Bài tập tự luận về hàm số lượng giác toán 11 có Đáp Án

Cách giải các dạng bài tập tự luận về hàm số lượng giác một cách đơn giản và dễ nhớ Hướng dẫn cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

CHỦ ĐỀ 1 TẬP XÁC ĐỊNH VÀ TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1

1 Điều kiện: cos 3x 1 0 cos 3x 1 x k2 , k

3



−      ¢

TXĐ: D \ k2 , k

3

2 Do 1 cos 3x 0 x−    ¡ nên hàm số có nghĩa  +1 sin 4x 0

sin 4x 1 x k , k

8 2

 

  −   − + ¢

TXĐ: D \ k , k

8 2

= − +  

3 Điều kiện: 2x k x 3 k ,k

−  +    + ¢

Vậy TXĐ: D \ 3 k ,k

8 2

   

=  +  

4 Điều kiện:

x k

x k

2 sin 3x 1 x k

6 3

  

   



    + 

Vật TXĐ: D \ k , n2 ; k,n

6 3

Bài 2

1 Điều kiện: sin 2x cos 3x 0 cos5x.sinx 0

2 2

4

5 5

x k2

    +    

       

TXĐ: D \ k4 , k2 ; k

5 5

2 Điều kiện:

2

2 sin(2x ) 0

3 sin 2x cos 2x 0

6

  

  +    +

x k x k

  +    + 

 −     +





TXĐ: D \ k , k ; k

4 2 12 2

    

3 Điều kiện:

x k

x k 1

sin x sin 0 sin x 0

6 2

  

  

 −   − 

x k

x k

x k2

6

2 cos( )sin( ) 0

x k2 6



  

  + 



TXĐ: D \ k , k2 ,5 k2 ; k

=   +  +   

4 Điều kiện:

3

 −  +     + 

 −     + 

TXĐ: D \ 3 k , k ; k

=  +  +   

Bài 3

+  +    +

TXĐ: D \ k ,k

12 2

   

=  +  

2 Điều kiện:

cos 3x 0 6 3 sin 5x 0 n

x 5

  + 





  

TXĐ: D \ k ,n ; k,n

6 3 5

3 Điều kiện: cos x 0 x 2 k

sin x 0

x n

 

    + 

   

TXĐ: D \ k ; k

2 2

  

=  +  

4) Điều kiện:

cos 3x 0 x k

6 3 sin x 0

3

3

  

  

 

     − + 

TXĐ: D \ k , n ; k,n

6 3 3

=  + − +   

5 Điều kiện: sin 8x sin 5x 0 2cos13xsin3x 0

2 2

2 13x

k

13 13

2 2

  +   +





    

TXĐ: D \ k2 ,2n ; k,n

13 13 3

6 Điều kiện: cos 4x sin 3x 0 cos 4x cos 3x 0

2

   +   +  − 

x k2

3 4

4 2 2 4

14 7

  + 



 +   −  

  



TXĐ: D \ k2 ,3 n4 ; k,n

CHỦ ĐỀ 2 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1

1 Ta có f(x 2 ) sin(x 2 ) sin x f(x) x+  = +  = =  ¡

Giả sử có số thực dương T  thỏa f(x T) f(x)2 + =

sin(x T) sin x x

 + =  ¡ (1)

Cho x VT(1) sin T cos T 1

=  =  + = 

  VP(1) sin 1

2



= = (1) không xảy ra với mọi x  ¡

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 = 2

2 Ta có f(x ) tan 2 x tan(2x ) tan 2x f(x)

   

+ =  + = +  = =

  Giả sử có số thực dương T

2



 thỏa mãn f(x T) f(x)+ = tan(2x 2T) tan 2x x

 + =  ¡ (2)

Cho x 0= VT(2) tan 2T 0=  , còn VP(2) 0=  (2) không xảy ra với mọi

x  ¡

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0

2



=

Bài 2

1 Hàm số tuần hoàn với chu kì T=  2

2 Hàm số tuần hoàn với chu kì T = 

3 Hàm số tuần hoàn với chu kì T=  2

Bài 3

1 Hàm số tuần hoàn với chu kì T=  2

2 Hàm số tuần hoàn với chu kì T = 

3 Hàm số tuần hoàn với chu kì T=  2

4 Hàm số không tuần hoàn

CHỦ ĐỀ 3 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ

CỦA HÀM SỐ Bài 1 Đồ thị hàm số: y sin 2x=

x

y

-5π

4

-3π 4

-π 4

5π 4

7π 4

3π 4 π

4 -1

1

O

Bài 2 Đồ thị hàm số: y=2 cos x

x y

-3π

2

-π 2

2

π 2 π

2

O

CHỦ ĐỀ 4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ Bài 1

1 Ta có 1 2 sin x 3 5 +    1 y 5

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5, đạt được khi sin x 1 x k2

2



=  = + 

Giá trị nhỏ nhất bằng 1 , đạt được khi x k2

2



= − + 

2 Ta có 1 2cos x 12 +  3 −1 3  y 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 , đạt được khi x k

2



= +  Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1− 3, đạt được khi x=  k

3 Ta có: 1 sin 2x 1 2 y 4

4

  

−   −   −  

• y 2 sin 2x 1 x k

= −   − = −  = − + 

  min y= − 2

• y 4 sin 2x 1 x 3 k

=   − =  = + 

  max y 4=

4 Ta có: 0 cos 3x 1 2     1 y 3

y 1 cos 3x 1 x

3



=  =  = min y 1=

y 3 cos 3x 0 x

6 3

 

=  =  = + max y 3=

5 Ta có: 1 sin 2x 1−      +2 y 1 3

• y 2 sin 2x 1 x k

4



=  = −  = − + min y= 2

• y 1 3 sin 2x 1 x k

4



= +  =  = + max y 1= + 3

6 Ta có: 0 sin x 12 4 y 4

3

    

• 4 2

y sin x 1 x k



=  =  = +  min y 4

3

• y= 4 sin x2 =  = 0 x k max y 4=

Bài 2

1 Đặt t sin x, 0 t 1= 2   cos 2x 1 2t= −

y 2t (1 2t) 4t 2t 1 (2t )

2 4

 = + − = − + = − +

Do 0 t 1 1 2t 1 3 0 (2t 1)2 9

   −  −    −  3 y 3

4

  

Vậy max y 3= đạt được khi x k

2



= + 

min y 3

4

= đạt được khi 2 1

sin x

4

=

2 Áp dụng BĐT (ac bd)+ 2(c2+d )(a2 2+b )2

Đẳng thức xảy ra khi a b

c= d

Ta có: (3sin x 4 cos x)+ 2 (32+4 )(sin x cos x) 252 2 + 2 =

5 3sin x 4cos x 5 4 y 6

 −  +   −  

Vậy max y 6= , đạt được khi tan x 3

4

=

min y= − , đạt được khi 4 tan x 3

4

= −

Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau

max(a sin x bcos x)+ = a +b , min(a sin x bcos x)+ = − a2+b2

Tức là: − a2+b2 a sin x b cos x+  a2+b2

3 Ta có : y 5sin(x= +  − trong đó ) 1 0;

2

  

  

  thỏa

4 sin 5 3 cos

5

  =





  =



Suy ra min y= −6; max y 4=

4 Ta có: y 1 cos 2x 3sin 2x 2(1 cos 2x)= − + − +

3sin 2x 3cos 2x 1 3 2 sin 2x 1

4

  

Suy ra min y= −3 2 1; max y− =3 2 1−

5 Ta có: y 1 cos 2x 3sin 2x 3(1 cos 2x)

= + + =3sin 2x cos 2x 2+ +

Mà − 103sin 2x cos 2x+  10 −2 10  +y 2 10

Từ đó ta có được: max y= +2 10; min y= −2 10

6 min y= −1,max y 3=

7 min y= −1,max y 3=

8 min y 1 2 3 ,max y 1 2 5= + = +

9 min y= −5,max y 5=

10 min y 3 ,max y 3

11 min y 5 3 5,max y 5 3 5

Bài 3 Do a,b không đồng thời bằng 0 nên a2+b2  0

Suy ra: 2 2

a sin x bcos x a b sin x cos x

Vì

1

 +   + 

    nên tồn tại số thức 0; 2

    sao cho

cos ; sin

Khi đó: asin x bcos x+ = a2+b2(sin xcos +cos xsin )

= a2+b sin(x2 +  )

Nhận xét: Từ kết quả trên, ta có

• giá trị nhỏ nhất của hàm số y asinx bcosx= + bằng − a2+b2

• giá trị lớn nhất của hàm số y asinx bcosx= + bằng a2+b2

• − a2+b2 a sin x b cos x+  a2+b x2   ¡

Bài 4

1 Ta có: min y 1= đạt được khi x 4 k2

9 3

 

= +

max y= đạt được khi 5 x k2

9 3

 

= +

2 Ta có: min y 5= đạt được khi x k

4 2

 

= +

max y= +4 3 đạt được khi x k

2



=

3 Ta có y 0 x  và y2= +2 2sin x 2 sin x− 2

Mà 2 sin x 2 sin x− 2 sin x 2 sin x 22 + − 2 =

Suy ra 0y2     4 0 y 2

min y 0= đạt được khi x k2

2



= − + 

max y= đạt được khi x2 k2

2



= + 

4 Ta có: t (tan x 2)= − 2− 3

min y= − đạt được khi tan x 23 =

Không tông tại max

tan x cot x 3 tan x cot x 3

Đặt t tan x cot x 2 t 2

sin 2x

Suy ra y=t2+3t 3 f(t)− =

Bảng biến thiên

t − 2− 2 +

f(t)

5− 7 Vậy min y= − đạt được khi x5 k

4



= − +  Không tồn tại max y

Bài 5 Hàm số xác định với mọi x5sin 4x 6 cos 4x 1 2m x−  − 

Do min(5sin 4x 6 cos 4x)− = − 61 − 61 1 2m − m 61 1

2

+

 

Bài 6

1 Ta có: 1 sin 3x 1−    −   Suy ra: min y1 y 5 = −1; max y 5=

2 Ta có: 0 sin 2x 1 2   −   Suy ra: min y3 y 1 = −3; max y 1=

3 Ta có: 1 3 2 sin x 5 +     +2 y 1 5 Suy ra: min y=2; max y 1= + 5

4 Ta có: 2 +2 sin 4x2   +3 3 2 2  +y 3 2 3

Suy ra: min y= +3 2 2; max y= +3 2 3

5 Ta có: 5 4sin 3x 3cos 3x 5−  −   −   Suy ra: min y4 y 6 = −4; max y 6=

6 Ta có: y 2 sin x 4

3

  

=  + +

  Suy ra: min y 2; max y 6= =

7 Ta có: 2sin 2x cos2x 4 4− +  − 5  ¡0 x

sin 2x 2cos 2x 3

y (2y 1)sin 2x (y 2)cos 2x 3 4y

2sin 2x cos 2x 4

(2y 1) (y 2) (3 4y) 11y 24y 4 0 y 2

11

 − + +  −  − +    

Suy ra: min y 2 ; max y 2

11

8 Ta có: sin6x 4cos6x 10 10+ +  − 17   ¡ 0 x

2sin 6x cos6x 2

y (y 2)sin 6x (4y 1)cos6x 2 10y

sin 6x 4cos6x 10

(y 2) (4y 1) (2 10y) 83y 44y 1 0

22 9 7 22 9 7

y

Suy ra: min y 22 9 7; max y 22 9 7

9 Xét phương trình: 3cos x sin x y 2+ = +

Phương trình có nghiệm 32+12(y 2)+ 2  − −2 10  − +y 2 10

Vậy min y= − −2 10; max y= − +2 10

10 Ta có y 6sin 4x cos 4x 1

2cos 4x 2sin 4x 6

=

( do cos 4x sin 4x 3 0 x− +    ¡ )

(6 2y)sin 4x (1 2y)cos 4x 6y 1

(6 2y) (1 2y) (6y 1) 8y 10y 9 0

 + + +  −  − −  5 97 y 5 97

Vậy min y 5 97, max y 5 97

11.Đặt t=3sin x 4 cos x+   −t  5; 5

Khi đó: y=3t2+4t 1 f(t)+ = với t − 5; 5

Do min y f( 2) 1; max y f(5) 96

3 3

= − = − = =

Bài 7

1 Đặt t=3sin x 4 cos x−  −   5 t 5

Ta có: y (3sin x 4 cos x)= − 2−6 sin x 8 cos x+

=t2−2t (t 1)= − 2− 1

Do −     −5 t 5 0 (t 1)236min y= − 1

Suy ra yêu cầu bài toán 1 2m 1−  − m 0

2 Đặt y 3sin 2x cos 2x

sin 2x 2cos 2x 3

+

=

(Do sin 2x 2 cos 2x 3 0 x+ +    hàm số xác định trên ¡ )

(3 y)sin 2x (1 2y)cos 2x 3y

Suy ra (3 y)− 2+ −(1 2y)29y2 2y2+5y 5 0− 

5 3 5 5 3 5 5 3 5

Yêu cầu bài toán 5 3 5 m 1 m 3 5 9

3 Trước hết ta có: 3cos 2x sin 2x m 1 0 x+ + +    ¡

3 1 (m 1) m 2m 9 0

m 1 10

  − −

 +  +  + −   

  − +

 (*)

• m − +1 103cos 2x sin 2x m 1 0, x+ + +   ¡

Nên 4sin 2x cos 2x 17 2 2sin 2x 5cos 2x 2m 15

3cos 2x sin 2x m 1

15 29

29 2m 15 m

2

−

Suy ra: 10 1 m 15 29

2

−

−  

• m − −1 103cos 2x sin 2x m 1 0, x+ + +   ¡

Nên 4sin 2x cos 2x 17 2 2sin 2x 5cos 2x 2m 15

3cos 2x sin 2x m 1

15 29

29 2m 15 m

2

+

  −   (loại)

Vậy 10 1 m 15 29

2

−

−   là những giá trị cần tìm

Bài 8 Ta có: cos 2x cos 2y 2 sin(x y)+ + + = 2 sin x sin y2 + 2 =sin(x y)+

Suy ra: x y

2

 + =

Áp dụng bđt:

a b (a b)

m n m n

+ + 

+ Suy ra: ( )2

sin x sin y 2

P

x y

+

+  Đẳng thức xảy ra x y 4



 = =

Do đó: min P =2



Bài 9 Ta có y ksin x 1 ycos x ksin x 2y 1 0

cos x 2

+

+

y k (2y 1) 3y 4y 1 k 0

 +  −  − + −  2 3k2 1 y 2 3k2 1

Yêu cầu bài toán

2

2

2 3k 1

1 5 3k 1 3

  −   +  k 2 2

Đặt t=cos 2x  −t  1;1

Ta có phương trình f(t)=t2−4t= −4m 3−

Bảng biến thiên

t − 1 1

f(t)

5

3−

Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm

3 4m 3 5 2 m 0

 −  − −   −  

Bài 9: Phương trình 2mcos x cosx m 02 + − =

Đặt t=cos x, t − 1;1 ta có phương trình

2

2mt + −t m 0=

• m 0=  = là nghiệm phương trình t 0

• m 0 ta thấy phương trình luôn có hai nghiệm t ,t1 2 và t t1 2 1

2

=  trong hai nghiệm luôn có một nghiệm thuộc − 1;1