bài 4 kshs và vẽ đồ thị lời giải

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 2

BÀI 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐA KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 Tìm tập xác định của hàm số.2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

- Tính đạo hàm y Tìm các điểm tại đó y bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.- Xét dấu y để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

- Tìm cực trị của hàm số.

-Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).- Lập bảng biến thiên của hàm số.

3 Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Chú ý Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tim giao điểm của đồ

thị với các trục tọa độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp) Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).

- Ta có: y 3x26x Vây y  khi 0 x 0 hoặc x 2.

- Trên khoảng (0; 2),y  nên hàm số đồng biến Trên các khoảng ( ;0)0   và (2; , ) y nên hàm 0

số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

- Hàm số đạt cực tiểu tại x 0, giá trị cực tiểu yCT  Hàm số đạt cực đại tại 4 x 2, giá trị cực đại0

3 Đồ thị (H.1.28):

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 4)

- Ta có y  0 x33x2 4 0  (x 2) (2 x1) 0  x hoặc 1 x 2 Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm ( 1;0) và (2;0) - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (1; 2)

Chú ý Đồ thị của hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a ( 0) :- Có tâm đối xứng là điểm có hoành độ thoả mãn y , hay 0 3

.- Không có tiệm cận.

Ví dụ 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x 3 2x22x 1

Lời giải

1 Tập xác định của hàm số:  2 Sự biến thiên:

- Ta có: y 3x2 4x Vây 2 y  với mọi 0 x  .

- Hàm số đồng biến trên khoảng (   ; )- Hàm số không có cực trị.

- Giới hạn tại vô cực:

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (1;0)

- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm

;3 27

3 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỐ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ

Trong mục này, ta sử dụng sơ đồ tổng quát ở Mục 1 để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàmphân thức hữu tỉ đơn giản.



Lời giải

1 Tập xác định của hàm số: \{2} 2 Sự biến thiên:

0( 2)

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm (2;1)I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phângiác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

- Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng;

- Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

 

Lời giải

1 Tập xác định của hàm số: \{2}

2 Sự biến thiên: Viết

y xx

  

- Trên các khoảng ( ;1) và (3; , ) y  nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này Trên các 0

khoảng (1; 2) và (2;3),y nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.0

- Hàm số đạt cực đại tại x 1 với yCÐ  ; hàm số đạt cực tiểu tại 1 x 3 với y  CT 5

 

 

Lời giải

1 Tập xác định của hàm số: \{ 1}  2 Sự biến thiên:

- Viết

y xx

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 2)

- Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;

- Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

B GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

1.21 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) yx33x ;1 b) y x 33x2 x 1

Lời giải

a) yx33x1

1 Tập xác định của hàm số là R.2 Sự biến thiên

+) y3x23;y  0 3x2  3 0 x hoặc 1 x  1+) Trên khoảng ( 1;1), y0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (  ; 1) và (1;), y0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x1, giá trị cực tiểu yCT  Hàm số đạt cực đại tại 1 x 1 , giá trị cực đạiCD

x .

x 

và đạt cực tiểu tại

3 2 33

.+) Giới hạn tại vô cực:

1.22 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)

2 11



Lời giải

a)

2 11

1 Tập xác định của hàm số là \{ 1} 2 Sự biến thiên

2( 1) (2 1) 10

1 Tập xác định của hàm số là \{1}.2 Sự biến thiên

1.23 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1 Tập xác định của hàm số là \{1}.2 Sự biến thiên

+) Trên các khoảng

2 10;

và đạt cực tiểu tại

2 102

1 11

1 Tập xác định của hàm số là \{ 3} 2 Sự biến thiên

+) Trên các khoảng (  ; 5) và ( 1; ),y0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.Trên các khoảng ( 5; 3)  và ( 3; 1),  y0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.+) Hàm số đạt cực đại tại x với 5 yCD  ; hàm số đạt cực tiểu tại 8 x1 với yCT  0.

2 11

3 Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là 10;

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là ( 1;0)

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-3; -4) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

1.24 Một cốc chứa 30ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100mg / ml.Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8mg / ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x(ml) từ bình chứa, kí hiệu là C x( ).

b) Coi C x( ) là hàm số xác định với x  Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.0

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml

xC x



+) Có 2 28(30 ) (3000 8 ) 2760

+) Hàm số giao với trục Oy tại điểm (0;100).

+) Hàm số đi qua điểm

120; ;(200;20)5

R RR

 (theo Vật Ií đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở 8 được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33 Nếu điện trở đó được ki hiệu là x ( ) thì điện trở tương đương R là hàm số của x Vẽ đồ thị của hàm số y R x x ( ), 0 và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8

     

Vậy y = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).+) Bảng biến thiên

a) Vì 264

     Bảng biến thiên:

o Nếu   ' 0 hàm số luôn giảm trên .

 Đồ thị: Vẽ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm của đồ thị với các trục tọađộ) Kết hợp với bảng biến thiên để biết “ dáng điệu” của đồ thị hàm số.

Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm bậc ba có bốn dạng sau đây:

y’ = 0 có 2nghiệm phân biệt

 y' 0( Có hai cực trị)

y’ = 0 vô nghiệmhoặc có nghiệm

  

 

( Không có cựctrị)

 

 

 Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệtĐồ thị hàm số có hai cực trị và các giá rị cực trị trái dấu nhau Đồ thị cắt Ox tại 2 điểm phân biệtĐồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên Ox

 Đồ thị cắt Ox tại 1 điểm  Hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị trái dấu  Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn Cho M C

I

b) Dựa vào đồ thị  C , biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m:

a)  C y: x33x1. Tập xác định D

'3331 , ' 0

kmm thì phương trình có hai nghiệm

 Nếu      1 k 3 1 m    1 3 2 m2 thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Chú ý: Để giải câu b) ta xét bài toán tổng quát sau: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của

phương trình f x m , 0

y = k

1

TH 1: f x m( , ) 0  f x( )m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

( ) :C yf x( ); d y m:

 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.

 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d Từđó suy ra số nghiệm của (1)

TH 2: f x m( , ) 0  f x( )g m( )

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g m( ) k Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.

Ví dụ 2 Cho hàm số yx33x21 có đồ thị  C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm M3;1.

a)  C :yx33x21. Tập xác định D.

'3632 , ' 0

2

b) Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M3;1 có dạng

' 3632 , ' 0

2

Hàm số đồng biến trên   ; 2 , 0;  và nghịch biến trên 2;0Hàm đạt cực tiểu tại x0,yCT 4, hàm đạt cực đại tại

1-2-1

Ví dụ 4 Cho hàm số y2x3 9x212x 4 có đồ thị là  Ca) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C

b) Tìm m để phương tròn sau có 6 nghiệm phân biệt 2x3 9x212x m

a)  C y: 2x3 9x212x 4 Tập xác định D

' 61812 632 , ' 0

Hàm số đồng biến trên  ;1 , 2;  và nghịch biến trên

;2 2

làm tâm đốixứng.

b) Ta có 2x3 9x212x m 2x3 9x212x  4 m 4

Gọi  C y: 2x3 9x212x 4 và  C' :y2x3 9x212x  4Ta thấy khi x0 thì C' : y2x3 9x212x 4.

Mặt khác đồ thị hàm số  C' là hàm số chẵn nên  C' nhận trục Oy làm trục đối xứng Từ đồ thị  C ta suy ra đồ thị  C' như sau:

 Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị  C phía bên phải trục Oy Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị phần 1 qua trục Oy

Đồ thị  C' là hợp cả hai phần 1 và 2 Số nghiệm của phương trình

0m4 1 4m5.

Lưu ý: Cho hàm số yf x  có đồ thị là (C)

Từ đồ thị  C ta có thể vẽ đồ thị hàm số (C’) :yf x 

như sauTa có C' : yf x  f x x ,0 (1)

Nhận thấy fxf x  

hàm số yf x 

là hàm số chẵn, do đó đồ thị sẽ đối xứng qua trục OyDo đó đồ thị  C' gồm 2 phần:

 Phần 1: là phần đồ thị của (C): y = f(x) nằm phía bên phải Oy ( x≥0 ) (do 1)

 Phần 2: là phần đồ thị lấy đối xứng phần 1 qua trục Oy vì hàm số chẵnVí dụ 5 a) Tìm các hệ số m n p, , sao cho hàm số  

1

a) Đường thẳng

cắt trục tung tại điểm

3 

Ta có f x' x22mx n . Vì  C tiếp xúc với đường thẳng

tại

Với các giá trị m n p, , vừa tìm được ta có hàm số  

'23, ' 0

3   

 Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn

làm tâm đối xứng.

Ví dụ 6 Cho hàm số yx33x29x1 có đồ thị  Ca) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C

-2

b) Tìm m để đường thẳng dm:y2m1x1 cắt  C tại ba điểm phân biệt A0; 1 , ,  B C sao cho82

'369, ' 0

b) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C và d là

 

 

a) Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với a1.

b) Xác định a để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị đối xứng qua đường thẳng y xc) Xác định ađể đường thẳng y x cắt đồ thị tại các điểm A B C, , với AB BC

a) Với a1 ta được  C y x:  3 3x24

Hàm số đồng biến trên  ;0 , 2;   và nghịch biến trên 0;2.Hàm đạt cực tiểu tại x2,yCT 0, hàm đạt cực đại tại x0,yCÑ 4. Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận

điểm uốn I1;2 làm tâm đối xứng.

đối xứng với điểm cực tiểu 2 ;0a  quađường thẳng

x

Ta có x x xA, B, C là nghiệm của phương trình

tại điểm uốn và M là điểm bất kì trên d Tùy theo vị trí của M, hãy biện

luận số tiếp tuyến của  C

+g(x)

Do đó   1 2 3 2,13

g x  mm

b) Với m 1 thì  C y f x:  x33x2 Tập xác định D 

 Đạo hàm y'3x2 33x21 , ' 0 y   x1 Đạo hàm cấp hai: y''6 , '' 0x y   x 0 y2 Giới hạn: lim; lim

     Bảng biến thiên:

+-∞

c) Phương trình tiếp tuyến với  C tại điểm uốn I0; 2 là:32

 

2 x

 Với x0 0 k 3, :y3x2. Với x00 thì hệ (I) có hai nghiệm

Vậy: M Ithì từ M kẻ được một tiếp tuyến với  C , ,

 Đạo hàm y' 3 x23 3 x21 , ' 0 y   x1 Đạo hàm cấp hai: y'' 6 , '' 0 x y   x 0 y1

 Giới hạn: lim   ; lim 

 Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên   ; 1 , 1;  và nghịch biến trên 1;1

Hàm đạt cực tiểu tại x1,yCT 1, hàm đạt cực đại tại x1,yCÑ3

 Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I0;1làm tâm đối xứng.

Giả sử I x y 0;0 là tâm đối xứng của  C Công thức đổi tọa độ

 

Vậy chỉ có một điểm uốn I0;1 là tâm đối xứng

b) Tọa độ điểm uốn I của Cm là y'' 0 6x 0 x 0 y m  2.Vậy điểm uốn I0;m 2 Tiếp tuyến tại điểm uốn I0;m 2 của Cm:

:2 12

Vậy điểm 1; 2  là điểm cố định của Cm

c) Giả sử M x y 0;0 là điểm không thuộc Cm, m

12 0

Lưu ý: Cho họ đường cong Cm có phương trình f x m ,  với m  Để tìm điểm mà họ Cm khôngthể đi qua ta làm như sau:

Giả sử M x y 0;0 là điểm không thuộc Cm, m Khi đóPhương trình y0f x m 0, (1) vô nghiệm đối với ẩn m

 nhóm theo bậc của m rồi tìm điều kiện để (1) vô nghiệm đối với ẩn m  x y0;0.

2 Bài tập rèn luyện

BT 1 Cho hàm số

3x  x  x m 

Hướng dẫn

a) Học sinh tự làm.b)

: phương trình có 1 nghiệm.

 m9 hoặc 53

.b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị.

BT 3 a) Tìm các hệ số a b c, , sao cho đồ thị hàm số f x x3ax2bx c cắt trục tung tại điểm có tungđộ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y1 tại điểm có hoành độ là 1.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với các giá trị vừa tìm được của a b c, ,

Hướng dẫn

a) Dễ thấy c2 Vì đồ thị hàm số cần tìm đi qua điểm 1;1 nên f1  1 a b 2 1. Do đó a b Vì đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y1 tại điểm có hoành độ là 1 nên f' 1  3 2a b 0.b) Học sinh tự làm

BT 4.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

x  x  x

có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệmnhỏ hơn

 

nên 210;

2 

kk thì phương trình đã cho có hai nghiệm Nếu k  2 2 k0thì phương trình đã cho có ba nghiệm.        2 k 2 24 k 0thì phương trình đã cho có bốn nghiệm.

c) Gọi A0;2 và B2; 2  là hai điểm cực trị của  C

Tam giác MAB cân tại M  MA MB và M A B, , không thẳng hàng.

b) Tìm tất cả các giá trị tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;c) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y9x 3.

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu có hoành độ lớnhơn

Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn 16

' 0

 y  có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 16

Phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt

4 3 34 3 3  

 

' 3107, ' 0 73

 

Hàm số đồng biến trên 7;1 ,;

516;327

Dựa vào đồ thị ta thấy Nếu 3a  3 a 1

thì phương trình vô nghiệm. Nếu 3a 3 a1

thì phương trình có 6 nghiệm. 3a 0 a0 thì phương trình có 4 nghiệm.

 3a 0 a0 thì phương trình có 2 nghiệm.

BT 9 Cho hàm số y x 32mx2m3x4 có đồ thị là Cm

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C1 của hàm số trên khi m1.

b) Cho d có phương trình y x 4 và điểm K1;3 Tìm các giá trị của tham số m sao cho d cắt Cm

tại ba điểm phân biệt A0;4, B C, sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

(0)2 0

        

  

cắt đường thẳng y 1 tại 3 điểm phân biệt C0;1

, D E, sao cho các tiếp tuyến của Cm

tại D và E vuông góc với nhau.

Hướng dẫn

b) Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và đường thẳng y 1 là:

30 (2)

   

9  

  

x x

Lúc đó tiếp tuyến tại D E, có hệ số góc lần lượt là:

1 9 658

1 9 658

o Nếu ad bc 0 hàm số đồng biến trên D.

o Nếu ad bc 0 hàm số nghịch biến trên D.

 Bảng biến thiên:

 Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

2 Một số tính chất thường gặp

 Hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

 Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

 Không có bất kì tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua giao điểm hai đường tiệm cận Gọi M là điểm tùy ý trên ( ) :C y ax b ad bc 0

ad – bc < 0xy

o AB luôn nhận M làm trung điểm.

o Diện tích tam giác AIB không đổi.

o Tích số MH MK. không đổi.

o Diện tích tứ giác IHMK không đổi.

o M N, nằm về ở hai nhánh phân biệt của đồ thị hàm số thì các hoành độ của x xM, N nằm về

hai phía tiệm cận đứng.

1 Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hàm số

x m

a) Tập xác định

mD  

Đạo hàm 

  

 

tiệm cận đứng của đồ thị là 2

mx 

Điểm A  1; 2

thuộc đường thẳng 2

mx 

khi và chỉ khi 122

 Tập xác đinh: D \ 1  Đạo hàm: 2