Lý thuyết giới hạn và Ứng dụng

Lý thuyết giới hạn và ứng dụng tìm hiểu về định luật quy luật giới hạn trong cuộc sống để đưa ra Lý thuyết giới hạn và ứng dụng

GiÓi h§n cıa dãy sË và hàm sË

GiÓi h§n cıa dãy sË

Cho t™p hềp sậnguyờn d˜ẽngN ⇤ :={1,2,3, }, mẻt ỏnh xĐ u:N ⇤ !R xỏc ‡nh biun:=u(n) ˜ềc gÂi là mẻtdóy sậthác Ta kớ hiêu dóy ú băng mẻt trong các cách sau:

{un}, {un} n , {un}n 2N ⇤ , {un} +• n=1, {un} n 1

Mẩi phản t˚u n ˜ềc gÂi làsậhĐng tÍng quỏtcıa dóy này.

‡nh nghổa 1.1 Cho dóy sậthác{u n }n 1 , sậa2R ˜ềc gÂi là giểi hĐn cıa dóy sậ

{u n }n 1 n∏u vểi mÂi e >0cho tr˜ểc bao giècÙng tÁn tĐi mẻt sận 0 (phˆ thuẻc vào a,e) sao cho vÓi mÂin n 0 ta ∑u suy ra ˜Òc

Khi ú ta núi răng dóy{u n }hẻi tˆ ∏nahay ti∏n ∏n giểi hĐnavà ta vi∏tu n !a khin!+•hay n !lim+•u n =a.

Mẻt dóy khụng cú giểi hĐn ˜ềc gÂi là dóy phõn kỡ.

Cho dóy sậthác{u n }n 1 và dóy sậnguyờn{n k }k 1sao cho

Khi ó, dãy{u n k }k ˜Òc gÂi làdãy concıa dãy{u n }.

‡nh lớ 1.1 Ta cú cỏc tớnh chòt cẽbÊn cıa dóy sậthác{un} n 1 nh˜sau:

1 MÂi dóy hẻi tˆcú giểi hĐn duy nhòt.

2 MÂi dóy con cıa dóy hẻi tˆlà dóy hẻi tˆvà cú cựng giểi hĐn cıa dóy.

3 N∏u{u n }n 1 là dóy sậthác hẻi tˆvà n !lim+•un=a trong úa2Rthỡ dóy sậ{|u n |}n 1 cÙng là dóy sậthác hẻi tˆvà n !lim+ •|un|=|a|.

4 MÂi dóy sậthác{u n }n 1 hẻi tˆlà dóy b‡ ch∞n T˘c là, tÁn tĐi mẻt sậthác d˜ẽng

Ta cú cỏc phộp tớnh trờn cỏc dóy sậthác hẻi tˆnh˜sau: Cho cỏc dóy sậthác{un} n 1 và{vn} n 1 hẻi tˆlản l˜ềt ∏n cỏc sậthácuvàvkhin!+• Khi ú,

1 Dóy sậ{un+vn}n 1 hẻi tˆ ∏nu+vkhin!+•.

L˜u˛: – ây,v6=0nên vÓi mÂin2N ılÓn ta luôn cóvn 6=0và do ó phân sË un v n luôn xác ‡nh vÓi mÂin ılÓn.

‡nh lớ 1.2 Cho cỏc dóy sậthác hẻi tˆ{u n }n 1 ,{v n }n 1 và{w n }n 1 Khi ú, 1 N∏u tÁn t§in02N ⇤ sao choun vn vÓi mÂin n0 thì n !lim+•u n lim n ! +•v n

2 N∏u tÁn t§in02N ⇤ sao cho unvn wn vÓi mÂi n n 0 thì n !lim+•u n  lim n ! +•v n  lim n ! +•w n

HêquÊ1.1 1 N∏u nlim!•un=a và tÁn t§in 0 sao chou n bvÓi mÂin>n 0 thìa b.

2 N∏u nlim! •u n =a và tÁn t§in0 sao chounbvÓi mÂin>n0 thìab.

Dóy sậthác{u n }n 1 ˜ềc gÂi là dóy cẽbÊn hay dóy Cauchy n∏u vểi mÂie>0cho tr˜ểc tÁn tĐin 0 (phˆthuẻc vàoe) sao cho vểi mÂin,m>n 0 ta suy ra ˜ềc

Mẻt sậtớnh chòt cıa dóy cẽbÊn:

1 MÂi dóy cẽbÊn là dóy b‡ch∞n.

2 N∏u dóy cẽ bÊn{un} n 1 cú mẻt dóy con {un k }k 1 hẻi tˆ ∏n giểi hĐna2Rthỡ dóy{un} n 1 cÙng hẻi tˆ ∏na.

‡nh lớ 1.3 (Nguyờn lớ hẻi tˆCauchy) Dóy sậthác{u n }n hẻi tˆkhi và chứ khi nú là dóy cẽbÊn.

Dóy{u n }n ˜ềc gÂi là dóy t´ng (t˜ẽng ˘ng dóy t´ng thác sá) n∏uu n u n+1 vểi mÂi n2N(t˜ẽng˘ng n∏uu n u n+1 vểi mÂin2N).

‡nh lớ 1.4 Ta cú cỏc khỉng ‡nh sau:

1 N∏u dóy{un}n 1 là mẻt dóy t´ng b‡ch∞n trờn thỡ nú hẻi tˆ ∏nsup n 2N un 2 N∏u dóy{u n }n 1 là mẻt dóy giÊm b‡ ch∞n d˜ểi thỡ nú hẻi tˆ ∏ninf n 2N u n

Sậa2R ˜ềc gÂi là giểi hĐn riờng cıa dóy{u n }n 2N n∏u cú mẻt dóy con{u n k }k 2N cıa dóy{u n }n 2N hẻi tˆtểi a T˘c là, vểi mÂi e>0, trong khoÊng (a e,a+e)ch˘a vô sËsËh§ng cıa dãyu n

GiÓi h§n cıa hàm sË

Cho x02Rvà sậthác d˜ẽng e >0, khoÊng m(x0 e,x0+e) ˜ềc gÂi làe-lõn c™ncıax0,kớ hiêu làU e (x0) T™p hềpV ⇢R ˜ềc gÂi làlõn c™ncıa i∫mx0n∏u tÁn t§ie >0sao choU e (x0)⇢V. i∫m x 0 2R ˜Òc gÂi là i∫m tˆcıa t™p hÒpA⇢Rn∏u mÂi lân c™nV cıax 0 , ta cúV\(A\ {x 0 })6= /0 T˘c là,x 0 là i∫m tˆcıa t™p hềpAkhi và chứ khi mÂi lõn c™n cıax 0 ∑u ch˘a vụ sậ i∫m cıaA T™p hềp tòt cÊcỏc i∫m tˆcıa t™p hềpA ˜ềc gÂi làt™p hềp dđn xuòt cıaAvà kớ hiêuA 0

Cho t™p hÒpA⇢R, i∫mx 0 2A ˜Òc gÂi là i∫m cô l™pcıa t™p hÒpAn∏u tÁn t§i mẻt lõn c™nV cıax 0 sao choV\A={x 0 }.

‡nh nghổa 1.2 Chox 0 2Rlà i∫m tˆcıa t™p hềpA⇢Rvà cho f :A!R là hàm sậxỏc ‡nh trờnA Ta núi hàm sậ f hẻi tˆ ∏nb2Rkhix!x0 hayblà giểi h§n cıa hàm sË f khix!x0 n∏u vÓi mÂie>0tÁn t§id >0sao cho

|f(x) b| 1 Vì f(x) là hàm sË Áng bi∏n trênRnên ta suy ra f(0)< f(x k )< f(1).

Vì v™y, theo nguyên l˛quy n§p toán hÂc, ta ˜Òcx n 2(0,1)vÓi mÂin2N ⇤ M∞t khác, vỡa2(0,1)nờn t¯ ỉng th˘c (2.2), ta ˜ềc x 2 x 1 = 2a(1 a 2 )

Vỡ v™y theo ‡nh l˛ 1.8, ta thòy răng dóy sậ {xn} +• n=1 là mẻt dóy t´ng, hẽn n˙a nú b‡ ch∞n trờn bi1và vỡ th∏dóy này hẻi tˆtểi mẻt giỏ tr‡h˙u hĐn trong oĐn[0,1] ∞t n !lim+ •xn=x vÓix2[0,1] T¯công th˘cxn+1= f(xn), ta có n !lim+ •xn+1 = lim n ! + • x n (x 2 n +3) 3x 2 n +1 i∑u này suy ra x= x(x 2 +3) 3x 2 +1 GiÊi ph˜ẽng trỡnh trờn ta thu ˜ềcx=1 V™ytr˜èng hềp này dóy sậ{xn} +• n=1 cú giểi h§n h˙u h§n và n !lim+•xn=1.

Khi ó, ta có x 1 (1,+•) Gi£s˚ x k 2(1,+•)vÓi k2N,k>1 Vì f(x) là hàm sË Áng bi∏n trênRnên ta suy ra f(x k )> f(1) =1.

Vì v™y, theo nguyên l˛quy n§p toán hÂc, ta ˜Òcx n 2(1,+•)vÓi mÂi n2N ⇤ M∞t khỏc, vỡ a2(1,+•)nờn t¯ ỉng th˘c (2.2), ta thòy răng dóy sậ {x n } + n=1 • là mẻt dóy giÊm, hẽn n˙a nú b‡ ch∞n d˜ểi bi 1và vỡ th∏ dóy này hẻi tˆ tểi mẻt giỏ tr‡ hĐn h˙u h§n ∞t n !lim+•xn=x vÓix2[1,+•) T¯công th˘c truy hÁi cıa dãy sË{xn} +• n=1, ta có n !lim+•xn+1 = lim n ! +• xn(x 2 n +3) 3x 2 n +1 i∑u này suy ra x= x(x 2 +3) 3x 2 +1 GiÊi ph˜ẽng trỡnh trờn ta thu ˜ềc x=1.

V™ytr˜èng hềp này dóy sậ{xn} +• n=1 hẻi tˆvà n !lim+•x n =1.

Ch˘ng minh t˜ẽng tá nh˜ trong tr˜èng hềp 4 và 5, ta ˜ềc dóy sậ{xn} +• n=1 hẻi tˆ và n !lim+•xn = 1.

Bài t™p này ã ˜Òc gi£i xong.

D˜ểi õy là mẻt sậbài toỏn cú ph˜ẽng phỏp giÊi t˜ẽng tánh˜bài t™p trờn.

1 Cho hai sậtháca,bbòt kỡ sao cho3a 2 +b6=0 Xột dóy sậ{xn} +• n=1 ˜ềc xỏc ‡nh bi công th˘c truy hÁi sau

3x n 2 +b , trong ón2N Ch˘ng minh r¨ng dãy sËtrên có giÓi h§n h˙u h§n và tìm giÓi h§n ó.

Bài t™p 2.3 Cho dãy sË{u n } + n=1 • ˜Òc xác ‡nh bi công th˘c truy hÁi sau

: u1=1, u n+1 = u 2 n +4u n +1 u 2 n +un+1 , trong ún2N Ch˘ng minh răng tÁn tĐi mẻt sậthácathoÊmón u 2k 1 1 vểi mÂi n2N,n 2và thòy răng

= (u n 1 1) 2 u 2 n 1 +u n 1 +1 0 vÓi mÂi2n2N T˘c là ta có

11. i∑u này là mâu thu®n vÓi gi£thi∏t ph£n ch˘ng0< f(x 0 )1.

Ti∏p theo, ta ch˘ng minh f(x)>b vÓi mÂi x2R + Vì f(x)>1 vÓi mÂi x2R +  ch˘ng minh trên, ta s≥gi£s˚ ph£n ch˘ng là tÁn t§iy 0 2R + th‰a mãn

Khi ó, ta xét dãy sËxác ‡nh bi công th˘c truy hÁi sau

>: x1 >0, xn+1=xn+y0f(xn) vểi mÂi n2N ⇤ T¯ ‡nh nghổa cıa hàm f, ta thòy răng x n >0vểi mÂi n2N ⇤ Ta s≥ ch˘ng minh hêth˘c sau là ỳng băng ph˜ẽng phỏp quy nĐp toỏn hÂc f(x n ) = f(y 0 ) b

!n 1 f(x 1 ) (3.7) vểi mÂi n2N ⇤ Rừ ràng, ỉng th˘c trờn ỳng vểi n=1 GiÊs˚ ỉng th˘c trờn ỳng vÓin=k,k2N ⇤ ,k 2.

Khi ú, ta cú t¯cụng th˘c truy hÁi trờn và i∑u kiên giÊthi∏t cıa ∑bài là f(x k+1 ) = f(x k +y 0 f(x k ))

Do ú ỉng th˘c (3.7) ỳng vểi n= k+1 Theo nguyờn l˛ quy nĐp toỏn hÂc, ỉng th˘c (3.7) ỳng vểi mÂin2N ⇤ Nh˜v™y, ta ó ch˘ng minh ˜ềc ỉng th˘c (3.7) Chỳ ˛r¨ng f(y 0 )2(1,b)nên

Vì th∏ta có n !lim+• f(x n ) = lim n ! +•

=0. i∑u này mõu thuđn vểi i∑u kiên f(x)>1vÓi mÂix2R + Vì v™y, ta có f(x) b vÓi mÂix2R + K∏t hềp bòt ỉng th˘c trờn vểi (3.6) ta ˜ềc bf(x) f(x)f(y) (x+y f(x))vÓi mÂix,y2R + hay f(x) f(x+y f(x))vÓi mÂi x,y2R + t˘c là f(x)là hàm t´ng (không gi£m) trên R + Gi£s˚ f(x)>b vÓi mÂi x2R + thì f(x)là hàm Áng bi∏n ( t´ng ng∞t) trênR +

Trong (3.6) Íi vai trò cıaxvàyta nh™n ˜Òc f(x+y f(x)) = f(y+x f(y))vÓi mÂix,y2R + hay x+y f(x) =y+x f(y)vÓi mÂi x,y2R + i∑u này t˜ẽng ˜ẽng vểi f(x) 1 x = f(y) 1 y vÓi mÂi x,y2R +