Luận văn thạc sĩ Toán học: Bài toán ước lượng trạng thái cho một số lớp hệ động lực và áp dụng

Với cấu trúc mới này ta dễ dàng thiết lập được bộ quan sát dạng Luenberger để ước lượngđầy đủ, giảm bậc cũng như một hàm tuyến tính của biến trạng thái.Tuy nhiên phương pháp của Hou và c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐÀO THỊ HẢI YẾN

BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TRẠNG THÁI CHO MỘT

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn

Người hướng dẫn: PGS.TS ĐINH CÔNG HƯỚNG

Phản biện 1: GS TSKH Vũ Ngọc Phát

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Đình Phư

Phản biện 3: PGS.TS Phạm Quý Mười

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tạiTrường Đại học Quy Nhơn vào hồi

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Thư viện Trường Đại học Quy Nhơn

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Một số khái niệm cơ bản 6

1.1.1 Tiêu chuẩn ổn định của một số lớp hệ động lực 6

1.1.2 Các bổ đề bổ trợ 7

1.2 Phương pháp thiết kế quan sát hàm trạng thái 8

1.2.1 Quan sát trạng thái đầy đủ bậc 8

1.2.2 Quan sát trạng thái giảm bậc 8

1.2.3 Quan sát trạng thái cho hàm tuyến tính 9

1.2.4 Khoảng quan sát 10

Chương 2 Phương pháp mới để thiết kế quan sát trạng thái cho hệ Glucose-Insulin phi tuyến có trễ 11

2.1 Phép chuyển đổi trạng thái 11

2.2 Áp dụng trong mô hình Glucose-Insulin 13

2.2.1 Chuyển mô hình Glucose-Insulin phi tuyến về

hệ chính tắc 13

2.3 Thiết kế quan sát dạng Luenberger 13

Chương 3 Bộ quan sát mới cho hệ ghép nối kích thước lớn có trễ và ứng dụng của nó vào bài toán phát hiện

3.1 Phép biến đổi toạ độ mới 15

3.2 Phát hiện lỗi dựa trên quan sát trạng thái 17

Chương 4 Thiết kế các bộ quan sát khoảng cho hệ ghép

4.1 Thiết kế khoảng quan sát cho hàm tuyến tính 19

4.2 Điều kiện tồn tại của khoảng quan sát cho hàm tuyếntính 20

4.3 Giải các ma trận chưa biết 21

Danh mục các công trình của tác giả 25

để cung cấp ước lượng cho các trạng thái bên trong của hệ động lực

đó Yêu cầu trong việc thiết kế bộ quan sát là ước lượng trạng tháicủa bộ quan sát phải hội tụ tới giá trị thực tế của các trạng thái

hệ thống Tiếp theo là đưa ra các điều kiện để tồn tại bộ quan sáttrạng thái

Từ những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự phát triển củabài toán điều khiển, bài toán ước lượng trạng thái đã thu hút rấtnhiều sự quan tâm nghiên cứu do ứng dụng của nó vào thực tế ngàycàng tăng (xem [61], [13], [17], [23], [14], [79], [39], [43],[44], [58],[11], [49]) Đặc biệt, Luenberger (1966) (xem [61]) đã nghiên cứu

lớp hệ điều khiển với đầu vào uptq P R m

và đầu ra yptq P R p đođược có dạng

trong đó L P R nˆp là ma trận quan sát đạt được, ˆxptq P R n là véc

tơ trạng thái ước lượng của xptq.

Fairman và cộng sự (1986); Darouach và cộng sự (1999) (xem[23], [14]) đã xét lớp hệ tuyến tính có trễ sau:

9

xptq “ Axptq ` A d xpt ´ τ q ` Buptq, t ě 0, (3)

xpθq “ φpθq, θ P r´τ, 0s, (4)

Các tác giả trên đã đề xuất một bộ quan sát giảm bậc không chứa

trễ thời gian có dạng sau để ước lượng pn ´ pq thành phần của véc

tơ trạng thái:

ˆ

xptq “ Dwptq ` Eyptq,

9

wptq “ N wptq ` J yptq ` J d ypt ´ τ q ` Huptq.

Trinh và cộng sự (2010) (xem [79]) tiếp cận bài toán ước lượngtrạng thái cho lớp hệ có trễ (3)-(4) theo cách khác Họ xem đạilượng có trễ thời gian trong phương trình (3) như là một đại lượng

chưa biết A d xpt ´ τ q “ W ωptq, chuyển về bài toán ước lượng trạng

thái cho hệ không có trễ Darouach và cộng sự (2001) (xem [15]) đãthiết lập bộ quan sát hàm tuyến tính cho lớp hệ (3)-(4) như sau:

Hou và cộng sự (2002) đã đề xuất một phép biến đổi tọa độ zptq “

T pdqxptq, zptq P R n z, để chuyển lớp hệ đang xét về dạng sau:

9

zptq “ Azptq ` ¯¯ F pdqyptq, yptq “ Czptq,¯

trong đó ( ¯A, ¯ Cq là cặp ma trận quan sát được Với cấu trúc mới này

ta dễ dàng thiết lập được bộ quan sát dạng Luenberger để ước lượngđầy đủ, giảm bậc cũng như một hàm tuyến tính của biến trạng thái.Tuy nhiên phương pháp của Hou và cộng sự là phương pháp toán

tử, các điều kiện cho sự tồn tại một phép chuyển đổi trạng thái như

thế là rất khắc nghiệt Nhằm khắc phục hạn chế trên, Huong vàcộng sự (2015, 2016) (xem [43], [44]) đã đề xuất một phương phápmới để nhận được các phép chuyển đổi trạng thái cho một lớp hệphương trình vi phân tuyến tính có nhiều trễ trong biến trạng thái

và thông tin đầu ra Với các hệ mới này ta dễ dàng thiết kế được

bộ quan sát dạng Luenberger

Ngày nay, các yêu cầu đối với kỹ thuật (giảm độ phức tạpcủa thiết bị vận hành, hạ bậc điều khiển, chống được các hiện tượnghỏng hóc bất thường, vận hành được cho nhiều hệ thống, tăng độ ổnđịnh của hệ thống, v.v.) ngày càng cao hơn Do đó, việc giải quyếtcác bài toán ước lượng trạng thái, bài toán phát hiện lỗi, bài toánước lượng lỗi cho các hệ động lực không những có ý nghĩa về mặt

lý thuyết mà còn đem lại nhiều tiềm năng ứng dụng trong thực tếvới hiệu quả cao và chi phí thấp (xem [58], [11]) Lưu ý rằng hầuhết các phương pháp thiết kế quan sát trạng thái cho các hệ có trễ

yêu cầu cặp ma trận pA, Cq quan sát được Do đó, nếu cặp ma trận

pA, Cq không quan sát được, thì thuật toán phát hiện lỗi dựa trên

quan sát trạng thái không áp dụng được Để khắc phục khó khănnày, Huong và cộng sự (2014) (xem [49]) đã đề xuất một phươngpháp mới để thiết kế bộ quan sát phát hiện lỗi của các hệ có trễ

trong đó cặp pA, Cq không bắt buộc phải quan sát được.

9

xptq “ Axptq ` A d xpt ´ τ q ` Buptq ` Df ptq, t ě 0, xpθq “ φpθq, θ P r´τ, 0s,

yptq “ Cxptq.

Họ đã sử dụng một phép chuyển đổi trạng thái để chuyển hệ đangxét về dạng

9

zptq “ Azptq ` ¯¯ Buptq ` ¯ B d upt ´ τ q ` ¯ Df ptq ` ¯ D d f pt ´ τ q

`Γyptq ` Γ d ypt ´ τ q ` Ψ d ypt ´ 2τ q, t ě τ.

yptq “ Czptq,¯

trong đó cặp ma trận p ¯A, ¯ Cq là quan sát được Trong hệ tọa độ mới, các tác giả đã thiết kế bộ quan sát hàm bậc q ě 1 (q là số tự nhiên)

để phát hiện lỗi f ptq Các tác giả thiết kế bộ quan sát góp phần

giảm chi phí và độ phức tạp trong quá trình vận hành hệ thống.Như đã thảo luận ở trên, có rất nhiều kỹ thuật cho bài toánước lượng trạng thái trong tài liệu Tuy nhiên, các kỹ thuật thiết

kế bộ quan sát hiện có có thể không phù hợp với các hệ thống cónhiều loại không chắc chắn [19], [29], [30], [34], [40], [41], [56] Trongtình huống này, bài toán ước lượng theo điểm có thể được thay thếbằng một khoảng, sau đó sử dụng các phép đo đầu vào-đầu ra mà

bộ quan sát phải ước lượng tập hợp các giá trị có thể chấp nhậncho trạng thái tại mỗi thời điểm

Mặc dù bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái và khoảngquan sát trạng thái đã được nghiên cứu nhiều trong tài liệu, nhưngvẫn còn nhiều vấn đề (ví dụ vấn đề phát hiện lỗi của hệ phi tuyến cótrễ và hệ ghép nối có trễ; thiết kế khoảng quan sát cho hàm tuyếntính của các hệ xung ghép nối kích thước lớn) chưa được giải quyết

và chúng hiện đang là những thách thức mang tính thời sự tronghướng nghiên cứu của lý thuyết điều khiển và lý thuyết ước lượng.Mục đích chính của luận án là nghiên cứu và đề xuất cácphương pháp mới để thiết kế bộ quan sát trạng thái và bộ quan sátkhoảng để ước lượng véc tơ trạng thái của một số lớp hệ động lực

sát trạng thái có thể được thiết kế dễ dàng Kết quả mô phỏng đượcđưa ra để minh họa phương pháp được thiết kế.

Chương 3 nghiên cứu thiết kế hàm quan sát để phát hiện lỗicủa hệ có trễ ghép nối và đầu vào không xác định Đầu tiên, chúngtôi mở rộng các phép biến đổi trạng thái của các hệ có trễ sang cấutrúc tổng quát để giải quyết với các hệ ghép nối có trễ và đầu vàokhông xác định Thứ hai, chúng tôi đưa ra các điều kiện tồn tại chophép chuyển đổi trạng thái Thứ ba, bằng việc sử dụng các phépbiến đổi trạng thái, chúng tôi chuyển đổi từng hệ con của các hệghép nối có trễ thành một dạng chính tắc có thể quan sát được.Thứ tư, trong hệ tọa độ mới, chúng tôi thiết kế hàm quan sát để

xây dựng hàm dư có thể phát hiện các lỗi của hệ con thứ i Cuối

cùng, một ví dụ và kết quả mô phỏng được cung cấp để chứng minhkết quả lý thuyết

Chương 4, chúng tôi xét bài toán thiết kế các khoảng quansát cho lớp các hệ xung ghép nối kích thước lớn với các biến khôngchắc chắn bị chặn Giả sử biết biên của các yếu tố không chắc chắn,chúng tôi thiết kế các khoảng quan sát cho các hàm tuyến tính củavéc tơ trạng thái mỗi hệ con của hệ được xét Sau đó, chúng tôi cungcấp các điều kiện tồn tại của khoảng quan sát như vậy và thuật toán

để tìm các ma trận quan sát chưa biết Cuối cùng, hai ví dụ và kếtquả mô phỏng đưa ra để minh họa tính hiệu quả của phương phápthiết kế được đề xuất Khác với các khoảng quan sát hiện có, mỗikhoảng quan sát được đề xuất trong chương này gồm hai biên làhai hệ xung Do đó chúng có thể ứng xử với các hệ xung ghép nối.Luận án được viết dựa trên kết quả của các bài báo [53, 54,83] Kết quả của luận án này đã được trình bày tại:

1 Hội thảo “ Tối ưu hóa và tính toán khoa học ” lần thứ

20, Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam (21-23/4/2022, Ba Vì, Hà Nội)

2 Seminar tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học QuyNhơn

3 Hội nghị Toán học Miền Trung và Tây Nguyên lần thứ IV,Đại học Huế, tháng 8 năm 2022

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số khái niệm cơ bản

1.1.1 Tiêu chuẩn ổn định của một số lớp hệ động

(1.1)

trong đó xptq P R n là véc tơ trạng thái của hệ, f : R`

ˆ Rn Ñ Rn

là hàm véc tơ cho trước Giả thiết f pt, xq là hàm thoả mãn các điều

kiện sao cho nghiệm của bài toán Cauchy (1.1) với điều kiện ban

đầu xpt0q “ x0, t ě 0 luôn tồn tại, duy nhất Khi đó dạng tích phân

của nghiệm được cho bởi công thức

xptq “ x0`

żt

0

f ps, xpsqqds. (1.2)

Định nghĩa 1.1.1 ([73], Định nghĩa 3.1) Nghiệm xptq của hệ (1.1)

gọi là ổn định nếu với mọi số ε ą 0, t0ě 0 sẽ tồn tại số δ ą 0 (phụ

thuộc vào ε, t0) sao cho bất kỳ nghiệm yptq, ypt0q “ y0 của hệ thoả

mãn }y0´ x0} ă δ thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức

Định nghĩa 1.1.2 ([73], Định nghĩa 3.2) Nghiệm xptq của hệ (1.1)

gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có một số δ ą 0 sao cho với }y0´ x0} ă δ thì

1.2 Phương pháp thiết kế quan sát hàm

trạng thái

1.2.1 Quan sát trạng thái đầy đủ bậc

Luenberger (1966) (xem [60]) đã nghiên cứu lớp hệ điều khiển

với đầu vào uptq P R m

và đầu ra yptq P R p đo được có dạng9

trong đó L P R nˆp là ma trận đạt được, ˆxptq P R n là véc tơ trạng

thái ước lượng của xptq Ta cần tìm ma trận L để ˆ xptq hội tụ tiệm cận đến xptq khi t Ñ 8.

1.2.2 Quan sát trạng thái giảm bậc

Chúng ta xét phép biến đổi trạng thái sau đây

trong đó w p ptq kí hiệu các trạng thái có thể đo đạc được, w u ptq kí

hiệu các trạng thái chưa biết

1.2.3 Quan sát trạng thái cho hàm tuyến tính

Giả sử zptq P R r là véc tơ cần phục hồi (hoặc ước lượng),trong đó

trong đó ωptq P R q, ˆzptq P R q là ước lượng của zptq, D, E, N , J và

L là các ma trận cần tìm sao cho eptq “ ˆ zptq ´ zptq hội tụ tiệm cận

x`ptq “ ``pt, z´ptq, z`ptq, yptqq. (1.53)

Cặp hệ (1.50)-(1.51), (1.52)-(1.53) là ước lượng khoảng cho hệ (1.48(1.49) nếu với bất kì tập compact X0 Ă X, tồn tại pz´p0q, z`p0qqsao cho cặp hệ (1.48)-(1.49), (1.50)-(1.51), (1.52)-(1.53) thoả mãn:

)-x´

ptq ď xptq ď x`ptq, t ě 0

bất kì điều kiện ban đầu xp0q P X0

Chúng tôi định nghĩa đầu ra mới ¯yptq “ ξptq “ ´ lnpyptqq Khi đó

(2.1)-(2.3) được đưa về dạng sau

“

»

—–

Định lý 2.1.1 Với các đại lượng vô hướng γ i (i “ 2, 3, , n), α j

và β j (j “ 1, 2, , n ´ 1), nếu phương trình sau đúng

zptq “ Azptq ` ¯¯ Buptq ` ¯ B1upt ´ τ q ` Γ¯ yptq ` Γ1ypt ´ τ q¯

`Γ2ypt ´ 2τ q ` Γ¯ 3µp¯¯ yptq, ¯ ypt ´ τ g qq,

`Γ4µp¯¯ ypt ´ τ q, ¯ ypt ´ τ ´ τ g qq, t ě τ, (2.15)

¯

2.2 Áp dụng trong mô hình Glucose-Insulin 2.2.1 Chuyển mô hình Glucose-Insulin phi tuyến

2.3 Thiết kế quan sát dạng Luenberger

Vì cặp ma trận p ¯A, ¯ Cq quan sát được, chúng ta dễ dàng thiết

kế bộ quan sát trạng thái để ước lượng bất kì hàm tuyến tính của

là ước lượng của hptq, E, N , J , H và

L là các tham số quan sát cần xác định Chúng tôi định nghĩa các véc tơ lỗi ptq và eptq như sau

eptq “ ˆhptq ´ F zptq. (2.36)Dựa trên [80], ˆhptq hội tụ tiệm cận đến F zptq nếu các điều

kiện sau đây thoả mãn

N L ` J ¯ C ´ L ¯ A “ 0, (2.38)

H ´ L ¯ B “ 0, (2.39)

Sau khi thu được ˆhptq dựa trên phương pháp biến đổi trạng thái

ngược (Trường hợp 2) được đề cập trong [47], chúng ta đạt được

Chúng tôi định nghĩa véc tơ biến đổi trạng thái mới sau

ζ i ptq “

»

—

—–

H k i1 “ T k i A ii , H k i2 “ T k i A d ii ` T dk i A ii , H k i3 “ T dk i A d ii , (3.22)

H k i4 “ T dk i A i` , H k i5 “ T k i A i` ` T k `i A `` , H k i6 “ T k `i A d `` , (3.23)

H k i7 “ T k `i A `i , H k if “ T dk i E i , H k id “ T dk i D i , H k `f “ T k `i E i ,

Định lý 3.1.1 Với các vô hướng α j i , β i1 j , β i2 j pi “ p i ` 1, p i `

2, , n i ζ , j “ 1, 2, , p i q, nếu các phương trình sau đúng

trong đó T iP R và F iP R Rõ ràng, để phát hiện lỗi, T i và

c i hoặc không xác định nếu f i ptq ‰ 0 (3.49)

trong đó c i ‰ 0, f i ptq “ 0 trong trường hợp không có lỗi và f i ptq ‰ 0

trong trường hợp có lỗi Chúng tôi định nghĩa véc tơ lỗi sau đây

e i ptq “ ω i ptq ´ L i ζ i ptq. (3.50)

Định lý 3.2.1 Với điều kiện không có lỗi tức là f i ptq “ 0, ω i ptq

là ước lượng tiệm cận của L i ζ i ptq (tức là e i ptq hội tiệm cận tới 0)

và hàm lỗi tổng quát r i ptq như trong (3.48) với bất kì điều kiện ban đầu φ i pθq, ζ i p0q, ω i p0q và bất kì u i ptq nếu

Chương 4

Thiết kế các bộ quan

sát khoảng cho hệ ghép nối kích thước lớn

t P rt i k , t i k`1 q, (4.11)

z´i pt i k`1q “ L i z i´p¯t i k`1 q ` F i D i u i pt i k`1 q ´ |K i|1p i V i

`K i y i pt i k`1 q ` F i g´i pt i k`1 q, (4.12)9

L T i e N i θ P i e N i θ L i ´ P i “ ´Q i (4.21)

đúng với mọi θ P rT imin, T imaxs.

Hệ quả 4.2.1 Giả sử T imax“ 8, điều kiện ( 4.16 )-( 4.20 ) của Định

lí 4.2.1 thoả mãn và điều kiện ( 4.21 ) được thay thế bởi điều kiện sau:

tồn tại ma trận P iP Sn i

ą0 sao cho

L T i e N i T T imin P i e N i T imin L i ´ P i ă 0. (4.36)

4.3 Giải các ma trận chưa biết

Với i “ 1, , N , chúng tôi kí hiệu

Vì X i và Y i là hai ma trận hằng, nghiệm χ i luôn tồn tại nếu và chỉnếu

Kết luận

Luận án này đạt được các kết quả chính như sau:

‚ Chúng tôi nhận được phương pháp mới để thiết kế bộ quansát trạng thái cho mô hình GI phi tuyến có trễ tổng quát

- Kết quả của Định lý 2.1.1 được chúng tôi thiết kế quahai giai đoạn biến đổi mô hình trễ thời gian phi tuyếnthành một dạng quan sát mới cho phép dễ dàng thiết kế

bộ quan sát trạng thái trễ bậc ba

- Kết quả mô phỏng đã được đưa ra để minh họa tính hiệuquả của kết quả nhận được (xem Tiểu mục 2.2.3)

- Vì cặp ma trận pA, Cq không thể quan sát được, chúng

tôi đã sử dụng phép biến đổi chứa biến trạng thái trễ đểđưa về hệ với cặp ma trận có thể quan sát được p ¯A, ¯ Cq.

Do đó, bộ quan sát trạng thái được thiết kế sẽ có thể ướclượng phiên bản trễ của véc tơ trạng thái thay vì véc tơtrạng thái tức thời

‚ Chúng tôi nhận được các bộ quan sát để phát hiện lỗi đườngtruyền của hệ có trễ ghép nối với đầu vào không xác định

- Chúng tôi đã phát triển các phép biến đổi trạng tháitrong [23] và [24] để biến đổi từng hệ con của các hệ cótrễ được ghép nối với nhau thành một dạng chính tắc cóthể quan sát được (xem Định lý 3.1.1)

- Trong hệ tọa độ mới, chúng tôi đã thiết kế một hàm quansát để xây dựng một hàm lỗi có thể phát hiện các lỗi của

hệ con thứ i.

- Các điều kiện tồn tại của phép biến đổi trạng thái vàmột phương pháp mới để xác định các tham số chưa biết(xem Định lý 3.2.1)

‚ Chúng tôi nhận được phương pháp mới để thiết kế các khoảngquan sát cho các hàm tuyến tính của mỗi hệ con của lớp hệxung ghép nối kích thước lớn với biến không chắc chắn bịchặn