từ trên xuống dưới số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên.. Trong mặt phẳng SBD, gọi E=SI ÇDM .Ta có:● E SIÎ mà SI Ì SAC suy ra EÎ SAC.●
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – TOÁN 11
Thời gian: 90 phút
-Phần 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 26 Mỗi câu hỏi thí
sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A1; 4 , B3; 5
Tọa độ của AB
là:
A 2; 1
B 4;9
C 4; 9
D 4;9
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng d đi qua điểm M1;2
và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất có phương trình là ax by 10 0 Giá trị a b bằng
A 3 B 3 C 6 D 6
Lời giải
d O d OM d O d OM OM d n OM
Phương trình d:1x12 y 2 0 x2y 5 0 2x 4y10 0 a b 6
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A1;5
và phương trình đường thẳng
BD là x 3y Tìm tọa độ đỉnh 4 0 B biết B có hoành độ dương
A 2;2
B 3; 1
C 5;3
D 8; 4
Lời giải
Cách 1:
Cách 2: Ta có u BD 3;1
3
B BD x y B b b b AB b b
BD BD
AB u
AB u
2 2
2 3 3b 5 b 5 3b 5 b 5 10
100 b 2 5 10 b 40b 50 2 b 4b 4 b 4b 5 b 4b 3 0 b 1;3
Câu 4: Mẫu số liệu ghép nhóm về điểm kiểm tra của 40 học sinh lớp 11A được cho trong bảng sau
Điểm 0; 2 2; 4 4;6 6;8 8;10
Điểm trung bình của 40 học sinh là
A 5, 4 B 5 C 5,84 D 5,8
Câu 5: Mẫu số liệu ghép nhóm về tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt được cho trong bảng sau
Tốc độ (km/h) 150;155 155;160 160;165 165;170 170;175 175;180
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là
Trang 2A 160,57 B 167, 21 C 166,65 D 162,5
Lời giải
Cỡ mẫu: n 200
Tứ phân vị thứ nhất Q là 1 50 2 51
x x
Do x x đều thuộc nhóm [160;165) nên tứ phân vị thứ nhất thuộc 50; 51 nhóm [160;165) Do đó, p3;a3 160;m335;m1m2 18 28 46; a4 a3 và ta có:5
1
200
46 4
35
Q
Câu 6: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:
Tuổi thọ (năm) 2; 2,5 2,5; 3 3; 3,5 3,5; 4 4; 4,5 4,5;5
Mốt của mẫu số liệu trên là
A 3, 25 B 3, 42 C 3, 29 D 3,31
Lời giải
14 là tần số lớn nhất nên mốt thuộc nhóm [3;3.5), ta có j3,a3 3,m3 14,m2 9,m4 11,h0.5
Do đó:
14 9
(14 9) (14 11)
o
Câu 7: Tìm khẳng định sai
A
2
2
1
1 tan
cos
a
a
B cos 2a 1 2sin2a
a b
Câu 8: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 400 bắc trong ngày thứ t của năm 2017
được cho bởi hàm số y=4 sin π (t−60 )
178 +10 với 0 t 365,t Vào ngày nào trong năm thì thành phố
A có nhiều giờ có ánh sáng nhất?
A 29 tháng 5 B 12 tháng 6 C 12 tháng 5 D 24 tháng 6.
Do 0 t 365,t nên t=149 suy ra ngày 29 tháng 5.
Câu 9: Cho các số dương , ,a b c khác 1 thỏa mãn loga bc 2
; logb ca 4
Giá trị của logcab
là
A
6
10
8
7
6
Lời giải Chọn C
Ta có:
5
4
a b
3
7
5
b
;
5
3
b ca b c b a b c b b b c
Mà log log log 5 3 8
c ab c a c b
Câu 10: Cho , ,a b c là các số thực dương khác 1 Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số y a y b y x, x, logc x
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trang 3A a b c . B c b a . C a c b . D c a b .
Câu 11: Trong hội chợ tết Giáp Thìn 2024, một công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1,3,5,
từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên) Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?
Lời giải Chọn A
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng liên tiếp của CSC:
1
2
n
n
S u n d 900 2.1 1 2
2
n
n
900
n
n30
Vậy u 30 1 29*2 59.
Cách 2:
Áp dụng công thức 1 3 5 (2 n1)n2.Suy ra n 30.Vậy 2n 1 59.
Câu 12: Để tiết kiệm năng lượng, một công ty điện lực đề xuất bán điện sinh hoạt cho dân với theo hình
thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm 10 số; bậc 1 từ số thứ 1 đến số thứ 10 , bậc 2 từ số thứ 11
đến số 20 , bậc 3 từ số thứ 21 đến số thứ 30 ,… Bậc 1 có giá là 800 đồng/1 số, giá của mỗi số ở bậc thứ 1
n tăng so với giá của mỗi số ở bậc thứ n là 2,5% Gia đình ông A sử dụng hết 347 số trong tháng 1,
hỏi tháng 1 ông A phải đóng bao nhiêu tiền? (đơn vị là đồng, kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
A 415481,84 B 402832, 28 C 402903, 08 D 433868,89
Lời giải Chọn D
Gọi u là số tiền phải trả cho 10 số điện đầu tiên 1 u =10 800= 8000 (đồng)1
2
u là số tiền phải trả cho các số điện từ 11 đến 20 : u2 u1(1 0,025)
34
u là số tiền phải trả cho các số điện từ 331 đến 340: 33
Số tiền phải trả cho 340 số điện đầu tiên là:
34
1 1
1 1 0,025
1 1 0, 025
Số tiền phỉ trả cho các số điện từ 341 đến 347 là: S 2 7.800(1 0,025) 34 12965,80
Vậy tháng 1 gia đình ông A phải trả số tiền là: S S 1S2 433868,89 (đồng)
Câu 13: Khẳng định nào sai?
Trang 4A limn a 1a0
lim k 0 k
C limq n 0 q 1
Câu 14: Cho f x là đa thức thỏa mãn
2
20
2
x
f x
3
2 2
lim
6
x
f x T
A
12 25
T
4 25
T
4 15
T
6 25
T
Lời giải
Cách 1: Chọn f x 10x
và bấm máy
Cách 2: Ta có
2
Đặt 36f x 5t
, khi x thì 2 t 5
Khi đó
2
20 6
lim
25
x
f x x T
Câu 15: Tìm m để hàm số
2 16
4
x
x
liên tục tại điểm x 4
7 4
m
7 4
m
Lời giải Chọn D
2
16
4
x
x
Hàm số f x
liên tục tại điểm x 4 nếu
x f x x f x f
7
4
Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB CD Gọi I là giao điểm của AC / /
và BD Trên cạnh SB lấy điểm M Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ADM và SAC
A SI B AE ( E là giao điểm của DM và SI ).
C DM D DE ( E là giao điểm của DM và SI ).
Lời giải Chọn B
S
C D
M
I E
Ta có A là điểm chung thứ nhất của (ADM) và (SAC)
Trang 5Trong mặt phẳng (SBD), gọi E=SI ÇDM
Ta có:
● E SIÎ mà SI Ì (SAC) suy ra EÎ (SAC)
● EÎ DM mà DMÌ (ADM) suy ra EÎ (ADM)
Do đó E là điểm chung thứ hai của (ADM) và (SAC)
Vậy AE là giao tuyến của (ADM) và (SAC)
Câu 17: Cho tứ diện ABCD với M N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD , ACD Xét các khẳng định,
sau:
(I) MN//ABC
(II) MN//BCD
(III) MN//ACD
(IV) MN//ABD
Các khẳng định đúng là
Lời giải Chọn A
N M
I A
C
D B
Gọi I là trung điểm của AD
Do M N, lần lượt là trọng tâm ABD và ACD nên
1
//
3
MN BC
Mà BCBCD và BCABC , suy ra MN//BCD
và MN//ABC
Câu 18: Cho hình chóp tam giác S ABC. có SAB ABC, SAC ABC
, tam giác ABC vuông tại
B Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC Trong các khẳng định sau:
1 : AH SC
2 : AHK SAC 3 :BCSAB. 4 :HK AC.
Có bao nhiêu khẳng định đúng ?
Lời giải Chọn C
S
A
B
C H
K
Câu 19: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong 5 món, một loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống Có bao nhiêu cách chọn thực đơn
Câu 20: Tìm n biết rằng hệ số của x trong khai triển 4 x32x23x x 1n
bằng 804
Trang 6Lời giải
Ta có (x3 + 2x2 + 3x x)( + 1)n=x3(1 +x)n+ 2x2(1 +x)n+ 3 1x( +x)n.
Do đó
4
n n n n n
a =C + C + C = Û n+ - + - - = Û n=
Chọn C
Câu 21: Một câu lạc bộ có 30 thành viên Cần chọn một ban điều hành câu lạc bộ gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 thư kí và 4 ủy viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng thành viên nào cũng có khả năng điều hành
A 2035800 B 10260432000 C 427518000 D 71253000
Câu 22: Một lớp có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động
của đoàn trường Xác suất chọn được hai nam và một nữ là
12
29 Số học sinh nữ của lớp thuộc khoảng nào sau đây
A 3;6
B 5;12
C 11;16
D 15;23
Lời giải
Gọi số học sinh nữ là n ( 0n30)
Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là
2 1 30 3 30
14 29
n n
C
Câu 23: Bạn Trang có 10 đôi tất khác nhau Sáng nay, trong tâm trạng vội vã đi du lịch, Trang đã lấy ngẫu nhiên 4 chiếc tất Tính xác suất để trong 4 chiếc tất lấy ra có ít nhất một đôi tất
A
6
99
224
11
969.
Lời giải Chọn B
Cách 1: Lấy ngẫu nhiên 4 chiếc tất trong 10 đôi tất khác nhau là C 204
Số cách chọn có ít nhất một đôi tất là 10.18.8 C 102
Vậy xác suất cần tìm:
2 10 4 20
323
C C
Cách 2: Lấy ngẫu nhiên 4 chiếc tất trong 10 đôi tất khác nhau là C 204
Gọi A là biến cố:’’ Lấy bốn cái tất không thuộc đôi nào cả’’
-Lấy 4 đôi trong 10 đôi, có C cách.104
-Trong 4 đôi lấy ra, mỗi đôi lấy một chiếc: Có C C C C cách.12 .12 12 12 16
Vậy 4
10.16
n A C
Do đó: 104
4 20
.16 99
323
C
C
Câu 24: Cho hàm số f x thỏa mãn
0
h
h
Khẳng định nào sau đây là đúng
A f 0 4 B f 0 2 C f 2 2 D f 2 4
Câu 25: Hàm số
y
có đạo hàm bằng
A
2
2
.sin 2 (cos sin )
2 2
2
.sin (cos sin )
2
2
.cos 2 (cos sin )
2
cos sin
x
Trang 7Câu 26: Cho hàm số
2 1 2
x y x
có đồ thị C Phương trình tiếp tuyến của C song song
với đường thẳng : 3 x y là2 0
C. y3x , 5 y3x 8 D. y3x 8
Lời giải
Chọn A
Vì tiếp tuyến song song với : 3 x y nên hệ số góc của tiếp tuyến là 2 0 k 3 Gọi x là hoành độ tiếp điểm khi đó 0 y x 0 hay k 0 2
3
3 2
x x022 1 0
0
1 3
x x
Với x0 1 y0 khi đó tiếp tuyến là 1 y3x1 1 3 x (loại vì trùng với 2 )
Với x0 3 y0 khi đó tiếp tuyến là 5 y3x3 5 3x14
Phần 2: Câu trắc nghiệm đúng sai Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số bậc hai yf x ax2bx c có đồ thị C (như hình vẽ).
a) Hàm số f x
nghịch biến trên khoảng ;0
b) Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f x
trên đoạn 3;1
bằng 3
c) Bất phương trình f x 1 có nghiệm khi và chỉ khi m m 1
d) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
2 2 3 0
có 7 nghiệm phân biệt là khoảng a b; Khi đó a b 12
Câu 2: Mẫu số liệu về điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho trong bảng sau
Điểm trung bình 6,5; 7 7; 7,5 7,5; 8 8; 8,5 8,5; 9 9; 9,5 9,5; 10
a) Cỡ của mẫu số liệu là n 82
b) Số trung bình của mẫu số liệu là x 8,12
c) Số trung vị của mẫu số liệu là M e 8,15
d) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là Q 3 8,63
Câu 3: Xét hàm số f x cot 2xtanx
a) Tập xác định của f x
là
2
k k
b)
2
sin
sin 2
x
f x
x
với x k 2
Trang 8
c) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f x
trên đoạn
;
8 3
bằng
2 3 3 2 3
d) Phương trình f x 0
có nghiệm
Câu 4:
a) Cho 0a và 1 b ta có 0 4
2 1
2 a
a b b
b) Với mọi cặp số thực a b;
thỏa mãn a b ta có 1
1
a b
Lời giải
Ta có a b 1 b 1 a
Thay vào
a b
1 1
1
4 2 4 4 2 4
1
4 2 4 2 4 2
c)Giả sử hai số thực dương a b, thỏa mãn
6 3
log 5log
1 log 2
a
b
Khi đó a36b
Lời giải
Ta có:
b
a
b
d) Giả sử ,p q là các số thực dương thỏa mãn log16 plog20qlog25 p q
Giá trị của
p
q bằng
5 1 2
Lời giải
log plog qlog p q
16
20
25
log log log
p t
q t
16 20 25
t t t
p q
p q
1 0
t t
t
t
vn
t p
q
Câu 5: Cho hình chóp S ABCD. có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, SA a , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và Bvới AB BC a, AD2a
a) SA CD
b) Gọi H là trung điểm của SB Khi đó AH SBC
c) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD bằng a36
d) Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD bằng 0
45
Lời giải
Trang 9E S
A
D K
Gọi E là trung điểm của AD, suy ra ABCE là hình vuông Do đó AC CD
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC Khi đó AH SBC
và AK SCD
Suy ra góc giữa (SBC) và (SCD) là góc giữa AH và AK
Xét tam giác AHK vuông tại H có
2 2
a
AH
và
6 3
a
AK
Suy ra
2
AH
AK
Vậy góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 30 0
Câu 6: Một tổ gồm 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ.
a) Số cách chọn ra từ tổ đó 4 học sinh trong đó có cả nam và nữ là 455
b) Số cách sắp xếp cả tổ đó thành một hàng dọc sao cho không có hai học sinh nam nào đứng cạnh nhau là
33868800
c) Số cách chia tổ đó thành 4 nhóm nhỏ, trong đó có hai nhóm mà mỗi nhóm có 2 học sinh và hai nhóm mà mỗi nhóm có 4 học sinh là 207900
d) Xếp tổ đó vào một dãy có 15 ghế (xếp thành hàng ngang) Xác suất để các học sinh nam ngồi cạnh nhau thành một cụm là
1
273
Lời giải
c) + Chia một nhóm 4 học sinh, có C cách chia.124
+ Chia nhóm thứ hai có 4 học sinh, có C cách chia.84
+ Chia nhóm thứ 3 có 2 học sinh, có C cách chia.42
+ Chia nhóm thứ 4 có 2 học sinh, có C cách chia.22
Số cách chia 12 học sinh thành 4 nhóm nhỏ, trong đó có hai nhóm 2 học sinh và hai nhóm 4 học sinh là:
4 4 2 2
12 .8 4 2
51975 2!.2!
C C C C
cách (do trùng ở hai nhóm 4 người và hai nhóm 2 người)
d) n A1512
Gọi biến cố A là “các học sinh nam ngồi cạnh nhau thành một cụm”
118.5!
n A A
Vậy xác suất là
8 11 12 15
.5! 1 273
P A
Phần 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Tính tổng tất cả các nghiệm trên đoạn ;0
của phương trình
1
1 2cos
x
làm tròn đến hàng phần chục)
Đáp số: 4,7
Lời giải
Trang 10Điều kiện:
1
Ta có 1 cos 2x 3 sin 2x 2 1 2cosx 1 cos 2 x 3 sin 2x2cosx0
2 2cos x 2 3 sin cosx x 2cosx 0 cosxcosx 3 sinx 1 0
cos 0 cos 3 sin 1 0
x
* cosx 0 x 2 k
*
2 1
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là: x 2 k ; x k2
Trên ;0
phương trình có nghiệm x 2;
Tổng các nghiệm là
3
4, 7 2
Câu 2: Cho ,a b là hai số thực thỏa mãn
2 1
1
x
x
Tìm a2b
Lời giải
f x x ax x b f x x ax f x x a
1
1
x
f x
x
Khi đó giới hạn dạng 0
0
Theo quy tắc Lopitan ta có
2
1
x x
Suy ra f 1 0 a (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 a1,b 3 a2b5
Cách 2: Phân tích 2x3ax2 4x b x122x2mx n
Thay x 0 n b , thay x 1 a b 2 ,
thay x 2 m2a , thay x 1 m n 1 m b 1 2a b 1 a1;b 3
Thử lại thỏa mãn
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 , mặt bên SAB là tam giác đều,
2
SC Gọi K là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa SC và DK (Kết quả làm tròn đến hàng phần
trăm)
Đáp số:
30
0, 27
20
Hướng dẫn
Trang 11I K H
D
S
A
J
Từ SC 2 suy ra SBBC Do đó SAB ABCD
Vì ABCD là hình vuông nên HC DK Suy ra
SCDK Do đó khoảng cách giữa SC và DK là độ dài đoạn vuông góc chung IJ (Hình vẽ)
5
CD CK IC
20
Vậy ; 30
20
d SC DK
Câu 4: Cho ,a b là hai số thực dương thỏa mãn 5
a b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a 2b2 (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Đáp số:
5 2,5
2
Lời giải
log 4 2 5 (4 2 5) log 5 5 (5 5 ) (1)
Vì hàm số f x( ) log 2x x đồng biến trên 0; nên
(1) f 4a2b5 f 5a5b 4a2b 5 5a5b a 5 3b
thay vào T, ta được:
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3 2
b
và
1 2
a
Câu 5: Cho hình lăng trụ ABC A B C. có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh AC và 1 ABC 300
Tứ giác BCC B là hình thoi có B BC nhọn, mặt phẳng BCC B vuông góc với mặt phẳng ABC
, góc giữa mặt phẳng ABB A và mặt phẳng ABC
bằng 60 Gọi M là trung điểm của CC Tính thể tích 0
của khối chóp M ABB A. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp số:
2 7
0, 76 7
Lời giải