4 tỉ số thể tích

Tính tỉ số thể tích OMNPCho hình chóp tứ giác đều S ABCD.. Mặt phẳng MND chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V , khối đa diện 1c

.

S A B C

S ABC

Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên trong

nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các hình chóp tam

giác khác nhau rồi mới áp dụng



Bài toán 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD (hoặc đa giác bất kỳ), mặt phẳng  P song song với đáy cắt các cạnh bên SA SB SC SD lần lượt tại , , ,, , , A B C D   

.

S A B C D

S ABCD

V

Lưu ý: Công thức trên đúng với đáy n giác



Bài toán 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng  P cắt các cạnh

SA SB SC SD lần lượt tại , , ,A B C D    sao cho SA x; SB y; SC z; SD t

x   và z y t ' ' ' '

.

1 1 1 1 4

S A B C D

S ABCD

Cho hình chóp cụt ABC A B C    có chiều cao h, S là diện tích tam giác 1 ABC, S là diện tích tam 2 giác A B C   Thể tích khối chóp cụt ABC A B C    là  1 2 1 2

1 3

Cho hình chóp S ABC Gọi M N P lần lượt là trung điểm của , , SA SB SC Tỉ số thể tích , ,

.

.

S ABC

S MNP

V

Trên ba cạnh OA OB OC của khối chóp , , O ABC lần lượt lấy các điểm A B C , ,  sao cho

2OA OA, 4OB OB và 3OC OC Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O A B C    và O ABC

là

A 1

1

1

1

16 Cho hình chóp S ABCD Gọi A , B , C, D theo thứ tự là trung điểm của SA,SB,SC,SD Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D     và S ABCD

A 1

1

1

1 2 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA3a Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SC SD Thể tích khối tứ diện ,

A

3

16

a

3

8

a

3

3 8

a

3

3 16

a Cho tứ diện ABCD, gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , , , AC, AD và O là trọng tâm tam giác BCD Tính tỉ số thể tích OMNP

ABCD

V

A 1

1

1

1

4 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Mặt phẳng  P qua A và vuông góc với SC cắt

SB SC SD lần lượt tại ,B C D ,  Biết C là trung điểm của SC Gọi V V lần lượt là thể tích 1, 2 hai khối chóp S AB C D    và S ABCD Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

2

2 3

V

2

2 9

V

2

4 9

V

2

1 3

V

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  60BAD  và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 45 Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm của SC Mặt phẳng MND chia khối chóp

S ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V , khối đa diện 1 còn lại có thể tích V (tham khảo hình vẽ) 2

Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

2

12 7

V

2

5 3

V

C 1

2

1 5

V

2

7 5 V

 Kết quả 1

Gọi V là thể tích khối lăng trụ

 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ 1 1

3

V V

 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ 2 2 2

3

V V

 Kết quả 2

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    Mặt phẳng    cắt các đường thẳng AA BB CC, , lần lượt tại M N P (tham khảo hình vẽ) , ,

ABC MNP ABC A B C





 Kết quả 3

Gọi V là thể tích khối hộp

 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai đường chéo của hai 1

3

V V

 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở các trường hợp còn lại 2

2

6

V V

.

1 3

1 6

ABCD A B C D



     



 Kết quả 4

Cho hình lăng trụ tam giác ABCD A B C D     Mặt phẳng    cắt các đường thẳng AA BB, , ,

CC DD  lần lượt tại , , ,M N P Q (tham khảo hình vẽ)

ABCD MNPQ ABCD A B C D







Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng V Tính thể tích khối đa diện BAA C C 

A 3

4

3

2

4

V Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Thể tích khối tứ diện ABDB bằng

A

3

6

a

3

2 3

a

3

2

a

3

3

a

Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của 'A lên mặt phẳng

ABC trùng với trung điểm cạnh AB góc giữa , AA' và mặt đáy của hình lăng trụ đã cho bằng

60  Tính thể tích V của khối chóp A BCC B' ' '

A

3

4

a

3

8

a

3

3 4

a

3

3 8

a

Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng 2018 Gọi M là trung điểm AA ; ,N P lần lượt

là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC sao cho BN2B N , CP3C P Tính thể tích khối

đa diện ABC MNP

A 32288

40360

4036

23207

Cho hình lập phương ABCD A B C D    cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB và P thuộc cạnh

4

DP DD Mặt phẳng AMP cắt CCtại N Thể tích khối đa diện

AMNPBCD bằng

A 3a3 B 3 11

3

4

Cho hình lăng trụ ABC A B C    Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA , BB ,

CC sao cho AM 2MA, NB 2NB, PC PC Gọi V , 1 V lần lượt là thể tích của hai khối 2

đa diện ABCMNP và A B C MNP   Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

2

2

V

2

1 2

V

2

1

V

2

2 3

V

Một khối hộp ABCD A B C D     có thể tích bằng 2019 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Mặt phẳng MB D  chia khối hộp ABCD A B C D     thành hai khối đa diện Tính thể tích phần khối

đa diện chứa đỉnh A

A 4711

5045

4711

10090

Cho khối hộp ABCD A B C D     có thể tích bằng V Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của

AB, B C , DD Gọi thể tích khối tứ diện CMNP là V , khi đó tỉ số V

V

 bằng

A 1

3

1

3

64

V

Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác

đều cạnh bằng 2, A A A B A C     2, M là trung

điểm của AA Tính thể tích phần chung của hai khối

đa diện A M BCC B   và A A B C   

A 17 2

17 3

18

C 17 3

5 2

3

Cho hình chóp S ABC Gọi M N P lần lượt là trung điểm của , , SA SB SC Tỉ số thể tích , ,

.

.

S ABC

S MNP

V

Cho khối chóp S ABC có thể tích V Gọi ,B C  lần lượt là trung điểm của AB AC Tính theo ,

V thể tích khối chóp S AB C  

A 1

1

1

1

4V Cho khối chóp S ABC có thể tích bằng 5a Trên các cạnh 3 SB, SC lần lượt lấy các điểm M

và N sao cho SM 3MB, SN4NC Tính thể tích V của khối chóp AMNCB

A 3 3

5

4

Trên ba cạnh OA OB OC của khối chóp , , O ABC lần lượt lấy các điểm A B C , ,  sao cho

2OA OA, 4OB OB và 3OC OC Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O A B C    và O ABC

là

A 1

1

1

1

16 Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V

A

4

V

3

V

2

V

5

V

Cho hình chóp S ABCD Gọi A , B , C, D theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD

Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D     và S ABCD

A 1

1

1

1 2 Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 2 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?

Cho khối chóp S ABCD có thể tích bằng 32 Gọi M ,N , P , Q lần lượt là trung điểm SA, SB,

SC,SD Thể tích khối chóp S MNPQ bằng

A 16 B 8 C 4 D 2

Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng V Tính thể tích khối đa diện BAA C C 

A 3

4

3

2

4

V Cho lăng trụ ABC A B C   , M là trung điểm CC Mặt phẳng ABM chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh 1 C và V là thể tích khối đa diện còn 2 lại Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

1

1

2 5 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có thể tích là V Gọi M là trung điểm cạnh AA Khi đó thể tích khối chóp M BCC B   là

A

2

3

3

6

V Cho lăng trụ ABC A B C    Biết diện tích mặt bên ABB A  bằng 15, khoảng cách từ điểm C

đến ABB A  bằng 6 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

A 30 B 45 C 60 D 90

Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Thể tích khối tứ diện ABDB bằng

A

3

6

3

2

3

a

Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng 2018 Gọi M là trung điểm AA ; ,N P lần lượt

là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC sao cho BN2B N , CP3C P Tính thể tích khối

đa diện ABC MNP

A 32288

40360

4036

23207

Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D     có thể tích bằng 2110 Biết MNP, DN3ND,

2

CP C P như hình vẽ Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A 5275

8440

7385

5275

Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA3a Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SC SD Thể tích khối tứ diện ,

A

3

16

8

8

16

a Cho tứ diện ABCD, gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , , , AC, AD và O là trọng tâm tam giác BCD Tính tỉ số thể tích OMNP

ABCD

V

A 1

1

1

1

4 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của 'A lên mặt phẳng

ABC trùng với trung điểm cạnh AB góc giữa , AA và mặt đáy của hình lăng trụ đã cho bằng '

60  Tính thể tích V của khối chóp A BCC B' ' '

A

3

4

a

3

8

a

3

3 4

a

3

3 8

a

Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M N lần lượt là trung điểm , AB CD Gọi , V V lần lượt 1, 2

là thể tích của MNBC và MNDA Tính tỉ lệ V V1 2

V

A 1 B 1

1

2

3 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Mặt phẳng  P qua A và vuông góc với SC cắt

SB SC SD lần lượt tại ,B C D ,  Biết C là trung điểm của SC Gọi V V lần lượt là thể tích 1, 2 hai khối chóp S AB C D    và S ABCD Tính tỷ số 1

2

V

V

A 1

2

2 3

V

2

2 9

V

2

4 9

V

2

1 3

V

Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi M N P Q lần lượt là trọng tâm , , , các tam giác SAB SBC SCD SDA Biết thể tích khối chóp , , , S MNPQ là V, khi đó thể tích của khối chóp S ABCD là

A 27

4

V

2

9

 

 

9 4

V

8 V

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB ,AC và DA đôi một vuông góc với nhau; AB6a,

7

AC a vàAD4a Gọi M ,N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,CD, DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP

A 7 3

2

3

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2 Gọi M , N lần lượt

là các điểm trên cạnh SB và SD sao cho SM SN k

SB  SD  Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp

S AMN bằng 1

8

A 1

8

4

4

2

Cho hình hộp ABCD A B C D     có thể tích bằng V Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , A C , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP

A 1

7

5

1

6V Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A trên mặt phẳng ABC là tâm O của tam giác ABC Gọi O là tâm của tam giác A B C M  , là trung điểm của AA , G là trọng tâm tam giác B C C  Biết 3

.

O OMG

V   Tính chiều cao a h của lăng trụ

A h24a 3 B h36a 3 C h9a 3 D h18a 3

Cho hình hộp ABCD A B C D     có M N P lần lượt là trung điểm ba cạnh , , A B BB ,  và D D Mặt phẳng MNP cắt đường thẳng A A tại I Biết thể tích khối tứ diện IANP là V Thể tích của khối hộp đã cho ABCD A B C D     bằng

A 4V B 6V C 12V D 2V

Cho khối hộp ABCD A B C D     có thể tích bằng V Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của

AB , B C , DD Gọi thể tích khối tứ diện CMNP là V , khi đó tỉ số V

V

 bằng

A 1

3

1

3

64 Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm của SC Mặt phẳng (BMN chia khi chóp đã cho thành )

2 phần Thể tích của phần chứa đỉnh S bằng

A 3 14 3

32

72

96

72

a Cho hình lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng 2 Gọi M N là các điểm lần lượt nằm trên các , cạnh AA BB,  sao cho M là trung điểm của AA và 1

2

BN B N Đường thẳng CM cắt đường thẳng A C  tại điểm P , đường thẳng CN cắt đường thẳng A B  tại Q Tính thể tích của khối

đa diện A MPB NQ  bằng

A 13

23

21

7

18

Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, A A A B A C     2,

M là trung điểm của AA Tính thể tích phần chung của 2 khối đa diện A M BCC B   và A A B C   

A 17 2

17 3

17 3

5 2

3