Chuyên đề Toán học về Thể tích khốichóp, lăng trụ chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về Thể tích khốichóp, lăng trụ 11, 12 và để ôn thi THPQG và thi đại học.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB′ , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB′ CC ′ vuông góc A lên mặt phẳng tích khối lăng trụ cho A ( A′B′C ′) B trung điểm M B′C ′ C Lời giải 3 , hình chiếu A′M = 3 Thể D Chọn A Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A′ vng góc với AA′ ta thiết diện tam giác A′B1C1 có cạnh A′B1 = ; A′C1 = ; B1C1 = ′ Suy tam giác A B1C1 vuông A′ trung tuyến A′H tam giác Gọi giao điểm AM A′H T ⇒ MH = ′ A H = Ta có: ; A′M ⇒ AA′ = = · ′A · ′A = 60° cos MA MA Do A′M = · ′H = 30° Suy MA ′ Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ thể tích khối lăng trụ A B1C1 AB2C2 V = AA′.S A′B1C1 = × =2 Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Câu (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' CC ' , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm M B ' C ' A ' M = Thể tích khối lăng trụ cho A C Lời giải B D Chọn D A1 , A2 Gọi hình chiếu A BB ' , CC ' Theo đề AA1 = 1; AA2 = 3; A1 A2 = AA12 + AA2 = A1 A2 nên tam giác AA1 A2 vuông A AA AH = = Gọi H trung điểm A1 A2 Do 2 Lại có MH P BB ' ⇒ MH ⊥ ( AA1 A2 ) ⇒ MH ⊥ AH suy MH = AM − AH = nên cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) = cos( MH , AM ) = cos HMA = S ABC = S AA1 A2 MH = AM = Thể tích lăng trụ V = AM ×S ABC = Nhận xét Ý tưởng câu dùng diện tích hình chiếu S ' = S cos α Suy Câu cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' , khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' trung điểm M B ' C ' , A'M = 15 Thể tích khối lăng trụ cho Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG A B 15 C Lời giải D 15 Chọn C Kẻ AI ⊥ BB ' , AK ⊥ CC ' ( hình vẽ ) Khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; ⇒ AI = , AK = A'M = 15 15 ⇒ AF = 3 Gọi F trung điểm BC AI ⊥ BB ' ⇒ BB ' ⊥ ( AIK ) BB ' ⊥ AK ⇒ BB ' ⊥ IK Ta có Vì CC ' P BB ' ⇒ d (C , BB ') = d ( K , BB ') = IK = ⇒ ∆AIK vuông A ⇒ EF ⊥ ( AIK ) ⇒ EF ⊥ AE Gọi E trung điểm IK ⇒ EF P BB ' AM ⊥ ( ABC ) ( ABC ) ( AIK ) góc EF Lại có Do góc hai mặt phẳng = 15 AE · cos FAE = = · · = 30° AF ⇒ FAE AM góc ·AME = FAE Ta có ( AIK ) ∆AIK nên ta có: Hình chiếu vng góc tam giác ABC lên mặt phẳng S AIK ⇒ =S ⇒ = S ABC · ABC = S ABC cos EAF 15 ⇒ AM = 3 AF tan ·AMF = ⇒ AM = AM Xét ∆AMF vuông A : 2 15 VABC A ' B 'C ' = = 3 Vậy Câu (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB′ Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB′ CC ′ , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng Thể tích khối lăng trụ cho A B ( A′B′C ′) 15 trung điểm M B′C ′ A′M = C Lời giải 15 D Chọn D Gọi J , K hình chiếu vng góc A lên BB′ CC ′ , H hình chiếu vng góc C lên BB′ AJ ⊥ BB′ ( 1) Ta có AK ⊥ CC ′ ⇒ AK ⊥ BB′ ( ) ( 1) ( ) suy BB′ ⊥ ( AJK ) ⇒ BB′ ⊥ JK ⇒ JK //CH ⇒ JK = CH = Từ 2 Xét ∆AJK có JK = AJ + AK = suy ∆AJK vuông A AF = JF = FK = Gọi F trung điểm JK ta có Gọi N trung điểm BC , xét tam giác vng ANF ta có: AF = cos ·NAF = = ⇒ ·NAF = 60o ( AN = AM = AN //AM AN = AM ) AN S ⇒ S ∆ABC = ∆AJK o = = 1 cos 60 S∆AJK = AJ AK = 1.2 = o ⇒ S = S cos 60 ∆AJK ∆ABC 2 Vậy ta có 15 o= o · · Xét tam giác AMA′ vuông M ta có MAA′ = AMF = 30 hay AM = A′M tan 30 Vậy thể tích khối lăng trụ V = AM S∆ABC Câu = 15 15 = 3 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác vng · · A , AB = , AC = Góc CAA′ = 90° , BAA′ = 120° Gọi M trung điểm cạnh BB′ (tham khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với A′B , tính thể tích khối lăng trụ cho Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG A V= ( + 33 ) B V= + 33 V= ( + 33 C Lời giải ) D V= + 33 Chọn C AC ⊥ ( ABB′A′ ) A′B ⊂ ( ABB′A′ ) Do AC ⊥ AB , AC ⊥ AA′ nên Mà nên AC ⊥ A′B A′B ⊥ ( AMC ) ⇒ A′B ⊥ AM Có A′B ⊥ AC , A′B ⊥ CM nên uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur u u u r u u u r u u u r AM = AB + BM = AB + AA′ ( x > ) Ta có A′B = AB − AA′ Đặt AA′ = x uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuuu r = AB − AA′ AB + AA′ ÷ = AB − AA′2 − AB AA′ 2 Suy A′B AM ( = AB − ) 1 1 1 · ′ = 22 − x − 2.x.cos120° = − x + x + AA′2 − AB AA′.cos BAA 2 2 2 1 + 33 uuur uuuu r ⇔ − x2 + x + = ⇒ x = 2 Do A′B ⊥ AM nên A′B AM = ( ) + 33 + 33 · ′ = S ABB ′A′ = AB AA′.sin BAA sin120° = 2 Lại có (đvdt) ( ) + 33 + 33 1 V = AC S = = C ABB ′A′ ABB ′A′ AC ⊥ ( ABB′A′) 3 2 Do nên (đvtt) VC A′B ′C ′ = VABC A′B ′C ′ ⇒ VC ABB ′A′ = VABC A′B ′C ′ − VC A′B ′C ′ = VABC A′B ′C ′ 3 Mà ( ) 3 + 33 + 33 VABC A′B ′C ′ = VC ABB ′A′ = = 2 Vậy (đvtt) Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông ( ABC ′ ) ( ABC ) 60° Gọi M , N lần cân C , AB = 2a góc tạo hai mặt phẳng ( AMN ) chia khối lăng trụ thành hai phần Thể lượt trung điểm A′C ′ BC Mặt phẳng tích phần nhỏ 3a A 24 B 6a 6a C 24 Lời giải D 3a 3 Chọn A AB ⊥ ( CIC ′ ) ( C ′AB ) Gọi I trung điểm AB , suy nên góc ( ABC ) góc ( CI , C ′I ) , suy C· ′IC = 60° · ′IC = AB ×tan 60° = a C ′C = CI ×tan C Tam giác C ′IC vng C nên S ABC = ×AB ×CI = a 2 Diện tích tam giác ABC V = CC ′ ×S ABC = a ×a = a 3 Thể tích khối lăng trụ ( ACC ′A′) , kéo dài AM cắt CC ′ O Trong Suy C ′M đường trung bình ∆OAC , OC = 2CC ′ = 2a 1 1 VO ACN = ×S ACN ×OC = × ×S ABC ×2CC ′ = V 3 Thể tích khối chóp 1 1 VO.C ′ME = ×SC ′ME ×OC ′ = × S A′B′C ′ ×OC ′ = V 3 24 Thể tích khối chóp 1 7 3a VC ′EM CAN = VO ACN − VO.C ′ME = V − V = V = ×a 3 = 24 24 24 24 Do Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Vậy phần thể tích nhỏ Câu VC ′EM CAN 3a = 24 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA = Gọi D , E trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD ⊥ AE 21 A 21 B 21 C Lời giải 21 D 27 Chọn D SO ⊥ ( ABC ) Gọi O tâm tam giác ABC Do S ABC hình chóp nên ta có uuur uur uur uuu r uur uuur uuu r uur uur uur AE = SE − SA = SC − SA BD = SD − SB = SA − SB 2 Ta có ; · · · Đật ASC = BSC = ASB = α r uur uur uur uuu ⇔ SA − SB ÷ SC − SA ÷ = uuur uuu r 2 BD ⊥ AE ⇔ BD AE = r uur uur uuu r uur uur uuruuu ⇔ SASC − SA − SB.SC + SA.SB = 2 ⇔ cos α − − cos α + cos α = ⇔ cos α = Áp dụng định lý hàm số cơsin tam giác SAC , ta có: AC = SA2 + SC − 2SA.SC.cos α = Diện tích tam giác ABC S ABC = ⇒ AC = 3 3 Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2 2 AO = = SO = SA2 − AO = 3 ; 1 21 V = SO.S ABC = = 3 3 27 Thể tích khối chóp S ABC Câu (Chun Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông · · A , cạnh BC = 2a ABC = 60 Biết tứ giác BCC ′B′ hình thoi có B′BC nhọn Mặt ( ABC ) mặt phẳng ( ABB′A′) tạo với ( ABC ) góc 450 Thể vng góc với tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ phẳng A ( BCC ′B′ ) 7a3 7a3 B 7a3 C Lời giải D 7a3 21 Chọn B ( BCC ′B′ ) ⊥ ( ABC ) ( BCC ′B′ ) ∩ ( ABC ) = BC Do ( BCC ′B′) kẻ B′H vng góc với BC H Có B′H ⊥ ( ABC ) AB ⊥ ( B′HK ) kẻ HK vng góc với AB K Khi ( ABB′A′ ) ∩ ( ABC ) = AB ( B′HK ) ⊥ AB ( B′HK ) ∩ ( ABB′A′ ) = B′K , ( B′HK ) ∩ ( ABC ) = KH Ta có ⇒ Góc ( ABB′A′) ( ABC ) góc B′K KH · · ′KH ∆B′HK vuông H nên B góc nhọn Do B′KH = 45° · ′KH = 45° ⇒ ∆B′HK ∆B′HK vuông H có B vng cân H ⇒ B′H = KH Xét hai tam giác vuông B′BH BKH , ta có Trong ( ABC ) hay B′H chiều cao hình lăng trụ · ′BH = tan B ⇒ B′H KH = = sin ·ABC = sin 60° = BH BH B′H 1 21 · ′BH = − cos B · ′BH = − = sin B = 1− = ÷ · ′BH + B′B tan B +1 Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG ⇒ B′H = B′B Ta có Vậy Câu S ABC = 21 2a 21 = 7 (vì BCC′B′ hình thoi có cạnh BC = 2a ) ( 1 AB AC = BC.cos 600 2 VABC A′B′C ′ = B′H S ABC = )( 1 a2 BC.sin 600 = 2a .2a = 2 2 ) 2a 21 a 3 a = 7 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy tam giác Mặt ( A′BC ) tạo với đáy góc 300 tam giác A′BC có diện tích Tính thể tích V phẳng khối lăng trụ cho A 64 B C 16 Lời giải D Chọn D Gọi I trung điểm cạnh BC Vì ABC A′B′C ′ lăng trụ đứng có đáy tam giác nên ABC A′B′C ′ khối lăng trụ Do ta có: A′B = A′C Suy tam giác A′BC cân A′ ⇒ A′I ⊥ BC Mặt khác: tam giác ABC ⇒ AI ⊥ BC Suy BC ⊥ ( A′IA ) ( A′BC ) mặt đáy góc ·A′IA = 300 Vậy góc mặt phẳng Ta có: tam giác ABC hình chiếu tam giác A′BC mặt đáy nên S ABC = S A′BC cos α = 8.cos 300 = Đặt AB = x ⇒ S ABC = x2 =4 3⇒x=4 Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG Ta có: AI = x = ⇒ AA′ = AI tan ·AIA′ = 2 ′ Suy ra: VABC A′B′C ′ = AA S ABC = 2.4 = Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm ( BCB ' C ') ( ABC ) 600 Thể tích khối cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng lăng trụ cho bằng: 3a A B 3a 3a C Lời giải a3 D 16 Chọn C Ta có BC = a Từ H kẻ HI vng góc với BC HI HC AB.HC a = ⇒ HI = = BC Ta có ∆HIC : ∆BAC nên AB BC Gọi K trung điểm A’C’ từ K kẻ KM vng góc với B’C’ Tứ giác KMIH hình bình hành nên KM = IH = a Gọi N điểm B’C’ cho M trung điểm C’N ⇒ A ' N = KM = a ¼ A ' H ⊥ ( ABC ) ( A ' NIH ) ⊥ ( ABC ) Mà A ' N > HI nên HIN Do nên góc tù Suy ¼ ¼ HIN = 1200 ⇒ A ' NI = 600 Gọi H ’ hình chiếu I lên A’N suy H ’ trung điểm A’ N 3a ⇒ A ' H = IH ' = NH '.tan 600 = Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG a a a3 VABC A ' B ' C ' = A ' H S ∆ABC = = 12 Vậy thể tích khối lăng trụ Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng 0 trung trực BC góc 30 45 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: A VS ABC = a3 B VS ABC = a3 VS ABC = C Lời giải a3 D VS ABC = a3 Chọn C + Lấy M trung điểm BC , tam giác ABC cân A ⇒ AM ⊥ BC SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SAM ) trung điểm M mặt phẳng trung trực cạnh BC · ( SAM ) = góc SB SM = BSM = 450 Góc SB mặt phẳng · ( ABC ) = góc SB AB = SBA = 300 Góc SB mặt phẳng BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ SM ⇒ khoảng cách từ S đến cạnh BC SM = a + Tam giác vuông cân SBM có BM = a, SB = a ⇒ BC = BM = 2a Tam giác vng SAB có sin 300 = SA a a ⇒ SA = a = AB = SB 2 ; AM = Tam giác vng ABM có a 6 a 2 AB − BM = − a = ÷ ÷ 2 1 a a a3 VS ABC = SA.S∆ABC = 2a = 3 2 Vậy thể tích khối chóp S ABC Trang 15 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Câu 16 (Chu Văn An - Hà Nội BC = BD = AC = AD = 1, ( ACD ) ⊥ ( BCD ) 2019) Cho tứ diện ABCD ( ABD ) ⊥ ( ABC ) Thể tích tứ diện có ABCD A B 27 C 27 Lời giải 2 D 27 Chọn B Gọi H , K trung điểm cạnh CD, AB AH = x, ( x > ) Đặt ∆ACD ∆BCD cân A D nên AH BH hai đường cao tương ứng ( ACD ) ⊥ ( BCD ) ( ACD ) ∩ ( BCD ) = CD ⇒ AH ⊥ ( BCD ) ( ACD ) ⊃ AH ⊥ CD AH ⊥ BH ( 1) Do ∆ACD = ∆BCD ( c.c.c ) AH = BH (2 đường cao tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy ∆AHB vuông cân H ⇒ AB = AH = x (3) Chứng minh tương tự ta ∆CKD vuông cân K CD 2.HD ⇒ CK = = = AD − AH = − x 2 Mặt khác, ∆ACD cân A có CK đường cao nên: AB = AK = AC − CK = − ( − x ) (4) Từ (3), (4) ta có: Trang 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG x = − ( − x2 ) ⇔ x = ( x − 1) ⇔ x2 = ⇔ x= 3 ( x > 0) CD = 2.HD = − AH = VABCD = Câu 17 3 1 6 3 AH S ∆BCD = = 3 3 27 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA = a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD) 10 Thể tích khối chóp S ABCD 3 3 A 3a B 9a C 4a D 12a Lời giải Chọn C Gọi H tâm hình vng ABCD nên SH ⊥ ( ABCD ) Đặt m = HA , n = SH Do tam giác SAH vuông H nên m + n = 11a Xây dựng hệ trục tọa độ sau: H (0;0;0) , B (m ;0;0) , D(−m ;0;0) , C (0; m ;0) , S (0;0; n) x y z + + =1 Khi phương trình mặt phẳng ( SBC ) là: m m n hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng uur ( SBC ) n1 = ( n; n; m) x y z + + =1 Khi phương trình mặt phẳng ( SCD ) là: − m m n hay véctơ pháp tuyến mặt uur n = ( n; −n; −m) phẳng ( SBC ) ur uu r | n1 n2 | r = ur uu 10 | n | | n ( SBC ) ( SCD ) | hay Do cosin góc hợp hai mặt phẳng 10 nên m2 = 2 2n + m 10 mà n = 11a − m Trang 17 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG m2 m2 = ⇔ = ⇔ m = 2a ⇒ m = a ⇒ SH = 3a 2 2 22a − m 10 Vậy 2n + m 10 m = HA = a nên AB = 2a , Chiều cao hình chóp SH = 3a Diện tích hình vng S ABCD = 4a 1 V = S ABCD SH = 4a 3a = 4a 3 Thể tích khối chóp S ABCD là: Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh , biết khoảng cách từ A đến ( SBC ) 15 SCA ( ) 10 , từ C đến ( SAB ) , từ B đến 30 20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp A 36 VS ABC B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh AC , BC , AB h SH = h ⇒ VS ABC = h = 12 Đặt AP = Ta có S SAB 6VS ABC h 30 = SSAB = = : = h 10 AB 20 d ( C ; ( SAB ) ) Tương tự, tính HM = 2h, HN = h ⇒ PH = SP − SH = 3h Trang 18 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG Ta có Vậy Câu 19 S ABC = S HAB + S HAC + S HBC = VS ABC = 3 ( HP + HM + HN ) ⇔ 3h = ⇔ h = 12 3 = 12 12 48 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a · · SAB = SCB = 900 Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V= 3a 12 B V= 3a V= C Lời giải 3a3 D V= 3a 12 Chọn B · · Vì SAB = SCB = 90 ⇒ S , A, B , C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , ta có OI ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Gọi H điểm đối xứng với B qua O (vì OI đường trung bình ∆SHB ) Gọi BM ∩ AI = J , ta có J trọng tâm ∆SAB BC ⊥ ( JND ) ( JND ) ⊥ ( MBC ) Trong ∆AID , kẻ JN / / IO Khi đó, nên NE ⊥ ( MBC ) d N ; MBC ) ) = NE Kẻ NE ⊥ JD , ta có Do ( ( AD AD = = = d ( A, ( MBC ) ) AD AD = = d ( N , ( MBC ) ) ND AD − AN AD − AO AD − AD Ta có 10a d ( N , ( MBC ) ) = d ( A, ( MBC ) ) = 21 Suy ra, 1 10a = + NJ = ⇒ OI = NJ = 5a 2 ⇒ SH = 10a ND NJ nên Xét ∆JND có NE 1 a 3a VSABC = SH S ABC = 10a = 3 Vậy Câu 20 (Chun Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA = BC = ; SB = AC = ; SC = AB = Tính thể tích khối chóp S ABC Trang 19 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG A 390 12 B 390 C Lời giải 390 D 390 + Dựng hình chóp S A ' B ' C ' cho A trung điểm B ' C ' , B trung điểm A ' C ' , C trung điểm A ' B ' + Khi SB = AC = BA ' = BC ' = nên ∆SA ' C ' vuông S SA '2 + SC '2 = ( 2.SB ) = 64 (1) 2 SA ' + SB ' = 80 (2) 2 SB ' + SC ' = 36 (3) + Tương tự ∆SB ' C ' , ∆SA ' B ' vuông S ( 1) ; ( ) ; ( 3) ta suy SC ' = 10 ; SB ' = 26 ; SA ' = 54 + Từ 1 390 VS A ' B 'C ' = SC ' .SA '.SB ' = 390 VS ABC = VS A ' B 'C ' = 4 (đvtt) + Ta tính o · · · o Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASB = CSB = 60 , ASC = 90 , SA = SB = a , SC = 3a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B 18 a3 C 12 Lời giải a3 D Chọn A Trang 20 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Cách 1: SM = SC = a Gọi M điểm nằm SC cho Ta có: 2 Tam giác SAM vuông S ⇒ AM = SA + SM = a Tam giác SBM tam giác có độ dài cạnh SM = SB = BM = a Tam giác SAB tam giác có độ dài cạnh SA = SB = AB = a 2 Vậy AB + BM = AM ⇒ Tam giác ABM tam giác vuông B ⇒ ∆ABM = ∆ASM ⇒ SI = IB = a 2 2 ⇒ IB + SI = SB ⇒ Tam giác SIB vuông I SI ⊥ IB ⇒ ⇒ SI ⊥ ( ABM ) SI ⊥ AM ⇒ SI đường cao khối chóp SABM 1 a3 VS ABM = S ∆ABM SI = AB.BM SI = 12 ( đvtt ) Thể tích khối chóp S ABM VS ABM SM = = ⇒ VS ABC = 3.VS ABM = a SC Mà VS ABC Cách 2: Ta có VS ABC = abc − cos α − cos β − cos δ − cos α cos β cos δ · · · Trong a = SA ; b = SB ; c = SC ; α = ASB ; β = ASC ; δ = BSC ⇒ VS ABC a.a.3a a3 2 o o o o o o = − cos 60 − cos 60 − cos 90 − cos 60 cos 60 cos 90 = ( đvtt ) Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Gọi M trung điểm cạnh SA , · · SAB = SCB = 90° , biết khoảng cách từ A đến ( MBC ) S ABC 10a 3 A Chọn 8a 39 B 4a 13 C Lời giải 6a 21 Thể tích khối chóp D 2a A Trang 21 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG · · Vì SAB = SCB = 90° ⇒ S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , ta có OI ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Gọi H điểm đối xứng với B qua O (vì OI đường trung bình ∆SHB ) Gọi BM ∩ AI = J , ta có J trọng tâm ∆SAB BC ⊥ ( JND ) ( JND ) ⊥ ( MBC ) Trong ∆AID , kẻ JN // IO Khi đó, nên NE ⊥ ( MBC ) d N ; ( MBC ) ) = NE Kẻ NE ⊥ JD , ta có Do ( AD AD = = = d ( A, ( MBC ) ) AD AD = = d ( N , ( MBC ) ) ND AD − AN AD − AO AD − AD Ta có 10a d ( N , ( MBC ) ) = d ( A, ( MBC ) ) = 21 Suy ra, 1 10a 5a 10a = + NJ = ⇒ OI = NJ = ⇒ SH = 2 ND NJ nên Xét ∆JND có NE 1 10a ( 2a ) 10 3a = SH S ABC = = 3 Vậy Câu 23 VSABC (Cụm liên trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a · · SAB = SCB = 90° Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V= 3a 12 B V= 3a V= C Lời giải 3a D V= 3a 12 Chọn B Trang 22 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Gọi I trung điểm SB · · Do SAB = SCB = 90° nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Gọi O tâm đáy ABC Þ OI ^ ( ABC ) ( ABC ) Ta có AB ^ ( SAH ) Þ AB ^ AH Tương Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng tự, BC ^ CH Suy H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , có tâm O nên O trung điểm BH Do đó, SH = 2OI BC ^ IN Þ BC ^ ( AIN ) (*) Gọi N trung điểm BC Þ IN // SC nên ( ABC ) Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu G lên mặt phẳng GK // OI Þ AK = AO = AN Þ KN = AN Þ K Ỵ AO 9 ù é ù 10a Þ dé ëK , ( MBC ) û= d ëA, ( MBC ) û= 21 10a ù KE ^ GN Þ KE ^ BC Þ KE ^ ( MBC ) Þ d é ëK , ( MBC ) û= KE = 21 (*) Kẻ Tam giác GKN vng K có 1 10a = + Þ GK = Þ SH = 2OI = 3GK = 10a 2 KE GK KN a2 5a 3 V= 10a = Vậy thể tích khối chóp S ABC Câu 24 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD = BC = , AC = BD = , AB = CD = Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C Lời giải 2047 12 D 2470 12 Chọn D Trang 23 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Dựng tứ diện D A′B′C ′ cho A , B , C trung điểm B′C ′ , A′C ′ , A′B′ Theo cách dựng theo có: AC = BC ′ = BD Xét tam giác DA′C ′ có: BD đường trung tuyến A′B = BC ′ = BD ⇒ ∆DA′C ′ vuông D Chứng minh tương tự ta có: ∆DB′C ′ , ∆DA′B′ vng D Khi tứ diện D A′B′C ′ có cạnh DA′ , DB′ , DC ′ đơi vng góc với 1 VABCD = VD A′B′C ′ = DA′.DB′.DC ′ 24 Ta có: DA′ = 38 DA′2 + DB′2 = 48 DA′2 = 38 2 DA′ + DC ′ = 64 ⇔ DB′ = 10 ⇔ DB′ = 10 DB′2 + DC ′2 = 36 DC ′2 = 26 DC ′ = 26 Theo ta có: Vậy VABCD = 1 2470 DA′.DB′.DC ′ = 38 10 26 = 24 24 12 · · · Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB = CBD = 90°; AB = a; AC = a 5; ABC = 135° Biết góc hai mặt phẳng a3 A ( ABD ) , ( BCD ) 30° Thể tích tứ diện ABCD a3 B a3 C Lời giải a3 D Chọn C Trang 24 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG ( ABC ) DH ⊥ ( ABC ) Gọi H thuộc mặt phẳng BA ⊥ DA BC ⊥ BD BA ⊥ DH ⇒ BA ⊥ AH Ta có Tương tự BC ⊥ DH ⇒ BC ⊥ BH · · · Tam giác ABH có AB = a; ABC = 135°; CBH = 90° ⇒ ABH = 45° suy ∆ABH vuông cân A ⇒ AH = AB = a Áp dụng định lý cơsin ta có BC = a 1 a2 S ABC = BA.BC.sin ·ABC = a.a = 2 2 Diện tích tam giác ABC : Kẻ HE , HF vuông góc với DA , DB Suy · EHF HE ⊥ ( ABD ) , HF ⊥ ( BCD ) Tam giác EHF vuông E , ta có · cos EHF = Mặt khác: nên góc hai mặt phẳng HE = a.DH a + DH , ( ABD ) , ( BCD ) DH a HF = 2a + DH góc HE DH + 2a = = HF 2.DH + 2a ⇒ DH = a a3 VABCD = DH S ∆ABC = Thể tích tứ diện ABCD ( ABC ¢) Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC A¢B ¢C ¢ Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng a , góc hai mặt phẳng ( ABC ¢) ( BCC ¢B ¢) α với cos α = Tính thể tích khối lăng trụ ABC A¢B¢C ¢ A V= 3a B V= 3a 2 V= C Lời giải a3 2 D V= 3a Chọn B Trang 25 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Gọi M , N trung điểm AB BC ïìï AB ^ CC Â ị AB ^ ( MCC Â) ị ( ABC Â) ^ ( MCC Â) ùùợ AB ^ CM Do CK = d ( C ; ( ABC ¢) ) = a CK ^ ( ABC ¢) Kẻ CK vng góc với CM K ta , BC = x, CC ¢= y , ( x > 0, y > 0) Đặt , ta được: 1 1 + = Û + = ( 1) 2 2 CM CC ¢ CK 3x y a CM = EC = · Kẻ CE ^ BC ¢tại E , ta KEC = α , 1 11 + 2= = 2 2 ( ) x y CE 12 a Lại có x KC = sin α a 1- 12 =a 12 11 a ( 1) , ( 2) ta x = 2a, y = Giải Thể tích khối lăng trụ ABC A¢B ¢C ¢ là: V = y Câu 27 x a 4a 3 2a = = 4 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có A′B vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Góc AA′ với mặt phẳng ( ABCD ) 45 Khoảng cách ( BB′C ′C ) mặt phẳng từ A đến đường thẳng BB ' DD ' Góc mặt phẳng ( CC ′D′D ) A 60 , Tính thể tích khối hộp cho B C Lời giải D 3 Chọn A Trang 26 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG · ′BA = 450 A′B ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( AA′, ABCD ) = ·AA′B = B Ta có d ( A, BB′ ) = d ( A′, BB′ ) = A′H = H Vì ( hình chiếu A lên BB′ ) Suy ta có A' B ' = A' H = sin ( BB ' A ) A ' B = A ' B '.tan ( BB ' A ' ) = ( A′B′C ′D′ ) ≡ ( Oxy ) Ta có Gán hệ trục tọa độ gốc A′ với điểm B ∈ Oz , B′ ∈ Oy mặt phẳng ( ) ( A′ ( 0, 0, ) , B 0, 0, , B′ 0, 2, tọa độ điểm ( ) ) D′ ( a, b, ) ; a ≥ ⇒ C ′ a, b + 2, D ∈ ( Oxy ) , giả sử r r n = ( −b, a, a ) n = ( 1, 0, ) Chọn ( BB ' C ' C ) ( DD' C ' C ) ( BB′C ′C ) mặt phẳng ( CC ′D′D ) 600 Ta có Vì góc mặt phẳng Ta có cos ( 600 ) = −b b + 2a 2 ⇔b=± a x=a y = b −t z =t Mặt khác ta có đường thằng DD′ có phương trình Vì khoảng cách từ A đến đường thẳng DD′ Ta có: uuuur r A′D′, u DD ' b + 2a d ( A, DD′0 ) = d ( A′, DD′ ) = ⇔ = ⇒ b + 2a = ⇒ b = ± r u DD ' uuuuu r uuuuur D 3, 2, ⇒ VABCD A ' B 'C ' D ' = A ' B.S A ' B 'C ' D ' = A ' B ', A ' D ' = Trường hợp 1: uuuuu r uuuuur D 3, − 2, ⇒ VABCD A ' B 'C ' D ' = A ' B.S A ' B 'C ' D ' = A ' B ', A ' D ' = Trường hợp ( ( Câu 28 ) ) (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình chữ ( AA′C ′C ) vng góc với mặt đáy Biết hai nhật với AB = 6, AD = , A′C = mặt phẳng ( AA′C′C ) , ( AA′B′B ) mặt phẳng tạo với góc α thỏa mãn trụ ABCD A′B′C ′D′ bằng? A V = B V = 12 C V = 10 Lời giải tan α = Thể tích khối lăng D V = Trang 27 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG ( ACC′A′) , BH ⊥ ( ACC′A′) Gọi H hình chiếu B lên AC = AB + BC = ; AH = AC − HC = Kẻ BH = AB.BC AC = = 2 ; HC = BC − BH = ; HK ⊥ AA′, ( K ∈ AA′ ) AA′ ⊥ BH BH ⊥ ( ACC′A′ ) , nên AA′ ⊥ BK · ( (·ABBA′ ′) ;( ACC′A′) ) = BKH ; ∆BKH vuông H BH = ⇒ KH = AK = AH − AK = ; KH ⇔ KH ( AC = A′C′ = AC′ = 3) ⇒ C′M ⊥ AA′ Gọi M trung điểm AA′ Tam giác A′C′A cân C ' , ⇒ KH / /C′M · tan BKH = VA′C′M ∽ AHK ⇒ A′M = AK A′C′ A′C′.KH =1 C′M = =2 ⇒ AA′ = ; AH AH ′ SACC ' A' = C′M.AA′ = d( A′; AC ) AC = ⇒ d( A ; AC ) = VABCD.A′B′C′D′ Câu 29 = d ( A′;AC) SABCD = = (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy tam ( AB′C ) mặt phẳng giác ABC vuông cân A , cạnh BC = a Góc mặt phẳng ( BCC ′B′) A a 60° Tính thể tích V khối đa diện AB′CA′C ′ 3a 3 B a3 C a3 D Lời giải Trang 28 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG A′B′ ⊥ ( ACC ′A′ ) Khối đa diện AB′CA′C ′ hình chóp B′ ACC ′A′ có Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC = a ta suy AB = AC = a Gọi M trung điểm BC , suy AM ⊥ BC AM = a AM ⊥ BC ⇒ AM ⊥ ( BCC ′B′ ) ⇒ AM ⊥ B′C ′ AM ⊥ BB Ta có (1) Gọi H hình chiếu vng góc M lên B′C , suy MH ⊥ B′C (2) Từ (1) (2) ta suy ( BCC ′B′) B′C ⊥ ( AMH ) Từ suy góc mặt phẳng ( AB′C ) mặt phẳng · góc AH MH Mà tam giác AMH vuông H nên ⇒ AHM = 60° ⇒ MH = AM cot 60° = a a = 2 a MH · sin HCM = = = MC a Tam giác B′BC đồng dạng với tam giác MHC nên suy · ⇒ + tan MCH = · − sin MCH = 1− = · ⇒ tan MCH = 2 · ⇒ BB′ = BC.tan MCH = a =a 1 ⇒ VAB′CA′C ′ = VB′ ACC ′A′ = B′A′ AC AA′ = a 3.a 3.a = a 3 3 Trang 29 ... - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy tam giác Mặt ( A′BC ) tạo với đáy góc 300 tam giác A′BC có diện tích Tính thể tích V phẳng khối lăng trụ cho A 64 B C 16 Lời giải D Chọn... Vậy ta có 15 o= o · · Xét tam giác AMA′ vng M ta có MAA′ = AMF = 30 hay AM = A′M tan 30 Vậy thể tích khối lăng trụ V = AM S∆ABC Câu = 15 15 = 3 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam... 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng ( ABC ′ ) ( ABC ) 60° Gọi M , N lần cân C , AB = 2a góc tạo hai mặt phẳng ( AMN ) chia khối lăng trụ thành hai phần Thể lượt trung