[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 1 - Dao động cơ sở

[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở[HCMUT - BÁCH KHOA] Bài tập lớn 2 - Dao động cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÀI TẬP LỚN MÔN : DAO ĐỘNG CƠ SỞ GIẢNG VIÊN : GS TS Ngô Kiều Nhi

TS Lê Dương Hùng Anh

1

Thành phố Hồ Chí Minh – 2024

a Find the equations of motion.

Vậ

t Chuyển động

Tọa độ suy rộng

Quan hệ động

học Động năng

1 Tịnh tiến y

θ= 2 y l

1

2.2 m ´y

2

2 J z ´θ2

T =1

2 J z ´θ2+1

2.2m ´y

2

=1

2 J z ´θ2+1

2.2 m.

´ (θ ¿l

2)

2

=1

2(J z+m l

2

2)´θ2

=1

2m eq ´θ2

¿

¿>m eq=J z+m l

2

2=m.

l2

3+m.

l2

l2

6

2(sinθθ−sin θ0)=mg l

2θ

lx k 1

V lxk 1=k

2λ1 2

λ1=lθ=¿V lxk 1=k

2(lθ)

2

lx k 2

V lxk 2=k

2λ2 2

λ2=l

2θ=¿V lxk 2=

k

2(

l

2θ)

2

Biểu thức thế năng toàn hệ: V = 3

2mglθ+

k

2(lθ )

2

+k

2(

l

2θ)

2

Sử dụng điều kiện thế năng cực tiểu tại VTCB:

(∂ v ∂ θ)VTCB=(∂ v ∂ θ)θ=0=0=¿3

2mgl=0

V =1

2(k5

4l

2

)θ2=1

2k tt θ2 d

dt(∂ ´q ∂T i)−∂ T

∂ q i+

∂ V

∂ q i=Q i R

Trong trường hợp này: n=1, q i=θ

δ A F=F c s2=−c ´x x=−c l

2´θ l

l2

4´θ θ

=>QR=−c l2

4´θ=−c tt ´θ

Ta thu được: J tt ´θ+c tt ´θ+k tt θ=0

J tt=5

6ml

2

c tt=1

4c l

2

k tt=5

4k l

2

ω nθ=√k tt

J tt=√ 5 k l4 2

5 m l2

6

=√2 m 3 k =15,811(

rad

s )

ζ = c tt

2√J tt k tt=

c l2

4

2√5 k l2

4

5 ml2

6

2√50 km=7,91 ×10

−4

ω d=ω nθ√1−ζ2=15,805rad

s

θ (t )=e−ζ w nθ t

(Acos w d t+Bsinθ w d t)

θ (0)=A=0

´θ (0)=−ζ ω nθ A+ ω d B= 10 rad

s =¿B=0,632

θ (t )=0,632 e−0,0125tsin ⁡(15,805 t)

a Find the equations of motion:

Vậ

t Chuyển động

Tọa độ suy rộng

Quan hệ động

học Động năng

1 Tịnh tiến y

θ= 2 y l

1

2 J z ´θ2

2 m ´y

2

T =1

2 J z ´θ2

+1

2 m ´y

2

=1

2 J z ´θ2

+1

2.m

´ (θ ¿l

2)

2

2(J z+m l2

4)´θ2

2m eq ´θ2

¿

¿>m eq=J0+m l

2

4=m.

l2

12+m

l2

4=m.

l2

3

2θ

lx k 1

V lxk 1=k

2λ1 2

λ1=l

2θ=¿V lxk 1=

k

2(

l

2θ)

2

lx k 3

V lxk 3=k

2λ3 2

λ3=l

2θ=¿V lxk 3=

k

2(

l

2θ)

2

Biểu thức thế năng toàn hệ: V = mg l

2θ +

k

2(

l

2θ)

2

+k

2(

l

2θ)

2

Sử dụng điều kiện thế năng cực tiểu tại VTCB:

(∂ v ∂ θ)VTCB=(∂ v ∂ θ)θ=0=0=¿1

2mgl=0

V =k

2(

l

2θ)

2

+k

2(

l

2θ)

2

=1

2(k

l2

2)θ

2

2k tt θ

2

d

dt(∂ ´q ∂T i)−∂ T

∂ q i+

∂ V

∂ q i=Q i

R

Trong trường hợp này: n=1, q i=θ

δ A F=F c s2=−c ´y y=−c l

2´θ l

l2

4 ´θ θ

=>QR=−c l

2

4´θ=−c tt ´θ

Ta thu được: J tt ´θ+c tt ´θ+k tt θ=0

J tt=1

3ml

2

c tt=1

4c l

2

k tt=1

2k l

2

ω nθ=√k tt

J tt=√ k l22

ml2

3

=√2m 3 k =6,1237 (

rad

s )

ζ = c tt

2√J tt k tt=

c l2

4

2√k l2

2

m l2

3

= c√6

8√km=7,65 ×10

−3

ω d=ω nθ√1−ζ2=6,1235rad

s

θ (t )=e−ζ w nθ t

(Acos w d t+Bsinθ w d t)

θ (0)=A=0

´θ (0)=−ζ ω nθ A+ ω d B= 10 rad

s =¿B=1,633

θ (t )=1,633 e−0,0468tsin ⁡(6,1235 t)

Vật Chuyển động suy rộng Tọa độ động học Quan hệ Động năng

l

2

1

2 J z ´θ2

2 m ´y

2

T =1

2 J z ´θ2+1

2 m ´y

2

=1

2 J z ´θ2+1

2.m

´ (θ ¿l

2)

2

2(J z+m l

2

4)´θ2

2m eq ´θ2

¿

¿>m eq=J z+m l

2

4=m.

l2

12+m.

l2

4=m

l2

3

2(sinθθ−sin θ0)=mg l

2θ

lx k 1

V lxk 1=k

2λ1 2

λ1=l

2θ=¿V lxk 1=

k

2(

l

2θ)

2

lx k 2

V lxk 2=k

2λ2

2λ2

λ2=l

2θ=¿V lxk 2=k

2(

l

2θ)

2

Biểu thức thế năng toàn hệ: V = mg l

2θ +

k

2(

l

2θ)

2

+k

2(

l

2θ)

2

Sử dụng điều kiện thế năng cực tiểu tại VTCB:

(∂ v ∂ θ)VTCB=(∂ v ∂ θ)θ=0=0=¿1

2mgl=0

V =k

2(

l

2θ)

2

+k

2(

l

2θ)

2

=1

2(k

l2

2)θ

2

2k tt θ

2

d

dt(∂ ´q ∂T i)−∂ T

∂ q i+

∂ V

∂ q i=Q i

R

Trong trường hợp này: n=1, q i=θ

δ A F=F c s2=−c ´y y=−c l

2´θ l

l2

4 ´θ θ

=>QR=−c l

2

4´θ=−c tt ´θ

Ta thu được: J tt ´θ+c tt ´θ+k tt θ=0

J tt=1

3ml

2

c tt=1

4c l

2

k tt=1

2k l

2

ω nθ=√k tt

J tt=√ k l22

ml2

3

=√2m 3 k =18,7083(

rad

s )

ζ = c tt

2√J tt k tt=

c l2

4

2√k l2

2

m l2

3

= c√6

8√km=3,34 × 10

−3

ω d=ω nθ√1−ζ2=18,7rad

s

θ (t )=e−ζ w nθ t

(Acos w d t+Bsinθ w d t)

θ (0)=A=0

´θ (0)=−ζ ω nθ A+ ω d B= 15 rad

s =¿B=0,8

θ (t )=0,8 e−0.0625 tsin ⁡(18.7 t)

Vật Chuyểnđộng Tọa độ suyrộng động họcQuan hệ Động năng

l

2

1

2 J z ´θ2

2.2 m ´y

2

T =1

2 J z ´θ2

+1

2.2m ´y

2

=1

2 J z ´θ2

+1

2.2 m.

´ (θ ¿l

2)

2

=1

2(J z+m l2

2)´θ2

=1

2m eq ´θ2

¿

¿>m eq=J z+m l

2

2=(m

l2

12+m

l2

4)+m

l2

2=

5 ml2

6

2(sinθθ−sin θ0)=mglθ

2(sinθθ−sin θ0)=mg l

2θ

lx k 1

V lxk 1=k

2λ1 2

λ1=3 l

4 θ=¿V lxk 1=

k

2(

3 l

4 θ)

2

Biểu thức thế năng toàn hệ: V = mglθ+mg l

2θ+

k

2(

3l

4 θ)

2

Sử dụng điều kiện thế năng cực tiểu tại VTCB:

(∂ v ∂ θ)VTCB

=(∂ v ∂ θ)θ=0

=0=¿mgl+mg l

2=0

V = k

2(

3 l

4 θ)

2

=1

2(k 9

16l

2

)θ2=1

2(k tt)θ2 d

dt(∂ ´q ∂T i)−∂ T

∂ q i+

∂ V

∂ q i=Q i

R

Trong trường hợp này: n=1, q i=θ

δ A F=F c s2=−c ´y y=−c l

2´θ l

l2

4 ´θ θ

=>QR=−c l2

4´θ=−c tt ´θ

Ta thu được: J tt ´θ+c tt ´θ+k tt θ=0

J tt=5

6ml

2

c tt=1

4c l

2

k tt= 9

16k l

2

ω nθ=√k tt

J tt=√ 9 k l162

5 m l2

6

=√40 m 27 k=7,348(

rad

s )

ζ = c tt

2√J tt k tt=

c l2

4

2√9 k l2

16

5 ml2

6

√30√km=8,16 ×10

−3

ω d=ω nθ√1−ζ2=7,35rad

s

θ (t )=e−ζ w nθ t

(Acos w d t+Bsinθ w d t)

θ (0)=A= π

6

´θ (0)=−ζ ω nθ A+ω d B= 0 rad

s =¿B=4,27.10

−3

Bài 5:

i Thế năng

lx k 1

V lxk 1=k

2λ1 2

λ1=rθ=¿V lxk 1=k

2(rθ)

2

Biểu thức thế năng toàn hệ: V = −mg 2rθ + k

2(rθ)

2

Sử dụng điều kiện thế năng cực tiểu tại VTCB:

(∂ v ∂ θ)VTCB=(∂ v ∂ θ)θ=0=0=¿−mg 2 r=0

V = k

2(rθ )

2

=1

2(k r

2

)θ2=1

2k tt θ2

Lập phương trình Lagrange tổng quát:

d

dt(∂ ´q ∂T i)−∂ T

∂ q i+

∂ V

∂ q i=Q i R

Trong trường hợp này: n=1, q i=x

δ A F=F c s2=−c ´x x

=>Q R=−c ´x=−c tt´x

Ta thu được:

J tt´x+ c tt´x +k tt x=0

m tt=mc tt=c k tt=k

4

ω nθ=√k tt

m tt=√4 m k =

3

2(

rad

s )

ζ = c tt

2√m tt k tt=

c

√mk=

12

s1=(−ζ +√ζ2−1 ωnθ)=−4+1.5√15

s2=(−ζ −√ζ2−1 ωnθ)=−4−1.5√15

C1=q0ω nθ(ζ +√ζ2−1)+ ´q0

(4 +1.5√15)1.5 x0

3√15

C2=−q0ω nθ(ζ−√ζ2−1)− ´q0

−(4−1.5√15)1.5 x0

3√15

q (t )=C1e s1t

+C2e s2t

Bài 6:

a Find the governing equations of motion:

Vậ

t Chuyển động

Tọa độ suy rộng

Quan hệ động học Động năng

i Thế năng

2θ

lx k 2

V lxk 2=k

2λ2 2

λ2=rθ

2 =¿V lxk 2=

k

2(

rθ

2 )

2

lx k 3

V lxk 3=k

2 λ3 2

λ3=rθ=¿V lxk 3=k

2(rθ)

2

Biểu thức thế năng toàn hệ: V = −mg r

2θ+mgrθ+

k

2(rθ)

2

+k

2(

rθ

2 )

2

Sử dụng điều kiện thế năng cực tiểu tại VTCB:

(∂ v ∂ θ)VTCB=(∂ v ∂ θ)θ=0=0=¿−mg r

2+mgr=0

V = k

2(rθ )

2

+k

2(

rθ

2 )

2

=1

2(54k r

2

)θ2

=1

2(k tt)θ

2

Lập phương trình Lagrange tổng quát:

dt(∂ ´q ∂T i)−∂ T

∂ q i+

∂ V

∂ q i=Q i R

Trong trường hợp này: n=1, q i=θ

δ A F=F c x2=−c ´x2 x2=−c r

2´θ r

r2

4 ´θ θ

=>QR=−c r

2

4 ´θ=−c tt ´θ

Ta thu được:

J tt ´θ+c tt ´θ+k tt θ=0

J tt=7

4mr

2

c tt=1

4c r

2

k tt=5

4k r

2

ω nθ=√k tt

J tt

=√5 k

7 m(

rad

s )ζ =

c tt

2√J tt k tt=

c r2

4

2√7 k r2

4

5 m r2

4

2√35√km

ω d=ω nθ√1−ζ2

=√7 m 5 k √1−(2√35c√km)2(rad

s )

Giảm chấn tới hạn:

ζ =1⇒ c c=2√35 km

Bài 7:

Vật Chuyển Tọa độ suy Quan hệ Động năng

Biểu thức thế năng toàn hệ: V = mg 2rθ + k

2(rθ)

2

Sử dụng điều kiện thế năng cực tiểu tại VTCB:

(∂ v ∂ θ)VTCB

=(∂ v ∂ θ)θ=0

=0=¿mg2 r=0

V =1

2( kr )θ

2

2(k tt)θ2

Lập phương trình Lagrange tổng quát:

d

dt(∂ ´q ∂T i)−∂ T

∂ q i+

∂ V

∂ q i=Q i R

Trong trường hợp này: n=1, q i=x

δ A F=F c s2=−c ´x x

=>Q R=−c ´x=−c tt´x

Ta thu được:

J tt´x+c tt´x +k tt x=0

m tt=mc tt=c k tt=k

4

ω nθ=√k tt

m tt=√4 m k =

3

2(

rad

s )

ζ = c tt

2√m tt k tt=

c

√mk=

12

s1=(−ζ +√ζ2−1 ωnθ)=−4+1.5√15

s2=(−ζ −√ζ2−1 ωnθ)=−4−1.5√15

C1=q0ω nθ(ζ +√ζ2−1)+ ´q0

(4 +1.5√15)1.5 x0

3√15

C2=−q0ω nθ(ζ−√ζ2−1)− ´q0

−(4−1.5√15)1.5 x0

3√15

q (t )=C1e s1t

+C2e s2t

Vật Chuyển động suy rộng Tọa độ động học Quan hệ Động năng

r

2

1

2 J z ´θ2

2 m ´y

2

T =1

2 J z ´θ2+1

2 m ´y

2

=1

2 J z ´θ2+1

2.m

´ (θ ¿r

2)

2

2(J0+m r

2

4 )´θ2

=1

2m eq ´θ2

¿

¿>m eq=J0+m r2

1

2m(r

2

+(2r)2)+m r2

7 mr2

8

2(sinθθ−sin θ0)=mg r

2θ

lx k 1

V lxk 1=k

2λ1 2

λ1=r

2θ=¿V lxk 1=k

2(

r

2θ)

2

lx k 2

V lxk 2=k

2λ2 2

λ2=rθ=¿V lxk 2=k

2(rθ)

2

V =12(k5

4l

2

)θ2

=1

2(k tt)θ2

Biểu thức thế năng toàn hệ: V = mgr

2θ +

k

2(

r

2θ)

2

+k

2(rθ)

2

Sử dụng điều kiện thế năng cực tiểu tại VTCB:

(∂ v ∂ θ)VTCB=(∂ v ∂ θ)θ=0=0=¿mg r

2=0

V =12(k 5

4l

2

)θ2=1

2(k tt)θ2

Lập phương trình Lagrange tổng quát:

d

dt(∂ ´q ∂T i)−∂ T

∂ q i+

∂ V

∂ q i=Q i R

Trong trường hợp này: n=1, q i=θ

δ A F=F c s=−c ´x x=−c r

2 ´θ r

r2

4 ´θθ

=>QR=−c r

2

4 ´θ=−c tt ´θ

Ta thu được:

J tt ´θ+c tt ´θ+k tt θ=0

J tt=7

8mr

2

ctt=1

4c r

2

k tt=k1

2 (

r

2)

2

+k2

2 (r )

2

ω nθ=√k tt

J tt=√k1

2 (

1

2)

2

+k2

2 (1)

2

7

=(rad

s )

ζ = c tt

2√J tt k tt=

c r2

4

2√7

8m r

2

(k1

2 (

r

2)

2

+k2

2 (r )

2

)

ω d=ω nθ√1−ζ2

=

√k1

2 (

1

2)

2

+k2

2 (1)

2

7

8m √1−(2√35c√km)2(rad

s )