hệ phương trình 63 108

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CHUNG I Định nghĩa:

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn là hệ có dạng

(1) (2)

ax by ca x b y c

    

Trong đó , , , , , a b c a b c là các số thực cho trước, x và y là ẩn số.+ a và b ; không đồng thời bằng 0, a và b ; không đồng thời bằng 0

 trong đó: a1, b 5, c0, 'a  5, ' 3, ' 1b  c   5

II, Nghiệm của hệ phương trình

* Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung ( ; )x y thì 00 ( ; )x y được gọi là một 00

nghiệm của hệ (I).

* Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

III Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tậphợp nghiệm.

Vậy ( ; ) ( 1 ; 2)x y  là nghiệm của hệ phương trình

Vậy:x y;   2; 1 là nghiệm của hệ phương trình

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 64 PHONE + ZALO 0983 265 289

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình: x2  y 5 xy 50

 

  

3x + y = 9

Bài tập 9 Giải các hệ phương trình

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 66 PHONE + ZALO 0983 265 289

a) 3x4y5 b) x y 3 c) 4x y 5

Bài tập 10 Giải các hệ phương trình

a)

x yx y

 

x yx y

Bài tập 18 Giải các hệ phương trình

Bài tập 21 Giải các hệ phương trình

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 68 PHONE + ZALO 0983 265 289

a) x2y5 b) x 2y4 c) 4x 6y10

Bài tập 22 Giải các hệ phương trình

10 0

xyx y

Bài tập 23 Giải các hệ phương trình

 

 

x yx y

Bài tập 31 Giải các hệ phương trình

a)

323 3

Bài tập 30 Giải các hệ phương trình

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 70 PHONE + ZALO 0983 265 289

x y

2 Hệ biến đổi được về dạng cơ bản.Bài 1 Giải các hệ phương trình



DẠNG 2.

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤI PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1 Tìm ĐKXĐ (Nếu có)

Bước 2 Phát hiện những biểu thức giống nhau hoặc biến đổi các biểu thức của

từng phương trình (nếu cần) để xuất hiện các biểu thức giống nhau

Bước 3 Đặt ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản.

Bước 4 Giải hệ pt với ẩn mới Từ đó tìm nghiệm của hệ.II CÁC VÍ DỤ

 

u v

 

 

Từ đó ta có:

 

 

a ba b

+ Giải hệ phương trình này ta được

1 02 0 

 

b (thỏa mãn điều kiện).

+ Với

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 74 PHONE + ZALO 0983 265 289

y

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y  ;  – 2; –1

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 76 PHONE + ZALO 0983 265 289

Dạng 2.1 Đặt được ẩn phụ ngay Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:

128 15

  

 

  

 

 

 

Bài 8 Giải các hệ phương trình sau:



Bài 9 Giải các hệ phương trình sau:

 

 

  



a)

2 1 121

 

 

x yx yx y

Bài 17 Giải các hệ phương trình sau:

Bài 18 Giải các hệ phương trình sau:

 

 

1 02

c)

Bài 24 Giải các hệ phương trình

Bài 25 Giải các hệ phương trình

Bài 26 Giải các hệ phương trình

Bài 28 Giải các hệ phương trình

a) 1

Bài 29 Giải các hệ phương trình

Bài 31 Giải các hệ phương trình

a) 1

y xx

y x

Bài 32 Giải các hệ phương trình

b)

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 84 PHONE + ZALO 0983 265 289

Bài 33 Giải các hệ phương trình

c)

 

 



Bài 41 Giải các hệ phương trình

x yx yx y

b) 2

1 53

 

 

xx y

xx y

Bài 43 Giải các hệ phương trình

a) 2

1 02

 

 

| 3 2 | 31

c) 1

2 32

 

 

yx y

yx y

Bài 46 Giải các hệ phương trình

a)

Bài 47 Giải các hệ phương trình

 

 

Dạng 2.2 Biến đổi để đặt ẩn phụ Bài 1 Giải các hệ phương trình

Bài 5 Giải các hệ phương trình

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 88 PHONE + ZALO 0983 265 289

+ Thay giá trị tìm được để tìm nghiệm của hệ.

Dạng 2 Hệ phương trình biến đổi về cơ bản

+ Tìm ĐKXĐ nếu cần

+ Biến đổi phương trình có chứa ẩn ở mẫu để được phương trình đa thức

+ Dùng phương pháp cộng để làm mất biểu thức xy Khi đó ta được một hệ có

một phương trình dạng bậc nhất 2 ẩn.+ Áp dụng phương pháp thế để giải tiếp…

Ta có:

thế vào (2) ta được

5 3

2

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình:

  

Dạng 3.2 Hệ phương trình biến đổi về cơ bản

Bài 1 Giải các hệ phương trình

(Đề tuyển sinh Nam Định các năm: 11-12) 12-13) 17-18)

Bài 2 Giải các hệ phương trình

1a)

6 (2 1) 2c)

x y



DẠNG 4.

HỆ CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Đặc điểm: Không áp dụng được các phương pháp cộng) đặt ẩn phụ Nếu dùng phương pháp thế sẽ có số mũ lớn.

Lời giảiTa có: x2(1 y) 4 y4  x2(1 y) 4 y 4 0

 

 Với x2 Ta có phương trình ( 2) 2y2  2 y2 2 Vô nghiệm, vì y2 0 với mọi y

 Với x2 Ta có phương trình 22y2  2 y2 2 Vô nghiệm) vì y2 0 với mọi y

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 94 PHONE + ZALO 0983 265 289

Vậy ( ; ) ( 1 ; 1 ) , ( ; ) ( 1 ; 1 )x y  x y   là nghiệm của hệ phương trình

III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Giải hệ phương trình:

a)

xx xy yyy xy x

Bài tập 2: Giải hệ phương trình:

a) 2 2



HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

I ĐỊNH NGHĨA Là hệ chứa hai ẩn , x y mà khi ta thay đổi vai trò , x y cho nhau thì hệ

phương trình không thay đổi.

II CÁCH GIẢI

Bước 1: Đặt x y S  và xy P với S2 4P ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn , S P

Bước 2: Giải hệ mới tìm , S P Chọn , S P thoả mãn S24P.

Bước 3: Với S) P tìm được thì , x y là nghiệm của phương trình :



2  

 

aa b

Thay vào hệ (* ) tìm được nghiệm của hệ.

 

x y xya

1 0)

x y xyb

Bài tập 8 Giải các hệ phương trình sau:

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 98 PHONE + ZALO 0983 265 289

a) x y xy 84 b) 3x  xy3y 13

c)

Thế x bởi y (hoặc y bởi x ) vào 1 trong 2 phương trình còn lại được phương

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

3 8 (1) 3 8 (2)



với mọi ,x y nên (3) x y  0 xy

Thay vào (1) ta được:

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (0; 0) ; ( 11 ; 11 ) ; (- 11 ; - 11 )

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 100 PHONE + ZALO 0983 265 289

 

Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:

a)

x xy y

 

Bài tập 8 : Giải các hệ phương trình sau:



DẠNG 7.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAII ĐỊNH NGHĨA

II CÁCH GIẢI

+ Xét xem x  có là nghiệm của hệ phương trình không0

+ Nếu x  , ta đặt 0 y t x . rồi thay vào hai phương trình trong hệ

 

  

  

 

Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 102 PHONE + ZALO 0983 265 289

Bài tập 9 Giải các hệ phương trình sau:

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 104 PHONE + ZALO 0983 265 289

Hệ PT CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Hệ phương trình vô nghiệm

Vậy ( ; ) ( 5 ; 2 )x y  là nghiệm của hệ phương trình đã cho

- Có thể đặt ẩn phụ để đưa về một hệ khác đơn giản hơn.

- Dùng các quy tắc thế để đưa về phương trình đối lập, xét dấu 2 vế, sử dụng bất đẳng thức phụ, bổ đề

 

Bài tập 2: Giải các hệ phương trình:

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 106 PHONE + ZALO 0983 265 289

a) xy 2 x b) 2x  xy3y 4 c)x  4xy5y 5

HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

DẠNG 1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI GIÁ TRỊ CHO TRƯỚC CỦA THAM SỐ

1) Phương pháp: Thay giá trị của tham số vào 2 phương trình của hệ rồi vận dụng 2 phương pháp cơ

 Giải hệ phương trình khi m 5

Thay m  vào hệ phương trình đã cho ta được: 5

Vậy khi m  hệ phương trình đã cho có nghiệm: ( ; ) (2; 1)5 x y  

3) Bài tập vận dụng: Giải hệ phương trình:

a)

mx yx y

 m là tham sốVới giá trị nào của m để hệ có nghiệm ( 1; 3)

x by a

 có nghiệm: ( ; ) (2; 1)x y 

Hệ phương trình

x by a

 có nghiệm: ( ; ) (2; 1)x y 

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 108 PHONE + ZALO 0983 265 289

2.2b.1aa b 4 b6

Vậy a2; b thì hệ có nghiệm: ( ; ) (2; 1)6 x y 

3) Bài tập

Bài 1 Tìm các giá trị của a và b để hệ phương trình:

a) 23

x ay bx by a

b)

bx ay

d)

ax by

 có nghiệm: ( x ; y ) ( 3 ; 1) 

c) Hệ phương trình:

ax bybx ay

 có nghiệm

Bài 4 Tìm , a b biết hệ phương trình

ax bybx ay

 có nghiệm

Bài 5 Tìm , a b biết hệ phương trình

ax bybx ay

 có nghiệm 1

Bài 6 Tìm , a b biết hệ phương trình

 có nghiệm

Bài 7 Tìm , a b biết hệ phương trình

ax bybx ay

 có nghiệm

Bài 8 Tìm , a b biết hệ phương trình

ax bybx ay

 có nghiệm

Bài 9 Tìm , a b biết hệ phương trình

 có nghiệm

Bài 10 Tìm , a b biết hệ phương trình

 có nghiệm

Bài 11 Tìm , a b biết hệ phương trình

ax bybx ay

 có nghiệm

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 110 PHONE + ZALO 0983 265 289

Bài 12 Tìm , a b biết hệ phương trình bx 2ay3 có nghiệm y1

DẠNG 3 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CHỨA THAM SỐ1 Định nghĩa:

Là phương trình có dạng ax b  với , 0 a b R và a  0

2 Giải và biện luận phương trình ax b  0  1

Nếu a  : Phương trình 0  1 trở thành 0x b  0

 Với b  phương trình nghiệm đúng với mọi x   0

 Với b  phương trình vô nghiệm.0

Nếu a  : Phương trình 0  1 có nghiệm duy nhất x ba

Lưu ý: Phương trình ax b  có nghiệm 0

aa b

Phương trình ax b  vô nghiệm 0

 

Vậy, m  , phương trình vô nghiệm3

m  phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình (m2 4)x m   với m là tham số2 0

Lời giải

Ta có: (m2 4)x m   2 0 (m2 4)x m  2+ Nếu m2 4 0  m 2

Với m  , phương trình đã cho trở thành: 0.2 x  Phương trình có vô số nghiệm0Với m  , phương trình đã cho trở thành: 0.2 x  Phương trình vô nghiệm4

+ Nếu m2 4 0  m Phương trình có nghiệm duy nhất 2

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 112 PHONE + ZALO 0983 265 289

m  phương trình có nghiệm duy nhất

0.x 0, phương trình có vô số nghiệm

+ Nếu 2m 4 0  m thì phương trình có nghiệm 2 x  1

Kết luận: m  Phương trình có vô số nghiệm2

m  Phương trình có nghiệm duy nhất 2 x  1

Bài tập 2 Giải và biện luận phương trình m mx  1 9x với m là tham số.3

Lời giải

Phương trình tương đương với m2 9x m 3.Nếu m2 9 0  m :3

Khi m  thì phương trình trở thành 0.3 x  , phương trình vô nghiệm.6

Khi m  thì phương trình trở thành 0.3 x  , phương trình có vô số nghiệm 0

Nếu m2 9 0  m phương trình có nghiệm duy nhất 3

 Kết luận: m  Phương trình vô nghiệm.3

m  Phương trình có vô số nghiệm3

m 3. Phương trình có nghiệm

+ Khi m  thì phương trình trở thành 03 x  , phương trình vô nghiệm.5

+ Khi m  thì phương trình trở thành 02 x  , phương trình có vô số nghiệm.0

 thì phương trình có nghiệm



Kết luận:m 3. Phương trình vô nghiệm

m  Phương trình có vô số nghiệm2

m  và 3 m  Phương trình có nghiệm 2



TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 114 PHONE + ZALO 0983 265 289

Bài tập 4 Giải và biện luận phương trình (m1)x(3m  1)x m  với m là tham số.1

Lời giải

Phương trình tương đương với (3m2 m 2)x 1 m.Nếu 3m2 m 2 0  m hoặc 1

m 

thì phương trình trở thành

, phương trình có nghiệm 2

thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài tập 6 Tìm m để các hệ phương trình sau vô nghiệma) m2 m x 2x m21

 

 hay

2 0

21 0

Vậy với m 2 thì phương trình vô nghiệm.

b) Phương trình tương đương  (m21)x m 3 3m2.

Để phương trình vô nghiệm

 

 hay

Vậy với m 1 thì phương trình vô nghiệm.

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 116 PHONE + ZALO 0983 265 289

Bài tập 1 Giải và biện luận hệ phương trình :

Bài tập 4 Giải và biện luận hệ phương trình :

x my m

Bài tập 5 Giải và biện luận hệ phương trình :

x y



Bài tập 16 Giải và biện luận hệ phương trình : 2

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 118 PHONE + ZALO 0983 265 289

II GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH1) Phương pháp giải:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x (hoặc x theo y ) rồi thế vào phương trình thứ hai

để được phương trình bậc nhất đối với x hoặc y

Bước 2: Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax b (1)

+ Nếu a  phương trình (1) trở thành 0

- Nếu b 0thì hệ có vô số nghiệm

- Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm

+ Nếu a  thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất 0bx

Thay vào biểu thức của x ta tìm y , lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

2) Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:

mm  )

 Nếu m 2 thì Phương trình (3) thỏa mãn với mọi x , khi đó y mx  2m2x 4

Hệ có vô số nghiệm x , 2x  4 với mọi x R Nếu m  thì (3) trở thành02 x  Hệ vô nghiệm4

Vậy: - Nếu m  thì hệ có nghiệm duy nhất: 2 x y = (,  2 23

mm  )

- Nếu m  thì hệ có vô số nghiệm 2 x , 2x  4với mọi x R- Nếu m  thì hệ vô nghiệm2

Chú ý: dạng bài này tương đương với “Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng cópt của hệ” hoặc “Tìm điều kiện để 2 đường thẳng có phương trình của hệ song song) cắt nhau) trùng nhau”

Ví dụ 2 Cho hệ phương trình:

( 1) 2 (1) (2)

mx y m

a) Giải hệ phương trình khi m 2

b) Xác định giá trị của m để hệ pt (1) có nghiệm duy nhất ( ; )x y thỏa mãn:2 3x y5

Lời giải

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 120 PHONE + ZALO 0983 265 289

Từ phương trình (1) ta có : thế vào phương trình (2) ta được: mx(m 1)x 2m

Bài tập 4 Giải và biện luận hệ phương trình :

x my m

Bài tập 5 Giải và biện luận hệ phương trình :

x y



Bài tập 8 Giải và biện luận hệ phương trình :

mx yx y

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 122 PHONE + ZALO 0983 265 289

Bài tập 9 Giải và biện luận hệ phương trình :

x mymx y

Bài tập 15 Giải và biện luận hệ phương trình :

Bài tập 16 Giải và biện luận hệ phương trình : 2

Bài tập 17 Giải và biện luận hệ phương trình :



Bài tập 24 Giải và biện luận hệ phương trình :

2x 3my 5

mx y m

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 124 PHONE + ZALO 0983 265 289

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚCI PHƯƠNG PHÁP

- Bước 1 Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm- Bước 2 Áp dụng phương pháp thế tìm nghiệm của hệ- Bước 3 Thay , x y vào biểu thức có chứa điều kiện- Bước 4 Giải điều kiện, tìm giá trị của tham số

- Bước 5 Đối chiếu điều kiện, kết luận về giá trị của tham số

II VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hệ phương trình

3 (1)2 3 (2)

x y

Từ phương trình (1) ta có: y x 3 Thay vào phương trình (2) ta được2x x  3 3 m 3x3m 3 x m 1

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m

Từ phương trình (1) ta có: y x 4 Thay vào phương trình (2) ta được2x (x 4) 2 m 5 x 4 2m 5 x2m1

m 

Ta có: 2 1



Ví dụ 5 Cho hệ phương trình

1 (1)1 (2)

x yx my m

 

Với m  Ta có: 1

Thay vào phương trình (1) ta được

(m 1)x m x m (2   5) 3 m 1 (m1)x(m1)Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m  1 0 m1

Ta có:

( 1)

11

III BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1 Cho hệ phương trình

  

 ( m là tham số)

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( , )x y thỏa mãn ,x y cùng nguyên

Bài tập 2 Cho hệ phương trình

 ( m là tham số)

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( , )x y thỏa mãn 6 2 13x y

Bài tập 3 Cho hệ phương trình

Tìm giá trị của m nguyên để nghiệm duy nhất ( ; )x y sao cho x và y cùng nguyên.

Bài tập 4 Cho hệ phương trình

mx yx my

 ( m là tham số)

Tìm m để hệ phương tình có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn điều kiện x2; y 0

Bài tập 5 Cho hệ phương trình

 ( m là tham số).

a) Giải hệ phương trình với m  2

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn x2y2  5

Bài tập 6 Cho hệ phương trình 2

x ay

a) Giải hệ phương trình với a  1

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn 2

 ( m là tham số) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Khi đó, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài tập 8 Cho hệ phương trình

 ( m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m 1

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn x y 2

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 130 PHONE + ZALO 0983 265 289