hệ phương trình 63 108

 Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tich... Phát hiện những biểu thức giống nhau hoặc biến đổi các biểu thứ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CHUNG

I Định nghĩa:

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn là hệ có dạng

(1) (2)

+ a và b ; không đồng thời bằng 0, a và b ; không đồng thời bằng 0

II, Nghiệm của hệ phương trình

* Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung ( ; )x y thì 0 0 ( ; )x y được gọi là một 0 0

nghiệm của hệ (I)

* Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm

 Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó

III Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tậphợp nghiệm

IV Các phương pháp giải hệ phương trình

1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tich

Bước 1 Thực hiện các phép biến đổi cơ bản đưa hpt về dạng cơ bản (nếu cần)

Bước 2 Vận dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số giải hpt

Bước 3 Kết luận nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình: x2  y 5 xy 50

1 Giải hệ phương trình cơ bản

Bài tập 1 Giải các hệ phương trình

Bài tập 9 Giải các hệ phương trình

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 66 PHONE + ZALO 0983 265 289

a) 3x4y5 b) x y 3 c) 4x y 5

Bài tập 10 Giải các hệ phương trình

Bài tập 21 Giải các hệ phương trình

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 68 PHONE + ZALO 0983 265 289

a) x2y5 b) x 2y4 c) 4x 6y10

Bài tập 22 Giải các hệ phương trình

Bài tập 30 Giải các hệ phương trình

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 70 PHONE + ZALO 0983 265 289

2 Hệ biến đổi được về dạng cơ bản.

Bài 1 Giải các hệ phương trình

DẠNG 2.

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1 Tìm ĐKXĐ (Nếu có)

Bước 2 Phát hiện những biểu thức giống nhau hoặc biến đổi các biểu thức của

từng phương trình (nếu cần) để xuất hiện các biểu thức giống nhau

Bước 3 Đặt ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản.

Bước 4 Giải hệ pt với ẩn mới Từ đó tìm nghiệm của hệ.

Từ đó ta có:

116118

+ Với

12

+ Vậy x y ;   3 ; 2  là nghiệm của hệ đã cho.

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 74 PHONE + ZALO 0983 265 289

2 2

12

y

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y  ;  – 2; –1

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 76 PHONE + ZALO 0983 265 289

12

11

22

Bài 9 Giải các hệ phương trình sau:

13

11

a)

2 1 1

21

11

y x

Bài 18 Giải các hệ phương trình sau:

Bài 25 Giải các hệ phương trình

y x

Bài 26 Giải các hệ phương trình

y x

y x

y x

Bài 29 Giải các hệ phương trình

12

3

11

y x

Bài 32 Giải các hệ phương trình

b)

1311

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 84 PHONE + ZALO 0983 265 289

Bài 33 Giải các hệ phương trình

y x

c)

5

12

y x

Bài 41 Giải các hệ phương trình

12

y x

Bài 43 Giải các hệ phương trình

a)

2

1 02

c)4

y

c)

1

2 32

y y x

y

Bài 47 Giải các hệ phương trình

y x

Bài 5 Giải các hệ phương trình

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 88 PHONE + ZALO 0983 265 289

+ Thay giá trị tìm được để tìm nghiệm của hệ.

Dạng 2 Hệ phương trình biến đổi về cơ bản

+ Tìm ĐKXĐ nếu cần+ Biến đổi phương trình có chứa ẩn ở mẫu để được phương trình đa thức

+ Dùng phương pháp cộng để làm mất biểu thức xy Khi đó ta được một hệ có

Ta có:

2 2

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình:

11

Dạng 3.2 Hệ phương trình biến đổi về cơ bản

Bài 1 Giải các hệ phương trình

(Đề tuyển sinh Nam Định các năm: 11-12) 12-13) 17-18)

Bài 2 Giải các hệ phương trình

1a)

21

DẠNG 4.

HỆ CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Đặc điểm: Không áp dụng được các phương pháp cộng) đặt ẩn phụ Nếu dùng phương pháp thế sẽ

có số mũ lớn.

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI

+ Biến đổi một trong hai phương trình về phương trình tích

+ Xét các trường hợp Áp dụng phương pháp thế để giải tiếp

Vô nghiệm) vì y2 0 với mọi y

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 94 PHONE + ZALO 0983 265 289

Vậy ( ; ) ( 1 ; 1 ) , ( ; ) ( 1 ; 1 )x y  x y   là nghiệm của hệ phương trình

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

I ĐỊNH NGHĨA Là hệ chứa hai ẩn , x y mà khi ta thay đổi vai trò , x y cho nhau thì hệ

phương trình không thay đổi

II CÁCH GIẢI

Bước 1: Đặt x y S  và xy P với S2 4P ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn , S P

Bước 2: Giải hệ mới tìm , S P Chọn , S P thoả mãn S24P

Bước 3: Với S) P tìm được thì , x y là nghiệm của phương trình :

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

57

33

a a

b

Thay vào hệ (* ) tìm được nghiệm của hệ

Bài tập 8 Giải các hệ phương trình sau:

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 98 PHONE + ZALO 0983 265 289

a) x y xy 84 b) 3x  xy3y 13

c)

57

DẠNG 6.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

I ĐỊNH NGHĨA

Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x

và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại

II CÁCH GIẢI

Bước 1: Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn

Bước 2: Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích

Bước 3: Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x )

Thế x bởi y (hoặc y bởi x ) vào 1 trong 2 phương trình còn lại được phương

với mọi ,x y nên (3) x y  0 xy

Thay vào (1) ta được:

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (0; 0) ; ( 11 ; 11 ) ; (- 11 ; - 11 )

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 100 PHONE + ZALO 0983 265 289

a)

3

3

22

12

+ Xét xem x  có là nghiệm của hệ phương trình không0

+ Nếu x  , ta đặt 0 y t x . rồi thay vào hai phương trình trong hệ

3333

Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 102 PHONE + ZALO 0983 265 289

Hệ PT CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Hệ phương trình vô nghiệm

Vậy ( ; ) ( 5 ; 2 )x y  là nghiệm của hệ phương trình đã cho

DẠNG 9.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Phân tích) phát hiện đặc điểm của từng pt trong hệ) các biểu thức liên quan trong 2 phương trình

- Biến đổi từ một phương trình của hệ thành dạng tích hoặc đặc biệt) từ đó tìm được nghiệm này theo nghiệm kia để đưa về các hệ mới đơn giản hơn

- Có thể đặt ẩn phụ để đưa về một hệ khác đơn giản hơn

- Dùng các quy tắc thế để đưa về phương trình đối lập, xét dấu 2 vế, sử dụng bất đẳng thức phụ, bổ đề

x ta được

2 2

2 2

2

1

66

Bài tập 2: Giải các hệ phương trình:

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 106 PHONE + ZALO 0983 265 289

a) xy 2 x b) 2x  xy3y 4 c)x  4xy5y 5

HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

DẠNG 1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI GIÁ TRỊ CHO TRƯỚC CỦA THAM SỐ

1) Phương pháp: Thay giá trị của tham số vào 2 phương trình của hệ rồi vận dụng 2 phương pháp cơ

 Giải hệ phương trình khi m 5

Thay m  vào hệ phương trình đã cho ta được: 5

Vậy khi m  hệ phương trình đã cho có nghiệm: ( ; ) (2; 1)5 x y  

3) Bài tập vận dụng: Giải hệ phương trình:

2.2b.1a a b 4 b6

Vậy a2; b thì hệ có nghiệm: ( ; ) (2; 1)6 x y 

3) Bài tập

Bài 1 Tìm các giá trị của a và b để hệ phương trình:

a)

23

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

Bài 12 Tìm , a b biết hệ phương trình bx 2ay3 có nghiệm y1

DẠNG 3 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CHỨA THAM SỐ

1 Định nghĩa:

Là phương trình có dạng ax b  với , 0 a b R và a  0

2 Giải và biện luận phương trình ax b  0  1

Nếu a  : Phương trình 0  1 trở thành 0x b  0

 Với b  phương trình nghiệm đúng với mọi x   0

 Với b  phương trình vô nghiệm.0

Nếu a  : Phương trình 0  1 có nghiệm duy nhất x b a

Lưu ý: Phương trình ax b  có nghiệm 0

00

a b

+ Nếu m 3 0  m , phương trình đã cho trở thành 3

0.x  Phương trình vô nghiệm5

+ Nếu m 3 0  m , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 3

23

m x m





Vậy, m  , phương trình vô nghiệm3

3

m  phương trình có nghiệm duy nhất

23

m x m

x m



TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 112 PHONE + ZALO 0983 265 289

m  phương trình có nghiệm duy nhất

23

m x m

Kết luận: m  Phương trình có vô số nghiệm2

m  Phương trình có nghiệm duy nhất 2 x  1

Bài tập 2 Giải và biện luận phương trình m mx  1 9x  với m là tham số.3

Lời giải

Phương trình tương đương với m2 9x m 3

.Nếu m2 9 0  m :3

Khi m  thì phương trình trở thành 0.3 x  , phương trình vô nghiệm.6

Khi m  thì phương trình trở thành 0.3 x  , phương trình có vô số nghiệm 0

Nếu m2 9 0  m phương trình có nghiệm duy nhất 3

13

x m



 Kết luận: m  Phương trình vô nghiệm.3

m  Phương trình có vô số nghiệm3

m 3. Phương trình có nghiệm

13

x m

+ Khi m  thì phương trình trở thành 03 x  , phương trình vô nghiệm.5

+ Khi m  thì phương trình trở thành 02 x  , phương trình có vô số nghiệm.0

x m





Kết luận:m 3. Phương trình vô nghiệm

m  Phương trình có vô số nghiệm2

m  và 3 m  Phương trình có nghiệm 2

13

x m





TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 114 PHONE + ZALO 0983 265 289

Bài tập 4 Giải và biện luận phương trình (m1)x(3m  1)x m  với m là tham số.1

Lời giải

Phương trình tương đương với (3m2 m 2)x 1 m

Nếu 3m2 m 2 0  m hoặc 1

23

m 

:Khi m  thì phương trình trở thành 01 x  , phương trình có vô số nghiệm0

Khi

23

m 

thì phương trình trở thành

503

thì phương trình có nghiệm duy nhất

Bài tập 6 Tìm m để các hệ phương trình sau vô nghiệm

a b

Vậy với m 2 thì phương trình vô nghiệm

b) Phương trình tương đương  (m21)x m 3 3m2

Để phương trình vô nghiệm

00

a b

Vậy với m 1 thì phương trình vô nghiệm

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 116 PHONE + ZALO 0983 265 289

Bài tập 1 Giải và biện luận hệ phương trình :

Bài tập 16 Giải và biện luận hệ phương trình : 2

32

II GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1) Phương pháp giải:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x (hoặc x theo y ) rồi thế vào phương trình thứ hai

để được phương trình bậc nhất đối với x hoặc y

Bước 2: Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax b (1)

+ Nếu a  phương trình (1) trở thành 0

- Nếu b 0thì hệ có vô số nghiệm

- Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm

+ Nếu a  thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất 0

b x a



Thay vào biểu thức của x ta tìm y , lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

2) Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:



m

m  )

 Nếu m 2 thì Phương trình (3) thỏa mãn với mọi x , khi đó y mx  2m2x 4

Hệ có vô số nghiệm x , 2x  4 với mọi x R

 Nếu m  thì (3) trở thành02 x  Hệ vô nghiệm4

Vậy: - Nếu m  thì hệ có nghiệm duy nhất: 2 x y = (,  2 23

m m



m

m  )

- Nếu m  thì hệ có vô số nghiệm 2 x , 2x  4với mọi x R

- Nếu m  thì hệ vô nghiệm2

Chú ý: dạng bài này tương đương với “Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng có

pt của hệ” hoặc “Tìm điều kiện để 2 đường thẳng có phương trình của hệ song song) cắt nhau) trùng nhau”

Ví dụ 2 Cho hệ phương trình:

( 1) 2 (1)

(2)

b) Xác định giá trị của m để hệ pt (1) có nghiệm duy nhất ( ; ) x y thỏa mãn:2 3 x y5

Lời giải

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 120 PHONE + ZALO 0983 265 289

Từ phương trình (1) ta có : thế vào phương trình (2) ta được:

mx(m 1)x 2m(2m 1)x m 2 (3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  phương trình (3) có nghiệm duy nhất

12

Bài tập 8 Giải và biện luận hệ phương trình :

Bài tập 9 Giải và biện luận hệ phương trình :

Bài tập 24 Giải và biện luận hệ phương trình :

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

I PHƯƠNG PHÁP

- Bước 1 Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm

- Bước 2 Áp dụng phương pháp thế tìm nghiệm của hệ

- Bước 3 Thay , x y vào biểu thức có chứa điều kiện

- Bước 4 Giải điều kiện, tìm giá trị của tham số

- Bước 5 Đối chiếu điều kiện, kết luận về giá trị của tham số

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m

Từ phương trình (1) ta có: y x 3 Thay vào phương trình (2) ta được

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m

Từ phương trình (1) ta có: y x 4 Thay vào phương trình (2) ta được

m 

Ta có: 2 1

m y

x m

III BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1 Cho hệ phương trình

21

Bài tập 2 Cho hệ phương trình

Bài tập 3 Cho hệ phương trình

Tìm giá trị của m nguyên để nghiệm duy nhất ( ; )x y sao cho x và y cùng nguyên.

Bài tập 4 Cho hệ phương trình

Bài tập 5 Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình với m  2

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm ( ; ) x y thỏa mãn x2y2  5

Bài tập 6 Cho hệ phương trình 2

3a2

a) Giải hệ phương trình với a  1

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn 2

23

có nghiệm duy nhất Khi đó, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài tập 8 Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình khi m 1

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm ( ; ) x y thỏa mãn x y 2

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 130 PHONE + ZALO 0983 265 289

Bài tập 9 Cho hệ phương trình 2x y m  ( m là tham số)

Tìm giá trị của m nguyên sao cho hệ có nghiệm ( ; ) x y và x1, y1

Bài tập 10 Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình khi m 5

b) Với giá trị nào của m hệ có nghiệm ( ; ) x y thỏa mãn x y 7

Bài tập 11 Cho hệ phương trình

b) Tìm giá trị của m thỏa mãn 2x2 7y1

c) Tìm giá trị của m   để biểu thức

Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x y nhỏ nhất

Bài tập 13 Cho hệ phương trình

Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x2y2 13

Bài tập 14 Cho hệ phương trình  

a) Giải hệ phương trình khi m  2

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

c) Tìm GTNN của A x 2y2, trong đó ( ; )x y là nghiệm của hệ phương trình

Bài tập 15 Cho hệ phương trình

a) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm giá trị của m nguyên để A y  2x có giá trị nguyên

Bài tập 16 Cho hệ phương trình:

a) Tìm m để hệ có nghiệm có nghiệm duy nhất ( ; )x y thỏa mãn : x y  0

b) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn có nghiệm duy nhất: 2

a) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 132 PHONE + ZALO 0983 265 289

b) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm ( ; ) x y thỏa mãn : x y 5

Bài tập 18 Cho hệ phương trình :

a) Giải hệ phương trình với m  1

b) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x  và0 y  0

Bài tập 19 Cho hệ phương trình :

a) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm 2; 1 

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

c) Tìm giá trị của m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Bài tập 20 Cho hệ phương trình :

a) Giải hệ phương trình với a  2

b) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn : x0; y 0

c) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn : 2 x y  0

d) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm nguyên

Bài tập 21 Cho phương trình :

b) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm thỏa mãn 2x2 7y 1

c) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x y thuộc góc phần tư thứ II; 

d) Tìm hệ thức liện hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

e) Tìm các giá trị của m để biểu thức

a) Giải hệ phương trình với m  1

b) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm thỏa mãn x 3y 1

c) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm là các số nguyên

Bài tập 23 Cho hệ phương trình :

a) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x y   ;   1; 2

b) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm thỏa mãn x0; y 1

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 134 PHONE + ZALO 0983 265 289