )= f g x( ( )) khả vi tại x và y x( )= f g x( ( )) ( )g x

Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của hàm số sin 2 y =  x +4

10 sin ( ) (sin ) ( ) cos ( ) cos 2 2 2cos 2

Ví dụ 1.6: Tính đạo hàm của hàm số y=a x ,(a0,a1).

Ta có y=a x =e ln a x =e x ln a Đặt u=xlna thì

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ NGƯỢC

Định lý 1.3: (Không chứng minh)

Cho hàm số liên tục y= f x( ) có hàm ngược g y( )=x Nếu hàm số f khả vi tại x và f x( )0 thì g khả vi tại y= f x( ) và ( ) 1 g y ( )

Ví dụ 1.7: Tính đạo hàm của hàm số y=log a x, (a0,a1; x0)

Vì y=log a x là hàm ngược của hàm số x=a y , a0,a1 nên ( ) 1 y x ( )

 = 11 Đặc biệt nếu y=lnx thì 1

BẢNG ĐẠO HÀM MỘT SỐ HÀM SỐ THÔNG DỤNG

Từ các ví dụ trên ta có bảng đạo hàm của một số hàm số thông dụng

− x n nx n − 1 a a x , 0,a 1 a x lna sinx cosx e x e x cosx −sinx log a x a, 0,a1, x0 1 ln x a ln ,x x0 1 x

ĐẠO HÀM MỘT PHÍA

Nếu tồn tại giới hạn:

 − thì giới hạn này được gọi là đạo hàm phải của hàm f tại x 0 , kí hiệu là f + ( )x 0

Nếu tồn tại giới hạn

 = − thì giới hạn này được gọi là đạo hàm trái của hàm f tại x 0 , kí hiệu là f − ( )x 0

 =  − Định lý 1.4: (Không chứng minh)

Hàm số f có đạo hàm tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm phải và đạo 0 hàm trái tại x và đạo hàm phải bằng đạo hàm trái 0

Tức là f x( ) 0 tồn tại  f + ( )x 0 = f − ( ).x 0 Ví dụ 1.8: Tính đạo hàm của hàm số y=| |x tại x=0.

Tính đạo hàm hàm số y= f x( )=| |x tại x=0 :

Do f + (0) f − (0) nên hàm số không có đạo hàm tại x=0.

 = −  và đạo hàm không tồn tại tại điểm x=0.

VI PHÂN

Cho ( , ( ))P x f x , (Q x+ x f x), ( + x) Lấy dx= x Số gia của hàm số f là:  =y f x( +  −x) f x( ) Hệ số góc của đường tiếp tuyến PRlà '( )f x

Do vậy RS = f x dx( ) =dy Có thể coi dy đại diện cho khoảng nâng (hạ) của đường tiếp tuyến, y đại diện cho khoảng nâng (hạ) của đường cong khi x biến đổi một lượng dx Khi x đủ nhỏ có thể coi  y dy Do vậy đối với các bài toán thực tế thay vì tính chính xác y (đôi khi vì hàm f hoặc là chưa biết hoặc là rất phức tạp nên việc tính y là không hiệu quả) người ta có thể tìm dy và sử dụng nó làm xấp xỉ tính cho y

Từ biểu thức dy= f x dx( ) thu được ( ) dy. f x = dx Định nghĩa 1.4:

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên ( ; )a b và có đạo hàm tại x( ; )a b Giả sử x là số gia của x sao cho (x+  x) ( ; )a b Ta gọi f x( ).x là vi phân của hàm số y= f x( ) tại x ứng với số gia x và kí hiệu là dy hoặc df x ( )

Do vậy dy là biến phụ thuộc, nó phụ thuộc vào giá trị của x và dx Nếu dx được cho một giá trị cụ thể, x là một số thì dy hoàn toàn xác định

Các quy tắc của phép tính vi phân

(i) d f x( ( )g x( ))=df x( )dg x( ) (ii) d cf x( ( ))=cdf x( )  c

Ví dụ 1.9: Cho y= 1 ln+ x tìm dy

Ví dụ 1.10: Tính vi phân của hàm số f x( ) 3= x 2 −x tại điểm x=2.

Ta có: f x( )=6x− 1 f(2) 11.= Do vậy dy(2) 11 = dx

XẤP XỈ TUYẾN TÍNH

Khi f a( ) dễ dàng tính được và f x( ) khó hoặc không tính được với x gần a Ta sử dụng một hàm tuyến tính L x( ) mà đồ thị của nó chính là đường tiếp tuyến của f x( ) tại x = a để tính xấp xỉ cho hàm f x( ) khi x gần a

Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm f x( ) tại x = a là

Biểu thức ( )f a + f a x( )( −a) được gọi là xấp xỉ tuyến tính hóa f tại a Hàm số ( )L x = f a( )+ f a x( )( −a) được gọi là tuyến tính hóa của f tại a

Ví dụ 1.11: Tính gần đúng sin 31 0 với  = 3,1416

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Định lý 2.1 : (Không chứng minh)

Cho hàm số f x( ) khả vi trong khoảng ( ; )a b

(i) Nếu f x( )0 với mọi x( ; )a b thì f x( ) đơn điệu tăng trong khoảng

(ii) Nếu f x( )0 với mọi x( ; )a b thì f x( ) đơn điệu giảm trong khoảng

(iii) Nếu f x( )=0, với mọi x( ; )a b thì f x( ) không đổi trong khoảng

Ví dụ 2.1: Xác định khoảng đơn điệu tăng, đơn điệu giảm của hàm số x 1. y = − −e x

Hàm số xác định  x Ta có y = −e x 1.

Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên của hàm số ta có: Hàm số đơn điệu giảm trong khoảng (−; 0) và đơn điệu tăng trong khoảng (0;+ ).

Từ kết quả trên, suy ra bất đẳng thức quan trọng sau: x 1 0 e − − x hay e x  +  1 x, x 0.

Ví dụ 2.2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Tập xác định của hàm số là \ {1}

 =   Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đơn điệu tăng trong khoảng (− −; 1) và (3;+ )

Hàm số đơn điệu giảm trong khoảng ( 1; 1)− và (1; 3).

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên tập D

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( ) trên tập D nếu ( )f x M với mọi xD và tồn tại x 0 D sao cho f x( ) 0 =M.

- Số M được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên tập D nếu ( )f x m với mọi xD và tồn tại x 0 D sao cho f x( ) 0 =m.

- Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) (mà không nói “trên tập D”) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của

( ) f x trên tập xác định của hàm số

- Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D, ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D để kết luận

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) trên đoạn [a; b]:

Bước 1: Tìm các điểm x x 1 , 2 , ,x n ( ; ),a b tại đó f x( ) bằng 0 hoặc không tồn tại

Bước 2: Tính f x( ), ( ), , ( ), ( ) 1 f x 2 f x n f a và ( ).f b Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có:

Ví dụ 2.3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =x 4 −4x 2 +3 trên đoạn [0; 4]

Ví dụ 2.4: Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm) (0 x 12).

Chiều rộng của hình chữ nhật là 12−x (cm) Diện tích của hình chữ nhật là: x(12−x)= − +x 2 12 (x cm 2 ) Đặt S x( )= − +x 2 12 ,x x(0; 12).

S x = − +x S x =  =x (thỏa mãn) Bảng biến thiên của hàm số

Do đó, trong các hình có chu vi thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 36cm 2

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số y = f x( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b (a có thể là −, b có thể là +) và điểm x 0 ( ; ).a b

- Nếu tồn tại số h0 sao cho f x( ) f x( ) 0 với mọi x(x 0 −h x; 0 +h)( ; )a b và xx 0 thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực đại tại x 0

- Nếu tồn tại số h0 sao cho f x( ) f x( ) 0 với mọi x(x 0 −h x; 0 +h)( ; )a b và x x 0 thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại x 0

Giá trị cực đại, cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số Điểm tại đó hàm số đạt cực trị gọi là điểm cực trị của hàm số (Hình 2.4)

• Nếu hàm số y= f x( ) đạt cực đại tại x 0 thì x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f x( ) Khi đó f x( ) 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f x( ) và kí hiệu là 𝑓 𝐶Đ hay 𝑦 𝐶Đ Điểm M x 0 ( ; 0 f x( )) 0 được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số

• Nếu hàm số y= f x( ) đạt cực tiểu tại x 0 thì x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f x( ) Khi đó f x( ) 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

( ) f x và kí hiệu là f CT hay y CT Điểm M x 0 ( ; 0 f x( )) 0 được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số Định lý 2.6 : (định lý Fermat) Điều kiện cần của cực trị

Nếu hàm số f x( ) đạt cực trị tại điểm c và nếu hàm số có đạo hàm tại c thì f c( )=0.

Giả sử c là điểm cực đại của f Theo giả thiết f khả vi tại x=c nên tồn tại đạo hàm f c( ) Ta có:

Vì f x( ) đạt cực đại tại c nên f c( + −h) f c( )0 với mọi h, do đó:

Như thế, chuyển qua giới hạn khi h→0 ta có f c + ( )0 và f c − ( )0; mặt khác vì tồn tại đạo hàm f c( ): nghĩa là ( )f c +  = f c − ( )= f c( ), do đó f c( )=0; trường hợp c là điểm cực tiểu của hàm số f x( ) cũng được chứng minh tương tự

(1) Nếu f x( ) 1 =0 thì chưa chắc f x( ) đã đạt cực trị tại x=x 1

Ví dụ 2.5: Xét hàm số f x( )= x 3 Ta có f x( ) 3= x 2 =0 khi x=0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm này (Hình 2.2)

(2) Hàm số f x( ) cũng có thể đạt cực trị tại những điểm mà ở đó đạo hàm f x( ) không tồn tại

Ví dụ 2.6: Xét hàm số f x( ) | |= x Hàm số này đạt cực tiểu tại x=0, nhưng

Những điểm thuộc miền xác định của hàm số, tại đó đạo hàm bằng không hoặc không tồn tại được gọi là điểm tới hạn của hàm số

30 Định lý 2.7: Điều kiện đủ của cực trị (Không chứng minh)

Hàm số f x( ) liên tục trên khoảng ( ; )a b chứa điểm x và có đạo hàm trên 0 các khoảng ( ;a x và 0 ) ( ; )x b thì ta có: 0

- Nếu f x( 0 )  0, x ( ;a x 0 ) và f x( ) 0   0, x ( ; )x b 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0

- Nếu f x( 0 )  0, x ( ;a x 0 ) và f x( ) 0   0, x ( ; )x b 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0

- Nếu khi x vượt qua x mà 0 f x( ) không đổi dấu thì f x( ) không đạt cực trị tại

Các bước tìm cực trị của hàm số y= f x( ) như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Tính đạo hàm f x( ) Tìm các điểm mà tại đó f x( ) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số

Ví dụ 2.7: Tìm cực trị của hàm số y = ( x − 1) 3 x 2

Hàm số xác định  x Ta có:

Vậy đạo hàm y =0 khi 2 x =5 và y không tồn tại khi x=0 Do đó, y có hai điểm tới hạn x=0 và 2

5. x Xét dấu của đạo hàm bằng cách lập bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=0, đạt cực tiểu tại 2 max

5 5 25. y = y   = − Định lý 2.8: (Không chứng minh)

Giả sử hàm số f x( ) có đạo hàm cấp hai liên tục ở lân cận điểm x và 0

( )0 0. f x - Nếu f( )x 0 0 thì f x( ) đạt cực tiểu tại x 0

- Nếu f( )x 0 0 thì f x( ) đạt cực đại tại x 0

Ví dụ 2.8: Tìm cực trị của hàm số y =2sinx+cos 2x

Hàm số xác định  x và tuần hoàn với chu kì 2 nên chỉ cần xét trên đoạn

Ta có y ,osx−2sin 2x=2(cosx−2sin cos )x x ,os (1 2sin ).x − x y =0 cos 0

Vậy hàm số đạt cực đại tại 1 x =6 và 2 5

6 , x =  đạt cực tiểu tại 3 x =2 và 4 3 x = 2

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K và

- Hàm số y= f x( ) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu x 1 x 2  f x( ) 1  f x( ) 2 - Hàm số y= f x( ) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K

• Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số

( ) y= f x liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó.”

• Nếu f x( )  0, x K (hoặc f x( )  0, x K) và f x( )=0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K)

Các bước khảo sát hàm số:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số;

Bước 2: Xét sự tăng giảm, tìm cực trị, điểm uốn, tính giới hạn, tìm tiệm cận (nếu có);

Bước 3: Lập bảng biến thiên, tìm giao điểm của đường cong với các trục tọa độ, các điểm thuộc đồ thị;

Bước 4: Vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 2.9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = +x 3 3x 2 −4.

- Hàm số nghịch biến trong khoảng ( − 2; 0 , ) đồng biến trong khoảng (− − ; 2) (0;+)

- Hàm số đạt cực đại tại x= −2 y C§ = y(−2) = 0; đạt cực tiểu tại x = 0,

Bảng biến thiên của hàm số

- y=  +0 x 3 3x 2 − =  −4 0 (x 1)(x+2) 2 =  =0 x 1 hoặc x= −2 Vậy ( ) 1; 0 và ( − 2; 0 ) là giao điểm của đồ thị với trục Ox, x=  = −0 y 4

Vậy ( 0; 4 − ) là giao của đồ thị với trụcOy

- y =6x+ =  = −6 0 x 1 thay vào hàm số được y= −2.

Ta có đồ thị của hàm số như hình vẽ

Ví dụ 2.10: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số 2 1

= + + Tập xác định của hàm số: \ { 1}.−

Sự biến thiên của hàm số: 1 2 0 1.

Hàm số đồng biến trên khoảng (− −; 1) và ( 1;− + ).

Hàm số không có cực trị

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x= −1 làm tiệm cận đứng và đường thẳng 2 y = làm tiệm cận ngang

Bảng biến thiên hàm số

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là điểm 1

  Đồ thị hàm số nhận giao điểm ( 1; 2)I − của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng

Ví dụ 2.11: Cho hàm số y = +x 3 3x 2 −mx−4, trong đó m là tham số Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (−; 0).

Hàm số y= +x 3 3x 2 −mx−4 đồng biến trên khoảng (−; 0)

Bảng biến thiên của hàm số

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:

Vậy khi m −3 thì hàm số y= +x 3 3x 2 −mx−4 đồng biến trên khoảng (−; 0).

MỘT SỐ ỨNG DỤNG THƯỜNG GẶP KHÁC CỦA ĐẠO HÀM

TIẾP TUYẾN VÀ PHÁP TUYẾN TỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tiếp tuyến của một đường cong là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm nằm trên đường cong đó Định nghĩa 3.2:

Pháp tuyến của đường cong là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến của đường cong tại điểm mà tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong

Trong một số trường hợp ta cần tìm tiếp tuyến và pháp tuyến của một đường cong khi ta phân tích một lực tác dụng lên một vật thể đang chuyển động Ví dụ Giả sử ta đang di chuyển trên một chiếc xe hơi, khi vào khúc cua, bất chợt ta đụng vào một thứ gì đó trơn trượt trên đường (có thể là dầu, băng, nước hay cát mềm) và xe của ta bắt đầu trượt, thì chiếc xe sẽ trượt theo hướng tiếp tuyến với khúc cua đó; Nếu ta cầm một quả bóng và quay nó theo chuyển động tròn rồi buông tay nó sẽ bay ra theo phương tiếp tuyến với đường tròn chuyển động; Khi ta lái xe nhanh theo đường tròn, lực khiến ta cảm thấy như xe mình bị đẩy khỏi đường tròn chính là lực li tâm có giá vuông góc với tiếp tuyến của đường cong con đường Một điều

47 khá thú vị là lực giúp ta di chuyển quanh khúc cua hướng thẳng về tâm đường tròn Pháp tuyến với đường tròn là phương của lực hướng tâm

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm: Đạo hàm của hàm số y= f x( ) tại x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến tới đồ thị hàm số tại ( , ( )).x f x 0 0 Do vậy, biết đạo hàm của hàm số y= f x( ) tại x 0 ta viết được phương trình tiếp tuyến tới đồ thị hàm số tại ( , ( )),x f x 0 0 phương trình này có dạng y = y 0 + f x( )( 0 x−x 0 ).

Phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm

Pháp tuyến vuông góc với tiếp tuyến nên nếu hệ số góc k của tiếp tuyến khác 0 thì hệ số góc của pháp tuyến là 1

−k Biết được một điểm I a b( ; ) thuộc pháp tuyến ta viết được phương trình của nó là:

Một số dạng bài về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = ( ),f x gọi đồ thị của hàm số là ( ).C

Dạng 1 Viết phương trình tiếp tuyến tới đồ thị hàm số ( )C tại M x y( ; 0 0 ) ( ). C

• Tính y= ( )f x suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = ( )y x 0

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm M x y( ; 0 0 )( )C có dạng:

Dạng 2 Viết phương trình tiếp tuyến tới đồ thị hàm số ( )C có hệ số góc k cho trước

• Gọi M x( 0 ; y 0 ) là tiếp điểm và tính y = ( ).f x

• Giải phương trình k = f x( ) tìm được nghiệm x 0 , thay vào hàm số được y 0

• Với mỗi tiếp điểm ta tìm được phương trình của các tiếp tuyến tương ứng

Dạng 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) : C y = ( )f x biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ;A x a y a )( )C

• Phương trình tiếp tuyến đi qua ( ; )A x y a a có hệ số góc k có dạng

• d là tiếp tuyến của ( )C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

• Giải hệ này tìm được x và k, thế k vào phương trình (1), ta được tiếp tuyến cần tìm

• Gọi M x f x( ; ( )) 0 0 là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y x( ) 0 = f x( ) 0 theo x 0

• Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = y x( ) ( 0 –x x 0 ) + y 0 (2)

• Do điểm A x( a ; y a )d nên y a = y x( ) ( 0 x a − ) x 0 + y 0 giải phương trình này ta tìm được ,x 0 thế x 0 vào (2) ta được tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 3.1: Cho hàm số y= −2x 3 +6x 2 −5 có đồ thị ( ).C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm M thuộc ( )C và có hoành độ bằng 3

Với x 0 =3 thì y 0 = − 5 M(3, 5)− và hệ số góc k= y(3)= −18.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là: y = −18(x− − = −3) 5 18x+49.

Ví dụ 3.2: Cho hàm số y = 3 x 3 − x + 2 có đồ thị ( ).C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9

+ Với x 0 =2 thì y 0 =4 ta có tiếp điểm M(2; 4) Phương trình tiếp tuyến tại M là: y=9x−14.

+ Với x 0 = −2 thì y 0 =0 ta có tiếp điểm N( 2; 0).− Phương trình tiếp tuyến tại N là: y=9x+18.

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y =9x−14 và y=9x+18.

Ví dụ 3.3: Cho đường cong y= −x 3 2x 2 +5 và điểm M(2; 5). a Tìm hệ số góc của tiếp tuyến và hệ số góc của pháp tuyến tại điểm M. b Viết phương trình pháp tuyến tại điểm M.

Hệ số góc tiếp tuyến là: m 1 = y(2)=4

Hệ số góc pháp tuyến là: 2

Vậy phương trình pháp tuyến cần tìm là: 1 11

BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

Vốn dĩ toán học có tính ứng dụng cao trong kinh tế từ việc đi chợ, mua bán, tính toán chi phí,… Đặc biệt, đạo hàm ứng dụng trong kinh tế giúp đánh giá được tốc độ tăng trưởng kinh tế, nhằm đưa ra những quyết định đầu tư đúng đắn

Trước hết người ta sử dụng hàm số để mô tả đại lượng kinh tế đang quan tâm, sau đó sử dụng các kết quả của đạo hàm để dự đoán được tốc độ tăng trưởng của doanh nghiệp trong tương lai, sử dụng các đối tượng kinh tế một cách hiệu quả để từ đó giúp doanh nghiệp tối ưu hóa các mục đích khác nhau,…

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên tập D

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( ) trên tập D nếu ( ) f x M với mọi x thuộc D và tồn tại x 0 D sao cho f x( ) 0 =M Kí hiệu max ( ).

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên tập D nếu ( ) f x m với mọi x thuộc D và tồn tại x 0 D sao cho f x( ) 0 =m Kí hiệu min ( ). m = D f x

3.2.1 Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế

Cho mô hình kinh tế được biểu diễn qua hàm số y= f x( ) xác định và khả vi trên miền D , trong đó coi x và y là các biến kinh tế, x: biến độc lập hay biến đầu vào, y: là biến phụ thuộc hay biến đầu ra Trong quản trị kinh doanh, người ta quan tâm đến xu hướng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng nhỏ

Từ công thức trên ta thu được các kết quả sau đây:

(i) Xác định xấp xỉ sự thay đổi tuyệt đối của hàm số Nếu  =x 1 thì y f x( 0 ) Khi x= x 0 cho x tăng 1 đơn vị thì y tăng xấp xỉ

( 0) f x đơn vị Trong phân tích kinh tế, f x( 0 ) được gọi là giá trị cận biên của y tại điểm x 0

(ii) Xác định xấp xỉ sự thay đổi tương đối của hàm số (hệ số co giãn)

 =  y x là hệ số co giãn của hàm y theo biến x tại thời điểm x=x 0

Hệ số này cho biết tại x=x 0 khi x thay đổi 1% thì y thay đổi %

Một số hàm trong kinh tế:

+ Hàm tổng doanh thu: TR Q( )= p Q .

+ Hàm doanh thu cận biên: ( ) dTR

MR Q = dQ + Hàm chi phí: TC Q( )= f Q( ).

+ Hàm chi phí cận biên: ( ) dTC.

+ Hàm sản lượng cận biên của lao động: ( ) dQ df

= Ý nghĩa một số hàm trong kinh tế:

+ Hàm tổng doanh thu (TR- Total Revenue) là tổng số tiền mà doanh nghiệp đó sẽ đạt được nếu bán hết một số lượng sản phẩm nhất định nào đó

+ Doanh thu cận biên (MR - Marginal Revenue) là số tiền thu được từ việc bán hàng hoặc cung cấp dịch vụ trừ đi chi phí sản xuất hoặc chi phí hoạt động tương ứng Nó biểu thị lợi nhuận mà một công ty đạt được sau khi trừ đi tất cả các chi phí liên quan đến việc sản xuất hoặc cung cấp dịch vụ

+ Chi phí cận biên (MC - Marginal Cost) là tổng chi phí mà doanh nghiệp phải chi trả để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm hoặc dịch vụ bổ sung Chi phí

53 cận biên sẽ giúp nhà kinh doanh xác định sự biến động của việc sản xuất thêm sản phẩm/dịch vụ lên tổng chi phí của doanh nghiệp hoặc tổ chức

+ Sản phẩm cận biên của lao động (MPL - Marginal Productivity) là sự thay đổi trong tổng sản lượng do số lượng lao động tăng thêm một đơn vị trong khi giữ tất cả các yếu tố đầu vào khác không đổi

+ Tổng chi phí (TC- Total Cost)là toàn bộ chi phí tối thiểu mà doanh nghiệp phải bỏ ra hay gánh chịu khi sản xuất khối lượng hàng hóa trên, trong một điều kiện kĩ thuật hay công nghệ nhất định

Ví dụ 3.4: (Bài toán sản lượng biên) Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là

Q= f L = L, L: số công nhân a Hãy xác định hàm sản phẩm cận biên b Ở mức L0, xác định giá trị sản phẩm cận biên, nêu ý nghĩa

= = b Ở mức L0 đơn vị lao động thì Q=5 100 P đơn vị sản phẩm

Giá trị sản phẩm cận biên của lao động tại L0 là:

MPL L = Ý nghĩa là: Khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên 101 đơn vị lao động thì sản phẩm sẽ tăng xấp xỉ thêm 0,25 đơn vị sản phẩm

Ta có bảng minh họa:

Hàm sản phẩm cận biên của lao động (MPL) là một hàm số giảm dần, đến một số lượng công nhân nhất định nào đó, việc tuyển thêm công nhân không còn hiệu quả, chỉ tăng thêm chi phí (Quy luật lợi xuất giảm dần)

Ví dụ 3.5: Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược p00 7,5− Q Hãy xác định hệ số co giãn của cầu theo giá tại mỗi mức giá p Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên MC Q( )=3Q 2 −12Q+140.

Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:

+ Điều kiện cần:  =  −0 3Q 2 −3Q+1260=  =0 Q 20 (Q0 ) + Điều cần đủ:  = −6Q−  3  (20)= −123 0 thỏa mãn

Vậy mức sản lượng cho tối đa lợi nhuận là 20

3.2.2 Bài toán tối ưu trong kinh tế

Bài toán sản xuất: Giả sử một doanh nghiệp sản xuất ra sản phẩm hàng hóa Để sản xuất ra sản phẩm đó, doanh nghiệp cần sử dụng N yếu tố đầu vào khác nhau Khi biết được chi phí cho mỗi đơn vị yếu tố đầu vào sản xuất, lúc đó doanh nghiệp có thể gặp 2 tình huống sau:

(i) Một là: Với số kinh phí đầu tư ấn định trước, doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao nhất – tối ưu hóa sản lượng

(ii) Hai là: với mức sản lượng dự kiến sản, doanh nghiệp phải tiêu tốn một khoản chi phí để thực hiện, đương nhiên là doanh nghiệp mong muốn lực chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức chi phí là thấp nhất – cực tiểu hóa chi phí

Ví dụ 3.6: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2,000,000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100,000 đồng mỗi tháng

56 thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?

Gọi x là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ (x: đồng ; x2,000,000 đồng)

Ta có thể lập luận như sau:

Tăng giá 100,000 đồng thì có hai căn hộ bị bỏ trống

Tăng giá x−2,000,000 đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống

Biến đổi ta có số căn hộ bị bỏ trống là:

Do đó khi cho thuê với giá x đồng thì số căn hộ cho thuê là:

Gọi f x( ) là số tiền thu được khi cho thuê các căn hộ, ( f x( ): đồng)

  (bằng số căn hộ cho thuê nhân với giá cho thuê mỗi căn hộ) Bài toán trở thành tìm GTLN của

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy f x( ) đạt giá trị lớn nhất khi x=2, 250,000

Vậy công ty phải cho thuê với giá 2,250,000 đồng mỗi căn hộ thì được số tiền lớn nhất.

MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC

Trong vật lý, thường đạo hàm được ứng dụng khi làm bài tập như sau:

Bài toán 3.1: Cho phương trình s=s t v( ); =s t a( ); =v t( ).

• Cho một vật chuyển động được biểu diễn dưới dạng phương trình là s=s t( ).

Lúc này, vận tốc tức thời ở thời điểm t 0 sẽ được xác định dựa trên công thức v t( ) 0 =s t( ) 0

• Cho một vật chuyển động được biểu diễn dưới dạng phương trình tương ứng như đạo hàm là v v t= ( ) Lúc này, để đính gia tốc tức thời ở thời điểm t 0 sẽ được xác định dựa trên công thức a t( ) 0 = ( ).v t 0

Bài toán 3.2: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số theo thời gian : ( ). t Q Q t= Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ mạnh yếu của dòng điện tại thời điểm t 0 ?

Lời giải: Điện lượng truyền trong dây dẫn tại thời điểm t 0 là: Q=Q t( ) 0 Điện lượng truyền trong dây dẫn tại thời điểm t là: Q Q t= ( ). Điện lượng truyền trong dây dẫn tại thời điểm |t−t 0 | là:

Cường độ dòng điện trung bình trong khoảng thời gian |t−t 0 | là:

Khi t−t 0 thì cường độ dòng điện trung bình I tb biểu thị chính xác hơn mức độ mạnh yếu của dòng điện tại thời điểm t 0

Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm t 0 là:

Ví dụ 3.7: Cho một vật di chuyển theo phương trình cho trước là ( ) 2 – 40 10. s t =t t+ Trong đó t là thời gian chuyển động ( )s , s là quãng đường di chuyển của vật ( )m Hỏi tại thời điểm nào thì vật sẽ dừng lại?

Ta có phương trình của vận tốc chuyển động là

Khi vật bắt đầu dừng lại có nghĩa là vận tốc tức thời sẽ được tính bằng 0 Lúc này ta có phương trình tương ứng là 2t−40=  =0 t 20( ).s

Vậy sau 20( )s chuyển động từ khi khởi hành thì vật sẽ dừng lại

Bài toán đường truyền của tia sáng

Luật phản xạ của một tia sáng đi từ điểm A tới một gương phẳng rồi phản xạ đến B đã được biết đến từ thời Hi Lạp cổ đại Tuy nhiên, sự thật là tia sáng phản xạ theo con đường ngắn nhất được phát hiện muộn hơn nhiều bởi Heron tại thành Alexandria ở thế kỉ thứ nhất trước công nguyên Ông đã chứng minh rất đơn giản và khéo léo nhờ bất đẳng thức tam giác để chỉ ra rằng tia sáng đã chọn đường đi ngắn nhất từ A tới gương rồi tới B Tuy nhiên, bài toán này còn được giải nhanh chóng hơn bằng công cụ đạo hàm trong toán học Để rõ hơn ta xét ví dụ sau

Ví dụ 3.8: Giả sử một tia sáng đi từ điểm A tới một gương phẳng rồi phản xạ đến điểm B như trong Hình 3.2 Thực nghiệm cho thấy, góc tới  bằng góc phản xạ

 Chứng minh rằng, tia sáng đã chọn con đường ngắn nhất từ A tới gương rồi tới B

Giả sử A B , lần lượt là hình chiếu của A và B lên gương phẳng và P là điểm nằm trên gương phẳng như Hình 3.2 Đặt AA=a BB, =b A B,  =c A P,  =x suy ra PB  = − c x Khi đó, độ dài L x( ) của đường đi mà tia sáng từ A tới B là:

L x = AP+PB hay L x( )= a 2 +x 2 + b 2 + −(c x) , 2 là một hàm số phụ thuộc theo biến x trên   0; c Dễ thấy nó khả vi trên   0; c

Lấy đạo hàm của hàm L x( ) ta được:

Theo thực tiễn, ánh sáng đi từ A tới gương rồi tới B thỏa  =  cho nên cos  = cos  hay

Suy ra, tại điểm P ứng với  =  thì đạo hàm ( ) dL x 0. dx = Hơn nữa, lấy đạo hàm cấp hai của L x( ) ta được

+ + − suy ra L đạt cực tiểu Vì vậy, ta đã chỉ ra rằng tia sáng đã chọn con đường ngắn nhất từ A tới gương rồi tới B ∎

Qua ví dụ thấy rằng, tia sáng đi trong môi trường thuần nhất thì nó được truyền theo đường thẳng với tốc độ không đổi

Bài toán tốc độ tương đối

Giả sử nước đang được đổ vào một cái bình Hãy quan sát và mô tả sự dâng lên của mực nước trong bình Ở đây, vấn đề cần quan tâm đến là tốc độ thay đổi của mực nước hoặc một cách tương đương là tốc độ thay đổi của chiều sâu

Nếu chiều sâu và thời gian lần lượt được kí hiệu là h và t được tính từ một thời điểm phù hợp nào đó, vậy thì dh h t( t) h t( ) dt t

  là tốc độ thay đổi của chiều sâu tại thời gian t

Tương tự như vậy thì thể tích V của nước trong bình cũng thay đổi theo thời gian và dV V t( t) V t( ) dt t

  là tốc độ thay đổi của thể tích tại thời điểm t

Nói chung, giả sử Q là một đại lượng hình học hay một đại lượng vật lí thay đổi theo thời gian, tức Q = ( ).Q t Khi đó, đạo hàm của nó được cho bởi công thức

=  là tốc độ thay đổi của đại lượng Q tại thời điểm t

Ví dụ 3.9: Một cái thang dài 13m đang dựa vào một bức tường thì phần chân thang bị đẩy ra cách xa tường với tốc độ không đổi 6 m/s Chứng minh rằng, đầu trên của chiếc thang chuyển động xuống phía dưới chân tường với tốc độ là 2,5 m/s khi chân thang cách tường là 5 m

Ta mô tả tình huống trên bằng hình vẽ (Hình 3.3) Giả sử x là khoảng cách từ chân thang tới tường và y là khoảng cách từ đầu trên của thang tới mặt đất Khi đó, ta quy ước dy dt là tốc độ mà y đang tăng theo thời gian t và dy

− dt là tốc độ mà y đang giảm theo thời gian t

Thật vậy, theo giả thiết chân thang bị đẩy ra cách xa tường với tốc độ không đổi là 6 m/s nghĩa là dx 6. dt = Mặt khác, từ Hình 3.3 ta có:

169 (4) x + y Lấy vi phân (4) theo t, ta có: 2 dx 2 dy 0, x y dt + dt 6 (5) dy x dx dy x dt y dt dt y

 − =  − Từ (4) khi x=5 ta có y Thay vào (5), ta được:

Bài toán tính vận tốc trung bình

Ví dụ 3.10: Giả sử thời gian xe bắt đầu chạy là 10 giờ, công tơ mét chỉ quãng đường đi xe máy đã đi được 30025km Nếu xe chạy thêm 6 phút thì trên công tơ hiển thị 30029km Tính vận tốc trung bình của xe máy

Quãng đường đi xe máy được xem là một hàm số, lúc trước là ( ) 30025 , f x = km thời gian xe bắt đầu chạy là x giờ

Xe đi thêm 6 phút, ta tính được x= +10 0,1 thì quãng đường xe đi là f x( + =a) 30029km.

+ −    = Vận tốc trung bình của xe là 40km h/ Vậy đồng hồ trên công tơ là 40km h/

Chiếc đồng hồ công tơ mét trên xe máy cho biết vận tốc tức thì của xe tại thời điểm nhất định Vì vận tốc trung bình là 40km h/ nên sẽ phải có những thời điểm mà tại đó đồng hồ công tơ xe máy chỉ số 40

Bài toán về tốc độ thay đổi của một đại lượng

Ví dụ 3.11: Có một cái hồ hình chữ nhật rộng 50 m và dài 200 m Một vận động viên tập luyện chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ vị trí điểm A chạy theo chiều dài bể bơi đến vị trí điểm M và bơi từ vị trí điểm M thẳng đến đích là điểm B (đường nét đậm) như hình vẽ Hỏi vận động viên đó nên chọn vị trí điểm M cách điểm A bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) để đến đích nhanh nhất, biết rằng vận tốc bơi là 1,6m/s, vận tốc chạy là 4,8m/s

Lời giải: Đặt AM = x 0 (   x 200 ) , ta có:

Thời gian chạy bộ trên đoạn AM là 1

AM x t = Thời gian bơi trên đoạn MB là

= Tổng thời gian xuất phát từ A để đến đích B là:

Khảo sát hàm số t x( ) trên đoạn  0; 200 ,  ta có:

Vậy điểm M cách điểm A182m thì vận động viên đến đích nhanh nhất

3.3.2 Ứng dụng đạo hàm trong lĩnh vực Hóa học Đạo hàm không chỉ được ứng dụng nhiều để giải các bài toàn vật lý và mà còn xuất hiện trong một số bài toán hóa học

Ví dụ 3.12: Đốt cháy Hidrocacbon của dãy đồng đẳng nào dưới đây thì tỉ lệ mol

H O CO n n giảm khi số nguyên tử cacbon tăng?

Hidrocacbon có công thức C H x 2 x + − 2 2 k trong đó x N x * , là biến số, , kN klà hằng số

Xét phương trình đốt cháy:

 −   Công thức tổng quát là: C H x 2 x + 2 đó là công thức tổng quát của Ankan

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =3x 3 − −x 2 7x+1 ( )C tại điểm A(0; 1)

Bài 2: Choy = −x 3 3x 2 +2x+10 ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm có tung độ bằng 10

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = − − +x 4 x 2 6 ( )C , biết tiếp tuyến song song đường y =6x−1 ( ).d

Bài 4: Cho hàm sốy=2x 3 −6x 2 −5 ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 1; 13)− −

Bài 5: Tìm chiều dài ngắn nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4 m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ

Hình 3.5 (Trích đề thi thử THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh, 2016)

Bài 6: Một trang chữ của cuốn sách giáo khoa cần diện tích 384 cm 2 Lề trên và dưới là 3 cm Lề trái và phải là 2 cm Để diện tích phần chữ in vào cuốn sách được nhiều nhất thì kích thước của trang giấy là bao nhiêu

Bài 7: Một doanh nghiệp độc quyền bán một chiếc máy tính với giá là

Tìm doanh thu cận biên của doanh nghiệp đối với mức sản lượng Q Giá trị cận biên của doanh thu là bao nhiêu nếu mức sản lượng Q = 70.

Bài 8: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50,000 đồng Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5,000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30,000 đồng

Bài 9: Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranh với giá 20 p= USD Cho biết hàm sản xuất Q = 12 3 L 2 và giá thuê lao động là w L @USD Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa

Bài 10: Một người đánh cá đang trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo hướng bắc nam Nhà anh ấy nằm bên bờ biển, cách vị trí P khoảng 6 km về phía bắc Anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 3 km/h và đi bộ với vận tốc 5 km/h (giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể so với vận tốc mà người đánh cá chèo thuyền) Anh ấy dự kiến sẽ chèo thuyền thẳng đến một điểm Q đâu đó trên bờ biển về phía điểm P, với 0PQ6(km), rồi đi bộ quãng đường còn lại để về nhà

68 a Để có thể về nhà trong thời gian ngắn nhất, người đánh cá nên chèo thuyền đến điểm Q cách điểm P về phía bắc bao xa? b Nếu chiếc thuyền được gắn thêm động cơ và chạy với vận tốc 5 km/h thì anh ấy có thể lựa chọn quãng đường đi ngắn nhất như thế nào?

Hình 3.6 (Trích chuyên đề học tập toán 12 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

Bài 11: Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là

3 12 3, 0. y = −t t+ t a Tìm các hàm vận tốc và gia tốc b Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới? c Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0 t 3. d Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

(Trích sách giáo khoa Toán 12 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

Bài 12: Một cốc chứa 30ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ

100mg/ml Một bình chứa dung dịch KOH khác chứa nồng độ 8mg/ml được trộn vào cốc a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x) b) Coi hàm C(x) là hàm số xác định với x0 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8mg/ml

(Trích sách giáo khoa Toán 12 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=3x 3 − −x 2 7x+1 ( )C tại điểm (0; 1)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= −x 3 3x 2 +2x+10 ( )C tại điểm (0; 10)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= −x 3 3x 2 +2x+10 ( )C tại điểm (1; 10)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= −x 3 3x 2 +2x+10 ( )C tại điểm (2; 10)

Do tiếp tuyến song song đường y=6x−1 ( ),d nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6, vì vậy

− − =  + + =  = −  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= − − +x 4 x 2 6 ( )C tại điểm A( 1; 4)− là

Do tiếp tuyến đi qua điểm A( 1; 13)− − nên nếu tiếp tuyến có hệ số góc bằng k thì tiếp tuyến có dạng:

13 ( 1) 13 ( ). y+ =k x+  =y kx+ −k d Để ( )d tiếp xúc , ta có

  = −  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=2x 3 −6x 2 −5 ( )C đi qua điểm

Gọi chiều dài BN là x cm( ), (x>0)

Theo Talet MN song song với AC

Bảng biến thiên của hàm số Để min min 125

 AB = Vậy chiều dài ngắn nhất của cái thang là 5 5

Gọi chiều dài phần in chữ trên giấy là x x, ( 0).

Chiều rộng của phần in chữ trên giấy là y, (y0).

= + + + = + +  Áp dụng bất đảng thức Cauchy cho 2 số 4x và 2304 x , ta có:

=  =   = Vậy chiều dài cuốn sách là 24 cm, chiều rộng cuốn sách là 16 cm

Hàm tổng doanh thu là

TR=Q p= Q − Q + Q+ Doanh thu cận biên của doanh nghiệp là

Khi Q = 70 thì MR(70)=7,72 Như vậy, nếu tăng Q lên một đơn vị từ 70 lên 71 thì doanh thu tăng lên khoảng 7,72 đơn vị

Gọi x là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng, (x: đồng;

30,000 x 50,000 đồng) Ta có thể lập luận như sau

Giá 50,000 đồng thì bán được 40 quả bưởi

Giảm giá 5,000 đồng thì bán được thêm 50 quả

Giảm giá 50,000 –x thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là

Do đó số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán x

Gọi f x( ) là hàm lợi nhuận thu được ( f x( ): đồng) Ta có:

100 100 f x = − x+  x− = − x + x− Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của f x( )

'( ) 0 1 840 0 42,000 f x =  −50x+ =  =x Vì hàm f x( ) liên tục trên 30,000 x 50,000 nên ta có:

(30,000) 0; f = f(42,000) 1,440,000;= f(50,000) 800,000Vậy với x B,000 thì f x( ) đạt giá trị lớn nhất

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là 42,000 đồng

Hàm lợi nhuận của nhà sản xuất là:

= − =  Bảng biến thiên của hàm số

Theo bảng biến thiên, suy ra  đạt giá trị lớn nhất tại Ld.

Kí hiệu S 1 là quãng đường người đánh cá chèo thuyền, v 1 là vận tốc chèo thuyền

Kí hiệu S 2 là quãng đường người đánh cá đi bộ dọc bờ biển và v 2 là vận tốc đi bộ a Vì điểm Q ở phía bắc điểm P với PQ=x km x( ), [0; 6], nên

Do tam giác APQ vuông tại P nên

Theo đầu bài, ta có v 1 =3 km/h, v 2 =5 km/h Khi đó

+ Thời gian người đánh cá chèo thuyền từ A đến Q là

+ Thời gian người đánh cá đi bộ từ Q về B là 2 2

Tổng thời gian chèo thuyền và đi bộ về nhà của người đánh cá là

Miền khảo sát của hàm số T(x) là [0; 6] Nếu x=0 thì Q trùng với P, nếu x=6 thì Q trùng với B Đạo hàm của hàm T(x) là

Từ giả thiết 0 9(4 2 ) 25 2 3. x  +x = x  =x 2 Xét trong đoạn [0; 6] ta có:

   là giá trị nhỏ nhất trong ba giá trị trên, nên giá trị nhỏ nhất của

Vậy để có thể về nhà trong thời gian ngắn nhất, anh ấy nên chèo thuyền đến điểm

Q cách phía bắc 1,5 km b Khi v 1 = =v 2 5(km/h) thì

Hàm số T(x) nghịch biến trên đoạn [0; 6] nên giá trị nhỏ nhất của T(x) đạt được khi x=6, tức là khi Q trùng B Vậy nếu chiếc thuyền được gắn động cơ và chạy với vận tốc 5 km/h thì anh ấy có thể lựa chọn quãng đường đi ngắn nhất là AB, tức là đi thuyền thẳng từ A về B

Bài 11 a Hàm vận tốc là: v t ( ) = y  = 3 t 2 − 12, t  0.

Hàm gia tốc là: ( )a t =v t( )= y=6 ,t t0. b Hạt chuyển động lên trên khi v t ( )   0 3 t 2 − 12    0 t 2, vì t0.

Hạt chuyển động xuống dưới khi khi v t ( )   0 3 t 2 − 12     0 0 t 2, vì t0. c Ta có: y (3) − y (0) = 3 3 − 12.3 + − = − 3 3 9.

Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian 0 t 3 là 9m d Hạt tăng tốc khi v t( ) tăng hay ( )v t 0 Do đó 6t  0 t 0.

Hạt giảm tốc khi v t( ) giảm hay ( )v t 0 Do đó 6t  0 t 0 không thỏa mãn do t0.

Bài 12 a Khối lượng dung dịch trong cốc sau khi trộn x (ml) KOH từ bình chứa là:

Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn x(ml) KOH từ bình chứa là:

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa là:

Tập xác định của hàm số là: [0;+ ).

Sự biến thiên của hàm số: ( ) 2760 2 0, 0.

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+ ) Hàm số không có cực trị

Do đó, đồ thị hàm số 8 3000

+ nhận đường thẳng y=8 làm tiệm cận ngang

Bảng biến thiên của hàm số Đồ thị hàm số 8 3000

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 Đạo hàm không chỉ là công cụ dùng để khảo sát hàm số mà còn vận dụng trong rất nhiều các lĩnh vực khác nhau trong cuộc sống Các bài toán thực tiễn sẽ tạo hứng thú và động lực cho các em học sinh trong việc tìm hiểu về đạo hàm Vì vậy trong chương 3 đã đưa ra các ứng dụng cụ thể của đạo hàm

- Ứng dụng đạo hàm để tìm tiếp tuyến và pháp tuyến Hướng dẫn giải các dạng bài tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số, từ đó viết được phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm số

- Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán kinh tế như tìm giá trị cận biên, các bài toán tối ưu trong kinh tế Qua đó học sinh thấy được tầm quan trọng của đạo hàm trong lĩnh vực kinh tế

- Ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán liên môn trong Vật lý và Hóa học

Việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toàn tối ưu và một số bài toán thực tế đã cho học sinh thấy được khả năng ứng dụng của đạo hàm vào cuộc sống thực tiễn nói riêng và khả năng ứng dụng của toán học nói chung Ngoài ra học sinh còn được tìm hiểu các bài toán sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toàn tích hợp liên môn Qua đó các em thấy hứng thú và yêu thích môn toán hơn khi thấy được tầm quan trọng của đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

Luận văn với nội dung “Đạo hàm và một số mở rộng ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán phổ thông” đã hệ thống lại các kiến thức đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm gồm các nội dung sau: