Cách giải các dạng bài tập tự luận về hàm số lượng giác một cách đơn giản và dễ nhớ Hướng dẫn cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Trang 1CHỦ ĐỀ 1 TẬP XÁC ĐỊNH VÀ TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1
1 Điều kiện: cos 3x 1 0 cos 3x 1 x k2 , k
3− ¢
4 Điều kiện:
x kx k
2sin 3x 1 x k
6 3
+
6 + +
Trang 2sin x sin 0sin x 0
62
x k2
62 cos( )sin( ) 0
x k26
12 2 = +
x5 +
TXĐ: D \ k ,n ; k,n
Trang 3TXĐ: D \ k ; k
2 2 = +
3
3
k
13 132 2
14 7 +
Trang 4CHỦ ĐỀ 2 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1 1 Ta có f(x 2 ) sin(x 2 ) sin x f(x) x+ = + = = ¡
Giả sử có số thực dương T thỏa f(x T) f(x)2 + =sin(x T) sin x x
2= = (1) không xảy ra với mọi x ¡
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 = 2
2 Ta có f(x ) tan 2 x tan(2x ) tan 2x f(x)
+ = + = + = =
Giả sử có số thực dương T
2 thỏa mãn f(x T) f(x)+ =tan(2x 2T) tan 2x x
Bài 2 1 Hàm số tuần hoàn với chu kì T= 2
2 Hàm số tuần hoàn với chu kì T = 3 Hàm số tuần hoàn với chu kì T= 2
Bài 3 1 Hàm số tuần hoàn với chu kì T= 2
2 Hàm số tuần hoàn với chu kì T = 3 Hàm số tuần hoàn với chu kì T= 2
4 Hàm số không tuần hoàn
Trang 5CHỦ ĐỀ 3 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ Bài 1 Đồ thị hàm số: y sin 2x=
xy
-5π4
-3π4
-π4
5π4
7π43π
4π
4-11
O
Bài 2 Đồ thị hàm số: y=2 cos x
xy
-3π2
-π2
2π
2π
2
O
Trang 6
CHỦ ĐỀ 4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ Bài 1
1 Ta có 1 2 sin x 3 5 + 1 y 5 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5, đạt được khi sin x 1 x k2
2= = + Giá trị nhỏ nhất bằng 1 , đạt được khi x k2
2= − +
2 Ta có 1 2cos x 12 + 3 −1 3 y 0Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 , đạt được khi x k
2= + Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1− 3, đạt được khi x= k
3 Ta có: 1 sin 2x 1 2 y 4
4 − − −
y 3 cos 3x 0 x
6 3 = = = + max y 3=
5 Ta có: 1 sin 2x 1− +2 y 1 3• y 2 sin 2x 1 x k
4= = − = − + min y= 2• y 1 3 sin 2x 1 x k
4= + = = + max y 1= + 3
6 Ta có: 0 sin x 12 4 y 4
3 • 4 2
y sin x 1 x k
= = = + min y 4
3
• y= 4 sin x2 = = 0 x k max y 4=
Bài 2 1 Đặt t sin x, 0 t 1= 2 cos 2x 1 2t= −
y 2t (1 2t) 4t 2t 1 (2t )
2 4 = + − = − + = − +
Trang 7Do 0 t 1 1 2t 1 3 0 (2t 1)2 9
− − − 3 y 3
4 Vậy max y 3= đạt được khi x k
2= + min y 3
4= đạt được khi 2 1
sin x
4=
2 Áp dụng BĐT (ac bd)+ 2(c2+d )(a2 2+b )2 Đẳng thức xảy ra khi a b
c= dTa có: (3sin x 4 cos x)+ 2 (32+4 )(sin x cos x) 252 2 + 2 =
5 3sin x 4cos x 5 4 y 6 − + − Vậy max y 6= , đạt được khi tan x 3
4= min y= − , đạt được khi 4 tan x 3
4= −
Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau
thỏa
4sin
53cos
5 = =Suy ra min y= −6; max y 4=
4 Ta có: y 1 cos 2x 3sin 2x 2(1 cos 2x)= − + − + 3sin 2x 3cos 2x 1 3 2 sin 2x 1
4
Suy ra min y= −3 2 1; max y− =3 2 1−
5 Ta có: y 1 cos 2x 3sin 2x 3(1 cos 2x)
= + + =3sin 2x cos 2x 2+ + Mà − 103sin 2x cos 2x+ 10 −2 10 +y 2 10
Từ đó ta có được: max y= +2 10; min y= −2 10
6 min y= −1,max y 3=
7 min y= −1,max y 3=
8 min y 1 2 3 ,max y 1 2 5= + = +
9 min y= −5,max y 5=
Trang 89 3 = + max y= đạt được khi 5 x k2
9 3 = +
2 Ta có: min y 5= đạt được khi x k
4 2 = + max y= +4 3 đạt được khi x k
2=
2= +
Trang 94 Ta có: t (tan x 2)= − 2− 3 min y= − đạt được khi tan x 23 = Không tông tại max
t − 2− 2 + f(t)
5− 7 Vậy min y= − đạt được khi x5 k
4= − + Không tồn tại max y
Bài 5 Hàm số xác định với mọi x5sin 4x 6 cos 4x 1 2m x− − Do min(5sin 4x 6 cos 4x)− = − 61 − 61 1 2m − m 61 1
2+
Bài 6 1 Ta có: 1 sin 3x 1− − Suy ra: min y1 y 5 = −1; max y 5=
2 Ta có: 0 sin 2x 1 2 − Suy ra: min y3 y 1 = −3; max y 1=
3 Ta có: 1 3 2 sin x 5 + +2 y 1 5 Suy ra: min y=2; max y 1= + 5
4 Ta có: 2 +2 sin 4x2 +3 3 2 2 +y 3 2 3Suy ra: min y= +3 2 2; max y= +3 2 3
5 Ta có: 5 4sin 3x 3cos 3x 5− − − Suy ra: min y4 y 6 = −4; max y 6=
6 Ta có: y 2 sin x 4
3 = + +
Suy ra: min y 2; max y 6= =
7 Ta có: 2sin 2x cos2x 4 4− + − 5 ¡0 x
sin 2x 2cos 2x 3y (2y 1)sin 2x (y 2)cos 2x 3 4y
11
8 Ta có: sin6x 4cos6x 10 10+ + − 17 ¡ 0 x
Trang 102sin 6x cos6x 2y (y 2)sin 6x (4y 1)cos6x 2 10y
3 3= − = − = =
Bài 7 1 Đặt t=3sin x 4 cos x− − 5 t 5Ta có: y (3sin x 4 cos x)= − 2−6 sin x 8 cos x+ =t2−2t (t 1)= − 2− 1
Do − −5 t 5 0 (t 1)236min y= − 1Suy ra yêu cầu bài toán 1 2m 1− − m 0
2 Đặt y 3sin 2x cos 2x
sin 2x 2cos 2x 3
+=
Trang 11Yêu cầu bài toán 5 3 5 m 1 m 3 5 9
− + (*) • m − +1 103cos 2x sin 2x m 1 0, x+ + + ¡
Nên 4sin 2x cos 2x 17 2 2sin 2x 5cos 2x 2m 153cos 2x sin 2x m 1
15 2929 2m 15 m
2−
Suy ra: 10 1 m 15 29
2−− • m − −1 103cos 2x sin 2x m 1 0, x+ + + ¡
Nên 4sin 2x cos 2x 17 2 2sin 2x 5cos 2x 2m 153cos 2x sin 2x m 1
15 2929 2m 15 m
2+ − (loại) Vậy 10 1 m 15 29
2−− là những giá trị cần tìm
Bài 8 Ta có: cos 2x cos 2y 2 sin(x y)+ + + = 2 sin x sin y2 + 2 =sin(x y)+Suy ra: x y
2+ = Áp dụng bđt:
a b (a b)m n m n
++
+Suy ra: ()2
sin x sin y 2P
x y+
+ Đẳng thức xảy ra x y 4
= = Do đó: min P =2
Bài 9 Ta có y ksin x 1 ycos x ksin x 2y 1 0
cos x 2+
+
y k (2y 1) 3y 4y 1 k 0 + − − + − 2 3k2 1 y 2 3k2 1
− + k 2 2
Trang 12Đặt t=cos 2x −t 1;1 Ta có phương trình f(t)=t2−4t= −4m 3− Bảng biến thiên
t − 1 1f(t)
5 3− Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm
3 4m 3 5 2 m 0 − − − −
Bài 9: Phương trình 2mcos x cosx m 02 + − =
Đặt t=cos x, t − 1;1 ta có phương trình
2
2mt + −t m 0= • m 0= = là nghiệm phương trình t 0• m 0 ta thấy phương trình luôn có hai nghiệm t ,t1 2 và t t1 2 1
2= trong hai nghiệm luôn có một nghiệm thuộc − 1;1