Define the terms quadratic residue modulo p and quadratic non-residue modulo p... State without proof the values of the Legendre symbols |——| and |—|.. Use the law of quadratic recipro
Trang 1
TR UGGD KH OS WH WHOO CHi MINH
KHOA CONG NGHE THONG TIN
TP HO CHi MINH
Gi Abait § đêê 8 môn
lý thuyết số
TP Hôê Chi Minh - Nam 2020
Trang 2
TR UGGD FH OS ƯH Ñ HÔÔ CHÍ MINH KHOA CÔNG NGHẸ THÔNG TIN
Môn: Lý Thuyết Số
DAIHOC aay
SP TP HO CHi MINH
Gi Abait § đêê 8 môn
lý thuyết số
Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Lưu Kim Khôi 43.01.104.083
Tạ Quang Hưng 43.01.104.060 Huỳnh Nhựt Long 43.01.104.099
TP Hôê Chi Minh - Nam 2020
Trang 3
Bai 1
a) x’ =—1(mod77)
Ta có: X —n[đự—1)
77
=> x’=77n-1
<=>_ x=+V77n—1vớin<77,n e Z saocho x là số nguyên
Sau khi thử với từng n ta không có n nào thỏa điều kiện
=> Không tồn tại x nào thỏa yêu cầu bài toán
b)_ x'=—1(mod185)
x
Ta có: igs (de)
=> x'=185n—1
<=>_ x=+v185n—1vớin<185,n 6 Zsaochox làsố nguyên
Với n lần lượt là 10, 25, 74, 109, ta được x có giá trị tương ứng lần lượt là 43, 68, 117, 142
=> x=43 |mod185]hayx= 185n+43
x =68 lmod 185)hayx= 185n+68
x=117 |mod188] hayx=185n+117
x=142 |mod185]hayx=185n+142 ,với neZ
c) x°=3(mod13°)
x
Ta Có: Tan n(d 3)
=> x=13n+3
<=> x=+\V13Ìn+3vớin<13”,n e Zsaochoxlà số nguyên
Với n = 526 và 573, ta được x = 1075 và x = 1122
=> x=1075mod13Ïhayx=13)n+1075
x=1122 |mod13”)hayx=13Ìn+1122 ,với neZ
Trang 4
qd) x°+2x=2(mod7’)
Ta có: X *2X —n(đự2)
49
=> xÌ+2x=49n+2
Gọi 49n+2 là d, ta có:
x+2x=d “=> xÌ+2x—-d=0(1)
Phương trình (1) có dạng: axÏ+cx—d
Ta đặt các giá trị A,k như sau:
A=bÏ~3œc=0—3*1+2=—6<0
_9abc—2b)—~27qˆd_ 9*0*2—2+0—27d_ —27d
2v lap 2\|-6Ï 2v216
=> Phương trình có 1 nghiệm duy nhất:
=> ¬ - Í?+1+\k—\ kÈ+ -a.)
a
Be —27d | TT 2d ey)
3 12v216 \\2v216 24216 \\2V216
Bi ~azlagned), 27 onea ‘ej 27) 274m
3 2.216 _ 2V216
k
2
——— ——— +1
Voin EZ
=> x=32 (mod 7) hayx= 7?n+32
@) x”=—1(mod4l1)
=> x”=4ln—1
<=>_ x=+Ÿ41n— 1vớin<41,n e Z saocho x]à số nguyên
Trang 5
Sau khi thử với từng n ta không có n nào thỏa điều kiện
=> Không tồn tại x nào thỏa yêu cầu bài toán
Tace: Ä— =n(dw7) 41
=> x”=4ln+7
x=Ä\ 41n+7 vớin<41,n e Z sao cho x]à số nguyên
Sau khi thử với từng n ta không có n nào thỏa điều kiện
=> Không tồn tại x nào thỏa yêu cầu bài toán
Bài 2
a) Show that there are infinitely many primes p such that p = 3 (mod 4)
Giả sử p1, p2, , pn là tập hợp hữu hạn số nguyên tố mà = 3 (mod 4)
Ta có N = 4*p1*p2* *pn -1 > 1
Mà N không thể chia hết cho 2 hay bắt kỳ p1, p2, pn
Vì N =1 #3 (mod 4) nên tồn tại ít nhất 1 thừa số nguyên tố p sao cho p = 3 (mod 4)
Ngoài ra, số nguyên tố p này khác hoàn toàn so với các số nguyên tố p1, p2, pn, do N = -1
(mod pi) mà N =0 (mod p) (Vi N > 1 nên tôn tại một thừa sô nguyên tô p)
Vậy tồn tại vô hạn các số nguyên tố s 3 mod 4
b) Let p be an odd prime Define the terms quadratic residue modulo p and quadratic
non-residue modulo p Show that, among the integers a with 1< a<p —1, there are the
same number of quadratic residues and quadratic non-residues modulo p
Voix < m, a duoc goi la quadratic residue modulo m néu t6n tai x42 = a (mod m) Ngược lại thì,
a được gọi là quadratic nonresidue
Giả sử p là 1 số nguyên tổ lẻ, thì ta có (p-1)/2 số tức 1, 2, 3, ., p-1 lA quadratic residues mod p,
và một nửa còn lại là quadratic non-residues
Trang 6
c) Define the Legendre symbol
a , where p is an odd prime and a is any integer
State (without proof) the values of the Legendre symbols |——| and |—| Use the
law of quadratic reciprocity to evaluate the following Legendre symbols, showing your
working and justifying each intermediate step:
“ 21
(il) H
nà —22
(iii) 2
103
(iv)
Definition: Supposes p is a prime; and suppose a belongs to Z
We have = \lif pnotV aAaisaquadratic residue mod p
—1if ais aquadraticnon—residue mod p
—1| _ | 1i[pE1mod4
3 B] _ Lá or (-1)^[(p-1)/2]
or (-1)^[(b^2 -1)/8]
p —lif p=+3mod8
Using Law of quadratic reciprocity:
x 2/2), ¬ 5 li
29/113 — Í2\Í6
se - BIBlI
Trang 7
= BHPH3 - IýlliHHiI
= (GH =) (4) nh
= a ay eae eee
ally 5 59 a 101
Bai 3
a) Let a be a fixed integer, and let n > 1 be a composite integer What does it mean to say that n is:
(i) a pseudoprime to base a;
(ii) a Carmichael number
Show that if nis a pseudoprime both to base a and to base b, then it is also a pseudoprime to
base ab Một hợp số tự nhiên n được gọi là số giả nguyên tố (pseudoprime) bac a néu
a^(n-1)=1 (mod n)
i) Một hợp số tự nhiên n được gọi là số Carmichael nếu n thỏa:
Voi moi a thuộc {1, n-1} (nêu gcd(a, n)=1 thì a^{n-1) 5 1 (mod n))
Show that if n is a pseudoprime both to base a and to base b, then it is also a pseudoprime to
base ab:
sGia sl nla 1 compoite và a^n s a(mod n), b^n s b(mod n), tức (ab)^n = a^n*b^n = ab(mod n)
Vậy n là một số nguyên tố giả của cơ số ab
b) Give an account of the Miller-Rabin primality test for an integer n using a given base a This should include a clear step-by-step account of the algorithm, together with a brief
Trang 8
outline of why the test works You may express the algorithm in pseudocode, or as a
procedure in MAPLE or some other computer language, if you wish Indicate the various
points at which the algorithm may terminate, and what can be deduced in each case (in
particular, whether a proper factor of n can be obtained) You may assume that
subroutines are available to compute ak (mod n) for k 2 0, and to compute the gcd of
two integers
/JI/ Return true nếu n là số nguyên tố và Return false trong trường hợp ngược lại
bool isPrime(int n, int k)
1) If n == 1 return false, If n == 2 or 3 return true
2) If n % 2 ==0, return false
3) Find an odd number d such that d*2“k == n - 1
4) For i:=1 to k do:
if (millerTest(n, d) == false)
return false
5) Return true
bool millerTest¢int n, int d)
1) Pick a random number ‘a’ in range [2, n-2]
2) x := pow(a, d) % n
3) If x == 1 or x == n-1, return true
4) For i:= 1 to k-1 do
a) x = (x*x) % Nn
b) If (x == 1) return false
c) If (x == n-1) return true
c) Illustrate your answer to part (b) by applying the Miller-Rabin test to n = 449 with base
a = 2 What conclusion can you draw?
Ta có: n = 449, a = 2
Gia ste k =4
Tén tai d = 28 để d*2^4 = d*16 = 449 — 1 = 448
Vì a cho trước là 2, nên ta chỉ cần thực hiện 1 vòng lặp thay vì k lần
Trang 9
Vì a = 2 nên x = 2428 % 449 = 357
Vix != 1 vax != n-1 nén:
X = (x*x) % n = (357 * 357) % 449 = 382
Vì xI= 1 và xI= n-1 nên:
X = («*x) % n = (382 * 382) % 449 = 448 = n— 1
=> Return true
Vậy 449 là 1 số nguyên tố
Bài 4
a/ Define Euler’s totient funcfion ÿ, and show that gíp e) = p e-†1 (p- 1) when p is prime
and e 2 1 Write down (without proof) a formula giving @(n) ïn terms of the prime
factorization of n Hence find all solutions of each of the following equations:
ta có phi(p^e) = p^(e-1).(p-1) với p là số nguyên tố và e >= 1
li phi(n) = 8
<=> phi(n) = n^(e-1).(n-1) = 8
Mà 8 = 243
Vay:
- giaswn=2vae = 4 ta được 2^(4-1).(2-1) = 8 => với n = 2 và e = 4 thỏa YCBT
- gia st n = 3 và với mọi e đều không thỏa phi(3) = 8 => với n = 3 không thỏa YCBT
- _ tương tự với 5 và 7 đều không thỏa
Kết luận ta tìm được n = 2 và e = 4 thỏa YCBT
iii phi(n) = (1/2)n
<=> phi(n) = n^(e-1).(n-1) = (1/⁄2)n
Vay:
- _ giả sử n= 2 và e= 1 ta được 2^(1-1).(2-1) = (1⁄2).2 = 1 vậy ta được n = 2 và e = 1 thỏa
YCBT
- _ với mọi n là số nguyên tố khác 2 đều cho kết quả của phép (1/2)n là một số không
nguyên Mà kết quả của phép toán theo công thức Euler lun cho ra số nguyên cho nên
sẽ không có bất cứ một giá trị nào của n thỏa YCBT nữa
Kết luận ta tìm được n = 2 và e = 1 thỏa YCBT
Bài 5
Trang 10
a/ State and prove Euler’s criterion on the Legendre symbol (a/p), where p is an odd
prime [Any standard facts you use should be clearly stated, but need not be proved.]
Apply Euler’s criterion to evaluate (-1/p) for all odd primes p
theo Euler’s criterion ta cé:
+1 if a=? (mod p),a #0 (mod p) () ={-l if a ¢ 2? (mod p)
0 if a=( (mod p)
Cho tât cả a thuộc Z, p >= 3 chúng ta có (<) 8 an (mod p)
Pp
Như vậy tương ứng với (-1/p) ta được:
`) l if p=1 (mod 4)
P =] if p=—1 (mod 4)
b/ State the law of quadratic reciprocity relating the Legendre symbols (p/q) va (q/p) for
distinct odd primes p, q Use it to evaluate (3/p) for all odd primes p
ta có khoảng cách giữa các số nguyên tế lẻ p, q:
~ =Ì= 1)” 7
b0) =1
Tương ứng với (3/p) ta được:
3 ; p-1 (Pp
@)~c»*@) p 3
Vì (p/3) hoàn toàn được quyết định bởi sự giảm đi của p (mod 3) và (-1)^((p-1)/2) được quy
định bởi sự giảm đi của p (mod 4), ta suy ra được công thức sau:
(=) _ 1 if p = +1 (mod 12)
Trang 11
a/ Let p be an odd prime Prove that (p — 1)! = -1 (mod p) Deduce that for
r= : (3- 1))! we have ;? = _1 (mod p)ifp=1 (mod 4), andr=+1 if
p = 3 (mod 4)
Mỗi a trong {1, 2, , p— 1} có một nghịch đảo a* thuộc {1, 2, , p— 1} modulo p Vậy aa* =
1 (mod p) Nghịch đảo này là độc lập và thỏa a(a*) = a Nếu a = a* thì 1 s aa* = a 2 (mod p)
Chúng ta thấy được sự quan trọng của a = +1 (mod p) cũng như a =1 hay a = p -1 Trong (p —
1)I=1x2x*3x -x(p- 2) x (p— 1) chúng ta ghép chung thành từng cặp lưu từ 1 đến p-1
với nghịch đảo của modulo p Do đó chúng ta nhận được t (p - 1)! Z 1 x (p - 1) =—1 (mod p)
Một ví dụ cho trường hợp p = 11:
10! = 1x2x3x4x5x6x7xÑx9x10
= Ix(2x6)x(3x4)x(5x9)x(7x8) x10 lxlxilxilxilxil0=10 1 (mod 11)
b/ Prove that a prime p can be written as the sum of two squares if and only if either
p=2orp=1 (mod 4)
Giả sử p = a^2 + b^2 Vì 1 trong 2 số này là hợp thức của 0 hoặc 1 của modulo 4 nên p =0, 1
or 2 (mod 4) Những hãy nhớ răng p là số nguyên tô cho nên nó không thé chia hệt cho 4 và
cách duy nhất để = 2 (mod 4) là p phải bằng 2
10