Đề tài " Giải toán trên máy tính Casio " - Trương Ngọc Bôn pot

Bộ Giáo Dục và Đào tạo đã tổ chức cho THCS vàTHPH các kỳ thi học sinh giỏi “giải toán trên máy tính casio”.. Phòng Giáo Dục và đào tạoCẩm xuyên đã tổ chức các kỳ thi học sinh giỏi “giải

Trang 1

Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn

A đặt vấn đề

Máy tính điện tử là một trong những công cụ tích cực trong việc dạy và học toán.Nhờ có máy tính điện tử mà nhiều vấn đề đợc coi là khó trong dạy học toán ( ví dụ giảiphơng trình bậc hai, phơng trình ba, phơng trình vô tỷ, chuổi số, các định lý số học ) ta

có thể giảng dạy cho học sinh THCS một cách dễ dàng Các quy trình thao tác trên máytính điện tử bỏ túi có thể coi là bớc tập dợt ban đầu để học sinh dần dần làm quen với thuậttoán và lập trình trên máy tính cá nhân Bộ Giáo Dục và Đào tạo đã tổ chức cho THCS vàTHPH các kỳ thi học sinh giỏi “giải toán trên máy tính casio” Phòng Giáo Dục và đào tạoCẩm xuyên đã tổ chức các kỳ thi học sinh giỏi “giải toán trên máy tính casio” cấp huyện

và tham gia kỳ thi học sinh giỏi “giải toán trên máy tính casio” cấp Tĩnh song kết quả cònkhiêm tốn so với các huyện mạnh nh Can Lộc,Hồng lĩnh, TP Hà Tĩnh Một số bài dự thicủa học sinh kết quả còn thấp, hoặc bài làm thiếu tính chính xác, cách trình bày sời sạc,ngẫu hứng, các thuật toán trên máy tính cha đợc vận dụng vào bài làm

Với lý do đó và niềm đam mê toán học trên máy tính và thực trạng qua nhiều nămgiảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi, tôi mạnh dạn biên soạn tập tài liệu bồi dỡng HSG giảitoán trên máy tính Casio này lu hành nội bộ Mục đích của tài liệu ngoài hớng dẫn chi tiếtcác thao tác tính toán, Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay mà còn trình bày

ý nghĩa toán học của các bài toán.Vì vậy nhiều kiến thức toán học ngoài chơng trình vẫn

đợc đa vào.Việc trình bày các kiến thức toán học, tính chính xác kết quả trong từng phéptính đợc đặc biệt chú trọng Bởi đó là điều cơ bản và cốt lỏi của việc sữ dụng máy tính.Ngời viêt xin đợc trao đổi cùng bạn đọc qua đề tài: “giải toán trên máy tính casio”

Đề tài gồm ba phần:

Phần I: Hớng dẫn sử dụng máy tính casio Fx:500 MS và Fx:570 MS

Phần II: Các dạng bài tập: ”Giải toán trên máy tính Casio”

Phần III: Một số đề thi Giải toán trên máy tính Casio ( hệ THCS )

Trong khi biên soạn mặc dù đã rất cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu sót.Rất mong nhận đợc sự góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm

A

/ máy tính casio Fx:500 MS

I/ Các phím và cách bấm máy sử dụng chung cho cả máy Fx:500 MS và Fx:570 MS :

Trang 2

1)

Các loại phím:

+ Phím trắng: Bấm trực tiếp ( ví dụ: 5 ta ấn 5 = 5 )

+ Phím vàng: Bấm SHIFT + Phím vàng (Ví Dụ: 4 81, ta bấm 4 SHIFT x 81 =4 81 ) + Phím đỏ: Bấm ALPHA + Phím đỏ (ví dụ: A, ta bấm ALPHA A

2) Mở tắt máy:

+ Mở máy: Bấm ON

+ Tắt máy: Bấm SHIFT + OFF

+ Xoá màn hình khi làm tính : - Bấm AC

*) Chế độ Mode: Nhằm ấn định ngay từ đầu loại hình tính toán, loại đơn vị đo,dạng số

biểu diễn kết quả, chữ số có nghĩa,sai số làm tròn phù hợp với giã thiết của bài toán

a) Bấm Mode ( 1 lần) man−hinh→

3 2 1

REG SD COMP

+ Bấm Mode 1 → Làm các phép tính thờng+ Bấm Mode 2 → Làm thống kê một biến+ Bấm Mode → Làm thống kê hai biến

b) Bấm Mode Mode( 2 lần) man−hinh→

1

EQR ( giải phơng trình )

+ Bấm Mode Mode 1 man−hinh→UNKNO S ( ẩn )

- Bấm tiếp 2 → Giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn

- Bấm tiếp 3→ Giải hệ phơng trình bậc nhất ba ẩn+ Bấm Mode Mode 1  man −hinh →Degree (bậc)

Trang 3

- Bấm tiếp 2 → Giải phơng trình bậc hai một ẩn

- Bấm tiếp 3 → Giải phơng trình bậc ba một ẩn

c) Bấm Mode Mode Mode ( 3 lần) man−hinh→

3 2 1

Gra Ded Deg

+ Bấm Mode Mode Mode 1 → Chọn đơn vị đo góc là độ

+ Bấm Mode Mode Mode 2 → Chọn đơn vị đo góc là rađian

+ Bấm Mode Mode Mode 1 → Chọn đơn vị đo góc là grad

d) Bấm Mode Mode Mode Mode ( 4 lần) man−hinh→

3 2 1

Norm Sci Fix

+ Bấm Mode Mode Mode Mode 1 → Có chọn số số lẻ thập phân

+ Bấm Mode Mode Mode Mode 2 → Có chọn hiện số dạng : a.10n

+ Bấm Mode Mode Mode Mode 3 → Có chọn số dạng thờng

e) Bấm Mode Mode Mode Mode Mode( 5 lần)

/c d c ab

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1→ kết quả dới dạng hổn số

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 2 → kết quả dới dạng phân số

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1  man −hinh →

2 1

Comma Dot

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1  1

→ Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (.)+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1  1

→ Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (,)

III/ Cách làm một bài thi “ Giải toán trên máy tính casio"

*Quy định:

1 Yêu cầu các em dự thi chỉ dùng máy Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS, Casio

fx 500 ES, Casio fx 570 ES để giải

2 Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các đề thi phảiviết đủ 10 chử sốhiện trên màn hình máy tính

Trang 4

3 Trình bày bài giải theo các bớc sau :

- Sơ lợc lời giải ( lời giải vắn tắt)

- Thay số vào công thức (nếu có)

- Viết quy trình ấn phím

- Kết quả

*Nhận xét : Qua các đề thi tỉnh, khu vực tổ chức các năm gần đây Chúng ta có thể nhìn

đề thi Giải toán trên máy tính Casio‘ theo các định hớng sau đây :

1 Bài thi học sinh giỏi" Giải toán trên máy tính Casio " phải là một bài thi Học sinh giỏi toán có sự trợ giúp của máy tính để thử nghiệm tìm ra các quy luật toán học hoặc tăng tốc độ tính toán.

2 Đằng sau các bài toán Giải trên máy tính Casio ẩn chứa những định lý, thuật toán, thậm chí cả một lý thuyết toán học ( số học, dãy tru hồi )

` 3 Phát huy đợc vai trò tích cực của toán học và máy tính trong giải các bài toán thực tế

Phần II: Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay

I/ Một số dạng toán xác định số (số học):

1/ Loại 1 Tính chính xác kết quả phép tính :

.Ph ơng pháp: Dựa vào các tính chất sau:

1) Số a1a2a3a4 a a7 8 = a1a2a3a4 104+ a5a6a7a82) Tính chất của phép nhân: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC + BD

Trang 5

* Tính trên máy: 963.14375 = 13843125

Từ đó ta có: A = 180808750000

+ 13843125

= 180822593125

Vậy A = 12578963 x 14375 = 180822593125 b) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 Tính trên máy: 123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 67892 = 46090521 Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000

+ 1676204100000

46090521

= 15241578750190521

d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563 Tính trên máy: 10233 = 1070599167; 3.10232.456 = 1431651672 3.1023.4562 = 638155584; 4563 = 94818816

Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000 1431651672000000

+ 638155584000

94818816

= 1072031456922402816

Bài tập áp dụng:

Bài 1 : Tính kết quả đúng của các tích sau: a) M = 2222255555 x 2222266666

b) N = 20032003 x 20042004

Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012

Bài 2: Tính kết quả đúng của các phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003

b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432

Bài 3: Tính chính xác tổng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! + + 16.16!

* Hớng dẫn: Ta có n.n! = ( n + 1 – 1).n! =(n + 1).n! – n! = (n+1)! –n!

* Đáp số: S = 355687428095999

Bài 4: a) Tính bằng máy tính: Q = 1 + 22+ 32+ + 102

b) Có thể dùng kết quả đó để tính tổng : K = 22 + 4 2 + 6 2 + + 20 2 mà không dùng

máy tính hãy trình bày lời giải ấy Đáp số: a) Q = 385; b) K = 1540

Trang 6

Bài 5: Tính chính xác của số A =

2 12

10 2 3

Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số ta ngắt ra thành hai nhóm Nhóm đầu 9 chữ

số đầu( kể từ bê trái) tìm đợc số d nh phần 1) Rồi viết tiếp sau số d còn lại tối đa 9 chữ

số rồi tìm số d lần hai Nếu còn nữa thì làm liên tiếp nh vậy.

*Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ≠ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho: a = bq + r và 0 ≤ r < |b|

* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm d trong phép chia a cho b:

Ví dụ1: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số d khi chia 18901969 cho 3041975 Tính số d

b) Tìm số d trong phép chia: 815 cho 2004

Giải:

a) Quy trình ấn phím: 18901969SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B

ANPHA A ữ ANPHA B = (6,213716089)

SHIFT A - 6 ì B = (650119)Vậy số d là: r = 650119

Trang 7

Bài 1: a) Viết quy trình ấn phím để tìm số d khi chia 3523127 cho 2047.

b) Tìm số d đó.Tìm thơng và số d trong phép chia: 123456789 cho 23456

Bài 2: Tìm số d trong phép chia: a) 987654321 cho 123456789 Đáp số: r = 9

*Phơng pháp:

1.Với các số a và b nhỏ hơn 10 chữ số thì ta dùng tính chất rút gọn phân số

,

, ,

,

.

b

a m b

m a

b

a = = Trong đó (a,; b ) = 1 Khi đó UCLN (a;b) = m

2 Với các số a và b lớn hơn 10 chữ số thì ta dùng thuật toán ƠLE:

Tìm UCLN(a;b) với a 〉 b ta có thuật toán sau :

0

.

1 1

1 2

3 3 2 1

2 2 1

n n n n

q r r

r q r r

r q r b

r q b a

Số d cuối cùng khác 0 là rn chính là UCLN (a;b) hay : rn= UCLN (a;b)

* Chú ý: BCNN(a;b) =

)

; (

.

b a UCLN

b a

Ví dụ 1: Tìm UCLN của hai số: a = 24614205, b = 10719433

m a b

a = = Trong đó (a,; b ) = 1 Khi đó UCLN (a;b) = m +) Quy trình ấm máy:

24614205 SHIFT STO A

ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311)

Vậy UCLN(a;b) = 21311

*C 2:

+)Theo thuật toán Ơle tìm số d trong phép chia số a cho b ta đợc:

+) quy trình ấm máyliên tục: (Bạn đọc có thể dể dàng làm đợc và kết quả UCLN(a, b)

= 21311)

Trang 8

Tµi liÖu båi d ìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n

* Ph¬ng ph¸p: 1) Dùa vµo c¸c dÊu hiÖu chia hÕt cña 2,3,4,5,6,7,8,9,11

Trang 9

2) Thay x lần lợt từ 0 đến 9 sao cho nM m

Ví dụ 1: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 chia hết cho7

*Sơ l ợc lời giải:

- Số lớn nhất dạng 1x2y3z4 chia hết cho 7 sẽ là: 19293z4

Lần lợt thay z = {9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0} ta đợc số lớn nhất dạng 1x2y3z4 chia hết cho 7 là: 1929354,thơng là 275622

- Số nhỏ nhất dạng 1x2y3z4 chia hết cho 7 sẽ là: 10203z4

Lần lợt thay z = {9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0} ta đợc số nhỏ nhất dạng 1x2y3z4 chia hết cho 7 là: 1020334, thơng là 145762

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số n dạng: N = 1235679 4x y chia hết cho 24.

Bài 1: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng:1 2 3 4x y z chia hết cho 13

Số 2: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 chia hết cho 25

Số 3: Tìm chữ số a biết rằng 46928381a6506 chia hết cho 2009

Số 4: Tìm chữ số x biết rằng 469x838196506 chia hết cho 2009

* loại 4: Tìm chữ số tận cùng của số n = an an-1 xa1a0 với n ∈ N

Phơng pháp: (Vận dụng các tính chất sau)

1) Những số có chữ số tận cùng là: 0;1;5;6 khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nào cũng có chữ

Trang 10

4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).

5) Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 0 thì tích đó có chữ số tận cùng là: 0 6) Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 và nhân với số lẻ thì tích đó có chữ

10) Thử trên máy lần lợt các số thoả mãn điều kiện bài toán thì ta chọn

10 Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).

12) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những

số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).

13) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những

số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến).

5x− ( vì x; y ∈ Z ; 0  x;y ≤ 9 )

Trang 11

Bài 5: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn:

1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị

2) Là số chính phơng

Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393

cũng nh 655 đều có số d là 210

Bài 7: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9

Bài 8: Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất có tính chất sau:

Bài 10: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối

đều là số 1

Bài 11: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n2 bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng số 89

Trang 12

b) Tìm số tự nhiên n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong đó xxxxxx là 6 số có thểkhác nhau)

Bài 12: Với giá trị tự nhiên nào của n thì:

Bài 6: *Sơ l ợc lời giải:

Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 ⇒ x -210 chia hết cho 393

Bài 7:

Trang 13

*Sơ l ợc lời giải: Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số

x, y, z sao cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315

Ta có 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz

⇒ 30 + xyz chia hết cho 315 Vì 30 ≤ 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các

bội của 315 trong khoảng (30 ; 1029):

- Nếu 30 + xyz = 315 thì xyz = 315 - 30 = 285

- Nếu 30 + xyz = 630 thì xyz = 630 - 30 = 600

- Nếu 30 + xyz = 945 thì xyz = 945 - 30 = 915Vậy ta có đáp số sau:

Trang 14

+ Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta đợc các số này đều vợt quá số 1038471

Kết luận: Số nhỏ nhất thoã mãn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó:

Trang 15

17, 33, 67, 83 (*)

* Bây giờ ta tìm số n2 bắt đầu bởi số 19:

- Để n2 bắt đầu bởi số 19 thì nó phải có dạng:

ta đợc n có thể là: 44, 436, 437, 438, 439, , 447

+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:

190.10m≤ <n 200.10m

⇔ 13,78404875.10m ≤ n < 14,14213562.10m (3)Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2, (tính trên máy):

Thu hẹp khoảng cách chứa n bằng phơng pháp chia đôi:

- Chia đôi đoạn [512 ; 1024], ta có: 1,01521 10242 1,01 768 2083,603 768

Trang 16

Tµi liÖu båi d ìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n

1,01652 = 656,95 > 652

⇒n = 652

* Quy tr×nh trªn MT Casio fx: 500 MS

(ThuËt to¸n: XÐt hiÖu 1,01A - A , g¸n cho A c¸c gi¸ trÞ tù nhiªn: 0, 1, 2,

dõng l¹i khi hiÖu trªn chuyÓn tõ (-) sang (+))

- G¸n cho « nhí A gi¸ trÞ tù nhiªn ®Çu tiªn:

N ếu x0 mµ P(x0) = 0 th× x0 lµ nghiệm của P(x)

2) Khi chia ®a thøc P (x) cho (x - α ) lu«n tån t¹i mét ®a thøc th¬ng Q(x) vµ sè d r.Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x) (x - α) + r

* Chó ý: (§Þnh lý Bezout)

1) N ếu x = α lµ nghiệm của P(x) ⇔ P(x)M (x - α )

2) Nếu x0 lµ nghiệm nguyªn của P(x) th× x0 ước của a0

Trang 17

3) N ếu tổng các hệ số bằng 0 thì P(x) = 0 có nghiệm là x = 1 ( Hay P(x) M( x - 1) )

4) Nếu tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) = 0 có

nghiệm là x = -1 (Hay P(x) M( x + 1) )

* Sơ đồ Horner: (đối với đa thức một biến)

Khi chia đa thức P(x) cho ( x - α ) thơng là: bn xn-1 + bn-1 xn-2 + + b2 x + b1và có số d là:

1) Tính trực tiếp (Thay trực tiếp các giá trị của x, y vào biểu thức rồi tính kết quả

2) Sử dụng sơ đồ Horner ( chỉ sử dụng khi bài toán yêu cầu tìm thơng và giá trị của đa thức

tại x = α ( r = P(α ) = b 0 )

*Trên máy tính: 1) - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M - Rồi thực hiện quy trình

2) -Tính nhờ vào biến nhớ Ans

Ví dụ 1: Tính A =

5 3 4

1 3

2 3

2 4 5

+ +

−

+

− +

−

x x x

*Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X

Bấm phím: 1. 8165 SHIFT STO X

( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 3 ALPHA X x − + − ALPHA X 1 ) + ữ ( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA X x − + 3 ALPHA X 5 ) + =

Kết qủa: 1.498465582

* Chú ý: Trong các kỳ thi HSG thờng vẫn hay có dạng toán này Đặc biệt các cuộc thi cấp

huyện Khản năng tính toán dẫn đến sai số thờng không nhiều Nhng biểu thức quá phức tạp

nên tìm cách chia nhỏ bài toán Tránh tình trạng phép tính vợt quá giới hạn nhớ của máy

tính Sẽ dẫn đến kết quả sai ( Kết quả đã quy tròn trên máy tính trong quá trình thực hiện, có

trờng hợp kết quả sai hẳn) Do vậy không có điểm trong trờng hợp này

Trang 18

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:

a A(x) = x 4 + 5x 3x 3 − 2 + − x 1 khi x = 1,23456

b P(x) 17x = 5 − 5x 4 + 8x 13x 11x 357 3 + 2 − − khi x = 2,18567

*Phơng pháp: Khi chia đa thức P (x) cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thơng Q(x) và

số d r Hay ta luôn có: P(x) = Q(x) (ax + b) + r

⇒ P(- b

a ) = r Vậy số d trong phép chia P (x) cho (ax + b) là r = P(- b

b) Tìm BCNN(r1,r2)?

3/.Loại 3: xác định tham số m để đa thức P(x)+m chia hết cho nhi thức

a.x+ b

*Phơng pháp: Khi chia đa thức P (x) + m cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thơng

Q(x) và số d r Hay ta luôn có: P(x) = Q(x) (ax + b) +m + r

Để P (x) + m chia hết cho (ax + b) thì: m +r = 0 ⇔m =- r

⇔m =- P(- b

a )

Ví dụ 1: Tìm a để đa thức A(x) = x 4 + 7x 3 + 2x 13x a 2 + + chia hết cho x+6.

Giải: *Sơ lợc lời giải:

Trang 19

Kết quả: a = -222

Ví dụ 2: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 Tìm m để P(x) + m2 chia hết cho x + 3 ?

Giải: *Sơ lợc lời giải:

Ta có: d khi chia P(x) cho x + 3 là: r = P(-3) để P(x) + m2 chia hết cho x + 3

Trang 20

Vậy: x7-2x5-3x4+x -1 = (x + 5)(x6 -5x5 + 23x4 -118x3 + 590x2-2590x + 14751) - 73756

*Phơng pháp: Sử dụng sơ đồ Horner cho n lần

áp dụng n-1 lần sử dụng sơ đồ Horner ta phân tích đợc đa thức P(x) bậc n theo x-α :

*Phơng pháp:

1) Giải hệ phơng trình từ đó tìm đợc các hệ số

2) Tìm đa thứ phụ trớc, rồi quay lại tìm đa thức.

Ví dụ 1: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) =16; P(5) = 15 Tính P(6), P(7), P(8), P(9)

Giải:

Đặt A(x) = P(x) - x2 ta có: A(1) = 0 ; A(2) = 0 ; A(3) = 0; A(4) = 0 ; A(5) = 0;

Nên theo định lý Bezout ta có: x = 1;2;3;4;5 là nghiệm của A(x) do đó ta có:

Trang 21

d Với n vừa tìm đợc phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất

Bài 2: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11.Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13)

Bài 3: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n

a Tìm giá trị của m, n của các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2

b Với giá trị của m, n vừa tìm đợc chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có mộtnghiệm duy nhất

Bài 4: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m

1 Tìm số d trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2010

2 Tìm gía trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5

3 P(x) có nghiệm x = 2 Tìm m?

Bài5 Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33,P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11)

Bài 6: Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m

a Tìm điều kiện của m để P(x) có nghiệm là: x = 0,3648

b Với m vừa tìm đợc, tìm số d khi chia P(x) cho (x -23,55)

Bài 7: 1.Cho x=2,1835 và y= -7,0216 Tính F=7x y-x y +3x y+10xy -95 4 33 2 23 3 4

Bài 9: Cho ủa thửực P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính:

a các hệ số b, c, d của đa thức P(x)

b Tìm số d r1 khi chia P(x) cho x – 4

c Tìm số d r2 khi chia P(x) cho 2x +3

Bài 10: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính:

a Các hệ số a, b, c của đa thức P(x)

b Tìm số d r1 khi chia P(x) cho x + 4

c Tìm số d r2 khi chia P(x) cho 5x +7

d Tìm số d r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7)

Bài 11: Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) =

48 Tính P(2010)?

Trang 22

Bài 12: Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 đợc số d là 5 Chia P(x) cho

x – 2 đợc số d là - 4 Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + Nchia hết cho (x-1)(x-2)

+ về dạng

a

b và ngợc lại

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	1,73 MB